基于某分数阶傅里叶变换地chirp信号全参数估计及代码

摘要线性调频信号即LFM信号是一种在雷达，通信，声纳，地震探测等领域中有着重要作用的非平稳信号。因为LFM信号是一种非平稳信号，对它进行参数估计会比较复杂，现在的处理方法大多是使用时频面上的二维峰值搜索。分数阶傅里叶变换是时频变换中的一种，因为它在处理多分量LFM信号时不会产生交叉项，所以在LFM信号的参数估计中得到了广泛的应用。本文首先介绍了分数阶傅里叶变换的基本定义及性质，然后介绍了变换的离散算法中的采样型算法，即Ozaktas采样型算法和Pei采样型算法，并使用这两种算法在matlab上进行了LFM信号参数估计的仿真实验。在论文的安排上，首先介绍了题目的背景和所做的工作；然后，介绍了离散分数阶傅里叶变换的定义及计算过程，还有使用这些算法进行参数估计时的计算方法；之后，讲述了的仿真过程和结果；最后，对实验结果进行了分析和主观评估。关键词：分数阶傅里叶变换；线性调频信号；参数估计；离散算法AbstractTheLFMsignalisakindofnon-stationarysignal,whichplaysanimportantroleinthefieldofradar,communication,sonar,seismicdetectionetc.BecauseofLFMsignalisanonstationarysignal,sotheparameterestimationforitismorecomplex.nowmostofthemethodto

estimationit

parameter,istwo-dimensionalpeaksearchon

ime-frequencyplane.FractionalFouriertransformisonekindoffrequencyconversion,becausewhenit'sprocessingthemulti-componentLFMsignalitwillnotgetcrossterms.soit

hasbeenwidelyused

intheparameterestimationofLFMsignal.ThisarticlefirstintroducestthenintroducesthediscretefractionalFouriertransformalgorithmtypeofsamplingalgorithm,andusethesetwokindsofalgorithmdoparameterestimationofLFMsignalsimulationexperiment

onmatlab.Onthearrangementofthethesis,theauthorfirstlyintroducesthebackgroundofthetopicandtheauthorshavedone;Then,thispaperintroducesthedefinitionofdiscretefractionalFouriertransformandthecalculationprocess,andusingthesealgorithmsforparameterestimationmethod;After,tellsthewayoftheprocessandresultsoftheauthor;Finally,theexperimentalresultsareanalyzedandsubjectiveevaluation.Keywords:FRFT；LFMsignal；parameterestimation；dispersecalculate目录 1 11.2研究的现状 2第2章离散分数阶傅里叶变换 72.1分数阶傅里叶变换 72.1.1分数阶傅里叶变换的定义 72.1.2分数阶傅里叶变换的性质 92.2离散分数阶傅里叶变换 112.2.1离散分数阶傅里叶变换简介 112.2.2Ozaktas采样型算法 122.2.3Pei采样型算法 162.3基于FRFT的LFM信号参数估计的理论模型 182.3.1基于Ozaktas算法的参数估计模型 192.3.2基于Pei算法的参数估计模型 21第三章基于DFRFT的LFM信号参数估计 223.1引言 223.1.1主要技术和方法 223.1.2问题总结与分析 233.2算法设计及实验分析 243.2.1使用FFT来对LFM信号进行参数估计 243.2.2基于Ozaktas算法的参数估计 273.2.3基于Pei算法的参数估计 31第4章对实验结果的分析 394.1两种算法对参数估计的实验结果分析 394.2仿真程序的展示界面 40第5章总结与展望 43致 44参考文献 45LFM信号是时变信号中的一种的典型代表，线性调频信号（LFM信号）[1]可以说是无所不在的。由于线性调频信号有时带积大的特点，所以它在雷达、通信、声纳、地震探测等众多的研究领域有非常广泛的应用。例如在雷达系统中，采用线性调频信号来作为调制发射的脉冲时，会有较大时带积，可以提高雷达的探测距离和雷达探测的准确度。在地质信息的探测中，常常通过地震波在各个地层中的散射，折射和吸收情况来判断地底的实际状况，而这些研究都是要通过研究地震波中的线性调频分量来一一分析的。在其他的领域中比如说是物理学，医学等学科中，也存在很多频率会随时间变化的信号，学者们通常把它们类比成为“线性调频信号”来进行数学处理。除此之外，在空间阵列信号的运算中，当信号源处在近场附近的时候，沿线性阵列分布所得到的信号可以近似为线性调频信号。线性调频信号是一种典型的非平稳信号，它的频率会随着时间的变换而线性的增加或者减少，这是由它的调频率所决定的。而时频分布是分析非平稳信号的一种最为简结且较为有用的研究方法，在经过了几十年学者的不断研究之后，关于时频分布的理论已经较为全面了，并在实际研究中有了非常广泛的使用。LFM信号（线性调频信号）是时频分布中最常用也是最有用的信号模型之一[8]，它的时频特征非常简单且直观，它在时频平面上就是为一条过零点直线，而且任何一个在时频域上较为复杂的信号都可以由多个线性调频信号的加权叠加来近似合成。所以，对线性调频信号（LFM信号）的研究有着非常重要的意义和实用价值。在处理简单的平稳信号时，傅里叶变换是一个有效且十分有用的工具，但当信号变成是非平稳信号的时侯，傅里叶变换对于这些复杂的信号就不再适用了。因为对原始信号进行傅里叶变换所得到的是原始信号在频域的“整体频谱”，而不是原始信号的“局部信息”。所以为了可以方便的分析和快速的处理常见的非平稳信号，学者们对”傅里叶变换“进行了非常深入研究，并已经推广和改进出一系列新的研究非平稳信号的理论方法，就比如短时傅里叶变换(STFT)、小波变换、格纳变换、分数阶傅里叶变换等等。其中的分数阶傅里叶变换（FRFT）是可以定义为将原始信号分解为一系列的不同加权的正交的线性调频基，通过它的定义我们可以认为它是一种一维线性变换，对原始信号进行不同阶次下的分数阶傅里叶变换就可以理解为将原始信号在时频平面上进行不同角度下的旋转并展示出原始信号在不同的角度下的时域频域的图像，所以它更适合来分析和处理类似于线性调频信号的这样的非平稳信号。所以在本文将使用分数阶傅里叶变换来作为分析和处理线性调频信号的工具。