北师大版六年级数学上册第二单元：《分数混合运算（二）》教案：借助问题解决帮助学生运用分数混合运算解决实际问题落实运算应用训练培养问题解决与表达素养

北师大版六年级数学上册第二单元：《分数混合运算（二）》教案：借助问题解决帮助学生运用分数混合运算解决实际问题，落实运算应用训练，培养问题解决与表达素养课题与学情背景信息本教案面向北师大版小学数学六年级上册第二单元《分数混合运算（二）》，课型为问题解决与实践应用课。本课是在学生已经掌握了分数加、减、乘、除的混合运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号里）的基础上，进一步将其应用于解决更复杂、更具挑战性的分数实际问题。学生已初步具备分析简单分数数量关系的能力，并能列出综合算式。本节课的核心价值在于：1.深化对分数乘法中“单位‘1’”（标准量）的理解，特别是在连续变化或分率涉及“多（少）几分之几”的情境中，能准确判断和表示新的单位“1”。2.提高从复杂生活情境中抽象出分数运算模型的能力，特别是涉及“增加（减少）”、“比……多（少）几分之几”、“已知一个数的几分之几（或几分之几多/少几）求这个数”等逆向或复合问题。3.提升问题解决的综合策略与逻辑表达能力。学生的认知冲突和兴趣点在于：当题目中出现了“比……多/少几分之几”时，到底用什么去乘这个分率？已知一个数“多/少几分之几”后的结果，求原数该如何列方程或算式？分数运算真的能解决这么绕的问题吗？通过“情境辨析→寻找单位‘1’→建立数量关系→列式求解→检验反思”的学习路径，引导学生攻克分数应用题的难点。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：关系理解：理解“比一个数多（或少）几分之几”的含义，并能据此正确地列出表示另一个数的算式。模型构建：掌握解决“已知一个数，求比它多（或少）几分之几的数是多少”和“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”这两类问题的基本方法（乘法模型与除法/方程模型）。策略应用：能综合运用画线段图、列方程、分析法等策略解决稍复杂的分数实际问题（如两步或三步运算、涉及多个单位“1”的转化）。计算执行：能正确计算列出的分数混合运算，并检验解的合理性。过程与方法目标：运用“关键词分析”法识别单位“1”：引导学生寻找题目中的关键性描述语句：“是/占/比/相当于”后面的量，“比”前面的量（作为比较标准）通常是单位“1”。对于“比……多（少）几分之几”，快速锁定“比”后面的量是单位“1”。运用“图示辅助”法厘清数量关系：面对复杂关系，鼓励并指导学生画线段图。先用一条线段表示单位“1”的量，再根据分率及多（少）几分之几的关系画出另一条线段，将抽象的文字信息转化为直观的图形关系，辅助列式。运用“分步建模”法建立数量模型：求一个数的几分之几是多少→用乘法。求比一个数多（或少）几分之几的数是多少→先确定是“比单位‘1’多（少）它的几分之几”，即这个分率对应的量是单位“1”的(1±几分之几)倍。列式为：单位“1”的量×(1±几分之几)。已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数→这类问题是上一种情况的逆运算。通常设单位“1”的量为未知数x，根据关系列出方程：x×(1±几分之几)=已知量；也可以用算术方法：已知量÷(1±几分之几)。对于涉及两个及以上单位“1”的连续变化问题，引导学生分步分析，明确每一步运算时的单位“1”是谁，理清变化链条。运用“方程或算术”法解决问题：鼓励学生灵活选用算术方法或方程方法（设单位“1”为x）来解决逆向问题。运用“检验回代”法验证答案：将计算结果代回原题情境，检验是否满足条件，培养严谨的习惯。