2026年高考数学终极冲刺：压轴24 概率与统计中的创新与融合问题的6大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析）

压轴24概率与统计中创新与融合的3大核心题型概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现.题型01概率、统计与数列的融合问题技法技法指导概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.1.（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.(1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；(2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求事件发生的概率.2.（2025·安徽六安二模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.题型02统计与函数的融合问题技法技法指导概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.3.（2025·安徽合肥一模）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．(1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率；(2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值．4.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立．(1)求甲未获得奖品的概率；(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？题型03概率、统计中的新定义问题技法技法指导解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．5.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：；(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．6.若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中.甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.(1)求，；(2)求；(3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.1．（2025·重庆八中二模）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.2.（2025·福州二模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：；(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．3．（2025湖北七市州调研）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：对A的需求量0123概率若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.(1)求的分布列；(2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.（i）求商品A的定常态分布；（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率.4．（2025·山东潍坊·二模）有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为．(1)当时，求恰好有次成功的概率；(2)令，若，证明：；(3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．5.（2025·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；②若是①中的值，求（结果用，表示）；(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．6．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．(1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和；(2)对于两个不相互独立的事件，，，．①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；②定义为与的相关系数．（ⅰ）若，求证：与正相关；（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．7．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为，共有个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.(1)求；(2)当时，求的表达式；(3)令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值.8．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响．(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）；(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值．参考公式：若，则．9．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求．(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列；(3)求甲获得训练赛胜利的概率．10．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．(1)求和；(2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为．（i）证明：存在常数，使得；（ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得．11．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为．(1)求；(2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式．12．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；(2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且.（i）求；（ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由.

压轴24概率与统计中创新与融合的3大核心题型参考答案压轴题型精讲题型01概率、统计与数列的融合问题1.【解】（1）的可能取值为1和2，且；，则的分布列如下：12则的期望为.（2）（ⅰ）①②①-②得：.又，则，即.（ⅱ）③，①+②得：.由③知又；则有，其中；则是以为首项，为公比的等比数列.可得：；所以2.【解】（1）可能取值为2，3，4，，

，.的分布列为234数学期望.（2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，所以，则，则有，两式相减，得，所以.题型02统计与函数的融合问题3.【解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，，所以所求概率为，所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为；（2）由（1）可知，整理可得，因为，，且，所以，，令，则，所以，，则，当时，恒成立，在上单调递增，所以当时，取得最小值，设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从，又，所以，则由，即，解得，因为为正整数，所以n的最小值为．4.【解】（1）甲三次投篮都命中的概率为，甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为，所以甲未获得奖品的概率为.（2）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为XP则，令，则，所以，其中随的增大而减小.当时，，，当时，，所以，故当时，甲投篮次数的期望最大．题型03概率、统计中的新定义问题5.【解】（1）由题意可得满足二项分布，由知，，当且仅当时取等号；（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），（混管中恰有i例阳性）=，，令，，则，当时，，为单调递减，当时，，为单调递增，所以，且，，所以当，即，两边取自然对数可得，所以当，时，所以，则．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.6.【解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，所以，因为是不可能事件，所以；（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，所以，所以；（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，所以，又的可能取值为，所以，，，所以，，，所以的分布列为所以1.【详解】（1）由题知随机变量，所以.（2）设事件，由题图可知，则，即.设，则，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，取得最大值，即取得最大值，所以，即，解得或，因为，所以.2.【解】（1）由题意可得满足二项分布，由知，，当且仅当时取等号；（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），（混管中恰有i例阳性）=，，令，，则，当时，，为单调递减，当时，，为单调递增，所以，且，，所以当，即，两边取自然对数可得，所以当，时，所以，则．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.3.【解】（1）由题意，第2周开始时商品A不同供给量的概率为，，第3周开始时商品A供给量的概率为，.第3周开始时商品A的供给量分布列为12（2）（i）记为商品A第周内的的需求量，由题意，与的状态有关，当时，若，则；若，则，设，即，由全概率公式可得，，由，得，解得，故.（ii）由（i）可知，定常态分布，所以从长远来看，，记商品A需求大于供给的概率为，由全概率公式得.4.【解】（1）当时，恰有次成功即恰有次失败，由于必成功，因此失收只能发生在或上，当失败，成功时，概率为，当成功，失败时，概率为，所以恰有次成功的概率．（2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功．则前次均成功的概率为．第次失败的概为，后续次成功的概率为，所以失败发生在第次的概率为，则.（3），理由如下：所有试验均成功的概率为，即证，即．①因为当时，即，所以．即，所以①式成立，即．5.【解】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：.②依题意，，，显然，则，所以.（2）由定义及全概率公式知，.6.【解】（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，，，，，所以的分布列如下，0123所以；（2）（i）由，则，所以，故与正相关，得证；（ii）由题意，，，所以，结合（i）结论，故与正相关.7.【解】（1）由题可知当时，，即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，则恰好取到的概率为；（2）由题当时，这个数由位数组成，；当时，这个数由个一位数和个两位数组成，则；当时，这个数由个一位数、个两位数和个三位数组成，则；当时，这个数由个一位数、个两位数、个三位数和个四位数组成，则；综上所述；（3）当时，，当时，；当时，，即，同理有，由可知，所以当时，，当时，；当时，；当时，，由函数是关于单调递增的，得当时，有的最大值为，又，所以当时，的最大值为．8.【解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中.所以.（2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为.乙获胜的情况为：乙第1次射击并命中，概率为；第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为；第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为；第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.甲获胜的情况为：第1轮乙未命中，甲命中，概率为；第2轮乙未命中，甲命中，概率为；第3轮乙未命中，甲命中，概率为；第轮乙未命中，甲命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.由题意知，恒成立，即恒成立，因为，，所以，所以恒成立，即.因为，所以，，所以.所以的最小值为.9.【解】（1）由题意可知经过3局比赛，甲获得训练赛胜利，需3局连胜，则；（2）由题意，​为事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，故即为甲的净胜局数，所以.经过若干局后，假定当前，①当时，即甲的净胜局数，则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以；②当时，即甲的净胜局数，乙的净胜局数，则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则；③当时，由甲的净胜局数，则乙的净胜局数为，且，故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局.记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”（），事件“下一局比赛甲获胜”，下一局若甲赢（即事件发生），则；若乙赢（即事件发生），则；因为，，，且，所以由全概率公式得，，即，因此，整理得，两边都减去，则可得，又当时，，故数列：是公比为2的等比数列．即数列是公比为2的等比数列．（3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为.记，则，由（2）知，数列是公比为2的等比数列，则，解得，所以，又，所以，故甲最终获得训练赛胜利的概率为.10.【解】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C），第2秒要回