使用分数阶傅里叶变换在处理线性调频信号的时侯，线性调频信号在分数阶傅里叶域上表现出能量聚集性，而且在处理多分量线性调频信号时没有交叉项之间相互干扰的问题，所以在使用分数阶傅里叶变换作为线性调频变换的工具时将会有非常大的优势。但是这种算法也有一些缺点，基于分数阶傅里叶变换的LFM信号的参数估计因为存在有二维峰值搜索算法这样的计算量较大的算法而计算量大，特别是在参数的估计精度要求较高的情况下，这种算法的计算量将会是很大的，这些缺点使得这种算法不利于算法的硬件实现也限制了它的使用环境和围。1.2研究的现状线性调频信号（LFM信号）作为一种典型的非平稳信号，线性调频信号信号的快速检测和有效的参数估计一直以来就是现代的信号处理中重点中的重点，它可以近似的认为是一类非平稳信号的瞬时频率的参数估计这样的问题。在过去的很长的一段时间里，线性调频信号的最大似然估计被人们认为是估计线性调频信号的参数的最直接简单最有效有用的算法，但从实际上说它就是一个多变量的函数的优化选择问题，而且在实际的应用中常常会因为它需要进行多维的峰值搜索运算，所以这种算法的计算量就会很大，这对于这种算法的硬件实现是很困难的，而且它同时还存在一个明显的缺点就是当它的标函数不是凸函数的时侯，这种算法所得出的估计值会很容易就是一个局部的极值点，这些大大小小的问题最终使得这种算法的工程实现十分困难。随着时域频域分析方法的不断发展不断创新，基于各种各样的时域频域分析工具的线性调频信号的参数估计的技术也在不断的出现不断的发展，下面将会讲述几种较为有效有用的线性调频信号的参数估计方法。在这些算法中的一种从思路上来说最为直接简单的方法是让非平稳信号在很短的时间中近似为一个平稳信号，然后再在每个较小的时间段使用傅里叶变换来得到信号的频域图谱，进而得到和分析原始信号的局部功率谱。这种算法就是最初始时候的时域频域分析方法，短时傅里叶变换(STFT)。它是傅里叶变换的推广形式，同时由它的定义可以知道这种算法也是一种线性的时域频域表示，也是一种分析非平稳信号的有效有用的工具，同时它也是人们认识最深入的一种时域频域分析工具。但是由于短时傅里叶变换[10]的定义它会受到不确定性原理的制约，这种算法不能够同时兼顾时间的分辨率和频率的分辨率的精度，只能运行两边来保证时间和频率的精度。小波变换[12]是由法国物理学家在20世纪80年代所提出的一种时域频域分析工具，在经过到现在为止的30多年的学者们的研究和发展，小波变换已经成为了信号处理领域中非常重要的一部分。这种算法与短时傅里叶变换最大的不同是，小波变换中的窗函数是可调的时域频域窗，窗函数的宽度是会随着频率的变化发生变化，在频率较高的时侯窗函数为短窗口，而在频率较低的时候时窗函数为宽窗口。小波变换是一种拥有多分辨率的时域频域分析算法，这种特性是有助于拓展不确定性原理的，所以它将会是特别适用于在低频分量上需要高分辨率，在高频分量上不需要太高的分辨率的信号。格纳(wigner)[8]分布是由E.P.Wigner于1932年得出，Ville于1947年引进到信号处理领域，由学者们所研究和发展，到今天格纳分布已经成为一种极具代表性的时域频域分析的工具。在格纳分布应用在处理非平稳信号的时侯，格纳分布又被人们称为格纳—维尔分布(WVD)。由WVD定义可知它是一种正交分布，它可以改善算法的时间和频率的分辨率，而且这种算法满足数据的实值性，能量的守恒，时频移位等等的特性。线性调频信号的WVD分布在理论上是一个冲激函数，而一个时间有限的线性调频信号的WVD分布呈现为背脊状，由线性调频信号在WVD分布上的情况可以得知使用WVD分布作为线性调频信号的分析工具是十分理想的。但是由于WVD分布中含有二次非线性运算，所以它在检测多分量线性调频信号时和估计多分量线性调频信号的参数时将会不可避免的产生交叉项之间的干扰，出现这样的问题会在参数估计的工作中带来巨大的麻烦。在分析非平稳信号的时频工具中还有的一种非常重要的算法就是分数阶傅里叶变换（FRFT）。Namias于1980年中最早提出了分数阶傅里叶变换的数学模型，Namias将传统的傅里叶变换的分数幂形式进行概念的扩展后定义为了一种崭新的时域频域的分析工具，这就是分数阶傅里叶变换，他还阐明了分数阶傅里叶变换中的一些与基本的傅里叶变换的特性所不同的一些特性，即它的高阶微分的定义形式和它与某些微分方程式之间的密切关系。之后随着Kerr与McBride从数学积分的角度出发得到了分数阶傅里叶变换在数学领域的严格的说明，研究人员以此为基础得出了分数阶变换的光学定义，人们对分数阶傅里叶变换的研究也随之慢慢增多，研究深度也渐渐深入。Lohmann在1993年重新给分数阶傅里叶变换下了定义并解释了它在信号处理领域的物理意义：一个信号的分数阶傅里叶变换就是将这个信号的时坐标轴在时域频域平面上绕原点进行逆时针旋转，以p为阶次的分数阶傅里叶变换是坐标轴在时域频域平面上绕原点进行逆时针旋转pπ/2度。分数阶傅里叶变换可以认为是傅里叶变换的广义形式，由分数阶傅里叶变换的定义可以得知它从根本上说是一个一维的线性变换，同时由于它是傅里叶变换的推广它还会有一些傅里叶变换所没有的性质。由傅里叶变换的定义可以知道傅里叶变换是将信号展开为一系列具有不同加权系数的正交的正弦基，所以就像正弦信号在傅里叶域上就是两个冲击函数，一个线性调频信号在合适的分数阶傅里叶域上也一定会是一个冲激函数。由以上分析我们可以知道，线性调频信号会在分数阶傅里叶域上有极好的能量聚集性，而且因为不同的线性调频信号会在不同的阶次下的分数阶傅里叶域上表现出能量聚集性，即不同的线性调频信号的能量峰值会在不同阶次下的分数阶傅里叶域上出现，所以在使用分数阶傅里叶变换对作为多分量线性调频信号的参数估计和检测的工具时不会出现交叉项之间的干扰，这种特性让我们在选择分数阶傅里叶变换对作为多分量线性调频信号的参数估计和检测的工具时有很大的便利。但是在基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号的检测与参数估计算法中，需要在时频平面上所形成的图像上进行二维能量峰值搜索，以在阶次和分数阶傅里叶域形成的平面上找到含有能量最大的点，然后再依据这个点的参数来进行参数估计，但是这样运算时的运算量会往往会比较大，而且计算的效率不高，大量的计算量被浪费在了寻找合适的阶次上。因此，学者们将注意力放在使用分数阶傅里叶变换作为基础上的其他算法作为检测和估计线性调频信号的参数的数学工具，下面是几种改进简单分数阶傅里叶变换作为检测和估计线性调频信号的参数的数学工具的算法。在最简单的分数阶傅里叶域上的二维平面峰值搜索的算法上，采用了步进系数的粗搜索加上拟牛顿算法的精搜索的方法加以改进，这样就可以在减少算法的运算量的基础上又保持了相当的参数估计的精度。但是这种算法也有一些问题，在为了保证所找到的峰值就是我们想要的解，在使用这种方法时，需要在进行步进式搜索时以很小的步长进行二维搜索，这样的运算方法会影响算法的计算效率，同时我们也发现在设置步长的时候没有统一的设置标准，每一次计算都可以任意设置步进系数，这会给算法的工程实现带来很多问题。对线性调频信号先进行预处理后再进行傅里叶变换进行参数估计[8]，这种算法是基于线性调频信号本身的一些特点，对信号进行与处理后，缩小二维扫频的围。