2026年高考数学终极冲刺：专题02 轻松突破二项式定理的七大热点题型（抢分专练）（原卷版及全解全析）

4/4专题02轻松突破二项式定理的七大热点题型题型考情分析考向预测1.求二项展开式特定项或项的系数2025年上海卷第4题考查求二项展开式特定项的系数2024年天津卷第11题考查求二项展开式的常数项2024年全国甲卷第13题考查二项展开式系数的最值2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数3.求三项展开式的特定项或特定项的系数4.用赋值法求系数和5.求系数最大（小）的项6.杨辉三角问题7.二项式定理的应用题型1求二项展开式特定项或项的系数3.【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（

）A．60 B．36C．729 D．6【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．2题型2求两个二项式乘积展开式中特定项的系数【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（

）A．35 B．5 C． D．【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________．【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（

）A．26B．C．6 D．题型3求三项展开式的特定项或特定项系数【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（

）A．60 B．120 C．240 D．360【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（

）A．3 B．6 C．60 D．30题型4用赋值法求系数和【例4】（多选）（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【变式4-1】（多选）（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（

）A．B．C．D．题型5求系数最大（小）的项【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（

）A．280 B．448 C．560 D．672【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（

）A．第1项和第3项 B．第2项和第4项C．第3项和第1项 D．第4项和第2项题型6杨辉三角问题高频考点与固定套路【例6】（多选）（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（

）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行【变式6-1】(多选)（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（

）A． B．C． D．题型7二项式定理的应用【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（

）A．0 B．1 C．2 D．5【变式7-2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列中的项，若存在奇数，使得均不为偶数，则称数列为阶除序列．(1)数列为阶除序列，当，求出所有的；(2)已知，对任意的，恒有，求证：数列是5阶除序列．一、单选题（2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（

）A．5 B．10 C．15 D．20（2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（

）A．60 B． C．64 D．（2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（

）．A．120 B．80 C．40 D．（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（

）A．4 B． C．1 D．（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．（2026高三下·北京·月考）若.则的值是（

）A． B． C．3 D．5二、多选题（2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（

）A．展开式共有6项B．展开式的各二项式系数的和为64C．展开式的第6项的系数为30D．展开式中二项式系数最大的项是第4项（2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所有项的系数绝对值的和为，则（

）A．B．二项式系数最大的项为C．第6项的系数为448D．所有奇数项的系数和为3281（2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（

）A．B．展开式中无常数项C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大D．展开式的各项系数之和是（2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（

）项A．2 B．3 C．4 D．5（2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（

）A．B．展开式中各项系数的和为C．展开式中存在常数项D．展开式中的系数为16（2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（

）A．B．的展开式中的系数为3C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项（2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（

）A． B．当时，C．当时， D．当时，（2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（

）A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1B．第20行第7个数和第8个数的比为C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数三、填空题（2026高三上·浙江杭州·期末）展开式中项的系数为________.16．（25-26高三下·江西·月考）若，且，则的值为______.17．（2026·广东·模拟）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________.18.（2026高三下·天津·专题练习）已知多项式，则______．19.（2026高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______．20.（2026高三上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________21．（2026高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________.22.（2026高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________．

专题02轻松突破二项式定理的七大热点题型题型考情分析考向预测1.求二项展开式特定项或项的系数2025年上海卷第4题考查求二项展开式特定项的系数2024年天津卷第11题考查求二项展开式的常数项2024年全国甲卷第13题考查二项展开式系数的最值2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数3.求三项展开式的特定项或特定项的系数4.用赋值法求系数和5.求系数最大（小）的项6.杨辉三角问题7.二项式定理的应用题型1求二项展开式特定项或项的系数3.【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展开式通项为，令得，故展开式中的常数项为.【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（

）A．60 B．36C．729 D．6【答案】A【解析】展开式的通项公式为，令，则，当时，，，当时，，，所以，令，则，所以.【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式的的系数为，令，可得，所以展开式的的系数为，因为展开式中的系数比的系数小300，可得，即，解得或，又因为，所以.故选：A.题型2求两个二项式乘积展开式中特定项的系数【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（

）A．35 B．5 C． D．【答案】C【解析】，其中含有的项分别是和，这两项系数之和为，故选：C.【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________．【答案】5【解析】由题意得，则含的项为，所以含的项的系数为5．故答案为：5.【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（

）A．26B．C．6 D．【答案】B【解析】展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项.的2次项，1次项分别为；的2次项，1次项为.则的2次项为.故选：B．题型3求三项展开式的特定项或特定项系数【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（

）A．60 B．120 C．240 D．360【答案】B【解析】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，即这一项为.故的系数为.故选：B【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（

