专题强化练1 空间向量及其运算

专题强化练1空间向量及其运算1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A.322.(多选)(2022广东珠海二中期中)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则AB·APA.0B.1C.2D.33.(2021安徽安庆一中期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(球面上任意2个点之间的线段),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,PM·PN的最大值为()A.1B.2C.3D.44.(2022北京四中月考)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则AB·AE=.

5.(2022山东济宁邹城二中月考)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC1的取值范围是6.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=237.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.

答案全解全析1.A∵a⊥b,∴a·b=0.∵(3a+2b)⊥(λa-b),∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,∴2λ-3=0,解得λ=322.AB由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,…,8),则AB·APi=|AB|·|APi|·cos∠BAP·|AB|=1;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以AB·APi=0.故AB·3.B设球心为O.当弦MN最长时,MN为球的直径.连接PO,如图所示.PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=PO2+PO·ON+OM·PO+OM·ON=PO2+PO·(ON+OM)+OM·因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以球的半径为1,所以OM·ON=-1,又ON+OM=0,所以PM·PN=PO2易知|PO|∈[1,3],所以PO2-1∈[0,2],即PM·PN∈[0,2],故PM·PN4.答案14解析AB·AE=AB·AA1+AD+12AB=AB=4×3×cos60°+0+12×425.答案-解析连接D1P,D1A.设D1P=xD1则PA=D1A-D1P=D1D+D1A1-xDPC1=D1C1-D1P=D1C∴PA·PC1=[D1D+(1-x)D1A1-yD1C1]·[(1-y)·易知当x=y=12时,PA·PC1取得最小值,为-12;当x=0或1,且y=0或1时,PA·PC1取得最大值,为0.∴6.证明∵E,H分别是AB,AD的中点,∴AE=12AB,AH=∴EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD=12(CD-CB)=123∴EH∥FG且|EH|=34|FG又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.7.解析(1)证明:设CA=a,CB=b,CC'根据题意知,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0.∵向量a,b,c不共面,∴{a,b,c}可构成空间的一个基底.∴CE=b+12c,A'D=-c+1∴CE·A'D=-12c2+1∴CE⊥A'(2)易知AC'=-a+c,CE=