情感态度与价值观目标：教学重难点及突破策略教学重点：掌握“求比一个数多（或少）几分之几的数”以及“已知比一个数多（或少）几分之几的数，求这个数”两类问题的解决方法。教学难点：理解“比一个数多（或少）几分之几”的数学意义，并能正确判断单位“1”和列出算式。解决涉及多个单位“1”转换的复杂实际问题。突破策略：“抓关键词，锁定标准量”：强调：在“A比B多（或少）几分之几”的表述中，“比”字后面紧跟的量B就是比较的标准，是单位“1”。举例：①小丽的身高比小明高1/8。单位“1”是（小明的身高）。②今年的产量比去年减少了1/10。单位“1”是（去年的产量）。“画线段图，建构直观模型”：以“求比一个数多（或少）几分之几的数”为例。第一步：画一条线段，表示单位“1”（已知的标准量），并标出其具体数值或“？”。第二步：根据“多几分之几”，先画一条与单位“1”同样长的线段，再在其基础上画出一小段，表示多的部分（长度为单位“1”的几分之几）。明确表示所求量的线段是单位“1”的(1+几分之几)倍。第三步：根据图示写出关系式：所求量=单位“1”的量×(1+几分之几)。对于“少几分之几”，则画一条比单位“1”短的线段，表示是单位“1”的(1-几分之几)。“公式提炼，形成解题模式”：对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类顺向问题，归纳出：数量=单位“1”×(1±分率)。对于“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”这类逆向问题，归纳出：单位“1”=数量÷(1±分率)或设单位“1”为x，列方程x×(1±分率)=数量。“分步剥离，处理复杂情境”：面对更复杂的问题（如：A是B的几分之几，C又比A多几分之几，求C是B的几分之几），引导学生“分步走，看局部”。第一步：先明确题目中涉及的所有量，找出最原始的单位“1”（通常是第一个出现的标准量）。第二步：根据条件，逐步推导其他量与这个单位“1”之间的关系，或者为新的比较建立新的单位“1”。每一步都使用上一步的结论或明确新的基准。画出多段线段图，用不同颜色或标记区分各部分，帮助理清层次关系。“对比辨析，区分两种基本模型”：提供一组对比题：①小明有20元，小华的钱比小明多1/4，小华有多少元？（顺向，乘[1+1/4]）②小华有25元，比小明多1/4，小明有多少元？（逆向，除[1+1/4]或方程）让学生先找单位“1”，再判断解决方法，明确两者区别和联系。“方程引入，统一解题思路”：对于逆向问题，虽然可以用算术方法（除法），但引入方程，让学生设单位“1”为未知数x，根据正向关系（单位“1”×(1±分率)=已知量）列方程，思路更直接、更符合逻辑顺序，也为后续学习代数打下基础。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境引入页：展示含有“比……多（少）几分之几”的现实情境，如价格涨跌、成绩对比、身高比较等。线段图解析页：动态分步演示如何根据条件画出线段图，并在线段上标注数量关系。关键词定位页：用不同颜色或加粗方式高亮显示题目中的关键词（如“比”、“是”、“多”、“少”及后面的量），帮助学生识别单位“1”。例题精讲页：选取顺向和逆向两个典型例题，分别用线段图、算术法、方程法进行对比讲解。策略总结页：总结解决这两类问题的基本步骤和核心公式。分层练习题页。板书/卡片：准备写有“单位‘1’”、“1±分率”、“线段图”、“方程”等关键字的卡片。学生准备：直尺、铅笔、彩色笔（用于画线段图）。教学过程一、情境导入师：同学们，生活中有很多比较。比如，你的好朋友告诉你：“我现在的身高比去年高了1/12。”你知道这是什么意思吗？生1：意思是把去年的身高看作一份，今年的身高比那一份多出了它的1/12。师：解释得真好！