北京市重点中学中考数学四模试卷及答案解析

北京市重点中学中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.关于x的方程（a-1）x^+,-3x+2=0是一元二次方程，则（）

A.a^ilB.a=lC.a=-1D.a=±l

2.如图，直线a,b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）

A.N1=N3B.Z2+Z4=180°C.N1=N4D.N3=N4

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a#））图象的一部分，对称轴为直线x=/,且经过点（2,0）,下列说法：①abcVO；

@a+b=O；③4a+2b+cV0；④若（一2,yi）,（1-,yz）是抛物线上的两点，则yiVyz.其中说法正确的有（）

A.®®®B.①®③C.①④D.①②®

2

4.如图，口A5CD对角线AC与电）交于点。，且AD=3,AB=5在A3延长线上取一点E,使8E=—AB,连接

f5

OE交BC于%则B尸的长为（）

c

5.如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这

个几何体的主视图是（）

FH"■中C.石#

6.计算（x—2）（x+5）的结果是

A.X2+3X+7B.x2+3x+10C.x2+3x—10D.x2—3x—10

7.如图，在△ABC中，AB=AC=1（）,CB=16,分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）

A.5071-48B.25n-48C.507r-24D.菱兀-N4

8.关于工的方程（。-5）/一4x-l=（）有实数根，则。满足（

A.a>\B.且。工5C.aNI且。工5

9.估计5卡-图的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

10.小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率

为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.抛物线>=如？+2〃优+1（利为非零实数）的顶点坐标为.

12.如图，在△ABC中，O,E分别是A3,AC边上的点，DE//BC.若AO=6,BD=2tOE=3,贝I」8C=

A

13.圆锥的底面半径是4cm,母线长是5cm,则圆锥的侧面积等于1

14.计算/+/的结果等于.

15.已知：如图，△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为

4k

16.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tanNAOC=w，反比例函数y=—的图象经过

3x

点C,与AB交于点D,若△COD的面积为20,则k的值等于.

三、解答题（共8题，共72分）

y=x

17.（8分）解方程组

/+），_2=0

18.（8分）水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②

所示的容器内盛水量W（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求

W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？

19.（8分）如图，正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点，点A在x轴上，点C上y轴上，点B在反比例函数

<0«<8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位；万元），Q与t之间满足如

2r+8,0<r<12

下关系：Q1

-z+44,12<r<24

（1）当8VtW24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）

①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336WWW5I3是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的

月销售量P的最小值和最大值.

23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线/：），="+攵（〃H0）与x轴，轴分别交于A,8两点，且点8（0,2）,

点夕在）'轴正半轴上运动，过点P作平行于不轴的直线）'=，.

（1）求攵的值和点A的坐标；

（2）当/=4时，直线y=7与直线/交于点反比例函数的图象经过点求反比例函数的解析式;

（3）当i<4时，若直线y=f与直线/和（2）反比例函数的图象分别交于点C,D,当CO间距离大于等于2时，

求「的取道范围.

24.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.请

问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10

辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如

何安排车辆最节省费用？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

根据一元一次方程的定义即可求出答案.

【详解】

。一1工（）

由题意可知：，14+1=2'解得a=T

故选C.

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型.

2、I）

【解析】

试题分析：A.VZ1=Z3,・・・a〃b,故A正确：

B.VZ2+Z4=180°,Z2+Zl=180°,.*.Z1=Z4,VZ4=Z3,/.Z1=Z3,Aa#b,故B正确;

C.VZ1=Z4,N4=N3,AZ1=Z3,Aa/7b,故C正确；

D.N3和N4是对顶角，不能判断a与b是否平行，故D错误.

故选D.

考点：平行线的判定.

3、D

【解析】

根据图象得出。＜0,〃+上0,。＞0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，根据（-2,》），（|•，加到对称轴

的距离即可判断④.

