湖北鄂东南联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北鄂东南联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．若曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C． D．2．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．3．已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．4．设为坐标原点，，是（）的左､右焦点，若在双曲线上存在点，满足的面积为，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（

）种A． B． C． D．6．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数，是的导函数，若对任意，恒成立，且存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．若，则B．设函数，则的最大值为C．已知函数，则的最小值为D．设函数的导函数为，且，则10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（

）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值11．双曲线（），是坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线在第一象限内的一点，分别是的内心､重心，则下列说法正确的是（

）A．的横坐标为B．作于，则在圆上运动C．的最大值为D．若轴，且，则三、填空题12．若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________.13．已知数列满足，，则__________.14．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________.四、解答题15．已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.17．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)是否存在正实数，使得有且仅有一个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．已知：，抛物线：的准线与交于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知圆心在轴上，半径为（）的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点.（i）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（ii）过作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值.19．设函数，，，，.(1)当时，讨论函数的单调区间；(2)若存在两个极值点，，且，与有3个不同交点.求的取值范围（用，表示）；(3)若，，有三个不等实数，，，且，求实数的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北鄂东南联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案BBCACBDCABDABD题号11答案ABD1．B【详解】直线可化为，斜率为，对求导，，曲线在点处的切线斜率为：，因为切线与直线平行，所以它们的斜率相等：，解得：．2．B【分析】先将递推式子进行变形，得到数列是首项为，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出结果即可.【详解】因为，所以，即，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列.所以，所以.所以.3．C【详解】根据等比数列的性质知，，成等比数列，所以该新数列的公比为，所以，则．4．A【分析】首先设点，再利用坐标表示条件中的几何量，即可求解.【详解】设，则，且，得，所以，代入双曲线方程得，整理为，即，得，即，则双曲线的离心率.5．C【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果.【详解】5名学生分成3组，每组至少1人，有和两种情况.①分组共有种分法；再分配到3个社区：种；②分组共有种分法；再分配到3个社区：种；综上所述：共有种安排方式.6．B【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解.【详解】，因为，则，，，，所以，即的值为.7．D【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解.【详解】由离心率，故，得，椭圆方程可写为：，将点代入得，解得，，因此椭圆方程为，则，，，由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，设直线的方程为，设，由题意，因,由可得​，即，由，消去并化简得，则①，②，又③，由①②③可得，则,解得，则，所以，所以.8．C【详解】当恒成立，即恒成立，化简可得设函数，求导可得，当时，，单调递减，所以，因此，即，对函数求导可得，令，求导可得，令，求导可得，因为，，所以，单调递减，因此，所以，单调递减，，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是.9．ABD【分析】通过求导判断函数的单调区间；注意最值问题必须结合整个定义域分析，不能只看某一部分区间；对含有常数的函数关系式，可先求导再代入对应点求值.【详解】对于A，若则故A正确.对于B，函数求导得，令则即当时，，单调递增；当时，，单调递减；则先增后减，最大值在处取得，且的最大值为故B正确.对于C，函数求导得因为所以的符号由决定，当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此函数在上先减后增，并且但要注意，函数的定义域是当时，从而所以函数在整个定义域内没有最小值，故C错误.对于D，由，得令则整理得则故D正确.10．ABD【分析】先由不等式符号判定项与1的大小关系，再结合推出公比范围、数列增减，进而分析和与积的变化.【详解】已知，即，因此和异号，即中必有一项大于1，一项小于1.因为，所以同号.又因为为等比数列且，所以均为正.结合可知数列为递增数列，公比，所以.选项A：因为，而，所以，A正确；选项B：由等比数列性质：，而，所以，因此，B正确；选项C：当时，(变小)；当时，(变大).而，说明是是最后一次乘以小于1的项，之后乘以大于1的项会变大，即是从递减到递增的转折点，故是最小值，C错误.选项D：因为为递增数列且，所以数列递增，无最大值，D正确.11．ABD【详解】对于A，如图所示，由于是的内心，所以，解得，故A正确；对于B，如图所示，延长交于，则，所以，且为中点，又是中点，所以.所以在以为圆心，以为半径的圆上运动，故B正确；对于C，设，则有，设内切圆半径为，则所以，则，即，故C错误；对于D，，则同理，则，故D正确.12．4【分析】根据题意及椭圆定义得，分情况讨论焦点位置，列方程求解.【详解】椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，所以，，若焦点在轴上，，所以，解得或（舍去），不满足，不符；若焦点在轴上，，所以，解得或（舍去），，所以符合.13．【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到【详解】令则由两边取以为底的对数，得所以数列满足令则且因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以于是从而即14．【分析】分别求两曲线的切线方程，根据公切线条件列方程组，消元后得到关于的表达式，构造函数求最值，进而确定的取值范围.【详解】设切点分别为，，即，，即，，则，设，在单调递减，在单调递增，，又为正实数，.15．(1)(2)【分析】（1）由题设条件变形可得，进而可得是等差数列，运算得解；（2）由（1）求得，利用裂项相消法求和.【详解】（1），，是以1为首项，1为公差的等差数列.，.（2），.16．(1)(2)1【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示出，，进而得到，再利用表示出的面积，最后结合换元法和不等式思想求其最大值.【详解】（1）由题意，.所以椭圆的标准方程为：.（2）如图：因为直线的斜率不为0，故可设.将直线方程代入椭圆方程，可得，整理得：.由韦达定理得，.令.当，即时取等号.17．(1)当时，单调增区间为，无单调递减区间；当时，单调递减区间为，单调递增区间为.(2)存在，【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，确定函数的单调区间.（2）当时，根据函数的单调性，由函数的极小值为0求的值.【详解】（1），令，当时，，故，即，则在单调递增；当时，令，则（负根舍去），当时，，则，即在上单调递减；当时，，则，即在上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在递减，递增，最小值为，依题意，有即，也即，可得，令，则在上单调递增，又因，，故.验证：当时，代入可得，此时在上单调递减，在上单调递增，最小值为，故有且仅有一个零点.综上，存在正实数，使得仅有一个零点.18．(1)(2)（i）证明见解析，；（ii）【分析】（1）先根据抛物线准线方程代入圆方程求出弦长表达式，再结合已知弦长建立方程求解，最后得出抛物线方程.（2）（i）联立圆与抛物线方程，通过判别式为0得到与的关系式，由的关系推出的递推关系，结合首项求出通项.（ii）由（i）得到表达式，联立直线与抛物线方程，根据相关条件求出的值，再代入关于的表达式求出.【详解】（1）由题意可知抛物线的准线方程为，将代入圆可得：，因此，两边平方整理得，又因为，所以，故抛物线的方程为：.（2）（i）设，则，，整理可得：，其中，化简得.所以，即，又，求解可得，所以是以为首项，1为公差的等差数列，，（ii）由（i）可知，，，故l：与联立得：，即，，所以又，解得.19．(1)答案见解析(2)(3)【分析】（1）先对函数求导，再根据导数与的大小关系，分、、三种情况讨论函数的单调性.（2）由可知，，是方程的根，利用根与系数关系，通过设、，根据等式两边系数相等求、，最后根据与有3个交点确定范围.（3）先利用韦达定理化简所求式子并求解不等式得到的范围，再根据函数有三个不等实根，结合导数确定函数单调性，通过极值点函数值的正负进一步确定的范围，最后取交集得到最终的取值范围.【详解】（1）当时，在单调递增，单调递减，单调递增，当时，在上单调递增，当时，在单调递增，单调递减，单调递增.（2），则为方程的两实根，且设，，所以是方程的根，