蔡中兵材料力学7应力状态与强度理论

第七章应力状态与强度理论§7-1

概述一、应力状态的概念1.低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

铸铁单轴应力状态?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？

低碳钢

铸铁2.低碳钢和铸铁的扭转实验纯剪切应力状态mmF3、应力的点面概念FF应力单元体pntpFFF1F2F3ABCDEABCED同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。AA此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。（1）拉中有切,切中有拉;（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;（3）同一面上不同点的应力各不相同;（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同3.重要结论哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态

过一点不同方向面上应力情况的集合,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌.研究杆件受力后各点，特别是危险点处应力状态可以：

1.

了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服现象是由于在切应力最大的45˚

斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚

方向拉应力最大从而使材料发生断裂所致。

2.

在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)的基础。二、应力状态的研究方法1.单元体

（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征

（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布

三、应力状态的分类1.空间应力状态三个平行平面上应力

均不等于零2.平面应力状态三个平行平面

中有一个平面上应力为零，另两个平面应力不等于零。3.单轴应力状态三个平行平面中有两个平面上应力为零，只有一个平面应力不等于零。

1

1yz

y

xy

yx

z

x

zyyz

y

xy

yx

x例题

画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

12345Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面412345123455

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3alSF例题

画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213例题

分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz

薄壁圆筒的横截面面积pD

′nn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p

"yＯFyFyd

平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有

x,xy

和

y,yx§7-2

平面应力状态的应力分析-主应力x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx

平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上应力不等于零的状态。一、斜截面上的应力1.截面法假想地沿斜截面e-f

将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf

作为研究对象xya

x

x

yx

xy

y

yef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnαxya

x

x

yx

xy

y

yef

n

（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时

为正

（2）正应力仍规定拉应力

为正

（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转

为正2.符号的确定efa

x

xy

yx

y

α

ααnαt

（4）切应力两个下标：第一个下标表示切应力所在平面；第二个下标表示切应力方向。

设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos

,a-f

的面积为dAsin

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3.任意斜截面上的应力

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t化简以上两个平衡方程最后得二、应力圆1、应力圆

将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去

,得

因为

x,

y,

xy

皆为已知量,所以上式是一个以

,

为变量的圆周方程.当斜截面随方位角

变化时,其上的应力

,

在

-

直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.圆心的坐标2.圆的半径

此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆

（1）建

-

坐标系,选定比例尺Ｏ

二、应力圆作法1.步骤（Steps）xy

x

x

yx

xy

y

yD

xyO

（2）量取OA=xAD

=xy得D点xy

x

x

yx

xy

xAOB=y

（3）量取BD′=yx得D′点

yB

yxD′

（4）连接DD′两点的直线与

轴相交于C

点

（5）以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C

（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

（2）该圆半径为D

xyO

xA

yB

yxD′C2.证明3、应力圆的应用

（1）.求单元体上任一截面上的应力

从应力圆的半径CD按方位角

的转向转动2

得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

.D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n

证明：D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB

（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2

OCBA三、主应力及主平面主平面：一点处切应力等于零的平面主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值

一点处必定存在一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面。（主应力单元体）存在三个主应力

1，

2，

3，且规定主应力：主平面上的正应力性质：1.基本概念2.主应力数值和主平面位置（1）主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力

1,

2

1

2D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A12

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位

由CD顺时针转2

0到CA1

所以单元体上从

x

轴顺时针转

0（负值）即到

1对应的主平面的外法线

0确定后,

1对应的主平面方位即确定3.求最大切应力G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2

因为最大、最小切应力等于应力圆的半径

O例题

从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,

x

=-1MPa,

y

=-0.4MPa,

xy=-0.2MPa,

yx

=0.2MPa,

（1）绘出相应的应力圆

（2）确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力.

x

y

xy解:（1）画应力圆

量取OA=

x=-1,AD

=

xy=-0.2,定出D点;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)

以DD′为直径绘出的圆即为应力圆.

