6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知，，且，则向量与夹角的大小为()A． B． C． D．【答案】C【解析】可知，，，所以夹角为，故选:C.2．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则【答案】B【解析】对于选项，若，则或或，故错误；对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.3．已知向量，，若，且，则实数（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为向量，，则，又，所以，解得.故选：D．4．若向量，满足，，，则（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：，即，将，代入可得：，所以，故选：B5.在平面直角坐标系中，已知三点为坐标原点.若向量，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，∵向量，∴，∴，∴，所以当时，取得的最小值，且最小值为．故选：B．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在直角坐标系xOy中，i, j分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，AB=2i+j，AC=3iA.-6 B.1 C.6 D.-1【答案】AD【解析】解：∵AB=2i+j，AC=3i+kj，∴BC=AC−AB=i+(k−1)j，

∵△ABC为直角三角形，

(1)当∠A=90°时，AB⋅AC=6+k=0，解得k=−6；

(2)当7.已知向量a⋅b=b⋅c=a⋅cA.(a⋅b)·c=b⋅c【答案】BCD【解析】对于选项A,由题得：b·c=−3+3=0(a⋅b)·c对于选项B,(a+b)·c对于选项C,(a+b对于选项D,(a即(a+b+c)28．已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为【答案】BC【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，∴，∴，故B正确；对于选项C：若，则，则，故C正确：若，对于选项D：：设与的夹角为，则，故D错误．故选:BC．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则的值为__________;=____________【答案】32【解析】由，，得，则，．故答案为:3210．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是__________【答案】【解析】，，设的夹角为，.故答案为:11．已知，则等于______.【答案】【解析】由，，得.由⊥，得，即，解得.故答案为:.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知．（1）求的坐标和模；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）∵．∴，．（2），∴与的夹角的余弦值为．13．(1)已知|a|=4，|b|=3，(2a−3b(2)设OA=2,5，OB=3,1，OC=6,3，是否存在点M，使O，M，【答案】(1);(2)M(2,1)或M(22【解析】(1)∵(2a−3b)⋅(2a+b)=61，

∴4a2−4a⋅b−3b2=61．

又|a|=4，|b|=3，

∴a⋅b=−6．

∴cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=−12，

∴θ=120∘．

(2)设存在点M，且OM→=λOC→=(6λ,3λ)(0<λ⩽1)，

∴MA→=(2−6λ,5−3λ)，MB→=(3−6λ,1−3λ)14．已知向量a=cos3x2,sin3x2(1)求a·b及|a+b|;(2)求函数f(x)=a·b+|a+b|的最小值,并求使函数f(x)取得最小值时x的值.【答案】(1)-cos2x-2sinx.(2)1π【解析】(1)由题意得,a·b=-cos3x2·cosx2+sin3x2sinx cos=2−2=2−2cos2x∵x∈π,3π∴|a+b|=-2sinx.(2)由(1)得,f(x)=a·b+|a+b|=-cos2x-2sinx=2sin2x-2sinx-1=2sinx-122∴当sinx=0,即x=π时,f(x)min=-1.A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于(A.4 B.-4 C.2 D.-22.[探究点一(角度1)·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=()A.-5 B.-3 C.3 D.53.[探究点一(角度2)]在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(A.[2,14] B.[0,12]C.[0,6] D.[2,8]4.[探究点三]设向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3).若b⊥c,则a-b与c的夹角为()A.0° B.30° C.60° D.90°5.[探究点二]设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.

6.[探究点二]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

7.[探究点二、三]设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=,cosθ=.

8.[探究点二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.9.[探究点三]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为()A.-23 B.C.3±132 11.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是()A.若a∥b,则t的值为-1B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2C.|a+b|的最小值为1D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2)12.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2,∠BAD=60°,则AB·DE=(A.-2 B.-12 C.-72 13.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.814.(多选题)如图,4×6的方格纸中有一个向量OA(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有()A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有11个B.满足|OA−OB|=10的格点C.满足OA·OB=1的格点D.存在格点B,C,使得OA15.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=.

16.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为.

17.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c与a方向相反,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ18.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由C级学科素养创新练19.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.20.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sinx,cosx),x∈0,(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值参考答案1.A如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC−AB=(1,2),BD故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=2.B∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.3.A如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是4.D根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-3),b⊥c,则b·c=x+33=0,解得x=-33,则b=(-33,-3),a-b=(43,4),则(a-b)·c=(43,4)·(1,-3)=43-43=0,所以(a-b)⊥c.因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D.5.5因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=226.-2(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.7.21设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴2x-3=-1,2y-3=-1,解得x8.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.综上,|a-b|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).9.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴AB=(1,1),AD=(-3,3).又AB·AD=1×(-3)+1×3∴AB⊥AD,∴AB(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).又AB=(1,1),∴x+1=1,∴点C的坐标为(0,5).∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.设AC与BD的夹角为θ,则cosθ=AC10.ABC∵AB=(2,3),AC=(1,k),∴BC=AC−AB=(-若A=90°,则AB·AC=2×1+3×k=0,∴k=-若B=90°,则AB·BC=2×(-1)+3(k-3)=0,∴k=若C=90°,则AC·BC=1×(-1)+k(k-3)∴k=3±13故所求k的值为-2311.D选项A中,若a∥b,则-2×t=1×1,即t=-12,选项A正确选项B中,若|a+b|=|a-b|,两边平方并化简,得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,选项B正确.选项C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=(t+1)2+1,当t=-1时,有最小值选项D中,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0,-2×t12.B如图,以点O为坐标原点,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,3),B(-1,0),D(1,0),E0,32,所以AB=(-1,-3),DE=-1,32,所以AB·DE=1-32=-12.故选13.B如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,故|PA+3PB|的最小值为5.14.BCD对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有18个,故A错误;以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).对于B,若|OA−OB|=10,则(1-m)2+(2-n)2=10(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,-1),(2,-1),(-2,1),共三个,故B对于C,若OA·OB=1,则m+2n=1(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2),共4个,故C对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,OA=OB+OC成立,故D正确15.12,32设b=(x∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=3∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,舍去,∴b=1216.(-2,1)设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴x-2y=-4,17.解(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=25,可得1·y因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以