【详解】

•・•二次函数的图象的开口向下，

a＜0,

•・,二次函数的图象），轴的交点在5轴的正半轴上,

c>0,

•・•二次函数图象的对称轴是直线尸!，

2

/.a=-b,

，力>0,

.,.HcvO,故①正确；

•；a=・b,..・。+5=0,故②正确；

把x=2代入抛物线的解析式得，

4a+2Hc=0,故③错误；

g-(-2)>5_j_

2~2，

九月,

故④正确；

故选D..

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力.

4、A

【解析】

首先作械助线：取AR的中点M,连接OM,由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：AEFRs^EOM

与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值.

【详解】

取AB的中点M,连接OM,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,OB=OD,

113

・・・OM〃AD〃BC,OM=-AD=-x3=-,

222

AAEFB^AEOM,

BFBE

-OM~EM'

2

VAB=5,BE=-AB,

5

.5

ABE=2,BM=-,

2

,59

AEM=-+2=-,

22

BF_2

.,.刀~9,

22

.2

ABF=-,

故选A.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结

合思想解题.

5、B

【解析】

根据俯视图可确定主视图的列数和每列小正方体的个数.

【详解】

由俯视图可得，主视图一共有两列，左边一列由两个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成.

故答案选B.

【点睛】

由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图.

6、C

【解析】

根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可.

【详解】

（二-2）（二+5）=二:+5二-二-％=二二V-:0：

故选：C.

【点睛】

考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

7、B

【解析】

设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD,如图,

/.AD1BC,

ABD=DC=jiBC=8,

WAB=AC=10,CB=16,

・•・AD=JAC2-DC-J102-82=6»

工阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积-△ABC的面积，

=7t*52-夕16・6,

=25n-L

故选B.

8、A

【解析】

分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当时5时，根据判别式的意义得到且降5时，

方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围.

【详解】

当a=5时，原方程变形为-4x-l=0,解得x二・上；

4

当时5时，△=(-4)2-4(a-5)x(-1)>0,解得壮1,即且a,5时，方程有两个实数根，

所以a的取值范围为壮1.

故选A.

【点睛】

本题考杳了一元二次方程HX^+bx+sO(时0)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,

方程有两个相等的实数根；当4V0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

9、C

【解析】

先化简二次根式，合并后，再根据无理数的估计解答即可.

【详解】

5y/6-V24=55/6-2V6=3x/6=>/54>

V49<54<64,

A7<V54<8,

：・5限-日的值应在7和8之间，

故选C.

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小.

10、B

【解析】

直接利用概率的意义分析得出答案.

【详解】

解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是《，

2

故选B.

【点睛】

此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、(-1,1-772)

【解析】

【分析】将抛物线的解析式由一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标.

【详解】y=mx2+2mx+l

=m(x2+2x)+l

=m(x2+2x+l-l)+l

=m(x+l)2+l-in,

所以抛物线的顶点坐标为(-b1-m),

故答案为(-1,1-m).

【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线的解析式转化为顶点式是解题的关键.

12、1

【解析】

根据已知DE〃BC得出竺二段进而得出BC的值

ABBC

【详解】

*：DE//BCtAD=6tBD=2tDE=3,

工AADESAABC,

.ADDE

・•南一正’

.63

：.BC=\t

故答案为1.

【点睛】

此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键在于利用三角形的相似求三角形的边长.

13、10九

【解析】

解：根据圆锥的侧面积公式可得这个圆锥的侧面积='・1兀・4・5=10兀(cm').

2

故答案为：10几

【点睛】

本题考查圆锥的计算.

14、a3

【解析】

试题解析：Xtx2=x3.

考点：同底数塞的除法.

15>1

【解析】

【分析】设四边形BCED的面积为x,贝I]SAADE=12-X,由题意知DE〃BC且DE=，BC,从而得L^二(

据此建立关于x的方程，解之可得.

