全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案

全国中学生物理竞赛复赛试卷

一、填空（问答）题（每题5分，共25分）

1.有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指XXXXX

向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种XXXXX

分布的静电场是否可能存在？试述理由。XXXXX

XXXXX

XXXXX

2.海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为

0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与

地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字）。

3.用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是

;另一方面，即使穿绝缘性

能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是

4.在图示的复杂网络中，

所有电源的电动势均为瓦，所

有电阻器的电阻值均为R。,所

有电容器的电容均为Q,则图

示电容器A极板上的电荷量

为。

5.如图，给静止在水平粗

糙地面上的木块一初速度，使

之开始运动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程：“把参考点

设于如图所示的地面上一点O,此时摩擦力/的力

矩为o,从而地面木块的角动量将守恒，这样木块一1*

将不减速而作匀速运动。”请指出上述推理的错误，-Q._ZU_I'

并给出正确的解释：__________________________

二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面日

四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于臭

角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性

地面上。己知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现

于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加

OP

一竖直向下的力F,令2匚=c,求桌面对桌腿1

OA

的压力Fio

三、（15分）

1.一质量为〃?的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑

水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿

此弹簧长度方向以速度〃作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守

恒，并说明理由。

2.若不考虑太阳关口其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若

把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和小，月心-

地心间的距离为R,万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二

定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为学生

R2

乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月

心参考系的加速度为&这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛

R2

盾，请指出具中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和

月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。

四、（20分）火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度TH压强pi的炽热

高压气体在燃烧室内源源不断生成，并通过管道由狭窄的喷气口排入气压P2的

环境。假设燃气可视为理想气体，其摩尔质量为“，每摩尔燃气的内能为“evT

（cv是常量，T为燃气的绝对温度）。在快速流劭过程中，对管道内任意处的两

个非常靠近的横截面间的气体，可以认为它与周围没有热交换，但其内部则达到

平衡状态，且有均匀的压强〃、温度7和密度p,它们的数值随着流动而不断变

化，并满足绝热方程=C（恒量），式中R为普适气体常量，求喷气口处

气体的温度与相对火箭的喷射速率。

五、（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水

银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最

低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴「与z轴垂直，则液面的方

程为z=S〃，式中心为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的

2g

此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停

转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无

变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

六、（20分）两惯性系S，与S初始时刻完全直合，前者相对后者沿z轴正向

以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S，系中，以恒定功率尸向四周辐

射（各向同性）光子。在S系中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。

1.在S系中观察，S，系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴

线的圆锥内。求该圆锥的半顶角呢已知相对论速度变换关系为

wv+v

=——-------r

l+<v/c2

式中心与旧分别为S与S，系中测得的速度A分量，C为光速。

2.求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量.

七、（20分）

1.设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为“、以速度K沿光入射方

向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光

pV

子能量&。可取以下近似：-A«-«i,其中c为光速。

Me2c

2.若在上述问题中单色光的强度为应试求反射光的强度（可以近似认

为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为V）o光的强度定义为单位时间内通过垂直

于光传播方向单位面积的光子的能量。

八、（20分）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷

分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静

电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力,这称为范德

瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。

当负电中心与原子核不重合时，若以X表示负电中心相对正

©

电荷（原子核）的位移，当工为正时，负电中心在正电荷的右侧，

图1

当X为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原

子核的正电荷对荷外负电荷的作用力/相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性

力,即户一日，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，

此原子可用一弹簧振子来IT

模拟。1

今有两个相同的惰性㊀㊀

气体原子，它们的原子核

R-

固定，相距为R,原子核

图2

正电荷的电荷量为夕，核外

负电荷的质量为〃1。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移

分别为加和X2,且|刈和闷都远小于R,如图2所示。此时每个原子的负电荷除

受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。

众所周知，孤立谐振了的能量上=〃八，2/2十息2笈是守恒的，式中v为质量m的

振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时,

谐振子的能量为/心/2,称为零点振动能，力=4/2万，力为普朗克常量，co=4um

为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰

性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德

瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用

是吸引还是排斥。可利用当仅|«1时的近似式（1+x严2n+力2_『/8,（1+幻-£1一/『。

全国中学生物理竞赛复赛试卷

参考解答与评分标准

一、填空（问答）题.每小题5分，共25分按各小题的答案和评分标准评

分.

