2026年数学必修三的测试题及答案

2026年数学必修三的测试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.下列哪个是离散型随机变量？（）A.某机场候机室中一天的旅客数量B.某水文站观察到一天中长江的水位C.某超市一天中的顾客量D.某地区一年内的降雨量2.已知数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别为（）A.2x，2s2B.2x+3，4s2C.2x+3，2s2D.2x，4s23.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球4.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.75.已知回归直线方程为\(\hat{y}=2x+1\)，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.046.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定7.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P(X>4)=（）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15858.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A.100B.150C.200D.2509.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率为（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{12}\)D.\(\frac{1}{9}\)10.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544）A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.3174二、填空题(总共10题，每题2分)1.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n=______。2.一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在区间(10，5(0]上的频率是______。3.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______。4.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是______。5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=\(\frac{1}{2^k}\)，k=1，2，…，则P(2<X≤4)=______。6.某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是______。7.若随机变量X~B(n，0.6)，且E(X)=3，则P(X=1)=______。8.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会，抽取两名同学，则甲被抽到的概率为______。9.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，则事件“x+y≤\(\frac{2}{3}\)”发生的概率为______。10.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，所以概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件一定是不可能事件。（）2.分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关。（）3.若一组数据的方差为0，则这组数据都相等。（）4.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件。（）5.频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数。（）6.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8，则P(X=1)=0.2。（）7.系统抽样中，若总体个数不能被样本容量整除时，要先剔除几个个体。（）8.回归直线\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)至少经过样本点数据中的一个点。（）9.若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则其正态曲线关于直线x=μ对称。（）10.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则A，B，C两两互斥。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述系统抽样的步骤。2.什么是离散型随机变量？请举例说明。3.已知一组数据为10，12，10，15，13，12，10，11，求这组数据的平均数、中位数、众数和方差。4.设随机变量X的分布列为P(X=k)=\(\frac{k}{15}\)，k=1，2，3，4，5，求：(1)P(X=1或X=2)；(2)P(\(\frac{1}{2}\)<X<\(\frac{5}{(2}\))。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.如何理解正态分布在实际生活中的应用？结合具体例子讨论。2.对于分层抽样，怎样确定各层的抽样比例？请举例说明并讨论其合理性。3.请讨论回归分析在预测中的作用，并举例说明如何利用回归方程进行预测。4.结合实际情况，谈谈概率在决策中的应用，比如在投资决策、风险评估等方面。答案1.单项选择题-1.A-2.B-3.C-4.C-5.C-6.C-7.B-8.A-9.A-10.B2.填空题-1.80-2.0.7-3.0.1-4.③-5.\(\frac{3}{16}\)-6.18-7.0.064-8.\(\frac{1}{2}\)-9.\(\frac{4}{9}\)-10.0.33.判断题-1.×-2.×-3.√-4.×-5.×-6.√-7.√-8.×-9.√-10.×4.简答题-1.系统抽样的步骤：-先将总体的N个个体编号。-确定分段间隔k，对编号进行分段，当\(\frac{N}{n}\)（n是样本容量）是整数时，取k=\(\frac{N}{n}\)；当\(\frac{N}{n}\)不是整数时，先从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k=\(\frac{N′}{n}\)。-在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）。-按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再加k得到第3个个体编号(l+2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。-2.离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列出的随机变量。例如，某射击运动员射击一次命中的环数X，X可能取值为0，1，2，…，10，它是离散型随机变量；再比如，某超市一天中卖出的商品数量Y，Y的取值可以是0，1，2，…等整数，也是离散型随机变量。-3.平均数：\(\overline{x}=\frac{10+12+10+15+\cdots+11}{8}=12\)。中位数：将数据从小到大排列为10，10，10，11，12，12，13，15，中间两个数是11和12，中位数为\(\frac{11+12}{2}=11.5\)。众数：10出现的次数最多，众数是10。方差：\(s^{2}=\frac{1}{8}[(10-12)^{²}+(12-12)^{²}+(10-12)^{²}+(15-12)^{²}+(13-12)^{²}+(12-12)^{²}+(10-12)^{²}+(11-12)^{²}]=2.75\)。-4.(1)\(P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)。(2)\(P(\frac{1}{2}\ltX\lt\frac{5}{2})=P(X=1)+P(X=2)=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}=\frac{1}{5}\)。5.讨论题-1.正态分布在实际生活中有广泛应用。比如在测量误差方面，多次测量同一物体的长度，测量结果往往会服从正态分布。以学生测量某一固定长度的物体为例，由于测量工具的精度、测量者的操作等因素，测量值会在真实值附近波动，且大部分测量值会集中在真实值附近，偏离真实值过大或过小的概率较小，符合正态分布的特点。通过正态分布可以评估测量结果的可靠性等。-2.确定分层抽样各层抽样比例时，通常是按照各层个体数占总体个体数的比例来确定。例如，某学校有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，要抽取一个容量为100的样本。则高一学生的抽样比例为\(\frac{400}{400+300+300}\times100=40\)人，抽样比例为\(\frac{40}{400}=\frac{1}{10}\)；高二学生抽样比例为\(\frac{300}{400+300+300}\times100=30\)人，抽样比例为\(\frac{30}{300}=\frac{1}{10}\)；高三学生抽样比例为\(\frac{300}{400+300+300}\times100=30\)人，抽样比例为\(\frac{30}{300}=\frac{1}{10}\)。这样能保证各层在样本中的代表性，使得样本更能反映总体的特征，具有合理性。-3.回归分析在预测中起着重要作用。通过对两个相关变量的大量数据进行分析，建立回归方程，可以根据一个变量的值预测另一个变量的值。比如，研究某商品的广告投入与销售额之间的关系，收集多组广告投入和销售额的数据，建立回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)。当已知新的广告投入值x时，就可以利用回归方程预测销售额\(\hat{y}\)。例如，当广告投入为一定值时，代入回归方程计算出预测的销售额，帮助企业提