全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷38

全国自考公共课线性代数（经管类）模

拟试卷38

一、单选题（本题共5题，每题1.0分，共5分。）

=加，则

1、设-一3a”

A>6m

B、-6m

C、5m

D、-m

标准答案：B

=2X（-3）=-6M.故选B.

知识点解析：

2、设A、B、C均为n阶方阵，且满足AB=BA,BC=CB,则CAB=

A、ABC

B、ACB

C、BCA

D、BAC

标准答案：C

知识点解析：因AB=BA,BC=CB,所以CAB=CBA=BCA.故C项正确.

2

f-43

B.

2-1

4-3)

D.

-21

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

广、

知识点解析：由二阶矩阵的伴随矩阵的特点知，若A=""则人*=回x，即

主对角线元素互换，次对角线元素乘以（一1）.故人=的伴随矩阵A*=

TT

4、已知向量组四=（1,-1,1),a2=(-h1,1产,as=(l,1,-1),此向量

组的秩为

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：D

-11]J-11

11-*002-*

11-102-2

11

o2-2.则r(A)=3•故先向量级的秩

002

知识点解析：由A=（ai，a2，a3）为3..,则r(A)

=3,故此向量组的秩为3.

5、设A为n（定2）阶矩阵，且A2=E,则必有

A、A的特征值均为1

B、A的秩等于n

C、A的逆矩阵等于E

D、A的行列式等于1

标准答案：B

[xl

知识点解析：A~9QE(A—E)(A+E)=O人=£或A=—Er(A)=n,IAI=

±1.

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

1i1

(1a1

6、设矩阵A=a11,已知0是A的一个特征值，求@=.

标准答案：1

知识点解析：由0是A的一个特征值，则IAI=0,即一(a—1)2=0,得a=l.

7、三阶矩阵A有特征值一1,1,2,B=A-2E,则IBI=.

标准答案：0

知识点解析：由A的特征值为-1,1,2,知B=A—2E的特征值为-3,-I,

0.故|BI=(-3)x(-l)x0=0.

1

-1

8、已知A〜2,则r(A—E)=.

标准答案：2

-1

2

知识点解析：因A〜'」，故A的特征值为1,-1,2.故A-E〜

(0

一2

”,则r(A-E)=2.

2-12

5a3

9、已知a=(l,1,—1/是矩阵A=70的一个特征向量，求a=

标准答案：-3

13、设二次型f（xi，X2，X3）=2x/+2x]X2+4x2X3，则二次型的对应矩阵是

（220）

222

标准答案：°2°,

知识点解析：暂无解析

22

14、设二次型f（X],X2,X3）=X|+X34X132X23，则二次型的秩是______

标准答案：3

f1020

00101

知识点解析：由二次型的矩阵A=1211001

,得r(A)=3,故二

次型的秩为3.

15、设二次型f（xi，X2,X3）=X12+4X22-X32+4X1X2，则此二次型的正惯性指数是

标准答案：1

知识点解析：由配方得f（xi，X2，X3）=X12+4X22—X32+4xiX2=（xi+2x2）2—X32,

故二次型f的规范型为f=Z]2—Z22,则正惯性指数为1.

三、计算题（本题共7题，每题分，共7分。）

1234

2200

3030

16、计算行列式D=4004的值.

标准答案：将第2、3、4列乘（一1）加到第1歹IJ,将D化成上三角形行列式

1234

2200

D=

3030

4004

1-(24-34-4)234

0200

0030

0004

(8)X2X3X4

192.

知识点解析：暂无解析

0101-1

-111,B=20

0-1

17、已知,其中满足X=AX+B,求矩阵X.

1-io

因E-A|=10-1*3^0,itE-A

102

0

0

°TT

得(E—A)-144-

0-±±

33

所以X-(E-A)B

标准答案：X=AX+B,得(E-X)=B.

知识点解析：暂无解析

18、设向量组ct]=(l,3,3,5)\a2=(l,2,1,3)1，。3=(-3,—5,—1,—

7)T,04=(1，1，—1,l)T,015=(4,5,-2,6)T.求：(1)此向量组的一个极大无

关组；(2)将其余的向量用此极大无关组线性表出.

A01-1-3

01-427

00000

标准答案：（1）设A=（a”Q2,013,04,（15），显然

(X],(X2是此向量组的一个极大无关组(极大无关组不唯一).(2)由(1)知，Ct3=a：—

4a2，a4=—ai+2a2，c(5=-3ai+7a2.

知识点解析：暂无解析

19、设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2,且它的三个解向量

ai，a2,ct2满足ai+a2=(3,1,—1)T,ai+a3=(2,0,—2)T,求Ax=b的通

解.

标准答案：因r(A)=2,故Ax=0的基础解系中有3-r(A)=l个解向量。因r(A)

=2,故Ax=0的基础解系中有3—r(A)=l个解向量。且&=(川+a2)—(⑴十口3)

a+a

=(hL1)T.而Ax=b的一个特解为a*=2=(],o,—1)T.故Ax=b的

通解为a*xk]且k为任意实数.

知识点解析：暂无解析

232

182

-2-14

20、求矩阵A=的特征值和特征向量.

标准答案：=(A-l)(A-3)\所以A的特征值为1,3,3.对入

=1,解齐次线性方程组(E-A)x=0,得口(X3为自由未知量)令X3=1，得属于

1的全部特征向量为匕原0为任意常数.对入=3,解齐次线性方程组(3E-A)x=0

得(X3为自由未知量)令X3=2,得A的属于特征向量为3的全部特征向量为1,岸0

为任意常数.

知识点解析：暂无解析

11

A1a10

11-1

21、设矩阵A=,已知线性方程组Ax=b有无穷多解,

求：(l)a的值；(2)正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.

<I)(A.^>=

00(1-o>(<i*2>—(。+2)

回方程aAr-B育七方$”・故r(4.W-r<4)<3.

"(1一。)《。+2》・0・X»a=I时W

r(4).M。=-2・

(2)也<>・一2•样A-

AE.-AI---1A4-2-1

-A什2-]

A-IA-l

1-12

-A1A4-2-I

1-1A-l

I一12

-A0A4-3-3

00A-3

-A(A+3XA-3)-0.

发4的值为Q-C.Ai-3.A,--3.

ftA.-o

傅斯■()叶反的*衽向量为叫

#AL3M

当A3・一3时

曲A至衰时体缓膝.且有三个互鼻相庭依,故

a..a；.a)线也无美•且互相正义.因此只夕廿

叫・*.a.单位化.

±

|方

々4

«2

一

令Q-y》―6。

1'序

-i”

4-Q&-

标准答案:-3

知识点解析：暂无解析

2223

22、二次型f(X],X2，X3)=ax14-x2+x3+2bxix(b>0),其中二次型的矩阵A的

特征值之和为3,特征值之积为-3.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型

f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵.

a0b

«】)由A=010

b0]

^+1+1=3.A“<i=l,

解得

\IAI=a-6*=-3.Z>=2(6>0).

102

(2)ib(l)4A=010

201

A-l0-2

由|AE,-A|=0A-I0

-20A-l

-a-i)a-3)(A+i)§oJ

得A的椅征值兀・1,4?《=3.船=一1；;

名人=1时.

00-2-200

£-4=00000-2

-200000

得兀=,I时应的挣衽向量为a,=

者4=3时.

20

3£-A・02