1.答案与评分标淮：

这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场，电荷沿任意闭合路径

一周电场力做的功等于0,但在这种电场中，电荷可以沿某一闭合路径移动一周

而电场力做功不为0.（5分）

2.答案与评分标淮：

L5.（5分）

3.答案与评分标淮：

测电笔内阻很大，通过与之串联的人体上的电流（或加在人体上的电压）在

安全范围内；（2分）

市电为交流电，而电工鞋相当于一电容器，串联在电路中仍允许交流电通

过.（3分）

4.答案与评分标淮：

2E©.（5分）

5.答案与评分标淮：

该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力

矩为零便推出木块的角动量应守恒，这样推理本身就不正确.事实上，此时支持

力合力的作用线在重力作用线的右侧，支持力与重力的合力矩不为0,木块的角

动量不守恒，与木块作减速运动不矛盾.（5分）

二、

参考解答：

设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为R、取、工、F4.因轻质刚性

的桌面处在平衡状态，可推得

F1+F2++F4=F.

（1）

由于对称性，

居=巴.（2）

考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得

Fy+cF=Fi.（3）

根据题意，OWcWl,c=0对应于力尸的作用点在。点，c=l对应于”作用点

在A点.

设桌腿的劲度系数为3在力厂的作用下，腿1的形变为K"，腿2和4的

形变均为E/左，腿3的形变为6/女.依题意，桌面上四个角在同一平面上，因

此满足,(二十与，即

23K

6+工=2&(4)

由⑴、(2)、(3)、(4)式,可得

当cN；时，鸟V0.6=0,表示腿3无形变；居<0,表示腿3受到桌面的作

用力为拉力，这是不可能的，故应视居=0.此时⑵式⑶式仍成立.由⑶式，

可得

=cF.(7)

综合以上讨论得

口2c+11

F\=~^~F'OWc",•

(8)

F一cF,—<c<1

1x2

(9)

评分标准：本题20分.

(1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的结果得4

分，得到由(9)式表示的结果得5分.

参考解答：

1.否.原因是墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参

考系里此力的作用点有位移，因而要对体系做功，从而会改变这一体系的机械能.

2.因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有

加速度，故它们都不是惯性参考系.相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立.如

果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学

生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的.

以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系，设地球相对惯性系

的加速度的大小为a；,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

G送Ma；,(1)

加速度的方向指向月球.相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小

。=砥，⑵

方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同.若月球相对地心系的加速度

为。山，则有

G诃%=叫⑶

由⑴、(2)、(3)三式,得

a,=G----：—(4)

mnR2

加速度的方向指向地球.

以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性

系的加速度的大小为4,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

加速度的方向指向地球.相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小

，(6)

方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同.若地球相对月心系的加速度

为,，则有

由(5)、(6)、(7)三式得

6=GF—，(8)

A

加速度的方向指向月球.(4)式与(8)式表明，地球相对月心系的加速度,与月球

相对地心系的加速度品大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致.

评分标准：本题15分.

第1小问5分.

第2小问10分.指出不正确并说明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分.

四、

参考解答：

于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截

面Aj与A2,它们的面积分别为酬和S2,

由题意，s,»s2,以其间管道内的气体为研究对象，如图所示.设经过很短时

间加，这部分气体流至截面员与B2之间，间、A?B2间的微小体积分别为

△乂、AV2,两处气体密度为自、a，流速为为、%.气流达到稳恒时，内部

一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关.由此可知，尽管BA2间气体更换,

但总的质量与能量不变.

