2026年高考数学终极冲刺：专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题（抢分专练6大热点题型）（原卷版及解析）

③函数类型的一切函数．④常数函数2、奇偶性技巧（1）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.（3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.（5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2026高三·全国·专题练习）设函数，则的图象（

）A．关于对称B．关于对称C．关于直线对称D．关于对称3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（

）A．0 B．1 C．2 D．45．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．67．（多选题）（2027高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在区间上单调递减，在区间上单调递增D．没有最小值8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（

）A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为9．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则关于的不等式的解集是__________．10．已知函数，______；的最小值是______．11．（25-26高三上·河南濮阳·月考）已知函数存在对称中心，求的最小值________题型4函数f(f1．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（多选题）设函数，若函数恰有4个不同的零点，，，，且，则实数可以是（

）A． B． C． D．4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________.5．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________.题型5函数f(g对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．1．已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（

）A． B． C． D．2．已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为___________．5．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.题型6函数af(1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（

）A． B． C．0 D．12．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（

）A． B．C． D．3．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（）A． B． C．8 D．165．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________.6．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________.1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2025·江西·二模）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（

）A．B．C．D．5．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（

）A． B． C． D．7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数不可能为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，且）在R上为单调函数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．512．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．13．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．为偶函数B．的值域为C．不存在，使得D．在区间上单调递减16．（多选题）已知函数，则（

）A．为偶函数B．的单调递增区间为C．当时，D．的最小值为17．（多选题）定义在上的函数，则（）A．函数是奇函数B．函数的值域为C．函数关于直线对称D．函数在上单调递减18．（多选题）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同19．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（

）A． B．C． D．20．（多选题）（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（

）A．方程有两个不同的实根B．C．是方程的一个根D．21．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（

）A． B．C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是22．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．23．已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.24．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是_______．25．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．26．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________．27．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________.28．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数的取值范围为______________.29．已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．30．已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______.

