初中数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练

1.(09包头)如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点.

(1)如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点

Q在线段上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说

明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少

时，能够使与全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B

同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在

的哪条边上相遇？

解：⑴①・・・秒，

・•・厘米，

•・•厘米，点为的中点，

・・・厘米.

又・・•厘米，

・•・厘米，

*

••

又•:,

••，

・・・.................................................................................................(4分)

②;

又•:,，贝IJ,

・••点，点运动的时间秒，

・・・厘米/秒.........................................（7分）

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，

由题意，得，

解得秒.

・••点共运动了厘米.

••

•>

・••点、点在边上相遇，

・・・经过秒点与点第一次在边上相遇.（12分）

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线1:-2x—8分别与x

轴，y轴相交于A,B两点，点P（0,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以

P为圆心，3为半径作。P.

（1）连结，若，试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以。P与直线1的两个交点和圆心P为顶点的三角形

是正三角形？

备用图

解：(1)OP与X轴相切.

・・♦直线一2x—8与x轴交于A(4,0),

与y轴交于B(0,-8),

・・・4,8.

由题意，一k,

A8.

在△中，k2+42=(8)2,

・・・一3,・・・等于OP的半径，

・・・。户与x轴相加

(2)设。P与直线1交于C,D两点，连结，当圆心P在线段上时，作_L于E.

•・•△为正三角形，:,,3,

,3G

••----•

2

VZZ900,ZZ,

.'=观.8

2

当圆心P在线段延长线上时，同理可得P(o,--8),

——8,

・••当-8或一一8时，以。P与直线1的两个交点和圆心P为顶点

的三角形是正三角形.

4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边

形是菱形，点A的坐标为（-3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M,边交y轴于点H.

（1）求直线的解析式；

（2）连接，如图2,动点P从点A出发，沿折线方向以2个单位/秒

的速度向终点C匀速运动，设△的面积为S（SW0）,点P的运动时间为

t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，/与N互为余角，并求

此时直线与直线所夹锐角的正切值.

（图1）

解:

28.(1)过点A作AElx轴垂足为E(如图】)

vA(-3,4),-.AE=40E=3.-.OA=\/AE2+OEJ=5

,.四边形ABCO为菱形,-.OC=CB=BA=OA=5/.C(5,0)....................................................1分

设直线AC的常折式为:尸la+b|f4

直线AC的H折式为:号x号.....

⑵由⑴得M点生林为畤)

如用1,当P点在AB边上运动时

由题意得0H=4

.号BP・M畤(5Q号

..S=-it+-^(O<t<1)...................・2分

当P点在BC边上运动时，记为R

•"OCM“BCMCO=CBCM=CM

/.△OMC^ABMC.-.0M=BM=|-£MOC=ZMBC=90°

.\S=UB-BM4(2t-5)4.金英与g*5).....................................2分

222242

(3)设OP与AC相好点QMOBXACTAKv£AOC=Z.ABC;.£AOM=4ABM

•.•£MPB+£BCO=90°ZBAO=Z.BCO£BA0+Z.A0H=90o

.-.£MPB=Z.AOH

当P点在AB边上运动时，如图2

v£MPB=ZMBH.'.PM=BMvMHlPB

.\PH=HB=2J>A“H-PH=1♦…“1分

vABy/OC.1.ZPAQ=Z.OCQ

vZAQP=ZCQO.-.△AQP^ACQO；.船票=%«

在RtAAEC中AC=V^F=VW=4行

他苧gl哈

在RtAOHB中OB:临麻匚旧\2近

•.AC1OBOK=KBAK=CK

/.OK=VTAK=KC=2VT.-.QK=AK-AQ=^1.M维：：露,......1分

当P点在BC边上运动时，如图3•"EHMMPB也90。Z.MPB=Z.MBH

11

“MPI…H喘喘

・小畔•宾,,”分

30

.•,PC=BC-BP=5-^-=1

由PC〃OA同理可证APQCsAOQA喘喘

.•黑=!CQ=-J-AC=VT.-.QK=KC-CQ=VT

AQ34

•••0除4.•.Un£OQK=舞=1..................1分

KQ图3

壕上所述目H也MPB与"CO互为余角，直线0P与直发AC般机角的正刎为今

24

当仁年■时/MPB与乙BCOE为余角，直战0P与直线AC所夹住角的正切值为I

0

5(09河北)在△中，N90°,=3,=5.点P从点C出发沿以每秒1个单

位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿返回；点Q从点

A出发沿以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，保持

垂直平分，且交于点D,交折线于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时

停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)当t=2时，=,点Q到的距离是；

(2)在点P从C向A运动的过程中，求△的面积S与

方的函数关系式：(不必写出1的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形能否成

为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；

(4)当经过点C时，请直接写出t的值.