先按绝热近似求喷气口的气体温度心.质量守恒给出

月△匕=£△%，

即A?B?气体可视为由A》1气体绝热移动所得.事实上，因气流稳恒，A》1气体

流出喷口时将再现AzB2气体状态.对质量△，〃=闩八乂=0。匕的气体，利用理想

气体的状态方程

和绝热过程方程

cv4Rq.十

pl（AV,）^r=p2（AV2）T

Pl

再通过能量守恒求气体的喷射速率%.由⑴式及AV=SuA/,可得

8sM=p2sm2,

再利用（1）、（3）式，知%=3^~巧=士（比r%,因工<<S[,p、<<Pi,

故

Vj«v2.

整个体系经△/时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量AE

为A?B?部分与A11部分的能量差.由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似

下并考虑到（6）式，有

△E=-△〃欣+—Cv

2'〃

体系移动过程中，外界做的总功为

W=p,AV,-p2AV2.

根据能量守恒定律，绝热过程满足

AZT=W,

2(R+]fPi

--------------------1---------

其中利用了(2)、(4)两式.

评分标准：本题20分.

(2)式1分,(3)式2分,(4)式3分,(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)

式1分，(10)式2分.

五、

参考解答：

旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为

由(1)式，旋转抛物面方程可表示为

停转后液面水平静止.由液体不可压缩性，知液面上升.以下求抛物液面最低点

上升的高度.

抛物液面最低点以上的水银，在半径R、!!

即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回ii

转体；其余体积为V的部分无水银.体M在高度z处的水平截面为圆环，利用

抛物面方程，得z处圆环面积

SM卜)二兀(代一,)二兀(六一4力).

将体V倒置.，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体/,相应抛物面方

程变为

(4)

其高度Z处的水平截面为圆面，面积为

5/（2）=兀产=兀（氏2-4力）=5“（2）・⑸

由此可知

1D2

M=A=V=—7i/?2—，(6)

247

即停转后抛物液面最低点上升

,MR2

h=­r=—⑺

兀R?8/

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球

面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别

经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两

像对眼睛所张的视角相同.设眼长为先.凹面镜成像时，物距〃即所求距离，像

距。与像长），分别为

v=A

11-f

vf

y=——.Vo=--Vo-（9）

〃/-w

平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为

u=u-h=u------,（10）

8/

像距。'与像长y分别为

"=-u',(11)

，炉

(12)

y=--U

两像视角相同要求

y二y,

(13)

Il-vur-vf

即

11

(14)

lu-irjf~2u-R2/4f

此处利用了(8)—(12)诸式.由(14)式可解得所求距离

评分标准：本题20分.

(1)式1分，(7)式4分,(8)、(9)式各2分，(10)、(II)、(12)式各1分,(13)

式6分，(15)式2分.

六、

参考解答：

1.先求两惯性系中光子速度方向的变换关系.根据光速不变原理，两系中

光速的大小都是c.以。和夕分别表示光子速度方向在S和S系中与x和f轴的

夹角，则光速的工分量为

Ilx=CCOS0,(1)

〃；=ccos。'.(2)

再利用相对论速度变换关系，得

cosO'+v/c

cos。=----------.(3)

1+vcos0'/c

s，系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于owey兀/2的方向角范围

内，S系中，此范围对应由上式求得

71V

COS2+7v

a=arccos-----———=arccos—.(A4)

,V71r

1H--COS一

c2

可以看出，光源的速度。越大，圆锥的顶角越小.

2.S，系中，质点静止，在Af时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，

即

P\f=,(5)

式中加%为时间内质点减少的质量.S系中，质点以速度。匀速运动，由于

辐射，其动质量减少△〃?，故动量与能量亦减少.转化为光子的总动量为

A/?=Amv,即

(6)

y1\-V2/c2

转化为光子的总能量为=即

S，系中光源静止，测得的辐射时间加，为本征时，在S系中膨胀为

由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为

乎(9)

△/c

—=P.(10)

Ar

评分标准：本题20分.

第1小问7分.⑶式4分，(4)式3分.

第2小问13分.⑸、(6)、(7)式各2分，⑻式3分，(9)、(10)式各2分.

七、

参考解答：

1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为

E/c+MV=-E,/c-^-MV,,

E+MV2/2=E,+MV,2/2.