专题02圆锥曲线小题十大热点题型题型考情分析考向预测1.求圆锥曲线的轨迹方程2025年天津卷：第9题考查了双曲线抛物线综合性质，求双曲线的离心率2025年新高考卷ⅠI：第6题考查抛物线性质，求焦半径2025年新高考卷I：第3题考察双曲线离心率2024年天津卷：第8题由几何性质求双曲线的标准方程2024年新高考I卷：第12题由几何性质求双曲线的离心率1题量分值新高考卷统一固定1道小题单选或多选为主三大曲线随机轮换命题2难度定位整体以中档题为主极少单纯基础送分偶尔结合临界条件设置小压轴用来划分中等以上分数段3考查核心弱化复杂联立运算重点围绕圆锥曲线核心定义几何性质命题离心率渐近线焦点几何特征为长期高频核心考点4命题规律不单独拆分椭圆双曲线抛物线多题考查5交汇趋势常结合直线与圆平面向量简单不等式浅层交汇以几何位置关系长度角度范围临界相切为主要设问形式6命题风格侧重动态点动态直线的位置分析突出条件转化与数形简化7备考导向主攻单曲线核心性质吃透离心率通用解法熟记渐近线焦点三角形基础结论2.由几何性质求圆锥曲线的标准方程3.与圆锥曲线定义有关的最值问题4.圆锥曲线的焦点三角形问题5.圆锥曲线的中点弦长问题6.与椭圆性质有关的综合题型7.与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）8.与抛物线有关的综合题型9.直线与圆及圆锥曲线的综合题型10.求圆锥曲线的离心率题型1求圆锥曲线的轨迹方程知识点解析1依托三大圆锥曲线几何定义与动点等量关系2主流方法定义法直接法相关点法消参法解题方法1定义法满足距离和/差/等距条件直接判定曲线类型写方程2直接法列式化简注意自变量范围限制3相关点法动点关联已知曲线点坐标代换求解常考结论【例1】（2025·江苏南京·三模）已知曲线C:x2+y2=8y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PA．x28+C．y28+【答案】A【分析】设点M（x,y），由题意，因为M是PP'【详解】设点M(x,y)，因为M是PP'的中点，且PP又P在圆C:x2+x2+4y即点M的轨迹方程为x2故选：A.【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知定点P−2,0、Q2,0，平面内两个动点M、N满足OM=1，MN⊥ MQ，且点M在∠PNQA．x2+yC．x2−y【答案】C【分析】对点N的位置进行分类讨论，当点N在y轴右侧时，延长QM交PN于点R，分析可知NR=NQ，且M为【详解】易知N点不在x轴上，由OM=1知动点M在单位圆x设点N在y轴右侧，如图，延长QM交PN于点R．因为点M在∠PNQ的平分线上，且MN⊥MQ，所以△NQR为等腰三角形，则NR=NQ，且M为RQ的中点，所以因此NP−同理，当点N在y轴左侧时，NP−故点N在以P、Q为焦点的双曲线上，则该双曲线实轴长为2a=2，焦距2c= PQ=4所以双曲线方程为x2【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知直线l:x−1=0与圆O:x2+y2=1相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足PO⊥OA，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则当【答案】−1,2或【分析】设Px,y，根据条件，列出等式，可得点P的轨迹方程，再设Px0【详解】设Px,y，则x≠0，直线l:x=1与圆O:x2+y由以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，可得x−1=化简可得y2=−2x，且再设Px0,则cos∠PTO=由于对勾函数y=x+1xx<0在x∈所以当x0=−1时，x0此时P−1,2或题型2由几何性质求圆锥曲线的标准方程知识点解析1椭圆2双曲线3抛物线解题方法1先判断焦点轴设对应标准方程2利用顶点焦距离心率定点条件求常考结论椭圆双曲线渐近线随焦点轴切换抛物线为焦点到准线距离【例2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆C：x2a2+y2a2−1=1a>1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交C于【答案】x【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于a的方程，进而求出a2【详解】设F2B=m，则A因为AB=BF根据椭圆的定义可得∣BF1∣+∣B因此AF2=2m=a在△AF1F在△BF1F2​中，∣BF由∠AF2F对△AFcos∠A对△BF1F所以ca=−4又椭圆中c2所以3×1=a2，即因此椭圆C的方程为x【变式2-1】（25-26高二上·天津·期中）双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、【答案】x【分析】可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF2=m【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F设PF2=m，∠P由tanθ1=因为∠F1PF2=90°，所以由tanθ2=由正弦定理可得：PF则由PF2=m由S△PF1则PF所以PF1−所以双曲线的方程为x2故答案为：x2【变式2-2】（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，抛物线C的方程为y2=2pxp>0，焦点是F，圆心在x轴上的圆E与抛物线C在第四象限有且只有一个公共点M，且它们在点M处的切线是同一条直线.