在线性调频信号的频谱中，它的最大的频率值和最小的频率值的差值与时间会有线性关系，而两者的比值就是调频率，所以我们很方便的就找到了线性调频信号的调频率。在找到了调频率的估计值后我们仅需要在较小的搜索围进行对原始信号进行分数阶傅里叶变换以实现小围的二维平面中的峰值搜索，然后就可以很快的得到线性调频信号的参数估计所需的参数。这种算法极大的减少了二维扫频的运算量，同时也可以避免一些时域附近的局部峰值对参数估计带来的影响。到目前为止，已经有很多种基于简单的分数阶傅里叶变换对线性调频信号的参数估计的复杂算法的出现，这个技术也渐渐走向成熟而且在逐步应用到实际中。但是由于这些算法中都有计算量的问题，所以这些算法都不适合于需要快速计算精度要求高的场合。1.3本文的安排和作者的工作概要在下一章中要主要介绍分数阶傅里叶变换的基本定义和它的主要性质，还有它的一些数值计算方法，主要介绍它的离散算法中的采样型算法，还要介绍如何使用分数阶傅里叶变换来估计线性调频信号的参数，包括两种采样型离散算法的具体实现的算法模型。在第三章主要介绍参数估计的精度和它的评价方法，并对在matlab上的仿真程序所得的仿真结果进行了分析和主观评价。作者的主要工作是阅读和学习分数阶傅里叶变换的相关书籍和有关文献，较为深入的理解了分数阶傅里叶变换的定义及其性质，理解了如何使用分数阶傅里叶变换来估计线性调频信号的参数并在matlab中实现了使用分数阶傅里叶变换来对线性调频信号进行参数估计。离散分数阶傅里叶变换2.1分数阶傅里叶变换分数阶傅里叶变换[1]可以看作是傅里叶变换的广义形式，所以它在保留了傅里叶变换的基本性质和特点的基础上又能够添加了一些新的有用的特性，因此它将会在信号处理领域中应用广泛。分数阶傅里叶变换的定义方式多种多样，因为它的一些特性可以让它有很多的表达方式，但是因为这些定义方式彼此都是等价的，所以它们之间可以相互导出，实际上它们之间没有本质上的区别，但是由于不同的定义方式会有在不同的领域上有不同的物理解释，这就会使它们的应用场合各不相同。2.1.1分数阶傅里叶变换的定义分数阶傅里叶变换的定义是:（2-1）其中，被称为核函数，x(t)为原始信号，其中，，p不能是2的整数倍。当p=4n即()时，当时。再经过变量代换和，式（2-1）可以表示为：，（2-2）注意到和分别相当于恒等算子I和奇偶算子P。所以对p=1，有ɑ=π/2，，且(2-3)可以发现就是x(t)的傅里叶变换，同样可以发现就是原函数x(t)的傅里叶逆变换。因为式(2-1)中ɑ是三角函数的参数，所以这种变换具有周期性，因此只需考察变量在一定的区间中即（或）就可以保证所得到的结果是完备的。根据(2-1)式，函数的零阶变换被定义为等于该函数本身。上面的这些性质可以写作：（2-4）分数阶傅里叶变换所特有的一个重要性质就是旋转相加性，这种性质可以用下面几种形式的表达式表达：(2-5)这一性质可通过重复使用(2-1)式得到证明，这个性质也可以使用高斯积分直接证明，如式（2-6）：(2-6)由上面的推导我们可以知道，使用-p来替换p，我们可以得到分数阶傅里叶变换核函数中的一些特有的性质：(2-7)同时，由式(2-2)可知核函数是对称的，但不是共轭对称的。到这里我们就可以对分数阶傅里叶变换提出第一种物理解释，仅仅考虑阶次在区间，当p=0时原始函数的分数阶傅里叶变换就是原函数没有对信号进行改变，当p=1时原始信号的分数阶傅里叶变换就是原始信号的傅里叶变换。在p从0变到1的过程中，原始信号的分数阶傅里叶变换的结果也平滑的从原函数慢慢变化到了原始函数的傅里叶变换的结果。如图2-1，展示的是将一个时域上的门函数慢慢连续的由分数阶傅里叶变换的结果，直到最终在频域上的sinc函数的图解说明。(a)阶次为0到1时(b)阶次为1到2时图2-1不同变换阶数时的分数阶傅里叶变换2.1.2分数阶傅里叶变换的性质我们对这种变换已经有了的了解并知道了它的一种物理解释，但这样的了解对将分数阶傅里叶变换应用于实际中是远远不够的，我们还需要学习一些它的相关性质。我们要介绍这种变换的一些基本性质和由基本性质推导出的运算性质。1.线性性质由于这种变换是一种线性变换，所以它必须满足线性叠加性。若的p阶分数阶傅里叶变换为，则有：（2-8）2.旋转相加性（2-9）其中分别是阶次为p1和阶次为p2的变换，性质2是这种变换一个特性，这是它区别于其他变换的一大特性。3.交换性（2-10）变换的交换性可以由旋转相加性（即式（2-9））直接导出。4.可逆性（2-11）这条性质非常容易得出，阶次为p的逆变换就可以等价为阶次为-p的变换，而且变换的可逆性也可以由性质2（即式（2-9））直接导出。5.酉性（2-12）6.特征函数（2-13）性质6中的式子表示的是变换的特征值与它的特征向量间的关系，这个式子也能够说明分数阶傅里叶变换的本征函数就是Hermite—Gauss函数。7.Parseval准则（2-14）由上式可以知道分数阶傅里叶变换是满足Parseval关系的，则它就与傅里叶变换相类似，变换也是满足能量守恒关系的，也就是频域的能量总和与时域的能量总和相等。（2-15）以上就是变换的基本特性，下面我们将来介绍变换的运算性质，其中的大部分运算特性都可以用上面的基本公式导出。1.尺度特性（2-16）其中c为不是0和无穷大的实数，和ɑ取自同一象限，与p的值不相同由下式给出：（2-17）2.时移特性（2-18）3.频移特性（2-19）4.积分和导数（2-20）（2-21）除此之外我们还应该注意到，分数阶傅里叶变换是一个偶运算。类似的性质也可以使用算子形式表达，奇偶算子p的对称性：。还可得知偶运算的特征函数总是选择确定的奇偶性，就如Hermite-Gauss函数一样。最后还应注意到。2.2离散分数阶傅里叶变换2.2.1离散分数阶傅里叶变换简介分数阶傅里叶变换的出现早已引起了各个领域的学者们重视，并进行了很多的研究，而分数阶傅里叶变换由于它的一些非常有用的特性在工程上也有非常广阔的应用前景，并且已经在工程上有了很多的应用。同时一个计算方法必须实现其离散化的算法，否则这在计算机作为计算工具的今天这种算法的发展会受到很大的限制。由于分数阶傅里叶变换的定义较为复杂，而且计算方法较为繁琐，所以它的离散算法也必然不会像离散傅里叶变换那样简单。为了保证离散分数阶傅里叶变换定义的严密性，为了保证分数阶傅里叶变换的快速计算方法的有效性，H.M.Ozaktas提出，任何一种形式的离散分数阶傅里叶变换必须满足以下的几点特性：1.酉性，即：，F为离散傅里叶变换算子；2.满足旋转相加性，即：；3.P=1时可以退化为离散傅里叶变换，即；4.离散算法与连续分数阶傅里叶变换的相似性；5.阶数取值的连续性。除了上述的一些要求之外，算法的计算量也是一个算法是否有效的一个重要评判方面，因为算法最终是要使用到工程中，生活中，这就对计算的时间有了要求，这个算法不能因为计算量太大而导致需要长时间的计算才能得到结果。对于DFRFT数值计算方法，我们希望它的计算量可以与FFT相当，这样就可以在保证计算量变化不大的情况下，能够有更多更好的应用。由于我们使用的是采样型的DFRFT，所以在下一节中我们将着重介绍采样型DFRFT的几种数值计算方法。