其中V'为碰撞后反射镜的速度.从上两式消去得

l+V/c+Q(l+V/c)2+4E/Mc21+V/c

当上<<1时，—^1-V/c,可得

C14-V/c

Er=F(l-2V/c).

2.考察时刻“立于垂直于光传播方向的截面A左侧的

长为光在1s时间内所，’专播的距离cxls、底面积为单位面

积柱体内的光子，如图1所示.经过1s时间，它们全部

通过所考察的截面.若单位体积中的光子数为〃，根据光

强的定义，入射光的强度

①=ncE(6)

若A处固定一反射镜，则柱体的底面52处

的光子在时刻，到达位于A处的反射镜便立即被

反射，以光速。向左移动；当柱体的底面S在

什1s到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面

S2已到达A左边距离A为cxls处，所有反射光

的光子仍分布在长为cxls、截面积为单位面积

的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相

等.

如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V

向右移动，则在时刻/+ls柱体的底面S到达A

处时，反射镜己移到A右边距离为Vxls的N处,这时底面S2移到A左侧离A

的距离为cxls处，如图2中a所示.设再经过时间S与镜面相遇，但这时镜

面己来到N，处，因为在。时间内，镜面又移过了一段距离VA/,即在时刻

，+卜+4,底面S才到达反射镜被反射.亦即原在S处的光子须多行进c业的

距离才能被反射.因此

cAt=(IsIzV)V

得

(7)

而这时，底面S2又向左移了一段距离这样反射光的光子将分布在长为

cxls+2必/的柱体内.因反射不改变光子总数，设"'为反射光单位体积中的光

子数，有

(V),c+V

nc-ncC+2---=--n-c------

Ic-VJc-V

故有

c+V

(8)

根据光强度的定义，反射光的强度

(P'=RE.⑼

由(4)、(8)、(9)各式得

昌)(10)

注意到有

评分标准：本题20分.

第1小问9分.(1)、(2)式各2分，(4)或⑸式5分.

第2小问11分.⑻式5分，(9)式3分，(10)或(11)式3分.

八、

参考解答：

两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的

负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹

性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以巧

和力分别表示两个原子的负电中心振动速度，王和々分别表示两个原子的负电

中心相对各自原子核的位移，则体系的能量

E=+("W;+《云；+g入;+U

(1)

式中U为静电相互作用能

1111

2—+-----------------------

U=kcq⑵

、RR+玉一x,R+%R—x?)

%为静电力常量.因R+X-X2=R°+工/)，R+M=R[I+*)，

R-X2=R(\-^\f利用(1+4:1_/+了2,可将(2)式化为

U=2.籍:(3)

因此体系总能量可近似表为

注意到,+心心产上和2版心”L可将⑷式改写为

(5)

式中,

=(%+%)/血,⑹

〃2二(02)A历，⑺

)］二(玉+工2)/正，(8)

%=(N-±)/日⑼

⑸式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角

频率分别为

?=J----——，(10)

Vm

lk+2kq2/R3小、

Emc•00

在绝对零度，零点能为

&）=3方（。］+%），（12）

两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为耳。和刍0,有

&=£20=5力例，(13)

式中

4=，二（14）

为孤立振子的固有角频率.由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成

的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为

隹=与-(昂+/).(15)

利用（l+X）「nl+x/2-f/8,可得

^E=~2kVRb,06)

AE<0,表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引.

评分标准：本题20分.

（1）式1分,（2）式3分,（4）式3分，（10）、（11）式各4分，（⑵式2分,（16）

式2分，末句说明占1分.