数学上，我们常常会遇到“一个数比另一个数多（或少）几分之几”这样的描述。这种描述里隐藏着丰富的数学关系，解决由此产生的问题，需要我们更深入地运用分数混合运算。今天，我们就来学习《分数混合运算（二）》，专门对付这类“比多比少”的分数难题！二、探究新知活动一：聚焦顺向问题，理解“多（少）几分之几”师：我们先来解决刚才的简单版问题：“小明有12本书，小红的书比小明多1/3。小红有多少本书？”师：请大家找一找，这句话里，谁是单位“1”？生（齐）：小明的书是单位“1”。师：为什么要以小明为单位“1”？生2：因为是“比小明”多，小明是标准。师：那么，“比小明多1/3”是什么意思呢？生3：就是把小明的书（12本）平均分成3份，小红除了有小明那么多书（3份），还多出其中的1份。师：所以，小红的本数相当于小明本数的几分之几？生4：相当于小明的(1+1/3)，也就是4/3倍。师：非常棒！我们也可以画线段图来理解。（教师边讲边画）先画一条线段表示小明的12本书。小红比小明多1/3，那么就再画一条线段，长度是小明线段的长度再加上它长度的1/3。所以小红对应的线段长度，相当于小明线段的(1+1/3)。师：那么，列式计算就是：12×(1+1/3)=12×4/3=16（本）。大家算算看。（学生计算确认）师：如果问题是“小华的书比小明少1/4”，又该怎么列式呢？生5：小华的书相当于小明的(1-1/4)=3/4。列式：12×(1-1/4)=12×3/4=9（本）。师：总结一下：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少，我们可以用：单位‘1’的量×(1±分率)。活动二：挑战逆向问题，引入方程与算术法师：现在问题升级了！“小红有16本书，比小明多1/3。小明有多少本书？”师：大家找找，现在的单位“1”是谁？生（齐）：还是小明。因为是“比小明”多。师：但是，小明的本数现在是（未知的）。我们可以把它设为x本。根据我们对“比……多1/3”的理解，那么小红的本数可以怎么用x表示？生6：小红的本数=x×(1+1/3)=(4/3)x。师：另一方面，题目告诉我们小红有16本。所以我们得到一个方程：(4/3)x=16。怎么解这个方程？生7：方程两边同时除以4/3，也就是乘以它的倒数3/4。x=16×(3/4)=12（本）。师：瞧，方程法帮我们解出了小明的本数。如果不列方程，用算术方法怎么想呢？我们已经知道，小红的本数是小明的(1+1/3)=4/3倍。那么已知一个数的4/3倍是16，求这个数，该怎么办？生8：用16除以4/3。师：对！列式为：16÷(1+1/3)=16÷(4/3)=16×(3/4)=12（本）。看，算式和刚才解方程的过程是完全一致的。所以，对于这种“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的问题，我们可以：设单位‘1’为x，列方程x×(1±分率)=已知量；或者直接用算术方法：单位‘1’=已知量÷(1±分率)。活动三：分析复杂情境，运用分步策略师：下面我们来解决一个更贴近生活的问题。“水果店运来一批苹果，第一天卖出总数的1/4，第二天卖出剩下的1/3，这时还剩30千克。这批苹果原来有多少千克？”师：读完题，感觉有点绕。我们用一个好帮手——线段图，来梳理一下。（教师带领画图）师：首先，我们用一条线段表示苹果的总重量（单位“1”，设为？千克）。第一天卖了它的1/4。卖掉后，还剩下多少？生9：剩下总数的1-1/4=3/4。师：第二天，是“卖出剩下的1/3”。注意！这里的单位“1”不再是总数，而是（卖第一天后剩下的部分）。所以，第二天卖出了第一天剩下的3/4的1/3，也就是卖出了总数的多少？怎么算？生10：是(3/4)×(1/3)=1/4。师：那么，两天一共卖出了总数的几分之几？最后剩下总数的几分之几？生11：两天一共卖出：1/4+1/4=1/2。