2.2.2Ozaktas采样型算法这种算法的基本思想是，将分数阶傅里叶变换的公式进行拆分，化为几个简单的计算公式，然后在对这些较为简单的公式进行离散化处理，这样就得到了变换的离散计算方法，这种方法是从公式的离散化的角度对变换进行离散化数值计算，所以它得出的DFRFT的性质与FRFT性质相似。同时它的计算复杂度低，精度较高，它的计算速度几乎可以和快速傅里叶变换相当即它的计算量逼近快速傅里叶变换的计算量，这些特点让它成为了目前使用最为广泛的DFRFT算法之一。这种算法还采用了一种将时域频域的尺度统一的特殊方法，即为量纲归一化。2.2.2.1量纲归一化原理从理论上说时间有限同时带宽有限的信号是不可能存在的，即一个信号不可能在时域和频域同时满足紧致的条件，但是这种在实际应用中的方法与理论中的差异是可以接受的，因为当时域和频域都可以认为是近似紧致的。假设我们得到了原始信号，和分别表示这个原始信号的时间宽度和频带宽度。由于信号在各个阶次下的分数域上尺度不统一，所以在进行离散计算时我们应该首先来统一分数域上的尺度。想要解决这个问题的实际方法就是让信号的时间坐标和频率坐标能够有统一化的单位，于是我们可以引入一个坐标单位，其中S是一个具有时间量纲的尺度因子。信号在经过上述的量纲归一化之后，信号的时域和频域的坐标都被转换为新的坐标域即(x,v)，这个新的坐标单位是一个无量纲的单位，它将信号的时间宽度和频带宽度统一了起来，同时时域和频域上的坐标尺度也实现了统一化，即，如图2-2所示。图2-2归一化前后信号的时频支撑区域上述的这种量纲归一化的处理方法的特点是先进行量纲归一化再进行采样，但我们在实际的研究中发现。这种处理方法只是一种原理性的方法。在实际工程应用中是不具有任何的可操作性。因为我们在应用中需要处理的信号往往是一个经过硬件处理后所得到的离散信号，所以要想将这种离散分数阶傅里叶变换算法成功的应用于实际工程计算中，就需要对离散信号进行量纲归一化处理。针对这个问题学者们给出了两种量纲归一化方法，一种是离散尺度化法，一种是数据截取/补零法，我们将主要介绍在我们在仿真中使用的离散尺度化法。离散尺度化算法的基本想法是对所得到的离散序列进行尺度变换以使结果和使用连续信号相同，如图2-3所示。这个算法需要选择合适的时间宽度、频带宽度、尺度因子S以及归一化后的坐标宽度。为了方便处理，我们常常取时间宽度为所得离散信号的总时长，T为离散信号的总时长，将时间轴的中点设在坐标的原点，则量纲归一化后信号的时域围会被限定在。我们希望将频带宽度直接设置为所得信号的频带宽度，但是我们无法直接确定信号的频带宽度。于是我们可以设置频带宽度为信号的采样频率，为信号的采样频率。因为采样频率必须大于信号最大频率的两倍。将频率轴的中点设在坐标的原点上，则量纲归一化后信号的频域围会被限定在。在确定了量纲归一化所需要的的时间宽度和频带宽度之后，我们就可以计算出尺度因子S和归一化坐标的宽度，，，由此可知，时域和频域在进行量纲归一化之后，时域和频域的坐标围实际上都是。离散数据原来的采样间隔为，在对离散数据进行了离散尺度化算法之后，离散数据的采样间隔变为。在所得的离散序列经过离散尺度化算法之后，就可以进行DFRFT离散数值计算了。图2-3离散尺度化法示意图2.2.2.2Ozaktas采样型分解算法依据分数阶傅里叶变换的定义可以将变换写为： （2-22）其中，，。若阶次为，我们可以将式(2-22)分为以下三步运算： (2-23) (2-24) (2-25)其中，g(t)和只是两个中间结果，，。如果要实现连续分数阶傅里叶变换的离散数值计算，则必须对式(2-23)式(2-24)式(2-25)进行离散化处理。首先因为原始信号被一个LFM信号所调制，就如式(2-23)所示。对调制信号g(t)的离散化处理中，需要确定它的带宽，因为信号的时域区间为，则线性调频信号的最高瞬时频率为，它的带宽为。由式(2-23)可知调制信号g(t)的带宽可确定为，线性调频信号的调制信号g(t)的带宽最高可以达到原始信号带宽的两倍。为了满足采样定理，我们应对g(t)以为间隔采样，但是x(t)的采样间隔为，所以需要对原始信号进行插值，然后再与线性调频信号的离散采样值相乘，从而得到g(t)的采样。然后是信号g(t)与一个线性调频信号作卷积，就如式(2-24).因为g(t)可以用它的带限形式代替：(2-26)其中，。是LFM信号的傅里叶变换。函数h(u)的求解需要使用Fresnel积分： (2-27)所以，式(2-26)的离散形式可以写为： (2-28)式（2-28）的形式可以使用FFT来计算。最后如式(2-25),得到的以为采样间隔的样本，因为在变换计算的公式中x(t)的形式，所以要对再进行抽样得到计算结果。总的来说，上面的方法是从连续信号的x(t)的离散采样开始，最后得到了唯一描述的离散采样，但这个计算方法只适用于的情况。当p不在此区间中，则需要用分数阶傅里叶变换的旋转可加性变换到可以运行的阶次来进行运算。2.2.3Pei采样型算法这种算法的基本思想是，对输入输出序列进行采样，然后计算出合适的输入输出的采样间隔，对输入输出进行尺度变换，使计算的结果与连续FRFT的计算结果相同。这种算法简单，容易理解，与连续FRFT的计算过程拥有相似性，而且它的计算简单，计算量小。但是这种算法没有完全满足FRFT中的旋转可加性，而且在仿真中我们发现它不能进行大围的二维峰值搜索。我们可以将分数阶傅里叶变换的定义式写为：（2-29）其中。依据算法原理我们需要对输入信号x(t)和输出信号进行采样，采样间隔分别为和，发现：，（2-30）其中，，我们希望直流成分位于中心所以我们不从和开始采样。将式（2-30）代入到连续分数阶傅里叶变换定义式中可以得到：（2-31）以式（2-31）可以写为：（2-32）（2-33）为了使式（2-32）满足可逆性，当时，我们需要让它的逆变换等于的共轭转置矩阵。即（2-34）由式（2-32）和式（2-34）可以得出（2-35）为了使上式中的对的求和等于，即需要满足（2-36）其中是与互为质数的整数。这样式（2-33）变为（2-37）于是可以得到：（2-38）对进行归一化处理以满足式（2-35），于是可以得到变换矩阵（2-39）可以选择，则式（2-37）可以改写为（2-40）由以上推导，我们可以依据和得到下面的两个离散分数阶傅里叶变换公式1）若，即：（2-41）2）若，：（2-42）以上公式必须满足限制条件和。我们可以发现，当且时，式（2-41）可以简化为离散傅里叶变换，当时，式（2-42）简化为离散傅里叶逆变换。我们也可以发现，当，n为整数时，和不存在。即，当时，不能用式（2-41）和式（2-42）来定义，我们使用下式来进行定义。 （2-43） （2-44）在式（2-43）中，如果很小，和也必须很小，在同样的时域和频域围，采样点数将会增加，这将会大大增加变换的计算量。因为根据FRFT的定义有 （2-45）所以，当很小时，我们可以先作采样信号的离散傅里叶变换，然后再计算阶次为-1的离散分数阶傅里叶变换，这样可以有效的减少计算量。所以我们将上面的离散分数阶傅里叶变换变为（2-46）其中，（2-47）（2-48）因为，，在时，我们可以定义离散变换的定义为：（2-49）其中。我们应当注意到，在上面离散分数阶傅里叶变换的推导中时域和频域已经进行了参数归一化，因此在利用上述的离散分数阶傅里叶变换计算连续分数阶傅里叶变换的结果时必须要考虑归一化因子。