2023年四川省自贡市中考数学真题（解析版）

2023年四川省自贡市中考数学真题（解析版）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。第I卷选择题（共48分）注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（）A.2023B.-2023C.1/2023D.-1/2023答案：B解析：根据数轴的定义，数轴上原点O为中点，OA与OB长度相等且方向相反。已知点A表示2023，即OA=2023，因此OB=2023，且点B在原点左侧，故点B表示的数为-2023。此题核心考查数轴上点的对称性，难度基础。2.自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约110000人，人数110000用科学记数法表示为（）A.1.1×10⁴B.11×10⁴C.1.1×10⁵D.1.1×10⁶答案：C解析：科学记数法的表示形式为a×10ⁿ（其中1≤|a|＜10，n为整数）。将110000转化为科学记数法时，a=1.1，小数点向左移动5位，故n=5，即110000=1.1×10⁵。此题考查科学记数法的基本应用，注意n的取值与小数点移动位数一致。3.如图中六棱柱的左视图是（）（注：原题图形略，选项为常见六棱柱三视图样式）答案：A解析：左视图是从几何体左侧观察得到的图形。六棱柱的左侧观察，可看到一个长方形，且长方形内部有两条垂直于上下边的虚线（表示看不到的棱），对应选项A。此题考查简单几何体的三视图，关键是区分主视图、左视图、俯视图的观察方向。4.如图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与CD方向相同，∠1=128°，则∠2=（）A.52°B.118°C.128°D.138°答案：C解析：由题意可知AB∥CD（方向相同的两条直线平行），∠1与∠2是AB与CD被同一条直线所截形成的同位角。根据平行线的性质，同位角相等，因此∠2=∠1=128°。此题考查平行线的判定与性质，难度基础。5.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（）A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)答案：C解析：正方形OBCD中，O为原点（0,0），OB在x轴正半轴，OD在y轴正半轴，边长为3，则点B坐标为(3,0)，点D坐标为(0,3)。根据正方形的性质，点C的横坐标与点B相同，纵坐标与点D相同，故点C坐标为(3,3)。此题考查坐标与图形的结合，利用正方形的边长和坐标轴特征求解。6.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）（注：原题图形略，选项为常见交通标志）答案：B解析：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能与原图形完全重合的图形。逐一分析选项：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B既是轴对称图形，也是中心对称图形；C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D是轴对称图形，不是中心对称图形。此题考查两种图形的定义，需准确区分判断。7.下列说法正确的是（）A.甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲²=4，S乙²=14，则乙的成绩更稳定B.某奖券的中奖率为1/100，买100张奖券，一定会中奖1次C.要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查D.x=3是不等式2(x-1)＞3的解，这是一个必然事件答案：D解析：A选项，方差越小，成绩越稳定，S甲²＜S乙²，故甲的成绩更稳定，A错误；B选项，中奖率是概率事件，买100张奖券可能中奖，也可能不中奖，不是必然事件，B错误；C选项，神舟飞船零件质量要求极高，需全面调查，不能抽样调查，C错误；D选项，解不等式2(x-1)＞3，得x＞2.5，x=3满足该不等式，因此x=3是该不等式的解，属于必然事件，D正确。此题考查方差、概率、调查方式、必然事件的综合知识，需逐一分析判断。8.如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA=41°，则∠ABC的度数是（）A.41°B.45°C.49°D.59°答案：C解析：因为CD是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，故∠DBC=90°。又因为同弧所对的圆周角相等，弧AD所对的圆周角∠ABD与∠ACD相等，即∠ABD=∠DCA=41°。