）A．3 B．6 C．60 D．30【答案】C【解析】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.要求的系数，则的次数，此时.同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.要得到，则令，解得.当，时，的系数为在的展开式中，的系数为60.故选：C.题型4用赋值法求系数和【例4】（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A，令，则，故A正确；对于BC，令，则，令，则，则，，故B错误，C正确；对于D，由两边同时求导可得：，令，则，所以，故D错误.故选：AC【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对于A，令，则，故A错误；对于B，由的系数为，故B正确；对于C，令，则①，令，则②，①+②可得，，故C错误；对于D，对原方程两边求导，有，令，得，故D正确.故选：BD题型5求系数最大（小）的项【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（

）A．280 B．448 C．560 D．672【答案】C【解析】展开式通项公式为，且为整数，要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，故二项式展开式中，系数最大值为.故选：C【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（

）A．第1项和第3项 B．第2项和第4项C．第3项和第1项 D．第4项和第2项【答案】B【解析】的展开式的通项为，当取奇数时，系数为负值，当时，，当时，，当时，，所以第2项的系数最小；因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.故选：B.题型6杨辉三角问题高频考点与固定套路【例6】（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（

）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行【答案】BCD【解析】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误；对B，，正确；对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确；对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，第7行的数为：，所有数都是奇数，正确.故选：BCD【变式6-1】（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误；当时，，选项C正确；当时，，选项D正确．故选：ACD．题型7二项式定理的应用【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除，因为，且能被整除，故能被整除，设，可得，故的最小值为.故选：D.【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（

）A．0 B．1 C．2 D．5【答案】A【解析】故小数点后第二位的数字是0.故选：A.一、单选题（2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】因为展开式的各项系数和为32，所以令，有，得，故，因为展开式中含的项为，含的项为，则展开式中的系数是.（2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（

）A．60 B． C．64 D．【答案】A【解析】设二项式的展开式中的通项为，，令，可得，,故选：A.（2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（

）．A．120 B．80 C．40 D．【答案】D【解析】根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（

）A．4 B． C．1 D．【答案】B【解析】的展开式的通项公式为，令，解得，.故选：B.（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在的展开式中，第项为，其中，含的项为，含的项为，结合，可得的展开式中含的项为，在的展开式中的系数为.（2026高三下·北京·月考）若.则的值是（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【解析】由，令，可得，令，可得，所以.二、多选题（2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（

）A．展开式共有6项B．展开式的各二项式系数的和为64C．展开式的第6项的系数为30D．展开式中二项式系数最大的项是第4项【答案】BD【解析】展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为，故B正确；展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误；展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.故选:.（2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所有项的系数绝对值的和为，则（

）A．B．二项式系数最大的项为C．第6项的系数为448D．所有奇数项的系数和为3281【答案】BD【解析】由题意可得，二项式系数之和为，解得，对于A选项，因为所有项的系数绝对值的和为，所以，解得，故A错误；对于B选项，当时，二项式系数最大的项是第项，，故B正确；对于C选项，，故第6项的系数为，故C错误；对于D选项，令，令，则，令，，所以所有奇数项之和为，将代入可得，所有奇数项的系数和为3281；将代入可得，所有奇数项的系数和为3281，故D正确.故选：BD.（2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（

）A．B．展开式中无常数项C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大D．展开式的各项系数之和是【答案】ABC【解析】由题意可知，则，故A正确；设展开式的通项为，显然无整数解，故B正确.因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项二项式系数最大，即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确；令，则，故D错误；故选：ABC.（2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（

）项A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由题意二项式系数仅最大，故，所以二项式为，其通项公式为，设二项式展开式中第项的系数最大，则有，，即，故，经经验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B.（2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（

）A．B．展开式中各项系数的和为C．展开式中存在常数项D．展开式中的系数为16【答案】AC【解析】对于A，由二项式系数和的性质得中各二项式系数的和为，而各二项式系数的和为256，则，解得，故A正确，对于B，由已知得，令，则展开式中各项系数的和为，故B错误，对于C，由二项式定理得的通项为，且，若展开式中存在常数项，则，解得，符合，故C正确，对于D，令，解得，则的系数为，故D错误.故选：AC（2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（

）A．B．的展开式中的系数为3C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项【答案】BCD【解析】二项式的展开式的第项为，当时，即时，可得，解得，所以A错误；可得二项式，展开式中的系数为3，所以B正确；各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确；可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确；故选：BCD.（2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（

）A． B．当时，C．当时， D．当时，【答案】BD【解析】对于A，当时，令，可得为任意正整数，故A错误.对于B，当时，，求解得，，，，，，，可知，故B正确；对于C，由题意，可知，令，则，所以或，故C错误；对于D，由题意，可知，，即，解得，又，，故D正确.（2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（

）A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1B．第20行第7个数和第8个数的比为C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数【答案】ACD【解析】对A：第48行的所有数字之和为，由，故第48行的所有数字之和