北师大版二年级数学下册第一单元：《搭一搭（一）》教案：借助操作体验帮助学生理解有余数除法落实除法概念拓展培养数学思维与表达素养

北师大版二年级数学下册第一单元：《搭一搭（一）》教案：借助操作体验帮助学生理解有余数除法，落实除法概念拓展，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为二年级下册，使用教材为北师大版。本节课课题是《搭一搭（一）》，隶属于“除法”单元的后续深化课，课型为操作与探究相结合的新授课。学生在上节课《分苹果》中已经学习了无余数除法的竖式计算，初步理解了“平均分”后用除法记录，以及除法竖式中“一除、一乘、一减”的步骤含义。然而，他们对于平均分后“有剩余”的情况缺乏系统性的数学认识。在日常生活中，他们可能有“分不完”、“剩下几个”的朴素经验，但尚未将其与规范的除法算式建立联系，更未接触“余数”这一概念。二年级学生思维仍以具体形象为主，需要通过大量动手操作来构建抽象概念。学习本课时，主要认知冲突在于：当平均分后出现“剩余”时，如何用已经学过的除法算式来表示？这个“剩余”的部分在算式中处于什么位置？它和以前学过的“正好分完”有什么区别和联系？学生可能会产生疑惑：“剩下的该怎么办？”、“算式怎么写不完？”。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念理解：通过用小棒搭正方形的操作活动，亲身体验平均分后“有剩余”的现象。理解“余数”产生的必然性（当被除数不是除数的整数倍时），掌握“余数”的定义：平均分后剩余的不够再分一份的数量。技能掌握：学会用除法算式（包括横式和竖式）表示平均分后有余数的情况，掌握有余数除法算式的标准读写方法：被除数÷除数=商……余数。能够根据操作结果，正确写出算式中每一个数的含义。表征与表达：能用“搭一搭”、“圈一圈”等直观方式表征有余数的除法过程。能用规范的语言描述操作过程和算式意义，例如：“用13根小棒搭正方形，每个正方形用4根，可以搭3个正方形，还剩1根小棒。”过程与方法目标：经历建模过程：经历“动手操作→记录现象→发现规律→抽象概括”的完整探究过程。从具体的“搭正方形剩几根小棒”的操作数据中，观察、比较、归纳出余数与除数的大小关系（余数<除数），初步形成不完全归纳的思维能力。运用对比与关联：通过对比“正好分完”（无余数）和“分后有剩余”（有余数）两种情况的异同，深化对除法概念的理解，认识到有余数除法是除法概念的自然拓展，完善对除法意义的认知结构。强化操作验证：在“猜想-验证”的活动中，如猜想“余数会不会比除数大”，并通过再次动手搭小棒进行验证，培养严谨求实的科学态度和基于事实的推理能力。情感态度与价值观目标：感悟数学的严谨与普适：体会到数学概念和规则源于现实需要且逻辑严密，即使“分不完”，数学也有办法精确地描述它，感受数学的广泛应用性和严谨性。培养探究精神与合作意识：在动手搭、合作议的活动中，激发主动探究数学奥秘的兴趣，体验与同伴分享发现、共同解决问题的乐趣，增强团队协作意识。渗透“极限”与“优化”思想萌芽：在理解“余数必须比除数小”的规则时，初步感受“在有限条件下达到最大效益（尽可能多搭图形）”的优化思想，以及“剩余部分达不到再次分配标准”的边界意识。教学重难点及突破策略教学重点：理解有余数除法的意义，掌握有余数除法算式的读、写方法，并能将算式与操作过程对应起来。理由：这是除法概念从理想化“整除”向现实化“非整除”的关键拓展，是后续学习有余数除法计算和解决复杂实际问题的基础。算式的规范书写和意义对应是确保理解而非机械记忆的前提。教学难点：理解“余数一定要比除数小”的道理，并能在操作和算式中体会其必然性。深度剖析：学生容易记住“余数比除数小”这个结论，但难以理解其内在逻辑。他们会问：“为什么不能大？如果余数大了会怎么样？”这是认知的盲区。他们可能将其视为一个孤立的、外加的规定，而非除法“平均分”定义下的自然推论。