2.3基于FRFT的LFM信号参数估计的理论模型有前面的介绍我们可以知道线性调频信号在分数域上有能量聚集性，所以二维峰值搜索就是依据此原理设计的。以阶次p为自变量，在0到2上，选择一个合适的步进系数，对信号进行分数阶傅里叶变换，形成信号能量在参数为（ɑ,u）平面上的二维图像，之后在这个二维平面进行峰值搜索就可以估计出信号的参数。含有加性噪声的单分量线性调频信号可表示为(2-50)，，和均为未知参数，为加性高斯白噪声，则参数估计的结果如下 (2-51)（2-52）由于分数阶傅里叶变换的离散算法使得变换的计算速度大大加快，这时使用为变量进行二维峰值搜索时，可以很快的得出结果。同时这种变换也是一种线性变换，所以它可以估计出信号的中心频率，调频率，相位还有幅度，而非线性变换是无法估计出信号的相位信息的。但是这种算法还有一些缺陷，比如在检测时，大部分的计算是无效的，可以通过粗扫描在加以精确扫描来改进。然后是，在参数估计的精度要求高的地方，或者调频参数比较极端时，步进系数不足以分辨出信号峰值与坐标轴时，就需要小的步进系数，这样会增加参数估计的计算量。在多分量信号的参数估计中，虽然不存在交叉项干扰的问题，但是却会存在大信号遮掩小信号这样的问题。2.3.1基于Ozaktas算法的参数估计模型线性调频信号x(t)的分数阶傅里叶变换可以表示为：A（2-53）AA其中，当时即，信号x(t)在这个角度下会完全表现出一个冲激函数，此时可以将式（2-53）改写为：A（2-54）令，则式（2-53）可以写为(2-55)当时，线性调频信号在分数阶傅里叶域上的峰值可以表示为（2-56）在Ozataks算法中我们需要首先进行量纲归一化，然后再进行离散数值计算。而通过二维峰值搜索额到了信号的参数估计值时，这时与原数据对比我们会发现它与原始数据会相差很大。这是因为在进行了量纲归一化后，坐标的尺度已经发生了变化，所以得到的结果一定是错的。所以我们需要推导一下怎样有估计出的数据来求出我们想要的原始数据，假定原始信号的调频率为，中心频率为。信号在则经过量纲归一化后的调频率为，中心频率为，由离散尺度化算法可知（2-57）其中S为尺度因子，信号的时宽为，采样频率为。由此我们可以得出在归一化前后的参数的关系：（2-58）将式（2-58）带入到式（2-52）中就可以得到使用Ozaktas算法在具体的计算中的参数估计公式了：（2-59）2.3.2基于Pei算法的参数估计模型首先线性调频信号可以写为：对其进行离散分数阶傅里叶变换后可得：（2-60）由式（2-60）可知，当时，线性调频信号可以达到最好的聚焦性。在信号经过分数阶傅里叶变换后，通过二维峰值搜索，可以得到中心频率f，调频参数的表达式：(2-61)其中N为输出序列的长度，ɑ为二维峰值搜索所得的旋转角度，根据式（2-61）由于这种算法没有参数归一化问题，所以在找到ɑ后就可以直接对线性调频信号的参数进行估计。第三章基于DFRFT的LFM信号参数估计3.1引言3.1.1主要技术和方法在完成本次毕业设计中，我主要使用了第二章中讲到的一些知识，即2.2.2中的Ozaktas离散分数阶傅里叶变换及其在2.3.1中的在参数估计中的具体计算方法，和Pei离散分数阶傅里叶变换及其在2.3.2中的参数估计中的具体计算方法，这是我在进行matlab仿真实验的技术原理。具体的实现方案是，首先由一个自己编写的函数LFMcreat.m生成复指数形式的线性调频信号，然后在这个信号中加入一定分贝的高斯加性白噪声，之后将上一步中得到的信号送入三个参数估计函数中进行参数估计，最后通过所得参数与原始数据相比以确定所得的数据是否正确。具体的流程如图3-1。在产生线性调频信号的时候可以使用matlab中的chrip函数可以佷方便的产生线性调频信号，但是这个函数要使用的参数是起始时间，起始频率，终止时间和终止频率，这种参数的设置方式不便于直接输入中心频率和调频系数就能生成线性调频信号。所以我直接使用线性调频信号的定义，通过外部输入的中心频率和调频参数就能很方便的生成一个线性调频信号。由于所使用计算机的硬件限制，无法很快计算较多点数的离散运算，所以这对我们的时间设置和采样频率的设置带来一定的麻烦。在采样频率的设置上我的设置和任务书的设置是相同的为40MHz，但是信号持续时间我设置的较长，我设置为10微秒，因为5微秒的图像在单边带上不是整数，为2.5微秒这会给图像显示带来一些问题。同时由于分数阶傅里叶变换的定义中，时间区间是关于零点对称的，所以我们在产生线性调频信号是也应该按照对称的时间区间来设置。线性调频信号产生函数的返回值有采样频率，时间宽度和产生的线性调频信号，函数的输入参数为中心频率和调频率。产生的线性调频信号如图3-2所示，该信号的中心频率是10MHz，调频率为0.5MHz，由于调频率较低信号的密度没有大的变化。关于参数估计的问题我们将在3.2中详细介绍。图3-1程序整体的运行流程图3-2线性调频信号3.1.2问题总结与分析在完成此次毕业设计的过程中，我遇到了不少问题，也解决了不少的问题，但还是有大量的问题没有得到有效解决。首先，就是在使用傅里叶变换估计线性调频信号的参数时精度不理想；然后，在对调频系数较低的线性调频信号进行参数估计时，因为调频系数较低，所以它所对应得阶次就十分接近1，此时需要使用较小的步进系数对信号进行扫描，但是在用较小的步进系数进行全围的扫描时所需的计算时间会很长，所以步进系数的设置需要分区间设置，但没有具体的标准；之后，就是在加入乘性高斯白噪声对信号的参数估计具有毁灭性的作用，如何在加入乘性噪声时还能够对信号进行参数估计等等。现在只做到可以估计单信号的参数估计，但是多信号的参数估计还没有完成，还有对参数估计算法的改进算法也没有实现，其中有很多的算法都可以改进最基本的参数估计算法，书上讲的拟牛顿算法在4次迭代计算以后就可以让参数估计的精度逼近克拉美罗下界等等。3.2算法设计及实验分析3.2.1使用FFT来对LFM信号进行参数估计因为线性调频信号的频率关于时间的变换是线性的，所以在估计号它的上下限频率时，就得到了它的带宽。而带宽与时间的比值就是所想要的调频率，同时上下限频率的中值就是中心频率，所以只要得出正确的上下限频率我们可以很方便的估计出线性调频信号的参数。而在估计线性调频信号的上限，下限频率时，我将上限频率和下限频率分别设置在线性调频信号频谱中的峰值最大的两处。这样我在线性调频信号进行离散傅里叶变换后，在它的频谱上搜索最大值，在得到最大值后将这个点置为零，让后再在频谱图中搜索最大值，这样就得到了线性调频信号的最大值和次大值点，这两个点往往就是线性调频信号的上下限频率对应在频谱中的点，如图3-3所示。这样就得到了上下限频率，就可以很方便的计算出线性调频信号的具体参数。但是，这个算法虽然简单且计算量小，但是它的计算精度比较差，而且抗噪声能力也不强。假设取得的上限频率为，下限频率为，由这两个参数计算中心频率和调频系数的公式如下：（3-1）图3-3线性调频信号频谱图如图3-4，在信噪比为-7dB时的图像，可知信号已经快要无法检测了，而且此时计算出的参数值估计值的偏差会比较大，加入噪声对参数估计的影响是非常大的，因为噪声信号的加入会让频谱图中的每一个点都增加一定的幅度，这个随机性会给最大值点的估计带来带来巨大的问题，同时最大值点找不到之后，次大值值点也会因为同样的原因而找不到，这样就没有办法获得信号的上下限频率的值，所以对线性调频信号的参数估计也无从谈起了。