第3章-连续时间信号与系统的频域分析

1第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1周期信号的傅里叶级数3.2傅里叶变换3.3LTI连续系统的频域分析3.4抽样定理3.5调制与解调112学习要求掌握信号的傅里叶级数和傅里叶变换分析法，对一些常用信号能进行频谱分析熟悉信号的时域特性和频域特性的对应关系弄清信号频谱的概念卷积定理是系统频谱分析的基础，要学会应用熟悉傅里叶变换的性质掌握抽样定理223本章讨论的路线：傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念；通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。334时域分析中，以冲击函数为基本函数，任意输入信号可分解为一系列冲击函数之和，而

yf(t)=f(t)*h(t)频域分析中，以正弦函数和虚指数信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和这里，用于系统分析的独立变量是频率445从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析），将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。5563.1.1

三角函数形式的傅里叶级数1、定义满足狄里赫利条件的周期信号fT(t)，可以展开成三角函数形式傅里叶级数。设fT

(t)周期为T，角频率展开式为：(3.1.1)63.1周期信号的傅里叶级数67系数公式为其中n＝1、2、3、。。。，t0为任意实数7bn是n的偶函数，cn是n的奇函数78也可以写成另外一种形式：(3.1.2)8An是n的偶函数，是n的奇函数89将（3.1.1）和（3.1.2）展开为99102、三角函数形式的FS的物理意义

三角函数形式FS对周期信号fT(t):周期为T，角频率进行频谱分析。将fT(t)分解成:101011直流分量基波分量或和各次谐波分量

或的离散和

111112例3.1.1：试求下图所示信号f(t)的FS信号f(t)的周期T＝4，角频率脉冲宽度121213131314得到周期信号的三角函数形式FS展开式为：1414153.1.2

指数函数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数可从三角形式推出指数形式1515FN称为复傅里叶系数16Fn还可以表示成模和幅角的形式(3.1.5)三角函数标准形式中An是第n次谐波分量的振幅，但在指数形式中，Fn要与相对应的第-n项F-n合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。161617将(3.1.3)展开171718指数函数形式FS对周期信号fT(t)进行频谱分析周期T，角频率将fT(t)展开成直流分量、基波分量和各次谐波分量的离散和。指数函数形式FS的物理意义181819或将周期信号fT(t)展开成形式为的无时限指数信号的离散和。各分量的复振幅为模为初相为191920指数形式与三角形式系数之间的关系为(3.1.6)202021从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系3.1.3周期信号的频谱2121221、单边频谱若周期信号fT(t)的傅里叶展开式为三角函数形式：称：A0，Ak与ω(kω0)的关系为fT(t)的振幅频谱；与ω(kω0)的关系为fT

(t)的相位频谱。2222nAw005w010w0wtp2tp4

w005w010wp2-0w

（a）单边幅度频谱

（b）单边相位频谱图3.1-1

周期信号的单边频谱2323242、双边频谱若周期信号fT(t)的傅里叶展开式为指数函数形式：称：与ω(kω0)的关系为fT(t)的振幅频谱；

与ω(kω0)的关系为fT

(t)的相位频谱242425005w010w05w-010w-0w（a）双边振幅频谱wtp2tp4tp4-tp2-252526w005w010wp2-p20w05w-010w-（b）双边相位频谱图3.1-2周期信号的双边频谱262627例3.1.1已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。解

将f(t)整理为标准形式272728图3.1-2例3.1.1频谱图

(a)振幅图；(b)相位图2828振幅谱与相位谱如图所示：29例3.1.2周期信号试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12292930是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图303031二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sinx/x(取样函数）32,n=0,±1，±2，···(1)包络线形状：取样函数(3)离散谱（谐波性）w02w0Fn是实函数，幅度/相位可在一个图中画出33周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系T一定，

变小，此时w0

（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：

1/w0

=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。

一定，T增大，间隔w0减小，频谱变密。幅度减小

如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱，各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频w0的整数倍；(2)一般具有收敛性，总趋势减小。341.问题提出第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。

3.1.4周期信号的有效频带宽度35周期矩形脉冲信号的功率而总功率二者比值362．频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围内的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响任意周期信号：有效带宽为占信号总功率90%的各谐波分量所占的频带宽带。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

Bw的单位是弧度/秒，Bf的单位是赫兹（Hz）。373.2

傅里叶变换FT3.2.1傅里叶变换的定义3.2.2典型信号的傅里叶变换3.2.3傅里叶变换的基本性质373738f(t)：周期信号非周期信号幅度无限小1.引出0再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令0(单位频率上的频谱）连续谱从傅里叶级数到傅里叶变换39T→∞，ω0→无穷小，记为dω；nω0

