2026新编学案新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质学案讲义

引言：函数——描述变化的数学语言在我们周围的世界中，变化无处不在。从日出日落的时间更替，到物体运动的轨迹，再到经济数据的起伏，无不展现着变量之间的依赖关系。数学作为刻画现实世界的工具，如何描述这种依赖关系？函数，便是我们用以精确捕捉和分析这些变化规律的核心概念。本章将带你走进函数的世界，从概念的源头出发，逐步探索其基本性质，为后续更深入的数学学习奠定坚实基础。第一节函数的概念1.1从具体实例到抽象概念在初中阶段，我们已经接触过一些简单的函数，例如一次函数、二次函数等。那时，函数被描述为“两个变量之间的对应关系”。进入高中，我们需要对这一概念进行更精确和一般化的定义。考虑以下几个问题：*炮弹发射后，飞行高度随时间如何变化？*给定一个正方形的边长，如何确定其面积？*某城市一天中气温随时间的变化曲线。这些问题中都涉及两个变量，当一个变量的值确定时，另一个变量的值也随之唯一确定。我们将这种“唯一确定”的对应关系，抽象为函数的概念。1.2函数的定义定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A.对定义的理解需要把握以下几个关键点：1.非空性：定义域A和值域B（或其非空子集）必须是非空的实数集。2.任意性：对于定义域A中的每一个x，都要有对应。3.唯一性：对于定义域A中的一个x，在集合B中只能有唯一的y与之对应。这是函数概念的核心，常被称为“单值对应”。4.对应关系f：这是函数的灵魂，它描述了x如何“变成”y。f可以是解析式、图像、表格，甚至是文字描述。1.3函数的三要素由定义可知，一个函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成。*定义域：自变量x的取值范围。*对应关系f：如何由x得到y的规则。*值域：函数值y的集合，它由定义域和对应关系共同决定。思考：如何判断两个函数是否为同一个函数？两个函数只有在定义域相同、对应关系也完全相同时，才被认为是同一个函数。值域是否相同是前两者的必然结果。例如，f(x)=x²(x∈R)与g(x)=x²(x>0)不是同一个函数，因为它们的定义域不同。1.4区间的概念为了方便表示函数的定义域和值域，我们引入区间（interval）的概念。设a，b是两个实数，且a<b。*满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作[a,b]。*满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记作(a,b)。*满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b]。*实数集R可以用区间(-∞,+∞)表示。*满足x≥a的实数x的集合记作[a,+∞)；满足x>a的实数x的集合记作(a,+∞)。*满足x≤b的实数x的集合记作(-∞,b]；满足x<b的实数x的集合记作(-∞,b)。这里的“∞”读作“无穷大”，它不是一个具体的数，仅仅是一个记号。1.5函数定义域的确定在研究函数时，确定函数的定义域是首要任务。如果函数是由解析式给出的，那么定义域就是使这个解析式有意义的所有实数的集合。通常需要考虑以下几种情况：1.分式函数：分母不能为零。2.偶次根式函数：被开方数必须大于或等于零。3.零次幂函数：底数不能为零。4.实际问题：除了考虑解析式有意义外，还需考虑自变量的实际意义。例题分析：求函数f(x)=√(x+1)/(x-2)的定义域。解：要使函数有意义，需满足：1.被开方数非负：x+1≥0⇒x≥-12.分母不为零：x-2≠0⇒x≠2所以，函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞)。第二节函数的表示法函数的表示方法是多样的，常见的有解析法、图像法和列表法。每种方法都有其独特的优势和适用场景。2.1解析法（公式法）解析法：就是用数学表达式（解析式）来表示两个变量之间的对应关系，如y=3x+1，y=x²等。优点：简洁明了，便于进行理论分析和运算。缺点：并非所有函数关系都能用解析式表示；有时解析式复杂，不直观。2.2图像法图像法：就是用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系。函数y=f(x)的图像，是平面上所有坐标为(x,f(x))的点组成的集合。优点：直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势、最值等性质。缺点：精确性不足，有时难以进行精确的定量计算。作图基本步骤（以简单函数为例）：1.确定函数的定义域。2.选取定义域内的一些自变量的值，计算出对应的函数值，得到一系列的点(x,y)。3.用平滑的曲线将这些点连接起来（如果函数是连续的）。注意：根据函数定义，对于定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应。因此，函数的图像与任何一条垂直于x轴的直线最多有一个交点。这是判断一个图像是否为函数图像的重要依据（垂直检验法）。2.3列表法列表法：就是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如数学用表中的平方表、三角函数表，以及生活中常见的工资表、成绩表等。优点：可以直接看出自变量与函数值的对应关系，查询方便。缺点：只能表示有限个自变量及其对应的函数值，不便于反映函数的整体变化规律。2.4分段函数在定义域的不同子集上，函数的对应关系用不同的解析式来表示，这样的函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是多个函数。处理分段函数问题时，要特别注意自变量所在的区间，选择对应的解析式进行计算或分析。例题分析：已知函数f(x)={x+1,x≥0,-x,x<0.}求f(2)，f(-1)，并画出函数的图像。解：f(2)：因为2≥0，所以f(2)=2+1=3。f(-1)：因为-1<0，所以f(-1)=-(-1)=1。图像绘制：在x≥0时，是一条过点(0,1)，斜率为1的射线；在x<0时，是一条过原点，斜率为-1的射线。第三节函数的基本性质函数的性质是函数特征的具体体现，研究函数的性质有助于我们更深刻地理解函数的行为和变化规律。本节将学习函数的单调性和奇偶性。3.1单调性与最大（小）值1.