2026年高考数学终极冲刺：压轴22 解析几何中的创新与融合问题的3大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析）

压轴22解析几何中的创新与融合问题的3大核心题型随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断深入，圆锥曲线中的创新类试题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类试题一般可分为两类：一是“新定义曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19题）.对于“新定义曲线”类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.题型01圆锥曲线与其他知识的交汇技法技法指导解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处理，从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.1.（2026·河南周口·模拟）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．(1)求t的值；(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；(3)求的面积．2.（2026·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；(2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为.（i）求曲线的方程；（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.题型02曲率与曲率半径问题技法技法指导函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率半径的求法：设曲线y＝f(x)在(x0，y0)处的曲率半径为r，则由公切线及圆的切线性质可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x0）＝－\f(x0－a,y0－b)，,f″（x0）＝\f(r2,（b－y0）3)，))由(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2知[f′(x0)]2＋1＝eq\f(r2,（y0－b）2)，所以r＝eq\f({[f′（x0）]2＋1}\s\up6(\f(3,2)),|f″（x0）|).3.（2026·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若函数，求曲线在点处的曲率.(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.4.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中，分别表示在点A处的一阶、二阶导数）；(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆在处的曲率；(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围.题型03利用函数性质之间的关系推理论证技法技法指导对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.5.焦距为的椭圆（）满足､､成等差数列，称为“等差椭圆”.(1)求的离心率；(2)过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值；(3)设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线､分别与轴交于､两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由.6.（2025·上海徐汇二模）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”．（1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由．1．（2025·湖南长沙一模）设双曲线，正项数列满足，对任意的，，都有是上的点．（1）求数列的通项公式；（2）记，是否存在正整数，使得与有相同的渐近线？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．2.（2025·上海浦东新·三模）设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为、右顶点为.（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，求的值；（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆.椭圆上异于、的任意一点，且椭圆上的点（）求证：.3．（2025·河北沧州二模）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称为格点，若曲线上存在3个格点构成三角形，则称为“3格曲线”.(1)若椭圆为“3格曲线”，求的离心率；(2)若椭圆上存在个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为的左顶点的概率为，求；(3)若直线上存在2个格点，使得，其中为曲线：与轴正半轴的交点，求的值.4．（2026·甘肃武威一模）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．5．（2026云南大理模拟）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记，则函数在点处的曲率.(1)求曲线在点处的曲率；(2)已知函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.6.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线是一条伯努利双纽线.(1)求曲线C的焦点，的坐标；(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.7.（2025·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；(2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为.（i）求曲线的方程；（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.8..（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．

压轴22解析几何中的创新与融合问题的3大核心题型参考答案压轴题型精讲题型01圆锥曲线与其他知识的交汇1.【解】（1）因为点在抛物线上，则，解得；（2）由可知，，因为点在抛物线上，则，且，过，，且斜率为的直线，联立方程，消去得，解得或，因为，故，即，故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以，又，所以，所以，所以，又是关于的递增函数，故，的取值范围是；（3）由（2）知：，，，直线的方程为，即，点到直线的距离为，，所以的面积为．2.【解】（1）（1）因为，即，绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点，则，所以；（2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线，设为曲线E上点旋转后的对应点，设，则，又因为，所以，整理得，

（ii）由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且，AB与CD交点满足，且在椭圆内部，当AB与重合时；·当AB与不重合时，设直线，联立，整理得，则，所以，

同理可得，

，当且仅当，即时取等号，

因为，即四点构成的四边形面积的最小值为.题型02曲率与曲率半径问题3.【解】（1）因为，所以，则，故曲线在点处的曲率.（2）证明：因为，所以.，则，故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.（3）因为，所以，则，则，即.令，则，即存在，使得不等式成立.令，则0在上恒成立，则在上单调递减，则，解得或，故的取值范围为.4.【解】（1）由题意可得单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；（2）在中，取，则得，则，，故，，故．（3），，故，其中，令，，则，则，其中（不妨）令，则，由，可得；由，可得，故在递减，在递增，故；令，，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增，可得，即，故有，则在递增，又，，故，故．题型03利用函数性质之间的关系推理论证技法技法指导对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.5.【解】（1）解：由题意，且，所以代入可得.即，解得（舍去）.（2）解：显然，斜率存在，设直线的方程为.联立，代入化简得①方程①的，令，化简得，所以.由（1）的结论可知，.（3）解：设，.直线的斜率，直线的方程，令，解得，即.直线的斜率，直线的方程，令，解得，即.设，则，，，代入化简得②.因为点在椭圆上，所以，即.于是方程②化为.无论､取何值，当时总有，所以，以线段为直径的圆经过定点和.6.【解】（1）即，∴∴与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得则∴∴∴在椭圆C的外部．（3）同理可得此时与椭圆相离，设则代入椭圆，利用M在上，即，整理得同理得关于的方程，类似．即是的两根∴．1.【解】（1）由题，，即，，，故是以为首项，为公差的等差数列，故，又，于是．（2）由，得，的渐近线方程为，的渐近线方程为，故，即，故．2.【解】（1）解：显然椭圆的方程为，由椭圆与相似易得：当时；…当时，所以或（2）证明：易得所以、的方程分别为、依题意联立：又直线与椭圆相切则（又）即…依题意再联立：又直线与椭圆相切则（又）即即故（3）解：显然椭圆：，椭圆.…由椭圆上的任意一点于是椭圆上的点即又则又则，又所以.3.【解】（1）由题可知，的左顶点，右顶点是两个格点.因为，所以的上，下顶点不为格点.又为“3格曲线”，所以上至少存在一个异于椭圆顶点的格点，则，则，由，可得，解得，则的离心率；（2）由（1）可知，当时，是上的格点，且，此时上有，共6个格点，则当时，易知上有，共4个格点，则，当时，易知上有，共2个格点，不符合题意，故；（3）因为是直线上的两个格点，所以，显然，则，即.又，所以，不妨设.当，时，，且.则，得,当时，若，则，解得,若，则，解得,当时，,若，则，解得,若，则，解得,综上所述，的值可能为或1或3或.4.【解】（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.在处，，所以曲线在点处的曲率为.考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.将其联立，得到，即，即.若，则原方程组还有另一个解，矛盾.而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.所以所求的半径最大的圆的方程为.（3）首先有.设，则我们又有，，故.当，时，.所以的最大值是.5.【解】（1）解：，，所以曲线在点处的曲率为（2）证明：由题意可得，，若曲率为0，则，即，即，令，则，得，所以在上，，单调递增，且；在上，，单调递减，且.又，所以有两个解.设为，，，又，所以，可设，，所以，，，化简可得，则.要证，即证，需要证，即证，令，，所以在上单调递增，所以，得证．6.【解】（1）方法一：设焦点，，曲线与x轴正半轴交于点，由题意知，于是，，因此，；方法二：设焦点，，由题意知，即，整理得，于是，.因此，，；（2）假设曲线C上存在两点