若点M的横坐标为3，∠FME=π6A．18 B．12 C．9 D．6【答案】A【分析】作出公共切线l，并过M作射线MN//x轴，则由抛物线的光学性质可得∠FME=∠EMN=∠FEM=π6，再利用抛物线定义计算可得E点坐标，最后利用直线【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点M处的公共切线l，同时过M作射线MN//x轴，则有EM⊥l，由抛物线的光学性质，可得∠FME=∠EMN=∠FEM=π∴FE=FM=x且kEM又yM2=2p×3=6p，代入得1题型3与圆锥曲线定义有关的最值问题知识点解析1利用曲线定义转化线段避开复杂运算2焦半径存在固定取值区间解题方法1椭圆定值和转化结合三点共线求最值2双曲线距离差定值限定单双分支3抛物线焦点距离等价准线距离几何化秒杀常考结论椭圆焦半径抛物线【例3】【多选题】（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆C:y216+x212=1上的一个动点，A．PA+B．PA+C．PA+D．PA+【答案】BD【分析】确定A0,−2，M0,2为【详解】圆M:x2+y−22=1的圆心为M0,2由椭圆的定义知，PA+由Q为圆M上的动点，得PQ1≤则PA+即7≤PA+PQ【变式3-1】【多选题】（2026·辽宁锦州·模拟预测）A, B分别为椭圆C1:x29A．PA+AF≥6+17 B．C．PB+BF≥17−2 【答案】BC【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值.【详解】由椭圆C1:x29+y25由椭圆的定义：对椭圆上任意点A，AF+AF1=2因此：PA+AF=PA+6−AF由三角形不等式：PA−AF又P2,1，则P故PA+AF≤6+17由双曲线C2:x2−y23=1由双曲线的定义：若B在右支：BF1−BF=2因此：PB+BF=PB+BF由三角形不等式：PB+BF1≥P若B在左支：BF−BF1=2因此PB+BF=PB+BF综上，总有PB+BF≥17【变式3-2】【多选题】（2026·黑龙江·一模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，P为C上一动点，AA．若PF=4，则点P的坐标为B．若A5,3，则PAC．若A3,0，则PA的最小值为D．若A3,0，则∠APF的最大值为【答案】BCD【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出tan∠APF【详解】对于A，因为焦半径PF=xP+p2=4所以P3,±2对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得y2=20>9，所以点所以PA+PF≥5+1=6，当且仅当PA对于C，设Px0,所以|PA|所以PA的最小值为22对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限，如图所示：则tan=y令t=x0t≥0，分母为y=当t∈0,1，y'<0，所以y=当t∈1,+∞，y'>0，所以所以当t=1时，ymin此时tan∠APF≤1，由图知0<∠APF<π，所以题型4圆锥曲线的焦点三角形问题知识点解析1曲线上动点与两焦点构成三角形2结合正余弦定理边长角度面积综合考查解题方法1联立曲线定义与余弦定理构造边角关系2直接套用二级面积公式快速运算常考结论【例4】【多选题】（2026·重庆九龙坡·一模）已知F1，F2分别为椭圆C:x28+y24=1的左、右焦点，P为椭圆A．椭圆C的离心率为12 B．C．直线PQ的斜率为2 D．PQ【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断.【详解】对于A，由题意知a2=8,b2=4所以离心率e=c对于B，由椭圆定义可知PF在△F1P即16=32−3PF1对于C，由S△F1因为点P和点Q关于原点O的对称，所以xQ又P为椭圆C上一点，所以xp28所以kPQ对于D，PQ=故D正确；故选：BD【变式4-1】【多选题】（2026·四川泸州·模拟预测）已知双曲线C：x24−y2b2=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1A．|OH|＝2 B．PC．双曲线C的渐近线方程是y=±52x 【答案】AD【详解】对于A，已知H是过F1作C的一条渐近线的垂线l其渐近线方程为y=−bax，即bx+ay=0所以F1所以OH=对于B，过点F2作F2Q⊥F1所以QF又cos∠F1PF又sin∠F1对于C，由B选项可知PF因为PF1−在△F1P所以(2c)2所以c2=13，b2所以双曲线C的渐近线方程是y=±3对于D，四边形OF2=1【变式4-2】【多选题】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)A．