【详解】设四边形BCED的面积为x,则SAADE=12-X,

・・•点D、E分别是边AB、AC的中点，

・・・口£是4ABC的中位线，

，DE〃BC,KDE=-BC,

2

.'.△ADE^AABC,

(DE^\1口J2-X1

则_^也二—=-,即-----=-,

S.ABC4124

解得：x=l,

即四边形BCED的面积为1,

故答案为1.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的

平方的性质.

16>-24

【解析】

分析：

4

如下图，过点C作CF_LAO于点F,过点D作DE〃OA交CO于点E,设CF=4x,由tanNAOC=—可得OF=3x,

3

由此可得OC=5x,从而可得OA=5x,由已知条件易证S菱形ABCO=2SACOD=40=OA・CF=20X2,从而可得、=血，由此可

得点C的坐标为6啦,？—,这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.

详解：

如下图，过点C作CF_LAO于点F,过点D作DE〃OA交CO于点E,设CF=4x,

丁四边形ABCO是菱形，

.•.AB/7CO,AO/7BC,

VDE/7AO,

・・・四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，

SAAOD=SADOE,SABCD=SACDE,

AS菱形ABCD=2SADOE+2SACDE=2SACOD=40,

4

Vtanz^AOC=—,CF=4x,

3

AOF=3x,

，在RtACOF中，由勾股定理可得OC=5x,

.\OA==OC=5x,

•♦•S更形ABCO=AO,CF=5X,4X=20X2=40，解得：x=O,

，OF=3拒，CF=4夜，

，点C的坐标为/卫应,？J-,

丁点C在反比例函数y=A的图象上,

x

**,k=—3^2x4^2=-24•

故答案为：・24.

点睛：本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x,结合己知条件把OF和OA用含x的式子表

达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，SACOD=20得至ljS葵彩ABCO=2SACOD=40.

三、解答题（共8题，共72分）

x=-2x=]

17、y=-2或

)二1

【解析】

把y=x代入f+）,一2=0,解得x的值，然后即可求出y的值;

【详解】

把(1)代入(2)得：/+x・2=0,

(x+2)(x-1)=0,

解得：x=-2或1,

当x=-2时,y=-2,

当x=l时，j=L

'=一;或•x=\

・••原方程组的解是

y=-2y=i

【点睛】

本题考查了高次方程的解法，关键是用代入法先求出一个未知数，再代入求出另一个未知数.

18、（1）0.3L；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6L.

【解析】

（1）根据点（0。3）的实际意义可得;

(2)设卬与/之间的函数关系式为卬=太+。，侍定系数法求解可得，计算出1=24时W的值，再减去容翳内原有

的水量即可.

【详解】

(1)由图象可知，容器内原有水0.3L.

(2)由图象可知W与t之间的函数图象经过点(0,0.3),

故设函数关系式为W=kt+O.3.

又因为函数图象经过点(1.5,0.9),

代入函数关系式，得1.5k+0.3=0.9,解得k=0.4.

故W与t之间的函数关系式为W=0.4t+0.3.

当t=24时，W=0.4x24+0.3=9.9(L),9.9-03=9.6(L),

即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6L.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.

9?79

19、(1)y=-(x>0)；(2)S与t的函数关系式为：S=-3t+9(0<t<3)；S=9——(t>3)；当5=一时，对应的t值

xI2

为2或6；(3)当■或逑或3时，使△FBO为等腰三角形.

222

【解析】

(1)由正方形OABC的面积为9,可得点B的坐标为：(3,3),继而可求得该反比例函数的解析式.

99

(2)由题意得P(t,-),然后分别从当点Pi在点B的左侧时，S=t・(一・3)=・3t+9与当点P2在点B的右侧时，则

tt

927

S=(t-3)-=9•一去分析求解即可求得答案；

tt

(3)分别从OB=BF,OB=OF,OF=BF去分析求解即可求得答案.