解：⑴1,;

(2)作，于点F,如图3,=t,・・..

由,

得.’.

••，

即.

⑶能.

①当〃时，如图4.

V1,Al,四边形是直角梯形.

此时N90°.

由^s/\,得，

即•解得.

②如图5,当〃时，±,四边形是直角梯形.

此时/=90。.

由4/△,得

即•解得.

（4）或.

①点P由C向A运动，经过点C.

连接，作_L于点G,如图6.

,・

由，得，解得.

②点P由A向C运动，经过点C,如图7.

6（09河南））如图，在中，，.点是的中点，过点的直线

从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点.过点

作交直线于点，设直线的旋转角为.

（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长

为；

②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；

（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由.

解（1）①30,1；②60,1.5；................

4分

（2）当/Q=900时，四边形是菱形.

VZa=Z900,

•工，四边形是平行四边形.................6分

在△中，Z900,Z6002,

・・・Z3O0.

・,・426.

*

•••8分

在△中，Z300,・・・2.

A2.

又・・,四边形是平行四边形，

・・・四边形是菱形.................10分

7（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度

的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速

度向终点运动.设运动的时间为秒.

（1）求的长.

（2）当时，求的值.

（3）试探究：为何值时，为等腰三角形.

解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是

矩形

/.KH=AD=3..................................................................................1分

在中，

RK=47?*cos45°=4历红=4.....................................................2分

2

在中，由勾股定理得，

：・BC=BK+KH+HC=4+3+3=10................................................3分

（图①）（图②）

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形

,/MN//AB

:.MN//DG

:.BG=AD=3

AGC=IO-3=7.......................................4分

由题意知，当、运动到秒时,

*.*DG//MN

：.4NMC=4DGC

又NC二NC

，AA^VC^AGDC

.CNCM5分

'~CD=~CG

即「10—2/

5~T~

解得,............................................6分

（3）分三种情况讨论:

①当时，如图③，即

（图③）（图④）

②当时，如图④，过作于

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得EC=（MC二（10-2，）=5-

在中，

又在中，

・

••-5---/=—3

t5

解得仁等............................................8分

8

解法二：

VZC=ZC,NQ”C=ZyV£C=90。

:.丛NECs丛DHC

..•-N-C-=-E--C

DCHC

即、史

53

：.t=—.............................................................................................8分

8

③当时，如图⑤，过作于点.

解法一：（方法同②中解法一）

1

「FC胃3

cosC=-----=--——=—

MC10-2/5

解得/

17

解法二：HM

VZC=ZGAMFC=NDHC=90。（图⑤）

:./\MFCsADHC

,•F•C---=M-C--

HCDC

即乙修

35

.60

••/=--

17

综上所述，当、或时，为等腰三角形9分

8（09江西）如图1,在等腰梯形中，，是的中点，过点作

交于点.，.

（1）求点E到的距离；

（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折

线于点，连结，设.

①当点在线段上时（如图2）,的形状是否发生改变？若不变，求

出的周长；若改变，请说明理由；

②当点在线段上时（如图3）,是否存在点，使为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

A,-------------------D（第25题）-------------------

EL-------\FEL-------\

IfcBC

解(1)如图1,过点作于点...........................1分

V为的中点,

BE=-AB=2.

2

在中，・•・.........................2分

；・BG=LBE=I,EG=V22-I2=73.

2

即点E到8c的距离为G..............................3分

(2)①当点在线段上运动时，的形状不发生改变.

*.•PM±EF,EG工EF,：.PM//EG.

同理/==...........................................4分

如图2,过点作于，:

:•乙NMC=/B=^P,ZPMH=30°.