高中物理竞赛——稳恒电流习题

一、纯电阻电路的简化和等效

1、等势缩点法

将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电

势相等，则需要具体问题具体分析——

【物理情形1】在图8-4甲所示的电路中，Ri二R2二R3二R,二R5二R,试

求A、B两端的等效电阻RM。

【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线

是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A

后，成为图8-4乙图

对于图8-4的乙图，求心就容易了。【答案】RAB=1RO

【物理情形2］在图8-5甲所示的电路中，R,=10,R2=4Q,R3=30,

R,二120,R5=10G,试求A、B两端的等效电阻RAB。

【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两

端接入电源，并假设Rs不存在，C、D两点的电势有什么关系？

☆学员判断…一结论：相等。

因此，D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

图8-5

对于图8-5的乙图，求心是非常容易的。事实上，只要满足区二%的关系,

R2R,

我们把桥式电路称为“平衡电桥”。【答案】R=Qo

AB4

R相关介绍》英国物理学家惠斯登曾将图8-5中的Rs换成灵敏电流计0),

将Ri、R?中的某一个电阻换成待测电阻、将Rs、R,换成带触头的电阻丝，通过

调节触头P的位置，观察电流计示数为零来测量

带测电阻用的值，这种测量电阻的方案几乎没有

系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。

请学员们参照图8-6思考惠斯登电桥测量电阻的

原理，并写出R*的表达式（触头两端的电阻丝长

度LAC和LCB是可以通过设置好的标尺读出的）。

☆学员思考、计算…

【答案】Rx二3R。o

【物理情形3］在图8-7甲所示的有限网络

中，每一小段导体的电阻均为R,试求A、B两点之间的等效电阻RAB。

【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。当我们将A、B

两端接入电源，电流从A流向B时，相对A、B连线对称的点电流流动的情形必

然是完全相同的，即：在图8-7乙图中标号为1的点电势彼此相等，标号为2

的点电势彼此相等…。将它们缩点后，1点和B点之间的等效电路如图8-7丙所

7Po

而RAB二2RIBo

2、△一¥型变换

【物理情形】在图8-5甲所示的电路中，将R换成2Q的电阻，其它条件不

变，再求A、B两端的等效电阻RAB。

【模型分析】此时的电桥已经不再“平衡”，故不能采取等势缩点法简化电

路。这里可以将电路的左边或右边看成△型电路，然后进行aTY型变换，具体

操作如图8-8所示。

根据前面介绍的定式，有

p_R,R；_2x3=2QR-R|R§=2x10_4Q

R,+R,+R«2+3+105R।+R,+R,2+3+103

3x1020

2+3+10

图8-8

再求RAB就容易了。【答案】RAB二空Qo

145

3、电流注入法

【物理情形】对图8-9所示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB。

【模型分析】显然，等势缩点和△一¥型变换\/\/

均不适用这种网络的计算。这里介绍“电流注入\\_/

法”的应用。―(\_/\-

应用电流注入法的依据是：对于任何一个等效电\_/\_/

阻R,欧姆定律都是适用的，而且，对于存一段_/X-(B)___

导体，欧姆定律也是适用的。\_/\_/

现在，当我们将无穷远接地，A点接电源正极，/\/\___

从A点注入电流I时，AB小段导体的电流必为\/\/

1/3；/\/\

当我们将无穷远接地，B点接电源负极，从B点图8-9

抽出电流I时，AB小段导体的电流必为1/3;

那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时，AB小段导体的电流必为

21/3o

最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，即不难求出RABO

【答案】RAB=yRO

K相关介绍X事实上，电流注入法是一个解复杂电路的基本工具，而不是仅

仅可以适用于无限网络。下面介绍用电流注入

法解图8-8中桥式电路(不平衡)的RAB。

从A端注入电流I,并设流过R和比的电

流分别为1和12,则根据基尔霍夫第一定律，

其它三个电阻的电流可以表示为如图8-10所

o

然后对左边回路用基尔霍夫第二定律，有

II)R

IR+(li-l2)R5-(I-3=0

即2h+10(1,-l2)-3(1-10=0

整理后得15L-10l2=3I

对左边回路用基尔霍夫第二定律，有

I2R2-(I_L)R4_(li-DRs-0

即412-12(1-12)-10(^-12)=0

整理后得-5h+1312=6I②

解①②两式，得h二至I,l2二包।

14529

很显然UA-LR,-l2R2=UB

即Uw=2X型I+618

1454*畜H5

RAB

最后对整块电路用欧姆定律，有二2L二空Qo

I145

4、添加等效法

【场理情形】在图871甲所示无限网络中，每个电阻的限值均为R,试求

A、B两点间的电阻比口。

图8-11

【模型分析】解这类问题，我们要用到一种教学思想，那就是：无穷大和有

限数的和仍为无穷大。在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作

为电,路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图871乙图中，虚线部分右边

可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即

RAB〃R+R=RiKB

解这个方程就得出了RAB的值。

【答案】RAB="RO

2

K学员思考》本题是否可以用“电流注入法”