突破策略：操作-对比-追问策略：设计分层次的搭小棒任务（如用13、14、15、16根小棒分别搭正方形），引导学生记录每次的“根数”、“搭的个数”、“剩余根数”。组织学生横向对比这些记录，观察“剩余根数”有哪几种可能。当出现“剩余根数等于或大于4”的记录时（可能是错误操作或故意设置的认知冲突），引导学生动手验证：“剩下的这4根（或5根）还能再搭一个正方形吗？”通过实际操作证明“只要余数≥除数，就可以再分一份”，从而反推出“真正的余数必须比除数小”。可视化支架：使用“记录表”和“圈一圈”的图示方法。记录表清晰呈现数据关系；让学生把搭好的正方形在记录单上“圈”出来，剩下的根数单独放，直观看到“剩下的”永远比“搭一个所需的”（除数）要少。利用数轴或连续减去相同数的线段图进行形象化说明。语言内化策略：要求学生反复用两种句式表达：“（）根小棒，每（）根搭一个（图形），可以搭（）个，还剩（）根，因为剩下的（）根不够再搭一个了。”和“在算式里，余数（）比除数（）小，因为如果余数等于或大于除数，就（）。”通过语言固化和厘清思维。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件（语言描述版）：课件首页是课题“搭一搭（一）”和一堆小棒、正方形的卡通图。第二页呈现探究活动要求文字。第三页为空白“搭一搭记录表”模板。后续页面用于展示学生作品和归纳结论。实物教具：一捆小棒（约50根），一个用粗铁丝或木条做成的正方形框架（边长约15厘米），一块磁性白板及若干正方形磁贴（用于替代学生作品展示）。一张大型的“搭一搭记录表”海报贴在黑板上。“搭一搭记录表”（学生用）：纸质表格，标题为“我是小小建筑师”。表格包含四列：第一列“小棒总根数”，第二列“搭一个正方形用几根”，第三列“一共搭了几个”，第四列“剩下几根”。表格下方有横线用于写除法算式。表格右侧有一片空白区域，用于“画一画”（用简笔画正方形和剩余小棒）。学生准备：每小组一套学具：四个信封，分别装有13根、14根、15根、16根小棒（建议使用计数棒，长度约5-10厘米）。每人一份“搭一搭记录表”和练习本。彩色笔（红色、蓝色）。教学过程一、情境导入（教师手持正方形框架和一捆小棒，精神饱满地走进教室）师：同学们，大家好！上节课我们学习了分苹果，用除法解决平均分的问题，大家掌握得真不错！今天，老师想邀请大家化身成为“小小建筑师”，我们一起用手中的小棒来“搭一搭”。（举起正方形框架）看，我们今天的建筑目标是——（学生齐答：正方形！）师：没错！要搭成这样一个独立的正方形，需要用到几根小棒呢？谁来说说？生1：我知道！正方形有四条边，所以需要4根小棒！师：完全正确！一个正方形需要4根小棒。（将4根小棒嵌入框架中演示）那么，问题来了！（从一捆小棒中数出13根，握在手中）如果老师手里有13根这样的小棒，用它们来搭正方形，每个正方形都用4根。请大家开动脑筋，大胆猜想一下：最多能搭出几个这样的正方形？搭完之后，小棒会有剩余吗？如果有，会剩几根？师：先别急着告诉我答案。请大家先独立思考，把你们的猜想记录在练习本上：1.能搭几个？2.会不会剩？剩几根？然后，和你的同桌分享一下你的猜想和理由。（给予1分钟思考与交流时间）（教师巡视，俯身倾听学生讨论）师：好，我们来听听建筑师们的初始猜想！生2：老师，我猜能搭3个，因为三四十二，用掉12根，13减12等于1，所以剩1根。师：哦！你运用了上节课的乘法和减法来推理，很有道理！生3：我觉得可能能搭3个多一点，但多一点又不能算一个，所以可能剩几根我也说不准。师：“多一点”这个说法很形象！你感觉到了可能“分不完”，这是我们今天要研究的核心问题。生4：我猜能搭4个，因为我想多搭点，四四十六，可是16比13大，不够，所以……可能搭不了4个。师：你从“想多搭”的理想出发，但发现材料不够，这个思考过程非常真实！大家的猜想都很有意思，有推理，有直觉，也有困惑。那么，真相到底是什么？光靠猜可不行，我们建筑师要讲证据！最好的办法就是——全体学生：动手试一试！师：对！实践出真知。接下来，就请大家拿出学具袋里的第一个信封，里面装着13根小棒。