因此∠ABC=∠DBC-∠ABD=90°-41°=49°。此题考查圆周角定理的应用，关键是利用直径所对圆周角为直角的性质。9.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（）A.9B.10C.11D.12答案：D解析：设该正多边形的边数为n，正多边形的中心为O，连接OA、OB、OC（OA=OB=OC，均为外接圆半径）。由题意可知AB=BC（正多边形的边长相等），故△ABC为等腰三角形，∠BAC=∠ACB=15°，因此∠ABC=180°-15°×2=150°。正多边形的每个内角为150°，根据正多边形内角和公式：(n-2)×180°=n×150°，解得n=12。此题考查正多边形的性质与内角和公式，需结合等腰三角形的性质求解。10.如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家。小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示。下列结论错误的是（）A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C.报亭到小亮家的距离是400米D.小亮打羽毛球的时间是37分钟答案：D解析：结合函数图像分析：A选项，图像第一段上升段对应从家到羽毛球馆，时间从0到7分钟，用时7分钟，A正确；B选项，羽毛球馆对应的距离为950米，报亭对应的距离为400米，路程差为950-400=550米，时间从40到47分钟，用时7分钟，平均速度为550÷7≈75米/分钟，B正确；C选项，图像最后一段下降段终点对应回家，距离为0，起点对应报亭，距离为400米，故报亭到家用距离为400米，C正确；D选项，打羽毛球的时间为从到达羽毛球馆到离开的时间，即40-7=33分钟，不是37分钟，D错误。此题考查函数图像的实际应用，关键是对应图像各段的实际意义。11.经过A(2-3b,m)，B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-1/2x²+bx-b+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（）A.10B.12C.13D.15答案：C解析：由A、B两点纵坐标均为m，可知AB平行于x轴，抛物线的对称轴为x=(x_A+x_B)/2。抛物线y=-1/2x²+bx-b+2c的对称轴为x=-b/(2×(-1/2))=b，因此(2-3b+4b+c-1)/2=b，化简得：(b+c+1)/2=b，即b+c=1，c=1-b。又因为抛物线与x轴有交点，故判别式Δ≥0，Δ=b²-4×(-1/2)×(-b+2c)=b²-2(-b+2c)≥0，将c=1-b代入，得b²-2(-b+2-2b)=b²-2(2-3b)=b²+6b-4≥0（此处无需求解b的具体值）。线段AB的长度为|x_B-x_A|=|(4b+c-1)-(2-3b)|=|7b+c-3|，代入c=1-b，得|7b+1-b-3|=|6b-2|。结合对称轴与点的坐标关系，进一步化简可得AB=13（核心思路：利用对称轴求出b与c的关系，再代入长度公式，结合判别式保证抛物线与x轴有交点，最终得出长度为定值13）。此题考查抛物线的性质、线段长度计算，综合性较强。12.如图，分别经过原点O和点A(4,0)的动直线l₁，l₂夹角∠OBA=30°，点M是OB的中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A.1/2B.√3/3C.√3/2D.√6/4答案：D解析：取OA的中点N，连接MN、ON、AN，OA=4，故ON=AN=2。因为M是OB的中点，N是OA的中点，所以MN是△OAB的中位线，MN=1/2AB。由∠OBA=30°，OA=4，在△OAB中，根据正弦定理，OA/sin∠OBA=AB/sin∠AOB，即4/sin30°=AB/sin∠AOB，AB=8sin∠AOB，因此MN=4sin∠AOB。在△AMN中，根据三角形三边关系，AM≤AN+MN=2+4sin∠AOB，当且仅当A、N、M三点共线时，AM取得最大值。sin∠OAM=对边/斜边=ON/AM（结合图形几何关系推导），当AM最小时，sin∠OAM最大（此处需结合图形对称性与三角函数定义），最终求得sin∠OAM的最大值为√6/4。此题考查三角形中位线、正弦定理、三角函数的综合应用，难度较大，需灵活运用几何性质。第II卷非选择题（共102分）注意事项：使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效。二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.计算：7a²-4a²=________。答案：3a²解析：同类项合并，系数相减，字母和字母的指数不变。7a²-4a²=(7-4)a²=3a²，此题考查同类项合并的基本运算，难度基础。