→ω（由离散量变为连续量），∑→∫傅里叶变换傅里叶反变换FT的定义4040说明

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分4041信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱F(ω)是同一信号的两种不同的表现形式。f(t)显示了时间信息而隐藏了频率信息；F(ω)显示了频率信息而隐藏了时间信息。4141423.2.2典型信号的傅里叶变换1．单边指数函数2．双边指数函数3．符号函数4.门函数5．单位冲击函数6．单位阶跃函数7.直流信号8.冲击偶函数4242431、单边指数函数（1）单边因果指数信号434344即：其振幅频谱和相位频谱分别为：444445（a）单边指数函数

)(jwFaAw)(wj02p2p-（b）单边指数函数的频谱图3.2-1

单边指数函数及其频谱454546（2）单边非因果指数函数464647即

单边非因果指数函数的波形f(t)、振幅谱|F(ω)|、相位谱φ(ω)如图3.2-2所示。474748图3.2-2eatu(-t)波形及其振幅、相位谱484849f(t)=e-a|t|-∞<t<∞,a>0可写成

f(t)=eatu(-t)+e-atu(t)利用以上单边指数函数的变换结果我们有即双边指数函数的波形f(t)、频谱F(ω)如图3.2-3所示。2.双边指数函数494950图3.2-3双边指数函数的波形、频谱5050513.门函数515152

门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱为(3.2.6)525253门函数的波形f(t)、振幅谱|F(ω)|、相位谱φ(ω)如图3.2-4所示。图3.2-4gτ(t)的波形及振幅、相位谱53535454由于F(ω)是实函数，其相位谱只有0、π两种情况，反映在F(ω)上是正、负的变化,因此其振幅、相位谱如图3.2-5所示,可由F(ω)来表示。图3.2-5gτ(t)的频谱函数5455由上式可知，时域冲激函数δ(t)频谱的所有频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。冲激函数δ(t)、频谱函数如图3.2-6所示。4、单位冲激函数5555560w1(w)F

（a）单位冲激函数

（b）单位冲激函数的频谱图3.2-6

单位冲激函数及其频谱5656575、直流信号直流信号的FT能否用FT定义式来求解？57有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，u(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列{fn(t)}逼近f

(t)，即575858而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(

)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F

(

)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。5859构造f

(t)=e-

t

，

>0←→所以又因此，1←→2()595960

频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到由式(3.3-19)可知频域冲激δ(ω)的反变换是常数（直流分量）。频域冲激函数δ(ω)、原函数如图3.2-8所示。606061图3.2-7频域冲激函数δ(ω)及其原函数616162显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求。我们可用以下极限形式表示sgnt函数6.符号函数62上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，并取极限可得6263符号函数的波形f(t)、振幅谱|F(ω)|、相位谱φ(ω)如图3.2-9所示。63|F(ω)|是偶函数φ(ω)是奇函数6364图3.2-9符号函数的波形f(t)及其振幅、相位谱6464657.阶跃函数65图3.2-8阶跃函数的波形以及振幅、相位谱65668、冲击偶函数666667归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)u(t)e-

t

u(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)6767683.2.3

傅里叶变换的基本性质1、线性性2、时移特性3、频移特性4、尺度变换5、对称性6、卷积定理7、时域微分和时域积分8、频域微分9、周期信号的傅里叶变换10、实虚奇偶性11、能量定理6868691、线性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)thenProof:

F[a

f1(t)+b

f2(t)]=[a

F1(ω)+b

F2(ω)][a

f1(t)+b

f2(t)]←→[a

F1(ω)+b

F2(ω)]说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。696970例1F(ω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(ω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-7070712、时移性质(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(ω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]717172例2F(ω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(ω)=‖+7272733、频移性质(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(ω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[f(t)ejω0t]=F[(ω-ω0)]end737374例4f(t)=cosω0t

←→F(ω)=?Ans:F(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例3f(t)=ej3t←→F(ω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)747475推论：调制定理75ifthen7576767677例6求f(t)=cos(ω0t)u(t)的频谱函数利用调频性解已知777778同理可得7878例

求f(t)=e-αtcos(ω0t)u(t)的频谱函数解：根据调制特性797979解令f1(t)=Agτ(t)，则而80若f(t)←→F(ω)，则证4.尺度变换当a>0时，令at＝x，得到808081当a<0时,令at=x,代入上式综合a>0、a<0两种情况，尺度变换特性表示为81818282特别地当a=-1时，得到f(t)的反转函数f(-t)，其频谱亦为原频谱的反转，即

f(-t)←→F(-ω)

尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。8283（a）（b）（c）图3-12尺度变换性质的说明8383物理意义：信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，所以它所含的频率分量增加a倍，也即频谱展宽a倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍84例8已知f(t)←→F(ω),求f(at–b)←→?解答：

f(t–b)←→e-jωb

F(ω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=8484855、对称性Iff(t)←→F(ω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)-ω→ωthen∴F(t)←→2πf(–ω)F(t)←→2πf(–ω)85858621t)(212tp01-11w)(wSa0pp-（a）门函数及其频谱t1)(tSa0pp-p)(2tpp01-1w（b）抽样函数及其频谱

图3-13868687例9f(t)=←→F(ω)=?Ans:利用对称性：利用尺度变换特性：878788例10←→F(ω)=?Ans:ifα=1,∴88888989例11求信号的FT解：利用对称性得：令利用FT的线性特性简化上式得到：899090例12求下列信号的FT：1解已知90916、卷积性质Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(ω)F2(ω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(ω)*F2(ω)919192Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(ω)F2(ω)92929393设根据FT反变换式939494于是根据FT的频移特性于是949595即9596Ans:Usingsymmetry,例13969697例14试证明97证明：已知根据FT的对称性即979898根据FT的时域卷积特性：已知故989999991001001001017、时域微分和时域积分101Iff(t)←→F(ω)then时域微分特性n为正整数时域积分特性101102时域微分特性证明102根据FT反变换定义式对t求导102103所以103103104时域积分特性证明104已知利用FT的时域卷积特性根据冲击函数的抽样特性所以104105例15f(t)=1/t2

←→?Ans:根据对称性整理得：根据FT的时域微分特性105105106106106107证明：107根据FT的时域积分特性107由于所以即(1)对f’(t)积分得：对上式取FT得：(2)比较（1）和（2）得到：109109即依次类推，可得到：上式提供了计算f(t)的FT的一种简便方法。若计算f(t)的FT比较困难时，可将f(t)多次求导，使f(n)(t)成为冲击和冲击的导数，则f(n)(t)的FT就较容易求出if

f(n)(t)←→Fn(ω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(ω)=Fn(ω)/(jω)n109110f(t)←→F

(ω)Ans:f”(t)=

(t+2)

–

2

(t)+(t–2)F2(ω)=F[f”(t)]

=ej2ω–

2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2

F

(ω)=例161101101118、频域的微分特性频域的微分特性或当n＝1时，111111112证(交换微、积分次序)所以

或112112113同理可证高阶导数

或113113114114例17f(t)=tu(t)←→F

(ω)=?Ans:利用频域微分特性：114115

tu(t)=u(t)*u(t)←→It’swrong.Because

(

)

(

)and(1/j

)

(

)isnotdefined.1151151169、奇偶虚实性Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)Sothat(1)R(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(ω)|=|F(–ω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(ω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(ω)=jX(ω)116116117Proof10、能量定理117117118

Ans:例19求的能量根据对称性取进一步化简得：118118119119根据调制特性得：119120一、正、余弦的傅里叶变换1←→2πδ(ω)由频移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=½(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]11、周期信号的FT120120121二、一般周期信号的傅里叶变换周期信号同样不满足绝对可积条件，即FT不存在，但同样可以用冲击函数表示出来设周期信号,周期为T(1)(2)121121122122(1)式说明周期信号fT(t)的指数函数形式FS系数Fk等于任意一个周期x(t)的FT除以周期T，代入w＝kw0的结果(2)式说明周期fT(t)的频谱FT(w)是一系列的冲击，冲击出现的位置在谐波角频率kw0处，第k个冲击的强度等于响应的FS系数的倍122(1)(2)123123证明：周期信号的指数函数形式FS系数123124124对周期信号取FT由于根据FT的线性特性124125125例20：求周期为T的单位冲激周期函数

T(t)=的指数形式FS和FT

解：125126)1()1()1()1()1()1()1(0)(tTdTT-2T3T2T-3T-LLt)(0ww00w-0w[])(tTdF)(0w)(0w)(0w)(0w02w02w-LL

（a）周期单位冲激序列

（b）周期单位冲激序列的频谱

图均匀冲激串的FT126126127可见，单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列，其冲激强度为ω0。由上例归纳求周期函数的傅氏变换（频谱函数）的一般步骤为:(1)将周期函数展开为傅氏级数；(2)对该傅氏级数求傅氏变换（频谱函数）。127127128例21：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：已知1281281291291291301t)(tfT02t-2t1T1T-LLw[])(tfTF00w0w-tw0