我们的任务就是：亲手搭一搭，看看用13根小棒，每4根搭一个正方形，到底能搭几个？剩几根？并把你的搭建结果用一种清楚的方式记录下来。这就是我们今天要探究的“搭一搭（一）”的奥秘。（转身板书课题：搭一搭（一））二、探究新知第一步：操作初探，建立有余数除法的直观模型师：在动手之前，请大家看清活动要求（指大屏幕或口头清晰陈述）：独立操作：用信封里的13根小棒搭正方形，边搭边想你是怎么搭的。记录结果：在“搭一搭记录表”的第一行，填好：小棒总根数13，搭一个用4根。然后数一数你搭了几个正方形，填在“搭了几个”下面；再把桌上剩下的小棒数一数，填在“剩下几根”下面。画图表示：在表格右边的空白处，用简单的图形（如用方形代表正方形，短线代表小棒）画一画你的搭建结果。尝试列式：根据你的操作，你能试着用一个除法算式来表示这个过程吗？写在表格下面的横线上。开始行动吧！（学生独立操作，教师巡视，重点观察学生操作是否有序（如4根一搭），记录是否完整，列式情况。预设场景：大部分学生能顺利搭出3个正方形，剩下1根。在列式时，会出现多样情况：有的写13÷4=3，有的写13÷4=3……1，有的可能不知如何写“剩1根”。）师：大部分同学已经完成了。谁愿意带着你的记录表，到讲台上用老师的小棒和磁贴，展示一下你的搭建过程和结果？（请一位学生上台）生5：（一边操作一边说）我先拿4根小棒搭一个正方形，再拿4根搭第二个，再拿4根搭第三个。这样我一共用掉了12根小棒。桌上还剩下1根小棒，不够再搭一个正方形了。所以我搭了3个正方形，剩下1根小棒。师：操作清晰，表达流畅！请大家对照一下，你们的结果和他一样吗？全体学生：一样！师：好，那我们就把这个共同的结果记录下来。在你的记录表上，“搭了几个”填3，“剩下几根”填1。图也画好了吗？我们来看看如何用数学算式来记录这件事。刚才有同学列了13÷4=3，这个算式能完全表示“搭了3个，还剩1根”吗？生6：不能，它没说出还剩1根。师：那怎么办呢？数学家们也想告诉大家“还剩1根”这个重要信息，所以他们创造了一种新的写法。在除法算式的商后面，点上六个小圆点（……），这个符号叫“省略号”，然后写上剩下的根数，我们给这个剩下的数起个名字，叫做“余数”。（板书完整算式：13÷4=3……1）师：这个算式读作：13除以4等于3余1。大家一起读一遍。全体学生：13除以4等于3余1。师：现在，谁能指着这个算式，说说每个数在这次搭正方形的活动中分别表示什么？生7：13表示一共有13根小棒，4表示搭一个正方形要用4根，3表示搭了3个正方形，1表示还剩下1根小棒。师：说得真完整！剩下的这“1根”，就是我们的新朋友——余数。这个包含余数的除法算式，就叫“有余数的除法”。第二步：系列操作，积累感性经验，记录多样化情况师：刚才我们用13根小棒，发现了“有余数”的情况。那么，如果小棒的数量变化了，情况又会怎样呢？让我们继续探究。请小组长拿出装有14根、15根、16根小棒的信封。我们小组合作，完成以下任务：小组合作规则：有序操作：每人负责一个信封（14根、15根或16根），先独立搭正方形，并像刚才一样在记录表的新一行做好记录（根数、搭的个数、剩余根数）。组内交流：四人都完成后，在小组内轮流发言，展示你的记录，并说出你的除法算式（横式）。汇总发现：讨论一下，观察你们小组的四次记录（13,14,15,16根），看看“剩下的根数”有什么规律吗？听清楚了吗？开始吧！（学生小组活动，气氛活跃。教师巡视，参与小组讨论，引导他们关注“剩下根数”的变化。预设场景：学生能顺利得出14根剩2，15根剩3，16根正好搭4个剩0。）师：时间到！哪个小组来汇报一下你们的发现？请按照小棒根数的顺序说。（请一个小组代表上台，利用教师讲台上的小棒和记录海报同步演示）生8：（边操作边说）我们用14根小棒搭正方形，搭了3个，剩2根。算式是14÷4=3……2。用15根搭，搭了3个，剩3根。算式是15÷4=3……3。用16根搭，正好搭了4个，一根也没剩。算式是16÷4=4。师：他们小组汇报得很有条理。大家的结果和他们一样吗？