高三二轮高效复习讲义数学专题突破三角函数与平面向量微点突破4平面向量的最值与范围问题

微点突破4平面向量的最值与范围问题▶对应学生用书P34【考情分析】1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.重点1向量模的最值与范围已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π6，向量b满足b2－8e·b＋15＝0，则a－b的最小值是(A.4 B.3＋1C.2 D.1解析：选D.设a，b共起点，由b2－8e·b＋15＝0可得(b－3e)·(b－5e)＝0得(b－3e)⊥(b－5e)，∴如图b终点在AB直径的圆上，设AB中点为O，DO＝4，∵a与e夹角为π6因此，a－b的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离2减去半径1，为[规律方法]求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过｜a｜2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法.对点练1.已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3，且a⊥b，则｜a＋b－c｜的取值范围是()A.3－5，3+5 B.C.(3，3＋5] D.[3－5，6)解析：选A.设a＝(1，0)，b＝(0，2)，｜c｜＝3，设c＝(3cosθ，3sinθ)，θ∈[0，2π]，所以a＋b－c＝1－所以a＋b－c＝设fθ＝7－6sinθ－3cosθ，θ∈[0，2π]，则fθ＝7－35·sin(θ＋φ)，其中tanφ＝12∈(0，33)，所以φ∈0，π6，所以sin(θ＋φ)∈[－1，1]，故f(θ)∈[7－35，7所以｜a＋b－c｜∈[2(7－35)，2(7+35)]，即｜a＋b－c｜∈重点2向量数量积的最值与范围(2025·山东聊城二模)△ABC中，BC＝23，A＝60°，则BA·BC的最大值为()A.6 B.3＋23C.12 D.6＋43解析：选D.由正弦定理可得，asinA＝2332＝4＝2R，所以△ABC在以半径为R＝2的圆O上，则BA·BC＝BC·BO＋OA，由向量数量积几何意义及垂径定理可知：BA·BC＝12BC2＋BC·OA≤6＋BC·OAmax，所以BA·BC的最大值为6＋43.[规律方法]向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.对点练2.(2025·江苏泰州二模)在等边△ABC中，AB＝2，P为△ABC所在平面内的一个动点，若PC＝1，则PA·PB的最大值为()A.4 B.3＋23C.2＋32 D.6解析：选B.以C为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，∵PC＝1，∴点P在以C为圆心，1为半径的圆上，设P(cosα，sinα)，∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝BC＝2，∴A2，0，B∴PA＝2－cosα，－sinα，PB＝(1－cosα，∴PA·PB＝(2－cosα)(1－cosα)＋(－sinα)(3－sinα)＝cos2α－3cosα＋2＋sin2α－3sinα＝3－3sinα+3cosα＝3－2当α＋π3＝－π2＋2kπ，k∈Z，即α＝－5π6＋2kπ，k∈Z时，(PA·重点3参数的最值与范围在△ABC中，BD＝2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE＝mAB，AF＝nAC，其中m＞0，n＞0，则m＋2n的最小值为()A.2 B.2 C.3 D.8解析：选C.如图所示：因为BD＝2DC，易知AD＝AB＋BD＝AB＋23BC＝AB＋23AC－又AE＝mAB，AF＝nAC，所以AD＝13AB＋23AC＝易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得13m＋23n＝1，又m＞0，所以m＋2n＝m+2n13m＋23n＝13＋2m3n＋2n3m当且仅当2m3n＝2n3m，即m＝n＝1时，等号成立，所以m[规律方法]解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0).(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1，进行转化，列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.对点练3.在△ABC中，点D是边BC上一点，若AD＝xAB＋yAC，则2x+5yxy的最小值为A.7－210 B.7＋210C.－210 D.7解析：选B.在△ABC中，点D是边BC上一点，AD＝xAB＋yAC，则x＋y＝1，x＞0，y＞0.2x+5yxy＝(5x＋2y)(x＋y)＝7＋5yx＋2xy≥当且仅当5yx＝2xy，即x＝5－103，y＝10－23重点4向量夹角的最值与范围在平行四边形ABCD中，ABAB＋3ADAD＝λACAC，λ∈[7，3]，则cos∠BAD的取值范围是A.－12，－C.－23，1解析：选A.设与AB同方向的单位向量ABAB＝e1，与AD同方向的单位向量ADAD＝e2，与AC同方向的单位向量ACAC＝e3，由题意，所以e1＋3e2＝λe所以e1+3e22＝λ2e32，即e12＋6e1·e所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，所以cos∠BAD＝λ2因为λ∈[7，3]，所以λ2∈[7，9]，所以λ2-106∈－12，－1[反思感悟]求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.对点练4.