求解？

K解说H可以，在A端注入电流I后，设第

一级的并联电阻分流为L,则结合基尔霍夫第一

定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值

图8-12

如图8-12所示

对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有

(I-L)R+(I-I,)i-R-liR=0

解得i,=邑

2

很显然UA-IR-l,R=UB

即Uw=IR+1R=IR

22

RAB

最后，二4■二上在Ro

I2

【综合应用】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体

电阻均为R,试求A、B两点间的等效电阻RABo

【解说】当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…

各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以

看成不存在。这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路

可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。

甲乙

图8-13

对于这个二维无限网络，不难求出R'二竺画R显然，R阳二R'〃生

33

〃R'【答案】RAB二o

V21

二、含源电路的简化和计算

1、戴维南定理的应用

【物理情形】在如图874甲所示电路中，电源E=1.4V,内阻不计，R,=

R4=20,R2=R3=R5=1Q,试用戴维南定理解流过电阻R5的电流。

【模型分析】用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路

等效为一个电源，然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一

个，我们可以援用后一种思路，将除Rs之外的电阻均看成“与电源相关联妁”

部分，于是——

将电路做“拓扑”变换，成图8-14乙图。这时候，P、Q两点可看成“新电

源”的两极，设新电源的电动势为£',内阻为r',则〃=R〃R?+R3

〃k二go

£'为P、Q开路时的电压。开路时，氏的电流I1和R3的电流I3相等，I=h

二---------------」二ZA,令“老电源”的负极接地，则5二1岛二1V,

(R+Rj](R?+R4)21515

,所以z

u0=I3R4=E=uQP=2-V

最后电路演化成图874丙时，Rs的电流就好求了。

【答案】Rs上电流大小为0.20A,方向（在甲图中）向上。

2、基尔霍夫定律的应用

基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应

用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有

几个？这里需要补充一个法则，那就是——

基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；

基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的

个数m应该这样计算

m=p—n+1

其中p为支路数目（不同电流值的数目），n为节点个数。譬如，在图8-15

所示的三个电路中，m应该这样计算

图8-15

甲图，p=3,n=2,m=3-2+1=2

乙图，p=6,n=4,m=6-4+1=3

丙图，p=8,n二5,m=8-5+1=4

以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。

思考启发：学员观察上面三个电路中m的结论和电路的外部特征，能得到什

么结果？

☆学员：m事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一支

路险证…）

【物理情形1】在国876所示的电路中，E.=32V,£2二24V,两电源的

内阻均不计，R,二50,R2=6Q,R3=540,求各支路的电流。

【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为n

-1=2,第二方程的个数为p-n+1=2

由第一定律，有h二h+L

由第二定律，左回路有E1-E2=IR-LR2

左回路有£2=12R2+13R3

代入数字后，从这三个方程不难解出

L=1.0A,12=-0.5A,13=0.5A

这里L的负号表明实际电流方向和假定方向相

反。

【答案】R的电流大小为1.0A,方向向上，比的电流大小为0.5A,方向向下，

R3的电流大小为0.5A,方向向下。

【物理情形2】用基尔霍夫定律解图8-14甲所示电路中Rs的电流(所有已知

条件不变)。

【模型分析】此也路P=6,n=4,故

基尔霍夫第一定律方程个数为3,第二定律方

程个数为3o

为了方便，将独立回路编号为I、II和川,

电流只设了三个未知量L、I?和13,其它三

个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，

见图8-17o这样，我们只要解三个基尔霍夫第

二定律方程就可以了。

对I回路，有lR,+I1R5-I3R3=0

2图8-17

即212+1L-113=0

①

对II回路，有(l2-II)R2-(L+l3)R4-IR=0

②

即1⑴