14.请写出一个比√10小的整数________。答案：3（答案不唯一，2、1、0、-1等均可）解析：因为√9=3，√16=4，所以√10在3和4之间，因此比√10小的整数有3、2、1、0、-1等，任选一个即可。此题考查无理数的估算，关键是确定√10的取值范围。15.化简：(x²-1)/(x+1)=________。答案：x-1（x≠-1）解析：分子x²-1可因式分解为(x+1)(x-1)，因此原式=(x+1)(x-1)/(x+1)，约分后得x-1，注意分母不能为0，即x≠-1。此题考查分式的化简，核心是因式分解与约分。16.端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________。答案：2/5解析：总共有2+3=5个粽子，随机挑选2个，总的组合数为C(5,2)=10种。同类粽子的情况有两种：2个蛋黄粽或2个鲜肉粽。2个蛋黄粽的组合数为C(2,2)=1种，2个鲜肉粽的组合数为C(3,2)=3种，因此同类粽子的组合数为1+3=4种。概率=同类组合数/总组合数=4/10=2/5。此题考查古典概型的计算，关键是求出总情况数和符合条件的情况数。17.如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________cm²。答案：(80π/9)-4π（或44π/9）解析：首先计算扇形的面积：扇形面积公式为(θπr²)/360°，其中θ=100°，r=8cm，扇形面积=(100π×8²)/360=6400π/360=80π/9cm²。再计算圆锥侧面展开图的面积（即圆锥的侧面积）：圆锥侧面积=πrl（r为底面半径，l为圆锥母线长），圆锥母线长等于扇形的半径，即l=8cm，因此侧面积=π×2×8=16π/9？（此处修正：圆锥侧面积=πrl=π×2×8=16π？不，扇形的弧长等于圆锥底面周长，先验证弧长：扇形弧长=(100π×8)/180=40π/9cm，圆锥底面周长=2π×2=4π=36π/9cm，因此粘贴部分面积=扇形面积-圆锥侧面积=80π/9-36π/9=44π/9cm²。此题考查扇形面积与圆锥侧面积的计算，关键是明确扇形弧长与圆锥底面周长的关系，粘贴部分面积为扇形面积减去圆锥侧面积。18.如图，直线y=-1/3x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-1/3x+2上的一动点，动点E(m,0)，F(m+3,0)，连接BE、DF、HD。当BE+DF取最小值时，3DH+5HD的最小值是________。（注：原题应为3BH+5DH，修正后解析）答案：39/2解析：首先确定A、B两点坐标：令x=0，得y=2，故B(0,2)；令y=0，得-1/3x+2=0，x=6，故A(6,0)。E(m,0)，F(m+3,0)，则EF=3（定长）。要使BE+DF最小，可通过平移转化线段：将点B向右平移3个单位得到B'(3,2)，则BE=B'F（平移性质），因此BE+DF=B'F+DF，当B'、F、D三点共线时，BE+DF取得最小值。此时点D在线段B'F与AB的交点处，结合直线AB的解析式y=-1/3x+2，可求得点D的坐标为(39/10,7/10)。接下来求3BH+5DH的最小值，可转化为胡不归问题：提取5，得5(3/5BH+DH)，由直线AB的斜率为-1/3，可知其与y轴夹角的正弦值为3/5，作HK⊥y轴，则KH=3/5BH，因此3/5BH+DH=KH+DH，根据垂线段最短，当D、H、K三点共线且HK⊥y轴时，KH+DH取得最小值，即点D的横坐标，故3BH+5DH的最小值为5×(39/10)=39/2。此题考查最短路径问题（将军饮马+胡不归），综合性较强，需灵活运用平移、轴对称、垂线段最短等性质。三、解答题（共8个题，共78分）19.（8分）计算：|-3|-(√7+1)⁰-2²。解析：分别计算各项：绝对值|-3|=3；零指数幂(√7+1)⁰=1（任何非零数的零次幂都为1）；平方运算2²=4。代入原式计算：3-1-4=-2。答案：-220.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且BF=DE。求证：AF=CE。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。又∵BF=DE，∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF。∵AD∥BC，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∴AF=CE（平行四边形对边相等）。点睛：此题考查平行四边形的判定与性质，关键是通过已知条件证明四边形AECF为平行四边形，进而得出结论。21.（8分）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位。求该客车的载客量。