【详解】

解：(1)・・,正方形OABC的面积为9,

，点B的坐标为：(3,3),

丁点B在反比例函数y=±(k>0,x>0)的图象上，

x

yk

3

即k=9,

・・

•该反比例函数的解析式为；尸y=9(x>0);

x

9

(2)根据题意得：P(t,

t

9

分两种情况：①当点Pi在点B的左侧时，S=f(--3)=-3t+9(0<t<3)；

若

2

9

贝n(lJ・3t+9=—,

2

3

解得：1=不；

2

927

②当点P2在点B的右侧时，则§=(t-3)—=9——；

tt

»9皿279

若§二一，贝IJ9——=-,

tt2

解得：t=6；

27

与t的函数关系式为：S=-3t+9(0<t<3)；S=9——(t>3)；

t

93

当$=乙时，对应的t值为(或6；

t2

(3)存在.

若OB=BF=3近，此时CF=BC=3,

AOF=6,

・A9

t

解得：t=:；

2

9

若OB=OF=3及，则3拉=：,

解得：t=^；

2

若BF=OF,此时点F与C重合，t=3；

，当或速或3时，使AFBO为等腰三角形.

22

【点睛】

此题考查反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质.此题难度较大，解题关键是注意掌

握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

20、39米

【解析】

过点A作AE_LC£>,垂足为点£在RSAOE中，利用三角函数求出。E的长，在RSACE中，求出CE的长即

可得.

【详解】

解：过点A作AE_LCD,垂足为点E,

由题意得，AE=BC=28,NEAO=25。，ZEAC=43°,

DE

在RtAAOE中，VtanZE4D=—,ADE=tan25°x28=0.47x28«13.2,

AE

CE

在R3ACE中，VtanZE4C=——,ACE=tan43Ox28=0.93x28«26,

AE

/.DC=DE+CE=13.2+26«39（米），

答：建筑物C。的高度约为39米.

B

21、2.7米.

【解析】

先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论.

【详解】

在RSACB中，VZACB=90°,BC=0.7米，AC=2.2米，

/.AB2=0.72+2.22=6.1.

在RtAA'BD中，VZADB=90°,A'D=L5米，BD2+A,D2=A,B,2,

ABD2+1.52=6.1,

ABD2=2.

VBD>0,

，BD=2米.

.,.CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.

答：小巷的宽度CD为2・7米.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

22、(1)P=t+2：(2)①当0Vt<8时，w=240：当8Vt<12时，w=2t24-12t+16：当12Vt<24时，w=・t?+42t+88：②此

范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨.

【解析】

分析：(1)设8<烂24时，P=kt+b,将A(8,10)、B(24,26)代入求解可得P=t+2；

(2)①分0Vt£8、8VtW12和12VtW24三种情况，根据月毛利润=月销量x每吨的毛利润可得函数解析式；

②求出8VK12和12VK24时，月毛利润w在满足336WWW513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P

的最大值与最小值，二者综合可得答案.

详解：(1)设8V04时,P=kt+b,

将A(8,10)、B(24,26)代入，得：

8mo

'24Z+仁26’

AP=t+2；

120

(2)①当OVtm时，w=(2t+8)x——=240；

1+4

当8Vt$12时，w=(2t+8)(t+2)=2t2+12t+16；

当12Vts24时，w=(-t+44)(t+2)=-t2+42t+88；

②当8Vts12时，w=2tz+12t+16=2(t+3)2-2,

・・・8VtS2时，w随t的增大而增大，

当2(t+3)2.2=336时，解题t=10或t=・16(舍)，

当t=12时，w取得最大值，最大值为448,

此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12,在t=12时取得最大值14；

22

当12Vts24时，w=-t+42t+88=-(t-21)+529f

当t=12时,w取得最小值448,

由-(t-21)2+529=513得t=17或t=25,

・••当12Vts17时,448<w<513,

此时P=t+2的最小值为14,最大值为19；

综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨.

点睛：本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的

前提，利用二次函数的性质求得3360.5513所对应的t的取值范围是解题的关键.

4

23、(1)k=2,A(—1,0)；(2)y=—；/的取值范围是：0W2.

【解析】

(1)把(0,2)代入得出k的值，进而得出A