菱形的判定菱形的判定定理课件华东师大版数学八年级下册

菱形的判定定理1菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形性质1.具有平行四边形的一般性质.2.菱形的特殊性质①四条边都相等.②两条对角线互相垂直.③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.可以用定义来判定菱形.根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.ABCD几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.你还有其他的判定方法吗？动手操作用四根长度一样的木条，首尾顺次相接.得到的四边形是菱形吗？请说明理由.猜想：四条边相等的四边形是菱形.试一试如图，作一个四条边都相等的四边形.作法：ABCD1.作两条相等的线段AB、AD；2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径作弧，两弧相交于点C；3.连结BC、CD.四边形ABCD即为所要求作的四边形.它是菱形吗，怎么证明？已知：如图，在四边形ABCD

中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD

是菱形.证明：∵AB=CD，DA=BC，∴四边形ABCD

是平行四边形.又∵AB=BC，∴

□

ABCD

是菱形.ABCD归纳菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.∴四边形ABCD

是菱形.ABCD思考有三条边相等的四边形是菱形吗？画一画.例4如图，在矩形ABCD

中，点E、F、G、H

分别是四条边的中点.试问：四边形EFGH

是什么图形？并说明理由.ABDCEHFG解题思路：1.先证明这四个三角形全等.2.再利用菱形的判定定理1.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG.∴四边形EFGH是菱形．ABDCEHFG1.如图，在□ABCD

中，若添加一个条件使得□ABCD

是菱形，则这个条件可以是()A.∠ABC

＝90°B.AB

＝ADC.AB

＝CDD.AB∥CDB2.如图，在四边形ABCD

中，E、F、G、H

分别是AB、

CD

、AC、BD

的中点，添加下列条件，可以判定

四边形EHFG

为菱形的是（）A.AC＝BDB.AB∥

CDC.AD

＝BCD.AC⊥BDC【选自教材第132页练习第1题】你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个特殊的平行四边形——菱形.现在你能说明其中的理由吗？解:如图所示，沿着虚线剪开后，得到四边形的四条边长都等于AB的长，所以这个四边形是菱形.【选自教材第132页练习第2题】2.如图，在四边形ABCD

中，AD//BC，AB=AD，∠BAD

的平分线AE

交BC

于点E，连结DE.

求证：四边形ABED

是菱形.证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠3.∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AB＝BE.∵AB＝AD，∴AD

＝BE.又∵AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形.又∵AB＝AD，∴四边形ABED是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).ABECD123解:□

ABCD是菱形.理由如下:∵PE

⊥AB，PF

⊥AD，PE

＝PF，∴AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝DC，3.如图，在□ABCD中，点P是对角线AC

上的一点，

PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E、F，且PE=PF.问：□ABCD是菱形吗？为什么？【选自教材第132页练习第3题】∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).ABCDPEF定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的判定菱形的判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.菱形的判定定理2菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质定理1菱形的四条边都相等.性质定理2菱形的两条对角线互相垂直.可以用来判定菱形菱形的判定定理1?【动手操作】如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的

中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.平行四边形转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形？试一试作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.1.作2条互相垂直的直线m、n，记交点为点O；2.以点O为圆心、适当长为半径作弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；3.以点O为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；4.顺次连结所得的四点.ABCDmnO它是菱形吗，怎么证明？尝试证明已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形.证明

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，又∵AC⊥BD,∴BD

所在直线是线段AC

的垂直平分线，∴AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）AOCBD归纳菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵在□

ABCD中，AC⊥

BD，∴四边形ABCD

是菱形.AOCBD若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？思考只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.例5如图，已知矩形ABCD

的对角线AC

的垂直平分线与边AD、BC

分别交于点E、F.求证：四边形AFCE

是菱形.2ABCDFEO1要证四边形AFCE是菱形已知条件可知EF⊥AC只需要证明四边形AFCE是平行四边形又知EF垂直平分AC所以只需证明OE=OF2ABCDFEO1证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠1=∠2.∵EF平分AC，在△AOE

和△COF

中，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)∴

AE∥

FC，∴OA=OC.∵∠1=∠2，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴OE=OF，1.如图，在四边形ABCD

中，对角线AC

与BD互相垂直平分，

AB

＝3，则四边形ABCD

的周长为()A.6B.

9C.12D.18AOCBDC2.如图，□ABCD

的对角线AC、BD

相交于点O，AB

＝5，OA

＝4，OB

＝3.求证:四边形ABCD

是菱形．证明:∵AB

＝5，OA

＝4，OB

＝3，∴OA2

+OB2＝42+32＝25＝52＝AB2，∴△AOB

是直角三角形，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD

是平行四边形,∴四边形ABCD

是菱形．AOCBD【选自教材第135页练习第1题】给定一条线段AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使AC

为该菱形的一条对角线？试试看.提示:作线段AC的垂直平分线，并以垂足为圆心，任意长为半径交垂直平分线于B，D两点，连结AB、CB、AD、CD即可.ACODB【选自教材第135页练习第2题】2.如图，过□ABCD的对角线的交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH，与□ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠GBO＝∠EDO.又∵∠BOG

＝∠DOE，∴△BOG≌△DOE，∴OG＝OE.同理可证△BOF≌△DOH，∴OF＝OH，∴四边形EFGH

是平行四边形.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH

是菱形(对角线互相垂直的平行四