2025-2026学年广州培英中学九年级下学期第五次质检数学试题含答案

2025-2026学年广州培英中学九年级下学期第五次质检数学试题含答案2025-2026学年广州培英中学九年级下学期第五次质检数学试题考生须知本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，满分120分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置，不得在试卷上涂改。所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效；选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列实数中，无理数是（）

A.3.14B.√4C.πD.2/3

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形

已知一组数据：2，3，4，5，5，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.5，4B.5，5C.4，5D.4，4

如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）

（注：图形为常见平行线截线模型，∠1与∠2为同旁内角）

A.50°B.130°C.140°D.150°

有15人参加学校举办的数学竞赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

如果一个多边形的内角和是720°，则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k＜1B.k≤1C.k＞1D.k≥1

如图，⊙O的直径AB=4，弦CD⊥AB于点E，若CE=√3，则∠BCD的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，2），且y随x的增大而增大，则该函数图象可能是（）

A.经过第一、二、三象限B.经过第一、二、四象限

C.经过第一、三、四象限D.经过第二、三、四象限

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△A'B'C'，则线段AC扫过的面积是（）

A.4πB.5πC.6πD.7π

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）因式分解：x³-4x=____________．若点A（-2，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）都在反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象上，且y₁＜y₂＜y₃，则k的取值范围是___________．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则DE/BC=____________．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为___________cm²（结果保留π）．不等式组{2x-1≤3，x+2＞0}的解集是___________．如图，AB∥CD，直线l平分∠AOC，∠1=70°，则∠2=___________度．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23.（本小题满分6分）计算：√12+|√3-2|-（π-3.14）⁰+（1/2）⁻¹．24.（本小题满分6分）解方程组：{x+2y=5，3x-2y=7}．25.（本小题满分8分）先化简，再求值：（1-1/(x+1)）÷x/(x²-1)，其中x=√2-1．26.（本小题满分8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF．求证：DE=BF．27.（本小题满分8分）为了解广州培英中学九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了部分学生，对他们每周体育锻炼时间进行统计，绘制了如下频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，根据统计图解答下列问题：（1）本次随机抽取的学生人数是多少？（2）补全频数分布直方图；（3）若该校九年级共有800名学生，估计每周体育锻炼时间在6~8小时的学生人数．（注：频数分布直方图分组为：2~4小时、4~6小时、6~8小时、8~10小时，扇形统计图中4~6小时对应扇形圆心角为144°）28.（本小题满分10分）某商店购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品共需160元，购进2件A商品和3件B商品共需140元．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店计划购进A、B两种商品共100件，且总进价不超过3200元，求最多能购进A商品多少件？29.（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC、BC．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AB=10，CD=6，求BD的长．30.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接PA、PB，若△PAB的面积为8，求点P的坐标；（3）点M是抛物线对称轴上一点，连接AM、CM，求AM+CM的最小值．31.（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．（1）求证：AE=CF；（2）求四边形CEDF的面积；（3）当AE=1时，求EF的长．2025-2026学年广州培英中学九年级下学期第五次质检数学试题答案一、选择题（每小题3分，共30分）C2.C3.A4.B5.B6.C7.A8.A9.A10.B二、填空题（每小题3分，共18分）x(x+2)(x-2)12.k＜013.2/514.10π15.-2＜x≤216.70三、解答题（共72分）23.（6分）解：原式=2√3+(2-√3)-1+2

=2√3+2-√3-1+2

=√3+3

（每一步化简正确得1分，最终结果正确得2分）24.（6分）解：{x+2y=5①，3x-2y=7②}

①+②得：4x=12，解得x=3

将x=3代入①得：3+2y=5，解得y=1

∴方程组的解为{x=3，y=1}

（两式相加正确得2分，求解x正确得1分，代入求y正确得2分，写出最终解得1分）25.（8分）解：原式=[(x+1)-1]/(x+1)÷x/[(x+1)(x-1)]

=x/(x+1)×(x+1)(x-1)/x

=x-1

当x=√2-1时，原式=(√2-1)-1=√2-2

（化简过程每步2分，约分正确得2分，代入求值正确得2分）26.（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AB=CD

∵E、F分别是AB、CD的中点

∴AE=EB=1/2AB，CF=FD=1/2CD

∴EB=CF，且EB∥CF

∴四边形DEBF是平行四边形

∴DE=BF

（每一步推理正确得1~2分，逻辑连贯即可）27.（8分）解：（1）∵4~6小时对应扇形圆心角为144°，占比为144°/360°=2/5

由直方图可知4~6小时频数为20，∴总人数=20÷(2/5)=50（人）

（2）补全直方图：2~4小时频数=50-20-15-5=10（人），在直方图中对应高度为10（画图略）

（3）6~8小时频数为15，占比为15/50=3/10

估计全校800名学生中，锻炼时间6~8小时的人数=800×(3/10)=240（人）

（每问2~3分，计算正确、步骤完整即可）28.（10分）解：（1）设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元

由题意得：{3x+2y=160，2x+3y=140}

解得：{x=40，y=20}

答：A商品每件进价40元，B商品每件进价20元．

（2）设购进A商品m件，则购进B商品(100-m)件

由题意得：40m+20(100-m)≤3200

化简得：20m+2000≤3200，20m≤1200，m≤60

答：最多能购进A商品60件．

（第一问列方程正确得2分，求解正确得2分；第二问列不等式正确得2分，求解正确得2分，答句完整得2分）29.（10分）（1）证明：连接OC

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°

∴∠ACD+∠OCA=90°

∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，即∠B+∠OAC=90°

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC

∴∠ACD=∠B

（2）设BD=x，则OD=OB+BD=5+x

在Rt△OCD中，OC=5，CD=6，由勾股定理得：OC²+CD²=OD²

即5²+6²=(5+x)²，25+36=25+10x+x²

整理得：x²+10x-36=0，解得x₁=2，x₂=-12（舍去）

答：BD的长为2．

（第一问连接OC正确得1分，推理每步1分；第二问设未知数正确得1分，用勾股定理列方程正确得2分，求解正确得2分，舍去不合理解得1分）30.（10分）解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c

得：{a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=3}，解得{a=-1，b=2，c=3}

∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3

（2）设P（x，-x²+2x+3），∵A（-1，0）、B（3，0），∴AB=4

△PAB的面积=1/2×AB×|y_P|=1/2×4×(-x²+2x+3)=8

化简得：2(-x²+2x+3)=8，-x²+2x+3=4，x²-2x+1=0

解得x₁=x₂=1，此时y=-1+2+3=4，∴P（1，4）

（3）抛物线对称轴为x=-b/(2a)=1，点A关于对称轴的对称点为B（3，0）

∴AM+CM=BM+CM，当B、M、C三点共线时，AM+CM最小，最小值为BC的长

BC=√[(3-0)²+(0-3)²]=√18=3√2

答：AM+CM的最小值为3√2．

（每问3~4分，计算正确、步骤完整即可）31.（10分）（1）证明：连接CD

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB中点

∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠A=∠ACD=45°

∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°

∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中

{∠A=∠DCF，AD=CD，∠ADE=∠CDF}

∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF

（2）∵△AD