图3-4信噪比为-7dB时的信号频谱图信号的信噪比在-18dB到-4dB的区间上时，使用这个算法进行参数估计的结果如图3-5所示，可见在加入噪声之后，这种算法的参数估计已经不能正常工作了。图3-5信号在信噪比为-18dB到-5dB上的参数估计精度这种算法的计算流程为，一个信号传入函数中，同时还需要知道这个信号的采样频率以计算频率，时间宽度以计算调频频率这个参数，现对信号进行傅里叶变换，然后对信号的频谱进行峰值搜索，然后对搜索到的峰值点置零，再次进行峰值搜索，这样就找到了两个最大值点，这就是所求的上下限频率，计算过程的流图如图3-6所示。图3-6使用傅里叶变换进行参数估计的流程图3.2.2基于Ozaktas算法的参数估计基于线性调频信号在分数阶域上的良好的能量聚集性，所以选用分数阶傅里叶变换作为线性调频信号的参数估计的数学工具这是非常合适的。在使用Ozaktas离散分数阶傅里叶变换作为参数估计的数学工具时，首先要考虑的是这种算法中所采用的一种较为特殊的计算方法就是量纲归一化的选择，在这里我选择使用离散尺度化法作为量纲归一化的方法。然后就是对信号的坐标轴进行尺度变换，以使所得的坐标轴正确。之后就是在的区间上进行二维峰值搜索，选择这个区间的原因是，在这个区间上进行峰值搜索已经足够了，当时只是上面的区间的逆变换，而p的周期为4，所以只在这个围进行二维峰值搜索就可以保证找到线性调频信号在分数阶傅里叶域上能量最聚集的那个阶次。而二维峰值搜索是以p为自变量，对原始信号进行阶次为p的分数阶傅里叶变换，这样就可以得到一个在平面上的二维图像，在这个二维图中找到能量最集中的那个点，就是幅度最高的那个点，就可以确定原始信号的在分数阶傅里叶域上能量最聚集的那个阶次，并通过尺度变换可以很容易的找到它峰值点对应的。这样就找到了峰值点对应的坐标，再使用式（2-61）就可以估计出这个线性调频信号的参数。但是这个算法没有注意到当调频率较低的时候p将会很接近于1，这时以p为自变量在做二维搜索时将会很容易就将p检测为1，而且这时所得的调频频率一定是错误的。这个问题我的解决方案是，当进行完一次二维峰值搜索后，得出了峰值点对应的坐标，若此时对应的阶次p为1时，说明此时的步进系数对于参数估计已经不够了，我们将步进系数除以10并缩小二维峰值搜索的搜索围为上一次的最小步进系数中，再次进行二维峰值搜索。若所得的p仍为1，则再次将步进系数除以10并缩小二维峰值搜索的搜索围为上一次的最小步进系数中，再次进行二维峰值搜索，直至步进系数足够的小可以正确的得到结果，具体的计算流程图如图3-7。上面所说的计算过程比较麻烦，而且计算时间长，参数估计也不见得精确，我想还有另一种方法可以解决。就是人为的给p的不同取值围中的步进系数设置合适的值，这样就可以解决掉计算时间长这个问题。但是由于对于步进系数的设置，目前还没有找到一个合适的步进系数的设计方案和评价方法，所以，这个解决方案也就没法执行了。比上面的更简单的方法就是先通过其他方法获得线性调频信号的调频频率，这样就可以直接计算出它对应的阶次，然后再进行小围的二维峰值搜索，这样就可以很快就获得线性调频信号的参数估计，这种方法将在下一节中进行详细的讨论。图3-7使用Ozaktas算法来对LFM信号进行参数估计的计算流程分数阶傅里叶域对线性调频信号有好的能量聚集性，如图3-8所示。在图3-8（a）中显示的是线性调频信号在在平面上的二维图像，可以看出它是一个峰值，我们可以通过两次求最大值就可以找到它在二维图像上的峰值的位置，再根据尺度变换就可以算出对应的坐标值，之后将这些坐标值代入式（2-61）中就获得了线性调频信号的参数估计值。图3-8(b)是由参数估计所得的阶次，再对信号做相应阶次下的分数阶傅里叶变换而得到的图像，它在这个阶次下的分数阶域上表现出最好的能量聚集性。（a）LFM信号在分数域上的能量聚集性(b)LFM信号在合适阶次下进行分数阶傅里叶变换图3-8线性调频信号在分数阶傅里叶域上的能量聚集性在线性调频信号中加入噪声之后，因为噪声在傅里叶域上是均匀分布的，所以这对线性调频信号的参数估计影响不大。但是当加入的噪声幅度较大，即信噪比较低时，在分数阶傅里叶域上会出现，噪声的峰值比信号的峰值还高，这时，参数估计就不再精确了，如图3-9所示就是这样的情况。在试验中所选用的信号是同一个信号，这个信号的信噪比为-15dB。这是参数估计就出现了较大的误差，在图3-8号的阶次为1.16，估计出的u为4.8，在图3-9中，信号的阶次为1.1，估计出的u为3.85，这很明显是因为在二维峰值搜索中，信号的峰值被噪声所掩盖。幅度阶次分数阶傅里叶域幅度阶次分数阶傅里叶域图3-9信噪比为-15dB下的分数阶傅里叶域的二维图Ozaktas离散分数阶傅里叶变换作为参数估计的数学工具，是一个很理想的数学工具，如图3-10所示。参数估计的精度非常高，而且计算时间也比较短，抗噪声性能也比较好，在信噪比为-10dB时任能够较好的估计出线性调频信号的参数。我在完成参数估计的程序中所使用的函数需要输入的参数有，信号，信号的采样频率和信号的时间长度，输出了信号的中心频率和调频参数的估计值。函数在运行时，需要调用离散分数阶傅里叶变换的计算程序，这个程序的输入参数有原信号和阶次，输出为信号的对应阶次下的分数阶傅里叶变换。参数估计程序中利用离散分数阶傅里叶变换的计算程序将原信号在不同阶次下的分数阶傅里叶变换所得的结果放入一个维数组中，这样就可以使用max函数进行最大值的寻找。在经过两次最大值搜索后就可以找到最大值对应的坐标点。图3-10信噪比在-18dB至-4dB的参数估计精度3.2.3基于Pei算法的参数估计与上一节使用Ozaktas离散分数阶傅里叶变换作为参数估计的数学工具相同，这种算法也是要使用二维峰值搜索来进行参数估计。但是这种算法在大围的二维峰值搜索中会遇到一些问题，由于这种算法的要要满足式（3-2）这个条件，在实际的运算中，我们所得到的信号的点数是固定的时宽也已经是确定的，这时我们计算输出的采样间隔时，所得到的公式为式（3-3）。（3-2）（3-3）由式（3-3）我们可以知道，此时的输出序列的采样间隔与进行分数阶傅里叶变换的阶次有着密切的关系，当阶次变化时，输出的采样间隔也会随之变化。同时我我们也知道，输入的点数也已经确定，我们常常设置输出的点数与输入的点数相等，这时就会出现在不同的阶次下的频域的围是不同的，这样就会有一些问题，如图3-11所示就是这样的情况。分数阶傅里叶域阶次幅度分数阶傅里叶域阶次幅度图3-11在0至2π上进行二维峰值搜索的结果从图3-11中可以看出线性调频信号在展现出的分数阶傅里叶域上就没有能量聚集性这个特性，所以在这个平面上进行二维峰值搜索所得出的结果也必然是错误的。导致这个错误的结果的原因就是上面说的在不同的阶次下，这种算法输出的序列所对应的频域围是不同的。这种错误结果的根本原因是，输出序列的抽样间隔对于阶次p的变化不是线性的，这就需要在不同的阶次区间设置不同的步进系数以解决这个问题，但是现在没有合适的步进系数的设置方法，所以我们需要寻找其它方法来进行参数估计。在上一节中我们提到了一种计算方法，就是先使用其他方法对信号的调频率进行估计，再根据调频率反推出需要的阶次，再做这个阶次附近的小围，小步进系数的二维峰值搜索，这样就可以方便的估计出信号的参数。