单调性的定义我们观察一次函数y=2x+1，它的图像是一条从左到右上升的直线，函数值随x的增大而增大；而函数y=-2x+1的图像是一条从左到右下降的直线，函数值随x的增大而减小。这种函数值随自变量变化而呈现的递增或递减趋势，就是函数的单调性。定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。*如果对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）。*如果对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）。*如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。对定义的理解：*单调性是函数在某个区间上的性质，离开了具体区间，谈论单调性是没有意义的。一个函数可能在某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数。*定义中的x₁，x₂是区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替。*“当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)”描述的是一种整体的趋势。2.单调性的判断与证明判断函数的单调性，通常可以先观察函数的图像，图像从左到右上升则为增函数，下降则为减函数。但要严格证明，则需要依据定义进行。用定义证明函数单调性的步骤：1.取值：设x₁，x₂是给定区间D上的任意两个自变量，且x₁<x₂。2.作差：计算f(x₁)-f(x₂)。3.变形：对差式进行变形（通常是因式分解、配方等），以便判断其正负。4.定号：根据变形结果，判断f(x₁)-f(x₂)的符号。5.结论：根据定义得出函数在区间D上的单调性。例题分析：证明函数f(x)=x²在区间[0,+∞)上是增函数。证明：设x₁，x₂是[0,+∞)上的任意两个实数，且x₁<x₂。则f(x₁)-f(x₂)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)(x₁+x₂)。因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0。又因为x₁，x₂∈[0,+∞)，且x₁<x₂，所以x₁+x₂>0。因此，(x₁-x₂)(x₁+x₂)<0，即f(x₁)-f(x₂)<0，所以f(x₁)<f(x₂)。根据定义，函数f(x)=x²在区间[0,+∞)上是增函数。3.函数的最大（小）值函数的最大值和最小值是函数在其定义域或某个区间上的“峰值”和“谷值”。定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1.对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（或f(x)≥m）。2.存在x₀∈I，使得f(x₀)=M（或f(x₀)=m）。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）（或m是函数y=f(x)的最小值（minimumvalue））。思考：单调函数在闭区间上一定有最大（小）值吗？如何求？3.2函数的奇偶性1.奇偶性的定义观察函数f(x)=x²和f(x)=x³的图像，我们发现f(x)=x²的图像关于y轴对称，而f(x)=x³的图像关于原点对称。这种对称性反映了函数的一种特殊性质——奇偶性。定义：设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x∈D，都有-x∈D，且*f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（evenfunction）。*f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数（oddfunction）。对定义的理解：*函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它一定既不是奇函数也不是偶函数。*“任意”二字至关重要，不能仅通过几个特殊值来判断。*既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，例如f(x)=0（定义域关于原点对称）。2.奇偶函数的图像特征*偶函数的图像关于y轴对称。*奇函数的图像关于原点对称。这一特征为我们判断函数的奇偶性提供了直观的方法。3.奇偶性的判断步骤1.判断定义域是否关于原点对称。若不对称，则函数为非奇非偶函数。2.计算f(-x)，并与f(x)、-f(x)进行比较。*若f(-x)=f(x)，则为偶函数。*若f(-x)=-f(x)，则为奇函数。*若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则为非奇非偶函数。例题分析：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x³+x(2)f(x)=x²-1(3)f(x)=x+1解：(1)函数f(x)=x³+x的定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³+(-x)=-x³-x=-(x³+x)=-f(x)。所以f(x)是奇函数。(2)函数f(x)=x²-1的定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)²-1=x²-1=f(x)。所以f(x)是偶函数。(3)函数f(x)=x+1的定义域为R，关于原点对称。f(-x)=-x+1。f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。所以f(x)是非奇非偶函数。第四节函数性质的综合应用掌握了函数的概念、表示法以及单调性、奇偶性等基本性质后，我们可以将这些知识综合起来，解决更复杂的问题，例如利用单调性比较大小、解不等式，利用奇偶性简化函数图像的绘制或求值等。例题分析：已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，且在[0,2]上单调递增，若f(1)<f(m)，求实数m的取值范围。分析：因为f(x)是偶函数，所以f(m)=f(|m|)。又因为f(x)在[0,2]