已知向量a＝b＝4，a·b＝－8，c＝a+b2，且n－c＝1，则n与cA.π6 B.C.π3 D.解析：选A.已知向量a＝b＝4，a·b＝a·b·cos＜a，b＞＝－8，即cos＜a，b＞＝－12，即＜a，b＞＝2建立如图所示平面直角坐标系，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，ON＝n，则A4，0，B－2，23，C1，3，则CN＝1，即N的轨迹为以(1，3)为圆心，1为半径的圆，由图可知，当ON与圆相切时，∠CON最大，此时sin∠CON＝CNOC＝1则∠CON的最大值为π6，即n与c夹角的最大值为π[课下巩固检测练(十六)]平面向量的最值与范围问题(每题5分)1.已知O为直线AB外一点，且OP＝xOA＋yOB，若A，B，P三点共线，则x2＋y2的最小值为()A.12 B.C.1 D.2解析：选A.因为A，B，P三点共线，所以存在非零实数λ，使得BP＝λAB，所以OP－OB＝λOB－OA，所以OP＝1+λOB－λOA＝xOA所以x＋y＝1，所以1＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)，即x2＋y2≥12当x＝y＝12时等号成立，所以x2＋y2的最小值为12.已知非零向量a，b满足a－b⊥2a－b，则sin＜a，b＞A.33 B.C.13 D.解析：选C.由题意，得a－b·2a－b＝2a2－3abcos＜a因为a＞0，b＞0，所以cos＜a，b＞＝2a2+b23ab≥22又由同角的平方和为1，所以sin＜a，b＞≤133.已知平面内不共线的三个向量a，b，c两两夹角相等，且a为单位向量，b＝2c＝4，则2a－b＋cA.23 B.6C.33 D.7解析：选B.由题意可知，三个向量a，b，c两两的夹角为2π由平面向量数量积的定义可得a·b＝a·bcos2π3＝1×4×－1同理可得a·c＝－1，b·c＝－4，所以2a－b＋c＝2a－4.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足BD＝λBC(0＜λ＜1)，E为AC的中点，则DB·DE的取值范围为()A.－94，4 B.[－C.－94，4 D.[－解析：选A.以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，23)，E(1，3)，因为BD＝λBC(0＜λ＜1)，则点D在线段BC(不含端点)上，设D(x，0)，则－2＜x＜2，DB＝(－2－x，0)，DE＝(1－x，3)，所以DB·DE＝(－2－x)(1－x)＝x2＋x－2＝x＋122－94(－2＜所以当x＝－12时，DB·DE取得最小值为－94，当x＝2时，DB·DE＝故DB·DE的取值范围为－95.(2025·北京朝阳一模)在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝4，点M为△ABC所在平面内一点且AM·BC＝0，则AM·CM的最小值为()A.0 B.－16C.－45 D.－解析：选C.在三角形ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2+BC2-AB22AC×CB＝5+5-162×5×5＝－则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：又cos∠ACO＝－cosC＝35，则sin∠ACO＝4故OA＝AC×sin∠ACO＝5×45＝455，OC＝AC×cos∠ACO＝5×3则A0，455，C355，0，B855，0，设M0，故AM·CM＝mm－455＝m－2552－4也即AM·CM的最小值为－456.已知向量a，b，c，满足a＝4，a与b的夹角为π3，c·(c－a)＝－3，则｜b－c｜的最小值为(A.23＋2 B.3－3C.3＋1 D.3－1解析：选D.如图，建立平面直角坐标系，设OB＝b＝m，0，点B在x设点A在第一象限，a＝OA＝2，23，设c＝OC＝x，y则c·(c－a)＝x，y·(x－2，y－23)＝－3，整理得x－12所以点C的轨迹是以1，3为圆心，1为半径的圆，设圆心为又｜b－c｜＝m－x2当直线BC过点D且垂直于x轴时，BC取得最小值，最小值为3－1，即｜b－c｜的最小值为3－1.7.如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG＝2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点.设AB＝xAP(x＞0)，AC＝yAQ(y＞0)，则4x+2＋1y+1的最小值为A.34 B.C.3 D.6解析：选B.因为M为线段BC的中点，所以AM＝12(AB＋AC)，又因为AG＝2GM，所以AG＝23AM＝13(AB＋AC)，又AB＝xAP(x＞0)，AC＝yAQ而P，G，Q三点共线，所以x3＋y3＝1，即x＋y＝3，则4x+2＋1y+1＝16[(x＋2)＋(y＋1)]4x+2＋1y+1＝16［4当且仅当x+2y+1＝4(y+1)x+2，即8.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜AB｜＝2，设C(3，4)，则｜2CA＋AB｜的取值范围是()A.[6，14] B.[6，12]C.[8，14] D.[8，12]解析：选D.因为｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜AB｜＝2，由AB＝OB－OA平方可得，OA·OB＝0，所以＜OA，OB＞＝π22CA＋AB＝2OA－OC＋OB－OA＝OA＋OB－2OC，OC＝32所以2CA＋AB2＝OA2＋OB2＋4＝2＋2＋4×25－4OA＋OB·OC＝104－4(OA＋OB)·又OA＋OB·OC≤OA＋OBOC＝5×2+2＝10，即－10所以2CA＋AB2∈64，144，即｜29.(2025·江西南昌二模)已知向量a