下面我们将详细介绍这个方法。3.2.3.1快速估计线性调频信号调频率假设一个线性调频信号的表达式为：对这个信号做时间为τ的延时后并取其共轭，可以得到：(3-4)将两个信号相乘可以得到：（3-5）其中，前面的一项与时间无关，我们可以将其设为A则（3-6）将z(t)进行分数阶傅里叶变换，我们根据傅里叶变换的性质可以得出它的结果（3-7）由式（3-7）我们可以知道z(t)的频谱是一个冲激函数，所以只要在频谱图中搜索峰值就可以很方便的找出峰值对应的坐标值，再根据式（3-8）就可以得出调频率的估计值。（3-8）图3-12对调频率进行快速估计这种估计调频率的方法将二维峰值搜索降为了一维扫描，节省了大量的计算量。如图3-12所示就是一个中心频率在10KHz,调频率在1680的信号进行参数估计的结果。若在信号中加入了噪声，这些噪声在频谱上是均匀分布的，只要信噪比可以保持不让信号被噪声掩盖就可以检测出信号的调频率。图3-13信噪比为-19dB下的参数估计如图3-13所示，信号的信噪比为-19dB，这时的信噪比已经非常小了，但是这种算法还能够勉强估计出信号的调频率，虽然已经偏离了原来的调频率。所以这种算法的抗噪声能力是非常好的。在图3-14中是，在信噪比为-18dB到-4dB的情况下的调频率的参数估计的精度，可以看出，参数估计值几乎一直没有变，就像是噪声没有加入信号中一样，所以这种算法的抗噪能力非常强。这个算法的计算程序是为使用Pei离散分数阶傅里叶变换来对线性调频信号进行参数估计能够正确运行而编写的，所以它也是以函数的形式而编写。这个函数需要的输入是信号的采样频率和线性调频信号，函数的输出为信号的调频率的估计值。函数的计算过程为，首先使用length函数算出信号的长度，然后将信号延时，信号的延时使用的是补零的方法，在信号的前面补零1000个点，然后为了保持信号的长度而丢掉信号的最后1000个点。然后将延时后的信号使用conj函数取共轭，之后将所得到的信号与原函数相乘就得到了z(t)。因为y(t)的前1000个点是零，所以z(t)的前1000个点也是零，这些零值点会影响z(t)进行fft的结果，所以在z(t)进行fft之前要先将这些零值点去掉。之后就是对z(t)进行fft，得到z(t)的频谱图，在频谱图上进行峰值搜索，得到最大值点的坐标，通过坐标变换与式（3-8）最终计算出信号的调频率的估计值。图3-14信噪比在-10dB至5dB的参数估计精度3.2.3.2在估计出信号的调频率后使用Pei算法进行参数估计在前面的一节中我们详细的讨论了如何快速的估计出信号的调频率，在这一节中我们将把上一节的方法应用到参数估计中。在这一节中我们采用的参数估计的方法是，先将输入信号进行调频率的参数估计，然后利用分数阶傅里叶变换中调频率与阶次的关系，如式（3-9）。计算出峰值所在的大概阶次，然后将二维峰值搜索的围缩小在一个以估计值为中心的较小围，步进系数设置为，即搜索围中的100个小区间。这样就可以得出信号在分数阶傅里叶域上的峰值点，通过坐标换算很容易就得到了坐标点。之后将坐标点带入到式（2-72）中就获得了信号参数的估计值。（3-9）信号使用Pei算法进行参数估计中，线性调频信号会在分数阶傅里叶域上呈现能量聚集性，如图3-15所示。分数阶傅里叶域阶次幅度分数阶傅里叶域阶次幅度图3-15使用pei算法信号在分数阶傅里叶域上有能量聚集性在上面的算法流程中有一些详细的问题还没有考虑到。在我的编程中这个程序也被设置为函数的格式，以方便被界面程序调用。这个函数需要的输入参数为，信号的采样频率，信号的时宽和信号本身，输出为信号的参数估计值，即中心频率估计值和调频率估计值。函数在信号输入后首先要使用length函数来算出信号的长度，然后将信号送入调频率估计的函数中估计信号的调频率。在得到了信号的调频率之后，使用式（3-9）计算出信号在分数阶傅里叶域上峰值所对应的阶次p。之后就是设置阶次的围，在程序中我设置的围是[0.95p,1.05p]，这个围是比较小的，虽然我们的调频率估计程序的精度良好，但是为防止没有找到正确的峰值，我们应当做一些防措施。我的解决方法是，如果得出的参数中阶次p的值与一个围的最值相同，则设置这个阶次为新的估计出的阶次，再代入上面的运算中，直到找到了正确的峰值。在找到峰值之后，和使用Ozaktas离散分数阶傅里叶变换作为参数估计的数学工具一样，现对所得到的值坐标化，之后将这些值代入式（2-72）中就计算出了信号的参数估计值，计算的流程如图3-16所示。否是否是图3-16使用Pei离散分数阶傅里叶变换来对线性调频信号进行参数估计的计算流程分数阶傅里叶域阶次幅度分数阶傅里叶域阶次幅度图3-17在信噪比为-20dB的情况下对信号的参数估计在图3-17中所示的是，在信噪比为-20dB情况下的二维平面图像，这时噪声在分数阶傅里叶域上的幅度已经比较大了，几乎可以掩盖信号，此时对信号进行参数估计必然不会得到想要的结果。在图3-18中展示的是，信号在信噪比为-18dB到-4dB的条件下这种算法的参数估计的精度，可以看出这种算法的参数估计精度是目前列出的几种算法的估计精度最高的一种，调频率的参数估计精度几乎为1，但实际上为0.9871，还没有中心频率的估计精度高，这应该是受到了快速的调频率估计算法的精度的影响。总之，这种算法在信噪比为-10dB的情况下仍能够正常工作，且估计精度良好，这种算法有良好的抗噪声性能。图3-18信噪比在-18dB至-4dB的参数估计精度第4章对实验结果的分析4.1两种算法对参数估计的实验结果分析在第三章中我们完成了两种分数阶傅里叶对线性调频信号进行参数估计的仿真，并得到了实验结果。从结果上直接来看，两者的参数估计精度差距不大，在分辨率足够的情况下都能够精确的估计出线性调频信号的参数。但只凭借所得的结果分析这是不够的，所以我们需要从理论角度对这两种算法的参数估计精度进行分析。由于这两种算法都是基于二维峰值搜索而实现的，所以从理论上来说这两种算法的精确性并没有太大的区别。我们需要对二维峰值搜索算法的精度进行理论上的计算，并与克拉美罗下界进行比较。算法是在二维平面上找到线性调频信号在分数阶傅里叶域上的能量最聚集的点，但是在信号中加入了噪声之后，这个峰值点就会发生偏移，我们假设这个峰值点偏移到了。根据一系列较为复杂的推导，详见[1]，在这里我们不准备列出，我们可以得出这时的的统计特性。（4-1）其中F是信号的最高频率，N为信号序列的长度，SNR为信号的输入信噪比。之后将上面的估计值的均方误差进行归一化，就可以得出这种参数估计方法的有效性（4-2）由式（4-2）我们就可以得出当信号序列的长度N远大于1时，这种算法对线性调频信号的估计误差会是十分接近克拉美罗下限的。所以我们可以认为这两种算法的估计精度都可以认为是较为接近克拉美罗下界的。在从整体的角度分析完成之后，我们来说一下这两种算法在实际运行中的一些不同之处。首先我们从第三章的仿真过程中可以发现，Pei算法使用了先估计信号的调频率这种方法，这是由于Pei算法不适合进行全围的扫描而采用的方法。两种算法在这方面的不同是由于它们本身的定义问题而导致的。Pei算法对分数阶傅里叶变换的离散化方法是将输入输出信号进行合适的抽样，然后通过坐标轴的尺度变换来保持这种算法的可逆性。