我们重点看看“剩下根数”这一列，从13根到16根，剩下的根数分别是：1、2、3、0。（将这四个数字板书在一起）看着这些剩下的根数，你有什么发现？生9：剩下的根数都不一样，有时候是0。生10：剩下的根数好像都比4小。师：哦？剩下的根数都比4小，这个发现很重要！这里的“4”就是我们的什么数？生11：是除数！搭一个正方形需要的根数。师：对啊！那我们可不可以说：在这些搭正方形的活动中，余数都小于除数4？生：可以！第三步：深化探究，理解“余数为什么必须比除数小”师：这究竟是巧合，还是一定会这样呢？余数能不能等于除数4？或者大于除数4，比如余5、余6？让我们来一场头脑风暴。请小组再次讨论：如果余数等于4或者比4大，比如在某个算式中，余数是4或5，那意味着什么？结合我们搭正方形的活动想一想，这可能发生吗？为什么？（学生小组展开激烈讨论。教师深入倾听，捕捉关键性发言。）师：讨论得非常投入！哪一组来分享你们的观点？生12：我们觉得余数不能等于4。如果余数是4，那就说明剩下4根小棒，4根刚好可以再搭一个正方形啊！那之前搭的个数就不对了，应该再多搭一个，这样余数就变成0了。所以余数不能是4。师：精彩！他的意思是，如果余数等于除数，说明剩下的部分刚好够再分一份，那在分的时候就应该继续分，直到剩下的部分不够一份为止。所以，真正的余数不能等于除数。生13：余数更不能比除数大！比如剩5根，5比4大，里面也包含了1个4，还能再搭一个，剩下1根。所以也是不对的。师：太棒了！你们已经自己推理出了这个关键规律！是的，在平均分的过程中，我们每次都会尽可能地去分，直到剩下的部分不够再分一份为止。所以，最后剩下的数量——也就是余数，它必须比每份的数量——也就是除数，要小。（板书结语：余数<除数）这是有余数除法中一个非常重要的规则。请大家齐读一遍。全体学生：余数小于除数。师：现在，请大家回过头，检查一下你们记录表上的所有算式，看看余数是不是都小于除数4。如果不是，请修正。第四步：竖式迁移，建立算式与竖式的完整对应师：我们学习了有余数除法的横式，那竖式该怎么写呢？它和我们学过的整除竖式有什么相同和不同？请大家尝试用竖式计算13÷4。可以回想一下整除竖式的步骤：一除、二乘、三减。（学生尝试书写，教师巡视，选取典型作品。预计会有学生写到最后一步，减完后剩下1，就结束了，不知道如何处理这个“1”。）师：老师发现大家都顺利完成了“13÷4，商3，三四十二，13-12=1”这几步。现在，竖式最下面的这个“1”表示什么？生：表示还剩1根小棒，就是余数。师：没错，这个“1”就是余数。在竖式中，我们怎么表示计算结束，并且余数是1呢？我们在横线和被除数下面，再写上一个“1”，为了和上面的数区分开，我们在“1”的前面写上“……”（也可以表述为在商后面点六个点再写余数，但标准竖式写法是在最下面写余数）。所以完整的竖式是：（教师规范板书竖式）大家看，竖式计算到“三减”得出差1之后，我们发现了这个差（1）比除数（4）小，不够再除了，那这个“1”就是最终的余数。我们把商和余数都写到横式里：13÷4=3……1。看，横式和竖式完美地对应了起来。三、巩固练习师：掌握了新本领，让我们来闯关练习，巩固一下！第一关：基础书写与理解关。（教师口述题目）圈一圈，填一填。有17个草莓，每5个装一盘。圈一圈：在练习本上画17个圆圈代表草莓，每5个圈在一起。填一填：可以装（）盘，还剩（）个。列算式：____________________说一说：算式中每个数表示什么意思？（学生独立完成。教师巡视，检查“圈”的方法和算式书写。）师：完成了吗？我们请一位同学当小老师来讲解。生14：我画了17个圈，5个5个地圈，圈了3份，还多出2个圈。所以可以装3盘，还剩2个。算式是17÷5=3……2。17表示一共有17个草莓，5表示每盘装5个，3表示装了3盘，2表示剩下2个。师：讲得条理清晰！请问，这里的余数2和除数5，大小关系是怎样的？生14：2<5，余数小于除数。师：很好，符合我们发现的规律。第二关：竖式计算与诊断关。师：请用竖式计算：19÷3。（学生独立完成。