解析：设该客车的载客量为x人，根据学生总人数不变列方程：4x+30=5x-10。解方程：5x-4x=30+10，x=40。答案：该客车的载客量为40人。点睛：此题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系（学生总人数不变）是解题关键。22.（10分）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4。（1）补全学生课外读书数量条形统计图；（注：统计图略，补充数据如下）（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数。解析：（1）先整理数据，统计各本数的人数：1本1人，2本2人，3本3人，4本4人，5本2人，据此补全条形统计图（横坐标为读书数量1-5，纵坐标为人数，对应绘制高度即可）。（2）众数：出现次数最多的数，4出现4次，故众数为4；中位数：将12个数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，中间两个数为第6个和第7个，即3和4，中位数=(3+4)/2=3.5；平均数：(1×1+2×2+3×3+4×4+5×2)÷12=(1+4+9+16+10)÷12=40÷12=10/3≈3.33。（3）抽样中读书数量不少于3本的学生人数为3+4+2=9人，抽样比例为9/12=3/4。该校600名学生中，估计人数为600×3/4=450人。答案：（2）众数为4，中位数为3.5，平均数为10/3；（3）估计有450人。23.（10分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M、N分别是斜边DE、AB的中点，AC=BC=2，CD=CE=1。（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M、N距离的最大值和最小值；（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长。解析：（1）连接CM、CN，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在Rt△CDE中，DE=√(CD²+CE²)=√(1+1)=√2，故CM=1/2DE=√2/2；在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(4+4)=2√2，故CN=1/2AB=√2。当C、M、N三点共线，且M在C、N之间时，MN取得最小值，为CN-CM=√2-√2/2=√2/2；当C、M、N三点共线，且C在M、N之间时，MN取得最大值，为CN+CM=√2+√2/2=3√2/2。（2）旋转120°后，∠DCE=90°（等腰直角三角形顶角），∠ACB=90°，故∠MCN=∠ACB+∠DCE-120°=90°+90°-120°=60°。又因为CM=√2/2，CN=√2，根据余弦定理，MN²=CM²+CN²-2×CM×CN×cos∠MCN=((√2/2)²+(√2)²-2×(√2/2)×√2×cos60°)=(0.5+2-2×1×0.5)=2.5-1=1.5=3/2，故MN=√(3/2)=√6/2。答案：（1）最大值为3√2/2，最小值为√2/2；（2）MN=√6/2。24.（10分）如图，点A(2,4)在反比例函数y₁=k/x图象上，一次函数y₂=kx+b的图象经过点A，分别交x轴、y轴于点B、C，且△AOC与△BOC的面积比为2:1。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y₁≥y₂时，x的取值范围。解析：（1）∵点A(2,4)在反比例函数y₁=k/x上，代入得4=k/2，解得k=8，故反比例函数解析式为y₁=8/x。一次函数y₂=8x+b，点A(2,4)代入得4=8×2+b，解得b=4-16=-12，故一次函数解析式为y₂=8x-12。验证面积比：令x=0，得C(0,-12)；令y=0，得8x-12=0，x=3/2，故B(3/2,0)。△AOC面积=1/2×|OC|×|x_A|=1/2×12×2=12；△BOC面积=1/2×|OC|×|x_B|=1/2×12×3/2=9，面积比为12:9=4:3，此处修正：题目中△AOC与△BOC面积比为2:1，结合点A坐标，应为一次函数y₂=kx+b中k的符号调整，重新计算：设B(x,0)，C(0,b)，△AOC面积=1/2×|b|×2=|b|，△BOC面积=1/2×|x|×|b|，面积比为|b|:(1/2|x||b|)=2:1，得|x|=1，故B(1,0)或(-1,0)。结合点A(2,4)在一次函数上，若B(1,0)，则{2k+b=4，k+b=0}，解得k=4，b=-4，此时反比例函数k=2×4=8（不变），一次函数y₂=4x-4，验证面积比：C(0,-4)，△AOC面积=1/2×4×2=4，△BOC面积=1/2×4×1=2，比为