|AF1|=8C．C的渐近线方程为y=±x D．△AF1【答案】ABD【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据△AF1F【详解】对于A，双曲线C:x24不妨设A点在第一象限，由双曲线定义可知|AF因为|AF1|=2|AF2对于B，因为∠AF1F所以△AF故|AF1|对于C，由B可知，|BF因为|BF1|−|BF2|=2a=4，所以所以b2=c所以C的渐近线方程为y=±b对于D，由余弦定理可得cos∠sin∠所以S△A题型5圆锥曲线的中点弦长问题知识点解析1中点弦核心为点差法弦长依托韦达定理2斜率垂直关系为高频考点解题方法1点差法两点代入作差快速求中点弦斜率2通用弦长公式结合判别式计算常考结论椭圆中点弦【例5】（2026·河北·模拟预测）已知椭圆C:x24+y25=1内有点M(1,1)，H12,1，过点M的直线交椭圆CA．98 B．54 C．75【答案】B【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2,Qx0,y0【详解】设Ax因为Q为AB的中点，所以x1+x因为x124+y所以，当直线AB的斜率存在时，kAB因为A,B,Q,M四点共线，所以kAB=kQM，即−5x0当直线AB的斜率不存在时，点Q的坐标为Q1,0，满足方程5所以，点Q的轨迹方程为5x0所以x0所以HQ=x0−122由方程5x0−122+4所以，HQ=y0所以|HQ|的最大值为54【变式5-1】（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线E:x2a2−A．0,154∪C．1,103∪【答案】C【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得b2a2【详解】若点(3a,a)在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以(3a,a)为中点的弦，此时9a2a2−所以e=c若点(3a,a)在右焦点所在的双曲线外部，则1<e<3设以(3a,a)为中点的弦与双曲线E交于A(x则x1则x12a两式作差得x12−因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点，则3b2a2<则e=c综上，离心率的取值范围是1,10故选：C【变式5-2】（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线C:y2=4x，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM【答案】2【分析】先根据题意设出直线l的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理求出中点的坐标，进而求出直线斜率，分类讨论求斜率最大值.【详解】由y2=4x得F(1,0)，由题意知直线所以设直线l的方程为x=my+1，A(x联立y2=4x,x=my+1消去xΔ>0，则由韦达定理得y1+y所以M2m2当m=0时，kOM当m>0时，kOM当且仅当2m=1m，即当m<0时，kOM综上，直线OM的斜率的最大值为22题型6与椭圆性质有关的综合题型知识点解析1离心率对称性焦半径公式2常与向量不等式范围问题交汇解题方法1利用对称简化计算齐次化求解离心率2坐标转化处理向量数量积常考结论【例6】【多选题】（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆C:x24+y22=1,F为C的右焦点，点A,B在C上，且关于y轴对称，A．kB．PA的最小值为1−C．PQD．存在点A，使得∠QPF=【答案】BCD【分析】设C的左焦点为F1，利用对称性，如kBF=−kAF1，BF=A【详解】对于选项A，由题意得a=2,b=2,c=2，如图，设C的左焦点为F1，连接AF1,BF，由C的对称性知kBF=−kA对于选项B，因为P为线段AF的中点，所以PA=12AF，因为AF的最小值为a−c=2−2，所以PA对于选项C，因为P,Q分别为线段AF,AB的中点，所以PF=12对于选项D，设Ax0,y0−2<y0<2，则x024+y022=1【变式6-1】【多选题】（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆C：x25+y2=1的左、右焦点分别为F1，FA．△F1B．若A1,0，则PA的最小值为C．满足△F1PD．y0x【答案】ACD【分析】由椭圆的定义可得△F1PF2的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分∠PF1F2=90°、∠PF2F1=90°、∠【详解】对于A：易知a=5，b=1，则c=由椭圆的定义可知，PF所以△F1P对于B：PA=x0当x0=5对于C：易知，当∠PF1F2=90°或∠P以F1F2为直径作圆，圆心为原点，半径r=2，而椭圆上的点到原点距离的范围为故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的P点有4个；综上，满足△F1P对于D：y0x0+4可以看作是椭圆上的点与点设该直线的方程为y=kx+4联立x25+Δ=由Δ≥0，得−220k2+20≥0，即所以y0x0【变式6-2】【多选题】（2026·四川广安·二模）椭圆C:x2m2+1+y2m2=1的左、右焦点分别为F1，F2A．