剩下：1-1/2=1/2；或者从剩下的部分算：第一天剩下3/4，第二天卖掉其1/3后，还剩下3/4的(1-1/3)=2/3，即总数的(3/4×2/3)=1/2。师：不管怎么算，最后剩下的30千克，对应的是总数的1/2。现在问题变成了：已知总数的1/2是30千克，求总数。怎么求？生12：用30除以1/2，或者用方程：设总数为x，则(1/2)x=30。师：很好。列式计算：30÷1/2=60（千克）。或x×1/2=30，解得x=60。所以这批苹果原有60千克。看，我们通过画图，步步分析，把多个单位“1”的连续过程理清楚了。三、巩固练习师：掌握了新武器，让我们投入实战演练。第一关：基础巩固（顺向与逆向）一种电脑现价比原价降低了1/8，现价是4200元，原价是多少元？（单位“1”是原价，现价是原价的(1-1/8)=7/8。原价=4200÷7/8=4800元。）学校图书馆有故事书600本，科技书比故事书少2/15。科技书有多少本？（单位“1”是故事书，科技书是故事书的(1-2/15)=13/15。科技书=600×13/15=520本。）第二关：综合应用（多步运算）3.一根电线，第一次用去全长的1/5，第二次用去余下的1/4，这时还剩36米。这根电线原来长多少米？（画图分析：第一次用去1/5，剩下4/5；第二次用去剩下4/5的1/4，即用去全长的4/5×1/4=1/5。两次共用去2/5，剩下3/5。全长=36÷3/5=60米。）4.工程队修一条公路，第一周修了全长的1/4，第二周修了全长的1/3，还剩220米没有修。这条公路全长多少米？（先求剩下全长的几分之几：1-1/4-1/3=5/12。全长=220÷5/12=528米。）第三关：对比辨析（多单位“1”）5.食堂有大米100千克。用去一部分后，剩下的大米比用去的多1/5。用去了多少千克？（这是难点。设用去的为x千克，则剩下的为(1+1/5)x=(6/5)x。根据总量：x+(6/5)x=100，(11/5)x=100，x=100×5/11=500/11≈45.45千克。）6.果园里有桃树和梨树共150棵。桃树的棵数比梨树的2/3多15棵。桃树和梨树各有多少棵？（设梨树为x棵，则桃树为(2/3)x+15棵。方程：x+(2/3)x+15=150，(5/3)x=135，x=81（梨树），桃树150-81=69棵。）第四关：方程应用（逆向思维）7.看图列方程并解答（图中给出：一条线段被分成两部分，前一段标“x本”，后一段标“比前一段多1/4”，两段总和标“90本”）。（方程：x+x×(1+1/4)=90，即x+(5/4)x=90，(9/4)x=90，x=40。）第五关：挑战思维（实际建模）8.一本书，小明第一天看了全书的1/6，第二天看了余下的2/5，第三天看了30页正好看完。这本书共有多少页？（第二天看的是余下的2/5，即看了全书的(1-1/6)×2/5=(5/6)×(2/5)=1/3。则第三天看的是全书：1-1/6-1/3=1/2。所以全书=30÷1/2=60页。）四、课堂小结师：同学们，这节课我们一起攻克了分数应用中的两块“硬骨头”。师：第一类：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少。方法是：找到单位“1”，然后用单位“1”×(1±分率)。师：第二类：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（即求单位“1”）。我们可以设单位“1”为x，列方程x×(1±分率)=已知量；或者直接用算术方法已知量÷(1±分率)。师：面对更复杂的、涉及单位“1”变化的问题，我们还有一个制胜法宝——（画线段图）。它能帮助我们将抽象的文字转化为清晰的图形关系。师：记住，解决分数实际问题，关键是：找准（单位“1”），理解（分率含义），理顺（数量关系），选择（合适方法）。