PH=-PM=—.

22

3

：.MH=PM*cos300=-.

2

35

则N"=MN-M〃=4——=-.

22

在中，

：・ZXPMN的周长=PM+PN+MN=6+5+4...............................6分

②当点在线段上运动时\的形状发生改变，但恒为等边三角

形.

当时，如图3,作于，则

类似①,

/.MN=2MR=3.7分

,/是等边三角形，，

此时，....................................................8分

当时，如图4,这时

此时，

当时，如图5,

贝I」乙PMN=120°,又/MNC=60。，

/.NPNM+NMNC=180°.

因此点与重合，为直角三角形.

/V/C=PM.tan30°=l.

此时，

综上所述，当或4或时，为等腰三角形.10分

9（09兰州）如图①，正方形中，点A.B的坐标分别为（0,10）,（8,

4）,

点C在第一象限.动点P在正方形的边上，从点A出发沿AfBfCf

D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两

点同时停止运动，

设运动的时间为t秒.

（1）当P点在边上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时

间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标与点P

运动速度；

（2）求正方形边长与顶点。的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时,

与能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理

由.

解：⑴(1,0)

点P运动速度每秒钟1个单位长度.2分

（2）过点作，丫轴于点，±轴于点,则=8,

在△中,3分

过点作!轴于点，与的延长线交于点

・•・所求C点的坐标为（14,12）.4分

（3）过点P作_Ly轴于点M,±轴于点N,

则

设△的面积为s（平方单位）

/.S=-x(\0--t)(\+t)=5+—t-•—r(0W/W10).....................................5分

251010

说明：未注明自变量的取值范围不扣分.

•・・<0.••当时,△的面积最大........................6分

此时P的坐标为(，).7分

(4)当或时，与相等.9分

10(09临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形是正方

形，点E是边的中点.，且交正方形外角的平行线于点F,求证：.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M,连接，贝!

易证，所以.

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上(除

B,C外)的任意一点”，其它条件不变，则结论“”仍然成立，你认为小

颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3,点E是的延长线上(除C点外)的任意一点,

其他条件不变，结论“”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，

写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

解：（1）正确.........（1分）

证明：在上取一点，使，连接.（2分）

是外角平分线,

（）.......................................................................（5分）

.............................................（6分）

（2）正确......................（7分）

证明：在的延长线上取一点.

使，连接................................................................（8分）

四边形是正方形，

（）....................................................................（10分）

.（II分）

11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中.如图，将该纸片放置

在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于

点.

（I）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；

（II）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关干的函数解析式,

并确定的取值范围；

<m）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标.

解（I）如图①，折叠后点与点重合，\

则△ACQ乌△皮».JI~

设点C的坐标为（0,〃7）W>0）.

则8。=08-仪;=4-〃7.

于是AC=BC=4-6.

在中，由勾股定理，得，

即，解得.

•・•点C的坐标为（0,3]............................................4分

【2）

（H）如图②，折叠后点落在边上的点为，

由题设，

则，

在中，由勾股定理，得.

即y=--x2+2.................................................6分

-8

由点在边上，有，

一.解析式>=-1/+2（（）五工运2）为所求.

8

当时，随的增大而减小，

...）,的取值范围为gwyW2...................................7分

（III）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.

则NOC8〃=NCB"O.

又，有.

.•.□△awsRtzwoA.

有，得•..............................................9分

在中，

设，则.

由（II）的结论，得，

解得飞=_8±/>0,4=-8+4”.

二点C的坐标为（0,86—16）..............................10分

12（09太原）问题解决

如图（1）,将正方形纸片折叠，使点落在边上

一点（不与点，重合），压平后得到折痕.

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于；若则的值等于；

若（为整数），则的值等于.（用含的式子表示）

联系拓广

如图（2）,将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压

平后得到折痕设则的值等于・（用含的式子表示）

解：方法一：如图(17),连接.

由题设，得四边形和四边形关于直线对称.

/.垂直平分.・・・.............................1分

•・,四边形是正方形，・・・

CF1

——=一，「.。后=0石=1.设8"=；1,则雁=/，NC=2—x.

CD2

在中，.

・•・解得，即