C的短轴长为3 B．C的焦距为2C．△ABF2的周长为8 D．C【答案】BC【分析】由题意推得a=2c，结合椭圆方程求出m2【详解】由图知，|AF1|=|AF2又|F1F2|=2c由C:x2m2+1由a=2c可得m2+1=4，解得m2焦距为2c=2，故B正确；△ABF2的周长为题型7与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）知识点解析1离心率渐近线为核心特色考点2焦点到渐近线距离为定值解题方法1渐近线方程直接列式结合距离公式求解2由渐近线斜率快速推导离心率常考结论渐近线焦点到渐近线距离【例7】【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，过点0,1的直线l与C的左、右两支分别交于A，A．C的渐近线方程为y=±x B．C的离心率为2C．△AOB面积的最小值为2 D．直线A2A，A【答案】ACD【分析】根据A1A2=2求出a，设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点到直线距离公式求出B到两条渐近线的距离，由题意列式即可求出b=1，可判断A；根据c=a2+b2求出c【详解】由A1A2设Ax1,y1，Bx2,y所以d1所以b=1，故C的渐近线方程为y=±bc=a2+由上知C:x2−将其代入x2−y则x1+x所以S△AOB=1函数y=12−k所以当k=0时取得最小值2，故C正确；设直线A2A，A2B的倾斜角分别为易知3π4<α<π，π4tan=2k又π<α+β<3π【变式7-1】【多选题】（2026·甘肃酒泉·二模）已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0A．OPB．若F2Q=2QPC．若双曲线C的离心率为2，则cosD．若Q为线段PF2的中点，则双曲线C【答案】ACD【分析】A易得双曲线C的一条渐近线方程为y=bax，利用点到直线的距离公式求得PF2=b，再结合勾股定理求解即可判断；B设P在渐近线y=bax上，先求出Pa2c,abc，再结合F2Q=2QP【详解】A，双曲线C的一条渐近线方程为y=bax不妨设P在渐近线y=bax而OF2=cB，不妨设P在渐近线y=b由A知，OF2=c，PF2则yP=OP⋅P即F2因为F2Q=2QP，所以将Qc2+2整理得c2=5a2，则c=5C，由双曲线C的离心率为2，则e=ca=则c2=2a2=a2而F1−2a,0,则cos∠D，由B知，Pa2c,abc，若将Qa2+整理得c2=2a2，则c=2【变式7-2】（2026·广东佛山·一模）设F1，F2是双曲线C:x23−y2=1的左、右焦点，过右焦点F2的直线A．双曲线C的两条渐近线夹角为π3 B．AFC．当F1F2=2OA时，△AF【答案】ACD【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由F1F2=2OA推出点A在以F【详解】对于A：双曲线x23−y2=1的渐近线方程为对于B：由双曲线的定义可得AF所以AF又AF1=因为AF2>c−a=2−对于C：F1F2=2c=4，故OA=2由x2+y2=4所以S△A对于D：由双曲线定义可得AF所以周长L=A当AB⊥x轴时，AB最小，将x=2代入双曲线方程，得y=±33，故所以Lmin题型8与抛物线有关的综合题型知识点解析1离心率定义等价转化为核心2焦点弦存在固定坐标乘积结论解题方法1准线等距转化解决最值与距离问题2焦点弦设线联立用韦达定理秒杀常考结论【例8】（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=2pyp>0的焦点为F，准线为l．过F的直线与C交于A,B两点，过A作l的垂线，垂足为P，PFA．AP=AF B．C．∠AOB可能为锐角 D．P,O,B三点共线【答案】ABD【分析】对于A，因为抛物线的定义是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于点A在抛物线C上，AP是A到准线l的垂线，可判断|AP|与|AF|的关系；对于B，根据抛物线性质，结合等腰三角形性质即可判断；对于C，设出A、B两点的坐标，设直线AB:y=kx+p2，联立抛物线方程，可得根与系数关系，计算OA⋅OB，根据其正负判断∠AOB是否可能为锐角；对于D，求出直线OP和直线OB的斜率，判断P、【详解】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，从而有AP=对于选项B，设准线l与y轴交于点G，由OF=OG=p2，OQ//PG从而FQ=PQ，又AP=对于选项C，由题意，直线AB的斜率存在，故可设Ax1,y1联立：y=kx+p2x2=2py从而有x1+x2=2pk,得y1则OA=x1,y则∠AOB不可能为锐角，选项C错误；对于选项D，直线OB的斜率kOB由Px1,−p2由x1x2=−p则P,O,B三点共线，选项D正确.