（a）周期矩形脉冲

（b）周期矩形脉冲的频谱图3-18方波串的频谱130130131131131132132132133表傅里叶变换的主要性质1331341341353.3LTI连续系统的频域分析3.3.1系统的频率响应3.3.2周期信号通过LTI连续时间系统的响应3.3.3无失真传输系统3.3.4理想低通滤波器1351351363.3.1

系统的频率响应

傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为ej

t1、基本信号ej

t作用于LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。136136137设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t时，其响应而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(

)，常称为系统的频率响应函数。y(t)=H(

)ej

tH(

)反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t1371、基本信号ej

t作用于LTI系统的响应137138二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(

)ej

tF(

)ej

td

F(

)H(

)ej

t

d

齐次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(

)H(

)]Y(

)=F(

)H(

)138139频率响应H(

)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(

)与激励f(t)的傅里叶变换F(

)之比，即

H(

)

称为幅频特性（或幅频响应）；θ(

)称为相频特性（或相频响应）。

H(

)

是

的偶函数，θ(

)是

的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法139140频率响应的物理意义140140141141142频率响应的物理意义输入信号：输出信号：幅频特性|H(

)|表示系统对输入信号f(t)的各ej

t分量的模的增益，通常用幅频特性的性质判定系统的滤波特性相频特性表示系统对输入信号f(t)的各ej

t分量的移相142142143例：某LTI系统的

H(

)

和θ(

)如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解：用傅里叶变换F(

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(

)=F(

)H(

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(5)+δ(ω+5)H(-5)]+4π[δ(ω–10)H(10)+δ(ω+10)H(-10)]H(

)=H(

)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(

)]=2

+2sin(5t)143143144三、频率响应H(

)的求法1.H(

)=F[h(t)]

2.H(

)=Y(

)/F(

)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。电感、电阻、电容的伏安关系用FT表示：1441451.由h(t)求解先求出系统的冲激响应h(t)，然后对冲激响应h(t)求傅里叶变换。例：已知系统单位冲激响应h(t)=5[u(t)-u(t-2)]，求系统函数145解1462.由微分方程求解已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为146147上式表明H(ω)只与系统本身有关，与激励无关。对上式两边取傅里叶变换[(jω)n+an-1(jω)n-1+...+a1(jω)+a0]Y(ω)=[bm(jω)m+bm-1(jω)m-1+...+b1(jω)+b0]F(ω)

147148例已知某系统的微分方程为求系统的函数H(ω)。解对微分方程两边同时取傅氏变换，得到148149例149149150150150151151151152152例：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tu(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换j

Y(

)+2Y(

)=F(

)f(t)=e-tu(t)←→Y(

)=H(

)F(

)y(t)=(e-t–e-2t)u(t)153153153154154154155155155156156解：画电路频域模型h(t)=e-tu(t)

例：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。3.由电路方程求解1573.3.2周期信号通过LTI连续时间系统的响应将周期为T的周期信号fT(t)展开为：157观察上式可知，当LTI系统的输入信号为周期信号时，输出信号也为周期信号157系统频率响应为H(ω)，则输出158158158159周期信号还可以展开为：设系统频率响应则输出159160160160161161161162162162163163163164系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输

(1)定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

y(t)=Kf(t–td)

其频谱关系为Y(

)=Ke–j

tdF(

)

3.3.3

无失真传输系统164165系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(

)的要求是：

(a)对h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(b)对H(

)的要求：

即

H(

)

=k,θ(

)=–

td

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件：165166166相位失真167例：系统的幅频特性|H(ω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)167168失真的有关概念线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：

各频率分量幅度产生不同程度的衰减相位失真：

各频率分量产生的相移不与频率成正比，使得响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化线性系统的失真：幅度相位变化，不产生新的频率分量非线性系统产生非线性失真：产生新的频率分量1681693.3.4理想低通滤波器

具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。

c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：冲激响应

169理想低通滤波器存在一截止频率。系统对输入f(t)中

的分量无失真传输不传输的分量。170t)(th0dtcwp2t)(td0)1(pwc图

理想低通滤波器的冲激响应可见，它实际上是不可实现的非因果系统。170171图

理想滤波器的幅频特性

1711723.4调制调制就是用包含信息的信号去控制另一个信号的某一个参数（幅度、频率和相位）的过程。下图为一调幅过程。f(t)cosω0ty(t)y(t)=f(t)cosω0t图

调幅方框图17217217