五、作业布置必做作业：完成练习册《分数混合运算（二）》一课的练习题。从今天的练习题中，选一道你认为最有特点的题目，画出它的线段图，并写出详细的解题步骤（可以是你自己的方法）。选做作业（挑战自我）：“生活问题设计师”：观察生活或自创，提出一个能用今天所学知识（涉及“比…多/少几分之几”或连续分率）解决的现实问题，并给出标准解答。“一题多解研究员”：选择一道逆向思考的题目，分别用算术方法和方程方法解答，并比较两种方法的思路，说说你更喜欢哪一种，为什么。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能深刻理解并灵活运用顺向、逆向两类问题的解决方法；能熟练运用线段图分析复杂问题，思路清晰，计算准确；能主动进行问题设计或一题多解探究。良好（3星）：掌握两类问题的基本解法，能用方程或算术方法解决一般性问题，初步会用线段图辅助思考。达标（2星）：基本理解两类问题的解决方法，但在复杂情境中分析单位“1”或列式时偶有失误。需努力（1星）：不能正确区分顺向和逆向问题，找不准单位“1”，无法独立分析数量关系；需要重新进行线段图演示和分步讲解。预设性教学反思本节课是分数应用题教学的分水岭，其核心任务在于引导学生突破对“比一个数多（或少）几分之几”这一关键数学表述的理解瓶颈，并在此基础上建立解决两类核心应用问题的思维模型。教学设计的关键在于通过直观化（线段图）、结构化（分步建模）和策略化（方程与算术对比）的教学手段，将复杂的逻辑关系拆解、可视化，并赋予学生清晰的解题工具。“线段图”作为化抽象为直观的核心工具：学生面对“比多比少”的文字描述，常常感到抽象和混乱。线段图的引入，是本节课最重要的教学策略。它能够将“单位‘1’”、“多（少）几分之几的量”、“两者之间的关系”一目了然地呈现出来。教师带领学生共同绘制、分步标注，是将内在思维过程外显化的关键环节。学生通过画图，能清晰地看到所求量是单位“1”的几分之几，从而为列式提供坚实的依据。培养“画图解题”的习惯，是提升学生几何直观和数学建模能力的长远投资。“分类建模”作为提炼解题规律的思维框架：当学生通过线段图理解了“比多比少”的具体意义后，教学及时上升到一般性的规律总结。明确区分“顺向问题”（求结果）和“逆向问题”（求单位“1”），并分别给出公式“单位‘1’×(1±分率)”和“已知量÷(1±分率)或方程”。这种建模帮助学生从具体题目中抽离出通用模式，在面对新问题时能快速识别类型并套用方法，提高解题效率。但同时要强调，公式必须在理解的基础上记忆，不能死记硬背。“方程思想”作为沟通顺逆的桥梁：对于逆向问题，算术解法（除法）思维上有一定的“跳跃性”。引入方程，设未知单位“1”为x，根据正向关系（即顺向问题的模型）直接列出方程，对许多学生而言思路更为自然、顺畅。本节课有意识地对比展示算术法和方程法，让学生体会两者的内在联系（解方程的过程本质上就是算术逆运算），并初步感受代数方法的优越性（正向思维，直接反映数量关系），为后续正式学习列方程解应用题埋下伏笔。“分步剥离”作为处理复合问题的导航策略：对于涉及多个单位“1”转换的多步问题（如“卖出总数的1/4，再卖出剩下的1/3”），学生最容易混淆。教学采用“分步走，看局部”的策略，引导学生先关注第一步，明确此时的单位“1”，计算剩余分率；再将剩余部分作为新的单位“1”，考虑第二步的运算。这个过程类似于“剥洋葱”，一层层理清关系。结合线段图的分段绘制，能有效降低思维难度，让学生看到复杂问题是由简单步骤组合而成的。可能存在的不足与调整：部分学生可能仍然难以准确判断单位“1”，特别是在一些隐晦的表述中。需要通过大量变式练习（改变关键词位置和表述方式）来强化训练。画线段图的技能需要时间练习，初始阶段学生可能画不准确或不会用图形反映数量关系，教师需在巡视中耐心指导