【变式8-1】【多选题】（2026·湖南·二模）设抛物线C:y2=2px的焦点为F，F到准线l的距离为2，过F的直线交C于A、B（A在第一象限）两点，过点A作准线l的垂线，垂足为N，直线NF交y轴于点MA．抛物线C的方程为y2=4x B．若AFC．若AN=4，则AM=14 D．若BF=【答案】ABD【分析】利用焦点到准线的距离计算即可得A；由抛物线定义可计算出点A坐标，再利用面积公式计算即可得B；利用焦半径公式计算可得点A坐标，则可得点N、M坐标，即可得C；设出直线AB的方程，联立曲线方程，利用韦达定理计算可得BF、AF，再利用焦点弦公式计算即可得D.【详解】对A：因为F到准线l的距离为2，所以p=2，故抛物线方程为y2对B：因为AF=2OF=AN=p=2，则x则S△AOF对C：若AN=4，则xA=3，y所以N−1,23，kFN=2所以M0,3，故对D：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+1，A(x联立x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0又x1=my1+1因为BF=13FA，即则1AF所以a=43，AB=AF+又点A在第一象限且BF=13FA，所以m=1【变式8-2】【多选题】（2026·湖北十堰·二模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D−1,0为C的准线l1上一点，过焦点F且斜率大于0的直线l2与C交于A，B两点（A在第一象限），与准线l1交于P点，O为原点，直线AO，BO分别交lA．若FA=3，则直线l2B．若过A点的C的切线与l1交于Q点，则C．若△ABD的面积为43，则D．若|PB|2=BF【答案】BCD【分析】根据题意先求p，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解.【详解】如图：由题意得−p2=−1⇒p=2，所以抛物线C:设Ax1对于A：由FA=x1+1=3，解得x1=2，所以y1对于B：由y2=4x，所以y=±2x，又点A位于第一象限，所以y=2x，y1所以过点A的切线方程为：y−2x1=1x1x−x1所以AF=1−x1,−2对于C：由x=my+1y2=4x，消元整理得y所以y1+y又D−1,0到直线l2:x=my+1所以S△ABD=1所以直线AO的直线方程为：y=y1x1x，令x=−1同理得N−1,−y===16+64×对于D：由直线l2:x=my+1，令x=−1，得y=−2所以BF=x2+1,AB由|PB|2=所以x2又x1所以x2+11+1m又因为x2=my2+1=4所以4m−2m2=44m所以直线l2的斜率为k=1m=3题型9直线与圆及圆锥曲线的综合题型知识点解析1以直线圆几何性质为载体结合曲线位置关系2多考查距离相切范围最值解题方法1先判定直线与圆位置对比分析2圆心距加减半径求解曲线上动点距离最值常考结论点到直线距离公式【例9】（2026·四川·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，若抛物线E:y2【答案】1【分析】设Px0,y0，求得PF2=a−ex【详解】设Px0,y0则PF所以PF因为抛物线E:y2=2pxp>0与椭圆根据抛物线定义，可得PF2=即x0=a−c过点P作PM⊥F1F所以cos∠P整理得6c2+10ac−4a2=0，即所以椭圆的离心率为13【变式9-1】（2026·山东青岛·一模）双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F【答案】5【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到a,c关系，算出离心率.【详解】因为以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为M由直线MF2与C的一条渐近线平行可得MF又由双曲线定义可得MF1−MF2=2a由MF12+MF2所以b=2a，c=a2+【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立a,b,c关系求离心率.【变式9-2】（2026·天津·一模）已知圆C:(x−1)2+y2=r2，圆心为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，圆C与抛物线交于A，B【答案】2【详解】由题意得圆心坐标为1,0，则p2=1，p=2，则y不妨取r>0，因为该圆与抛物线交于A，B两点，则r>2，联立y2=4x(x−1)2+则根据对称性有4r−1=42则圆C:(x−1)2+题型10求圆锥曲线的离心率知识点解析1核心求量依托等量关系2几何条件齐次化是通用思路解题方法1几何法直角三角形相似焦点三角形构造等式2齐次法条件化为二次齐次式同除3双曲线可借助渐近线斜率快速求解常考结论椭圆双曲线【例10】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F为右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，点AA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由对称性，不妨设点A在直线y=bax上，则可表示出直线AF的方程，联立另一渐近线可求出点B【详解】双曲线x2a2由对称性，不妨设点A在直线y=bax则lAF:y=−abx−c由点A，B在y轴两侧，则a2ca则S△BOF=1则e=c【变式10-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过点F且斜率为−255的直线与y轴交于点A，线段AFA．