2026高中物理同步重难讲练专题11“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”模型学案新人教版必修1

引言在我们学习共点力平衡的过程中，常常会遇到一些经典的物理模型，它们是对复杂物理现象的抽象与简化。“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”便是其中极为重要的两组模型。这些模型看似相似，实则在受力特点和处理方法上存在本质区别，也是解决很多力学平衡问题的关键。本专题将深入剖析这两组模型的核心特征、受力规律，并通过典型例题的精讲与针对性练习，帮助同学们拨开迷雾，精准把握解题要点，提升运用模型解决实际问题的能力。一、“活结”与“死结”模型在涉及绳子、轻绳的力学问题中，“结”的处理往往是解题的突破口。“活结”与“死结”的区分，并非简单的字面意思，而是关乎结点处力的传递与分配规律。（一）“活结”模型1.模型特征：“活结”可以理解为绳子在该点可以自由移动，通常是指绳子跨过一个光滑的轻质滑轮（不计质量和摩擦）或者绳子绕过一个光滑的固定环。此时，“结”的位置并非固定不变，而是可以随着绳子的拉动而改变。2.核心规律与受力特点：*绳子的连续性与张力特点：由于滑轮或环是光滑的，不计摩擦，且绳子通常被认为是不可伸长的轻质理想绳，因此，“活结”两侧的绳子实际上是同一根绳子的不同部分。*张力大小关系：同一根轻质绳上的张力大小处处相等。因此，“活结”两侧的绳子拉力大小相等。*方向关系：两侧绳子的拉力方向沿着各自绳子的切线方向，分别指向绳子收缩的方向。3.思维点拨：处理“活结”问题时，关键在于明确“活结”两侧是同一根绳，故拉力等大。然后根据物体的平衡条件（或其他运动状态所遵循的规律），结合力的合成与分解（通常是正交分解法或合成法）进行求解。（二）“死结”模型1.模型特征：“死结”则意味着绳子在该点被固定，或者是两根（或多根）独立的绳子在该点连接（打结）在一起，结点的位置是固定的，不能沿绳子移动。此时，“死结”两侧的绳子是不同的绳段。2.核心规律与受力特点：*绳子的独立性：“死结”两侧的绳子是独立的，它们可能来自不同的物体或连接点。*张力大小关系：由于是不同的绳段，“死结”两侧的绳子拉力大小不一定相等，其大小取决于每根绳子所连接的物体以及物体所处的状态。*方向关系：每根绳子的拉力方向仍沿着各自绳子的切线方向，指向绳子收缩的方向。3.思维点拨：处理“死结”问题时，要认识到“死结”是不同绳的连接点，各绳拉力独立。结点本身处于平衡状态（若系统静止或匀速），则作用在结点上的所有力（包括各绳的拉力以及可能存在的其他外力）的合力为零。因此，可以对结点进行受力分析，列出平衡方程求解。（三）典例精析——“活结”与“死结”的对比应用例题1（活结模型）：如图所示，一个轻质光滑滑轮固定在天花板上，一根轻质细绳跨过滑轮，两端分别连接质量为m₁和m₂的物体（m₁≠m₂），系统处于静止状态。不计空气阻力，求绳中的张力大小。解析：此题中，滑轮两侧的绳子通过滑轮相连，滑轮光滑，属于“活结”模型。因此，绳子上的张力处处相等，设为T。对m₁进行受力分析：受竖直向下的重力m₁g和竖直向上的绳子拉力T。对m₂进行受力分析：受竖直向下的重力m₂g和竖直向上的绳子拉力T。由于系统静止，两物体均处于平衡状态。对m₁：T=m₁g对m₂：T=m₂g这似乎得出m₁=m₂，与题设矛盾。哦，这里需要注意，如果m₁≠m₂，系统不可能静止，这说明我的初始假设（系统静止）在m₁≠m₂时不成立。那么，如果两物体质量相等，即m₁=m₂=m，则T=mg。这才是“活结”模型下，滑轮两侧物体平衡时的结论。这个例子也提醒我们，模型应用需结合实际运动状态。例题2（死结模型）：如图所示，在天花板上的O点固定一个“死结”，结点下连接三根轻质细绳，其中两根绳的另一端分别固定在墙壁的A、B两点，第三根绳下端悬挂一个质量为m的重物，系统处于静止状态。已知AO绳水平，BO绳与竖直方向夹角为θ。