这样输入和输出的采样间隔必然有一定的关系，就是式（2-36）所示，当输入信号的采样间隔，时间宽度已经固定时(这也是工程中常常获得的信号)，输出的采样间隔就与阶次有着非线性的关系，这在大围搜索峰值时出现输出的频域围是不固定的，也是非线性的，在阶次接近1时输出序列的频域大，在阶次接近0时输出序列的频域小，所以形成的二维图已经失真了无法进行参数估计。而Ozaktas算法是对复杂的算法进行分解为几个较为简单的计算式，然后对这几个式子进行离散化，在进行离散计算之前还需要对信号进行量纲归一化。这种算法采用了量纲归一化，将时域和频域中量纲和尺度不统一在离散计算之前就解决了，它在计算中的坐标是统一的，所以在进行二维峰值搜索计算时，这种算法所得出的输出序列的坐标是统一的。但是这并不是这个算法可以进行大围二维搜索的原因，因为从本质上说这种量纲归一化是一个尺度变换。我认为导致这种问题的原因是Pei算法不完全满足分数阶傅里叶变换所特有的旋转相加性，而Ozaktas算法则满足这一性质。在运行的过程中，我发现使用Pei算法的程序的计算时间往往短于Ozaktas算法的计算时间。这是因为Pei算法所进行的二维峰值搜索的搜索区间要远少于Ozaktas算法，而且由于Pei算法的步进系数可以设定的比较小而Pei算法的精度上有一些优势。但是我们也可以在Ozaktas算法前加上先估计信号的调频率这种算法，让它的计算精度和计算时间可以与Pei算法相当。但是由于估计信号的调频率的算法存在分辨率的问题，当样本点数受到限制，即时长受到限制时，参数估计的精度反而不如直接进行二维峰值搜索准，所以不把这种算法加入到Ozaktas算法中。4.2仿真程序的展示界面在完成仿真程序的同时我也基本完成了界面程序，界面展示如图4-1，4-2所示在第一个界面即为主界面，我们需要在相应的文本框中输入要产生的线性调频信号的中心频率和调频率。比如图中所输入的中心频率为100Hz,调频率为100Hz，点击产生信号就可以生成线性调频信号，并输出它的时域图和频谱图。然后就是在信号中加入噪声，在设置信噪比所对应的文本框中输入所需要设置的信噪比，单位为dB。点击加入噪声就可以输出加入噪声后的信号时域图和频谱图。之后就是对信号进行参数估计，点击对信号进行参数估计按钮，就进入参数估计页面。我将第三章中所提到的参数估计算法都列出，分为使用傅里叶变换，使用Pei算法，使用Ozaktas算法来对加入噪声后的信号进行参数估计。点击傅里叶变换，Pei算法，Ozaktas算法这几个按钮就可以得到它们对加入噪声后的信号参数估计的结果，以及它们进行参数估计所需要使用的频谱图或是二维平面图。原始数据按钮就是。在点击这个按钮后，在绿色的文本框中输出设置信号时输入的信号的参数，以方便与算法估计出的参数进行对比。图4-1产生线性调频信号和在信号中加入噪声的界面图4-2对加入噪声后的信号进行三种类型的参数估计的界面参考文献[1]然．邓兵．王越．分数阶傅里叶变换及其应用[M]．，清华大学，2009，13-172.[2]兴浩．然．基于分数阶相关的无源雷达动目标检测新算法[J]．电子学报，2005，33（9）:1567-1570。[3]兴浩．邓兵．然．分数阶Fourier变换数字计算中的量纲归一化[J]．理工大学学报，2005，25（4）:360-364。[4]兴浩．然．邓兵．王越．分数阶傅里叶变换的快速计算新方法[J]．电子学报，2007，35（6）：1089-1093.[5]马宁.线性调频信号参数估计方法研究[D].理工大学,2014.[6]巍.基于分数阶傅里叶变换的宽带Chirp信号DOA估计[D].，大学,2013.[7]韵.分数阶Fourier变换在水声通信中的应用研究[D].，工程大学,2012.[8]王会彦.基于分数阶Fourier变换的LFM信号参数估计快速算法研究[D].，大学,2012.[9]凡.基于FRFT的时变幅度Chirp信号参数估计以及时延估计[D].，大学,2012.[10]小龙,关键,黄勇,何友.分数阶Fourier变换在动目标检测和识别中的应用:回顾和展望[J].信号处理,2013,01:85-97.[11]仇兆炀.基于FRFT的LFM信号检测及参数估计[D].，大学,2013.[12]锋,徐会法,然,王越.分数阶Fourier域多分量LFM信号间的分辨研究[J].中国科学:信息科学,2012,02:136-148.[13]王永.基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号参数分析[D].，工业大学,2012.[14]吴超楠.基于分数阶傅里叶变换的高精度线性调频信号参数估计方法[D].，华南理工大学,2014.[15]叶嘉星.分数阶傅立叶变换用于信号分析的研究[D].，工业大学,2008.代码（matlab）：Dfrft的两种算法；Oskatas算法：functiony=fracft(x,a)%fracft--computethefractionalFouriertransform%%Usage%y=fracft(x,a)%%Inputs%xsignalvector,musthaveanoddlength(tohaveacenterpoint)%afraction.a=1correspondstotheFouriertransformanda=4%isanidentitytransform.%%Outputs%ythefractionalFouriertransform%%Example:%x=chirplets(63,[148pi/20sqrt(63/4/pi)]);%fori=0:0.25:4,%y=fracft(x,i);wigner1(y);axissquare;pause%end%%AlgorithmtakenfromH.M.Ozaktasetal.,DigitalComputationofthe%FractionalFourierTransform,IEEETrans.SignalProcessing,September,%1996.%Copyright(C)--seeDiscreteTFDs/Copyrighterror(nargchk(2,2,nargin));x=x(:);N=length(x);M=(N-1)/2;if(rem(N,2)==0)error('signallengthmustbeodd')end%dospecialcasesa=mod(a,4);if(a==0)y=x;returnelseif(a==1)y=fft([x(M+1:N);x(1:M)])/sqrt(N);y=[y(M+2:N);y(1:M+1)];returnelseif(a==2)y=flipud(x);returnelseif(a==3)y=ifft([x(M+1:N);x(1:M)])*sqrt(N);y=[y(M+2:N);y(1:M+1)];returnend%getaintherightrangeif(a>2)x=flipud(x);a=a-2;endif(a>1.5)x=fft([x(M+1:N);x(1:M)])/sqrt(N);x=[x(M+2:N);x(1:M+1)];a=a-1;endif(a<0.5)x=ifft([x(M+1:N)