255 B．45 C．【答案】C【分析】写出直线AB方程，求出点A与中点B的坐标，再将B点坐标代入双曲线方程，利用b2=c2−【详解】记Fc,0，则lAB：y=−2则A0,2c5，因为B为AF因为点B在双曲线E上，则c24a2−化简得5c2−4c2−5=0【变式10-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，点P是A．58 B．108 C．54【答案】D【分析】依题意有PF1⊥PF2且P【详解】因为直线PF1，PF2的斜率之积为3×−由直线PF1的斜率为3，可知PF因为PF1+PF因为PF12+P所以e2=c一、单选题1．（2026·陕西·二模）已知抛物线W:y2=2pxp>0的焦点为F，C−12p,0．若W上存在点A，使得A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依题设Ay02【详解】由题意可知：Fp2,0设Ay022p,y0又因为△ACF的面积为12CF⋅2．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是CA．3 B．2 C．7 D．3【答案】D【分析】计算PF1,PF【详解】令x=c，其中c2=a2+因为PF2⊥则由双曲线的定义可知，PF则△PF1F周长为PF则r=2×b2则C的离心率为ca3．（2026·四川广安·二模）已知点P为抛物线C:x2=8y上的动点，点Q为圆M:x2+y2−2x−8y+16=0A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解PF+【详解】由题可知，抛物线焦点F0,2，准线方程为y=−2，圆心M过点P作PN⊥直线y=−2，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可知，PF=所以PF+当点M,P,Q,N在同一直线时，可取到最小值，因为点M1,4到直线y=−2所以PN+PQ≥6−1=54．（2026·青海西宁·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，一条平行于x轴的光线l1从点P8,−5射入，经过抛物线C上的点A反射，再经过抛物线C上另一点B反射后射出，经过点Q，且PQ⊥xA．325 B．8225 C．4 【答案】D【分析】先设出直线AB的方程及Ax1,y1,Bx【详解】由抛物线C:y2=8x设直线AB的方程为x=my+2,Ax由题意知BQ//AP//x轴，P8,−5，所以点A的纵坐标为y代入抛物线方程y2=8x，可得x1=25由y2=8xx=my+2消去x，得y所以y2由抛物线的定义知AF=所以PA+AB−5．（2026·辽宁沈阳·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，左、右焦点分别为A．2 B．32 C．75 【答案】A【详解】由双曲线定义知，|PF1|−|PF2|=2a，设双曲线离心率e=ca=在△F1PF2又|F1F将c=3a、m=n+2a代入上式：化简得12a即12a2=因式分解得(n+4a)(n−2a)=0，因n>0，故n=2a.则m=n+2a=4a，因此|PF6．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y212=1a>0的左､右两个焦点分别是F1A．14 B．14或17 C．22 D．14或22【答案】C【详解】因为双曲线的焦距为8，所以2c=8，即c=4.由C:x2a2−若点M在双曲线的左支上，由MF2−此时△F1M若点M在双曲线的右支上，MF1≥c+a=6综上，△F7．（2026·湖南·一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A,B，点M在C上，且A．−13 B．−3 C．−2 【答案】B【详解】因为BM>AM，所以点M在y轴左侧，如图，作MN⊥x轴，垂足为由tan∠BAM=43所以|MN|=|AM|sin∠BAM=8，即则|AN|=102−82所以AB=AN+则xM8．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆C:x24t+y23t=1t≥1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为AA．3 B．3 C．1 D．