求AO绳和BO绳对结点O的拉力大小。解析：O点为“死结”，连接三根绳，其中悬挂重物的绳子拉力T₃=mg（方向竖直向下）。AO绳拉力T₁（水平向左），BO绳拉力T₂（沿BO绳斜向右上方）。对结点O进行受力分析，O点静止，合力为零。建立直角坐标系：以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。正交分解T₂：T₂x=T₂sinθ，T₂y=T₂cosθ。由平衡条件：ΣFx=0：T₂x-T₁=0⇒T₂sinθ=T₁ΣFy=0：T₂y-T₃=0⇒T₂cosθ=mg联立解得：T₂=mg/cosθ，T₁=mgtanθ。显然，T₁≠T₂，体现了“死结”两侧（此处为多侧）绳拉力不一定相等的特点。二、“动杆”与“定杆”模型在涉及轻杆的力学问题中，杆的端点是否固定、杆能否绕轴自由转动，直接影响杆两端所受力的方向和大小关系。“动杆”与“定杆”模型的区分，是解决此类问题的核心。（一）“动杆”模型（或称“铰链杆”、“转轴杆”）1.模型特征：“动杆”通常指轻杆的一端通过光滑铰链（或轴）与固定点连接，杆可以绕该铰链（或轴）自由转动。杆的另一端（自由端）通常连接有物体或受到其他力的作用。在这种情况下，杆处于平衡状态时（一般是静止或匀速转动，但高中阶段多讨论静止平衡）。2.核心规律与受力特点：*力的方向特点：对于轻质理想杆（不计质量），当它绕固定轴（铰链）自由转动并处于平衡状态时，杆两端所受的力（或合力）必沿杆的轴线方向。*若杆被拉伸，则杆两端受力方向为由两端指向杆的中心（杆承受拉力）。*若杆被压缩，则杆两端受力方向为由杆的中心指向两端（杆承受压力）。*原因简析：因为杆可以自由转动，如果杆两端的力不沿杆的轴线方向，那么这个力对转轴将产生一个力矩，使杆发生转动，无法保持静止平衡状态。因此，平衡时杆所受的合力矩为零，两端的力必须沿杆的方向，以保证力臂为零，力矩为零。3.思维点拨：处理“动杆”问题时，首先要确认杆是否可绕某点自由转动（即是否为铰链连接）。若满足“动杆”条件，则杆两端的力必沿杆的方向。然后根据杆的平衡（或杆所连接物体的平衡）来确定力的大小和具体方向（拉力还是压力）。（二）“定杆”模型（或称“固定杆”）1.模型特征：“定杆”指轻杆的两端均被固定，或者杆的一端被刚性固定在墙壁或其他固定物上，杆不能绕任何轴自由转动。此时，杆的位置是固定的，不能发生转动。2.核心规律与受力特点：*力的方向特点：“定杆”由于被固定，其两端所受的力（或合力）的方向不一定沿杆的轴线方向。力的方向需要根据杆所连接物体的受力情况以及平衡条件（或运动状态）来综合判断和求解。*力的分解：“定杆”端点所受的力可以是任意方向的，通常可以将其分解为沿杆方向和垂直于杆方向的两个分力。这两个分力共同保证了杆的固定状态。3.思维点拨：处理“定杆”问题时，不能想当然地认为杆的受力一定沿杆方向。必须对杆的端点（或杆所连接的物体）进行完整的受力分析，画出受力图，然后根据平衡条件（如合力为零、合力矩为零）列方程求解。此时，杆对物体的力（或物体对杆的力）的方向是未知的，通常用两个正交的分力来表示，最后通过计算确定其大小和方向。（三）典例精析——“动杆”与“定杆”的对比应用例题3（动杆模型）：如图所示，一根轻质细杆一端用光滑铰链固定在竖直墙壁的O点，另一端A点悬挂一质量为m的重物，并用一根水平轻绳将A点与墙壁上的B点相连，使杆OA处于水平静止状态。求杆OA对A点的作用力大小和方向。解析：杆OA的O端为光滑铰链，可自由转动，故OA杆为“动杆”模型。A点为杆的自由端。对A点进行受力分析：*竖直向下的拉力T（大小等于mg，由悬挂重物的绳子提供）。*水平向左的拉力F₁（由水平绳AB提供）。*杆OA对A点的作用力F₂。根据“动杆”模型特点，F₂必沿杆OA方向。由于杆OA水平，故F₂方向必沿水平方向。假设F₂水平向右（若计算结果为负，则方向向左）。A点静止，合力为零。在水平方向：F₂-F₁=0在竖直方向：T=mg（与其他力平衡）似乎还缺少条件？