勾股定理及其应用（第1课时）课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第1课时）数学人教版八年级下册同学们，我们已经学习了一些三角形的相关知识，了解到直角三角形作为一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值．直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间是否也存在某种特殊关系呢？问题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”．意思是说：分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．

商高的说法是否正确呢？问题如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别是多少？它们之间有什么关系？三个正方形面积的关系是：9＋16＝25．你能从边的角度出发，总结出这个特殊直角三角形的三边关系吗?三个正方形的面积分别是9，16，25．└问题如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别是多少？它们之间有什么关系？三个正方形面积的关系是：9＋16＝25．3²5²4²两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．其他直角三角形的三边是否也满足这样的数量关系？└问题1如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？先研究正方形A1，B1，C1．A1问题1数方格可知：正方形A1的面积为1，正方形B1的面积为4，怎么求正方形C1的面积呢？如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？B1C1问题1求正方形C1的面积：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？方法1（补形法）1个大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积．SC1＝32－4××2×1＝5．C1问题1求正方形C1的面积：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？方法2（割补法）四个直角三角形的面积加上中间一个小正方形的面积．SC1＝1×2×

×4＋1×1＝5．C1问题1如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？请你用类似的方法，继续研究其余两组正方形．第一组正方形

A1的面积正方形

B1的面积正方形

C1的面积第二组正方形

A2的面积正方形

B2的面积正方形

C2的面积第三组正方形

A3的面积正方形

B3的面积正方形

C3的面积问题1SA1＋SB1＝SC1SA2＋SB2＝SC2SA3＋SB3＝SC3如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？145491392534问题2以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？S1＋S3

＝

S2．猜想：以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．猜想如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

．如何证明？问题3证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

．

在众多精妙的证明方法中，我国古代数学家赵爽借助一幅“弦图”，以简洁优美的几何构造，完美证明了这一猜想．问题3证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

．把边长分别为

a，b的两个正方形连在一起，它的面积是

a2＋b2．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色部分，直角边长分别为

a，b）和一个小正方形（黄色部分，边长为

b－a）．第一步：拆分图形a问题3证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

．把左、右两个三角形移到箭头所示的位置，就会形成一个以

c为边长的正方形，它的面积是

c2．第二步：拼接转化问题3证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

．第三步：计算推导

第一个图和第三个图都由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等，即

a2＋b2＝c2．新知直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2．我国把它称为勾股定理．在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的．问题4根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？化简可得

a2＋b2＝c2．S大正方形＝c2，S小正方形＝(b－a)2，S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，即

，你还能想到其他证明方法吗？加菲尔德的梯形面积法Rt△ABC≌Rt△CDE．易证△CAE为直角三角形，四边形

ABDE为梯形．由图可知：S梯形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE，化简可得：a2＋b2＝c2

．即

，拓展例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．解：（1）在

Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以

AB＝10．（1）（2）例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．解：（2）在

Rt△DEF

中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，（1）（2）

所以

DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64，

所以

DE＝8．归纳运用勾股定理求直角三角形边长的关键（1）先确定直角边和斜边，明确已知边和未知边；（2）根据勾股定理列出关系式，注意边长的计算结果是正数．例2如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形

A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形

E的面积．分析：①的面积＝A的面积＋B的面积解：根据图形，最大正方形E

的面积为

122＋162＋92＋122＝625.①②②的面积＝C的面积＋D的面积E的面积＝①的面积＋②的面积

1．设直角三角形的两条直角边长分别为

a和

b，斜边长为

c．（1）已知

a＝6，c＝10，求

b；（2）已知

a＝5，b＝12，求

c；（3）已知

b＝15，c＝25，求

a．

解：（1）根据勾股定理，得

62＋b2＝102，所以

b2＝64，b＝8；

（2）根据勾股定理

，得

52＋122＝c2，所以

c2＝169，

c＝13；

（3）根据勾股定理

，得

a2＋152＝252，所以

a2＝400，a＝20．

2．如图，在平面直角坐标系中有两点

A（5，0）和

B（0，4）．求这两点间的距