教师收集有代表性的错误，如：商6，三六十八，19-18=1，但忘记写余数；或者商5，三五十五，19-15=4，余数4等于除数3或大于3。）师：老师看到了几种不同的答案。我们一起来看看。（展示第一种：只有商和乘减过程，最下面是1，但算式写成了19÷3=6）这样写对吗？生15：竖式过程好像对，但横式结果不对，应该有余数。师：对，竖式计算到最后，下面这个“1”是余数，必须在结果中体现出来。所以横式应该是19÷3=6……1。再看另一种（展示：商5，余4）。这个竖式：19÷3，商5，三五十五，19-15=4。余数是4。有问题吗？生16：有问题！余数4比除数3大。说明商5小了。因为余下的4里面还包含1个3，应该商6。师：火眼金睛！这是我们最容易出错的地方。当余数≥除数时，说明我们的商还没找对，还可以再大一点。大家用这个判断方法检查一下自己的竖式，余数都小于除数吗？第三关：挑战应用关。师：解决一个实际问题。小丽有一串珠子，共22颗，她按照“2颗红珠、3颗蓝珠”的顺序重复穿起来。请问，这串珠子的最后一颗是什么颜色的？（提示：可以把“2红3蓝”这5颗珠子看成一组。）（此题考查对有余数除法意义的灵活应用，以及从余数判断具体情况的能力。）师：请大家先独立思考，可以画图，也可以列式计算，然后和同桌说说你的思路。（学生尝试解决。教师巡视，发现学生可能直接用22÷5=4……2，但对余数“2”的含义理解不清。）师：谁来说说你的想法？生17：我把“2红3蓝”当成一组，每组5颗。22颗珠子，22÷5=4（组）……2（颗）。摆了4组完整的，还多2颗。师：讲得很好！多出的这2颗，是第5组的前2颗。那么第5组的前2颗是什么颜色的？生17：第5组和第一组一样，先2颗红，所以这多的2颗都是红色的。所以最后一颗是红色。师：分析得太透彻了！他不仅算出了余数，更重要的是理解了余数“2”在这个具体情境中意味着“新一组的头两颗红珠”。这种结合情境理解余数的能力非常重要！四、课堂小结师：时间过得真快，我们的小棒搭建之旅就要结束了。这节课，我们像真正的建筑师一样，通过“搭一搭”的操作，发现了数学中一个非常重要的现象。谁来带领大家回顾一下，我们这节课探索了哪些新的知识领土？生18：我们学习了有余数的除法。当平均分后有剩余时，剩下的数叫余数。生19：我们学会了写有余数的除法算式，比如13÷4=3……1。生20：我们还学会了有余数除法的竖式，并且发现了一个重要规律：余数一定要比除数小。师：总结得非常全面！（教师一边复述，一边在黑板上勾勒知识结构图）我们从具体的操作（搭正方形）出发，遇到了“有剩余”的情况，于是创造了带余数的除法算式和竖式来描述它。在分析大量例子后，我们归纳出了一个至关重要的数学规律：余数小于除数。反过来，这个规律又能帮助我们检查计算是否正确。师：这节课最大的收获，不仅仅是学会了“余数”这个新词和它的算式，更重要的是我们体验了如何从动手做中发现数学问题，又如何通过观察、比较、推理来寻找问题的答案，最后用严谨的数学语言和符号把它表达出来。这个过程本身就充满了探索的乐趣和思考的力量。师：数学源于生活，又高于生活。它总是能找到一种精确的方式，来描述我们世界里“完美”和“不完美”的每一种情况。希望大家带着今天发现的这双“数学眼睛”，去观察生活中的更多现象，看看哪里还藏着“有余数的除法”，做生活的有心人，做数学的发现者！五、作业布置师：今天的作业分为两个层次，请大家根据情况完成。必做作业：完成练习册第X页第1、2、3题。要求：操作题要真实动手圈画，竖式计算要书写规范，并自我检查“余数<除数”。生活小调查：在家里找一找“有余数的除法”的例子。例如：一盒鸡蛋有30个，每次拿6个，几次拿完？如果每次拿7个呢？将你的发现用算式记录下来，并讲给家人听。选做作业（挑战自我）：思维拓展：△÷6=4……□，请问□里可能是几？请写出所有可能的情况，并说明理由。作业评价量表（Rubric）：优秀（A）：必做题全对，书写工整规范，竖式余数处理正确。生活调查例子典型，解释清晰。选做题能完整列出所有可能（1,2,3,4