哦，我们还可以对杆OA整体（或对O点取矩）分析。以O为转轴，杆OA受到A点的力F₂'（F₂的反作用力，水平向左）和绳子AB的拉力F₁'（F₁的反作用力，水平向右）以及重物拉力T'（T的反作用力，竖直向下）。由于杆轻质，自身重力不计。根据力矩平衡条件（对O点）：F₁'*L（力臂为杆长L，使杆顺时针转动的力矩）与T'*L（力臂为0？不，T'作用在A点，方向竖直向下，对O点的力臂为OA杆长L，产生顺时针力矩），而F₂'对O点的力臂为0（沿杆方向），力矩为0。若无水平绳AB，重物会使杆下摆。现在杆静止，水平绳AB的拉力提供了逆时针力矩。所以：F₁*L（逆时针）=T*L（顺时针）⇒F₁=T=mg再回到A点受力：F₂=F₁=mg，方向水平向右。因此，杆OA对A点的作用力大小为mg，方向沿杆OA水平向右（说明杆OA承受拉力）。例题4（定杆模型）：如图所示，一根轻质细杆一端被固定在竖直墙壁上（不能转动），另一端A点用一根轻绳悬挂一质量为m的重物，绳的另一端固定在墙壁上的B点，使重物静止。已知OA杆水平，AB绳与竖直方向夹角为θ。求杆OA对A点的作用力大小和方向。解析：杆OA一端被固定在墙壁上，不能转动，故为“定杆”模型。A点为杆的端点。对A点进行受力分析：*竖直向下的拉力T（大小等于mg，由悬挂重物的绳子提供）。*绳AB对A点的拉力F₁，方向沿BA绳斜向左上方（与竖直方向成θ角）。*杆OA对A点的作用力F₂。由于是“定杆”，F₂的方向未知，我们设其方向为斜向右上方，与水平方向夹角为α（也可直接分解为水平和竖直两个分力）。A点静止，合力为零。建立直角坐标系：以A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。将F₁正交分解：F₁x=F₁sinθ（水平向左），F₁y=F₁cosθ（竖直向上）。设F₂在x轴方向分力为F₂x（水平向右），y轴方向分力为F₂y（竖直向上）。由平衡条件：ΣFx=0：F₂x-F₁x=0⇒F₂x=F₁sinθΣFy=0：F₂y+F₁y-T=0⇒F₂y+F₁cosθ=mg到这里，我们有两个方程，但有F₂x、F₂y、F₁三个未知数。似乎还需要其他条件？注意，我们研究的是A点的平衡，方程是完备的。但F₁是绳AB的拉力，对于“死结”A点（此处A点连接了杆、悬挂重物的绳和AB绳，可视为死结），F₁的大小可以通过上述方程与F₂的分力联系起来。但我们最终要求的是F₂的大小和方向。F₂的大小为√(F₂x²+F₂y²)，方向由tanα=F₂y/F₂x确定。但这样似乎还不能得出具体数值？哦，题目中如果给出θ角，我们可以用θ来表示F₂。或者，我们可以换一种思路，对重物和A点整体分析，但可能更复杂。实际上，对于本题，我们可以解出F₂与F₁的关系。但通常这类问题会给出足够的几何条件来确定所有力。例如，若θ已知，我们可以将F₂表示为θ的函数。假设θ为已知角，我们可以将F₂x和F₂y用F₁表示后，F₂的大小为F₁√(sin²θ+((mg-F₁cosθ)/F₁)²)=√((F₁sinθ)²+(mg-F₁cosθ)²)。但这似乎还不够。或者，我们可以考虑对O点（杆的固定端）的力矩平衡，但杆是轻质的，A点受到的力F₂'（F₂的反作用力）和F₁'（F₁的反作用力）、T'（T的反作用力）对O点的合力矩为零。设杆长为L。F₂'对O点的力矩：F₂x*0+F₂y*L（因为F₂x沿杆方向，力臂为0；F₂y垂直于杆方向，力臂为L）。方向为逆时针（假设F₂y向上）。F₁'对O点的力矩：F₁x*L（水平方向，力臂L）+F₁y*0（竖直方向，力臂0）。方向为顺时针（F₁x向左）。T'对O点的力矩：T'*L（竖直向下，力臂L），方向为顺时针。合力矩为零：F₂y*L=F₁x*L+T'*L⇒F₂y=F₁x+T'结合A点受力平衡方程F₂y=mg-F₁y=mg-F₁cosθ，以及F₁x=F₁sinθ，T'=mg。代入得：mg-F₁cosθ=F₁sinθ+mg⇒