将半径CD

逆时针转动2

=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。（2）确定

=30°斜截面上的应力E60°（3）确定

=-40°斜截面上的应力

将半径

CD顺时针转2

=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力.F80°AD′C

BOD

30°

-40°

-40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

-40°=0.26MPa

-40°=-0.95MPa例题

两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图

Mmax

=MC

=80kN·m

FSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）横截面C上a点的应力为a点的单元体如图所示a

x

x

xy

yx

由

x,xy

定出D

点由

y,yx

定出D′点

以DD′为直径作应力圆O

C（3）做应力圆

x=122.5MPa,xy

=64.6MPa

y=0,

xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2A1,A2

两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力

1和

3A1点对应于单元体上

1所在的主平面

a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab（4）横截面C上b点的应力b点的单元体如图所示b

x

x

b点的三个主应力为

1所在的主平面就是x

平面,即梁的横截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

1

已知受力物体内某一点处三个主应力

1,

2,

3

利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力§7-3

空间应力状态的概念

3

1

2

2

3

1

1

3

首先研究与其中一个主平面（例如主应力

3所在的平面）垂直的斜截面上的应力

1

2

2

用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象

2

1

主应力

3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力

,

与

3无关,只由主应力

1,

2

决定

与

3垂直的斜截面上的应力可由

1,

2作出的应力圆上的点来表示

1

2

3

3

2

1

该应力圆上的点对应于与

3垂直的所有斜截面上的应力

A

1

O

2B

与主应力

2所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3作出的应力圆上的点来表示C

3

与主应力

１所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,

3作出的应力圆上的点来表示

该截面上应力

和

对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内

abc

截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3

A

1

O

2BC

3结论

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标

1

A

1

O

2BC

3

最大切应力则等于最大的应力圆的半径

最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直,并与

1和

3所在的主平面成45°角.例题

单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力

因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa

由

x,

xy

定出D

点由

y,

yx

定出D′

点

以DD′为直径作应力圆A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa

该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa

根据上述主应力，作出三个应力圆一、各向同性材料的广义胡克定律

（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定

（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负

（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.x

x

§7-4

应力与应变间的关系yz

y

xy

yx

z

y

yx方向的线应变

用叠加原理,分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变

x,

y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyz

z

z

x

x

在

x

,

y

,

z同时存在时,x

方向的线应变

x为

同理,在

x,

y

,

z同时存在时,y,z

方向的线应变为

在xy,yz,zx

三个面内的切应变为上式称为广义胡克定律——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的切应变

对于平面应力状态（假设

z

=0,

xz=0,

yz=0）xyz

xy

x

y

yx

x

y

xy

yx3.主应力-主应变的关系

已知

1,

2,

3;

1,

2,

3为主应变例题

简支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN,已知E=200GPa,v=0.3.0.50.50.25FA0°45°90°求：A

点沿0°

,45°,90°方向的线应变h/4

解:

yA

,Iz

,d查表得出为图示面积对中性轴z的静矩zAh/4A

A

=50.8

A

=68.80.5F13500.50.25A0°45°90°h/4A

A

=50.8

A

=68.8三、各向同性材料的体积应变

1

2

3a1a2a3

构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.

各向同性材料在三向应力状态下的体应变

如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz

变形后的边长分别为

变形后单元体的体积为dx(1+

,dy(1+

2,dz(1+

3

V1=dx(1+

·

dy(1+

2

·

dz(1+

3

体积应变为纯剪切应力状态下的体积应变

即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变

x

,

y,

z

有关,仿照上述推导有

在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.

§7-5

空间应力状态的应变能密度一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式

1.单轴应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为

物体在单位体积内所积蓄的应变能.

将广义胡克定律代入上式,经整理得

用vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度用vV

表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为可以证明：

1

2

3应变能密度vε由体积改变部分和形状改变部分构成。(a)

1

2

3(b)

m

m

m=(

1+

2+

3)/3

图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.

图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.图b所示单元体的体积改变能密度a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变能密度空间应力状态下单元体的形状改变能密度(a)

1

2

3一、强度理论的概念1.引言§7-6

强度理论及其相当应力轴向拉压弯曲扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.

上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态;2.强度理论的概念

是关于“构件发生强度失效起因”的假说.

基本观点

构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单轴应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）塑性屈服失效材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.脆性断裂失效

（1）第一类强度理论—以脆性断裂作为破坏的标志

包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论

（2）第二类强度理论—以出现塑性屈服现象作为破坏的标志

包括:最大切应力理论和形状改变能密度理论引起破坏的某一共同因素形状改变能密度最大切应力最大伸长线应变最大正应力

根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

1.最大拉应力理论（第一强度理论）

基本假说:最大拉应力

1是引起材料脆断破坏的因素.

脆断破坏的条件:

1=

u四、第一类强度理论

强度条件:

1[

2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）

根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.

基本假说:最大伸长线应变

1是引起材料脆断破坏的因素.

脆断破坏的条件:

最大伸长线应变:

强度条件:1.最大切应力理论（第三强度理论）

基本假说:最大切应力

max是引起材料屈服的因素.

根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.

屈服条件五、第二类强度理论

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为

强度条件

单轴拉伸下,

1=

s,

2=

3=0,材料的极限值2.形状改变能密度理论（第四强度理论）

基本假说:形状改变能密度vd是引起材料屈服的因素.

单轴拉伸下,

1=

s,

2=

3=0,材料的极限值

强度条件:

屈服准则:六、相当应力

把各种强度理论的强度条件写成统一形式

r

称为复杂应力状态的相当应力.1.适用范围

（2）塑性材料选用第三或第四强度理论;

（3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;§7-8

各种强度理论的应用

（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;

（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.2.强度计算的步骤

（1）外力分析:确定所需的外力值;

（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面;

（3）应力分析:画危险面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;

（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.3.应用举例F解:危险点A的应力状态如图例题

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,Me=7kN·m,F=50kN,材料为铸铁,[

]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度.故安全.FMeMeAA

例题

一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为d,且

d

远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[

]=160MPa.p（a）Dyzd（b）

内壁的强度校核

所以圆筒内壁的强度合适.

用第四强度理论校核圆筒内壁的强度

′

"

′

"

例题

对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力.

（b）

140MPa

110MPa（c）70MPa140MPa80MPa（d）50MPa70MPa30MPa40MPa120MPa（a）120MPa解：（1）单元体（a）

（2）单元体（b）120M