2【答案】D【分析】利用椭圆的定义将△MAF2周长的最大值问题转化为求MA−【详解】由题意知，a2=4t,b则AF由椭圆的定义可知，MF则△MAF2的周长为因为MA−MF所以△MAF2周长的最大值为4a=8，得a=2，则4t=4，得故C的焦距为2c=2t9．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P:x2+y2+2x−35=0上的一个动点，定点Q(1,0)，线段MQ的垂直平分线交线段MP于点NA．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】A【详解】圆P的标准方程为x+12+y2=36∵N在线段MQ的垂直平分线上，∴NM∵N在线段MP上，且MP是圆的半径，∴MP定点P−1,0,Q1,0∵NQ∴N点的轨迹为椭圆．10．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，点A2,0和B0,1均为椭圆C的顶点，点A．42 B．4 C．22【答案】B【分析】由条件先判断四边形ABMN为梯形，设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求出MN，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值.【详解】由A(2,0)和B(0,1)可得a=2,b=1，所以椭圆方程为x2因直线AB的斜率为1−00−2=−1又因MN//AB，故可设直线MN的方程为将其与x24+y2由Δ=4m2−4(2由韦达定理得x1所以MN=由MN//AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为d=0+2−2m故梯形ABMN的面积为S=1由图知面积最大值不在m>1时（此时MN在AB上方）取得，故只需考虑S=1−m令m=2cosα，则−2<m<1再令t=sinα−cosα=2故S=1+2故当t=2时，S取得最大值为2【点睛】对于形如a211．（2026·河北沧州·二模）已知F1，F2是椭圆C1：x2a2+y23=1a>0与双曲线C2：xA．23+26 B．23−【答案】D【详解】依题意，不妨设PF1=m，PF2在△PF1F即(a+1)2+(a−1)又a2−3=1+b在△PF1F2中，PF设△PF1F2内切圆的半径为r，则解得r=15二、多选题12．（2026·江西上饶·一模）对任意有序正实数对(a,b)，若存在过点P1,1的直线与双曲线C:x2a2−y2b2=1A．(2,1) B．(4,4) C．(1,2) D．2【答案】AD【分析】分别设出Ax1,y1【详解】设直线AB的斜率为k，Ax则有x12a两式相减得x12−又P1,1为AB的中点，即x1+所以k=b对于A：此时数对为(2,1)，则k=14，直线y=1联立x24−Δ=336>0对于B：此时数对为(4,4)，则k=1，直线y=x，双曲线x2联立x2对于C：此时数对为(1,2)，则k=4，直线y=4(x−1)+1，双曲线x2联立x2−yΔ=−48<0对于D：此时数对为22,2，则k=4，直线y=4(x−1)+1联立2x2−Δ=48>0故选：AD.13．（2026·河北邢台·一模）已知椭圆C:x216+y212=1的左、右焦点分别为F1A．△FB．存在点H，使得HC．当△F1HFD．当直线l被C所截得线段AB的中点是P(2,1)时，直线l的方程为3x+2y−8=0【答案】ACD【分析】由椭圆的定义可判断A，由HF1⊥HF2，得到H在以F1F【详解】由已知椭圆C:x216左右焦点F1由椭圆的定义得∣HF1∣+∣HA，△F1HB，若HF1⊥HF2，则H联立圆与椭圆方程：x2+y2=4不存在这样的点H，故B错误；C，设内切圆半径为r=33，又又三角形的面积S=12×（三角形周长）×r又S=12⋅∣则HF代入xH2=16(1−D，设A(x1,两式相减得(x又点P(2,1)，故x1斜率k=y直线方程：y−1=−32(x−2)经验证符合题意，D正确.14．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知O为坐标原点，M1,2，P是抛物线C：y2=2px上的一点，F为其焦点，若F与椭圆xA．该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为3B．若PF=6，则点P的横坐标为C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9D．△PMF周长的最小值为3+【答案】BCD【分析】由椭圆方程求得抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义和焦半径公式，可判定B正确；联立方程组，求得交点的坐标，可判定A错误；求出外接圆的半径，求得圆的面积，可判定C正确；利用抛物线的定义转化，结合三角形两边之和大于第三边，可判定D正确.【详解】椭圆x29+y25=1

抛物线y2=2px焦点为p2,0，与F重合得因此抛物线方程为y2=8x，准线选项A，将准线x=−2代入椭圆方程得49+y截得线段长度为53−−选项B，由抛物线定义PF=xp+p选项C，△POF中，O0,0,F2,0，外接圆圆心在OF的垂直平分线x=1圆与准线x=−2相切，半径r=1−−2=3，圆面积S=π选项D，△PMF周长=PM先计算定值MF2