《平面与平面垂直的性质》课件

8.6.3第2课时平面与平面

垂直的性质【知识小结一】【知识小结二

】123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(

)A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交C解析

取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.1234567891011121314151617182.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是(

)A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD1D解析

对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.1234567891011121314151617181234567891011121314151617183.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°C解析

如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.1234567891011121314151617184.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是

.(填“平行”或“垂直”)

垂直解析

∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.1234567891011121314151617181234567891011121314151617185.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为

.

123456789101112131415161718解析

如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.1234567891011121314151617186.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件

时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)

解析

只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.1234567891011121314151617187.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为,求点P到平面CEF的距离.(1)证明

因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解

因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.1234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.123456789101112131415161718证明

如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.F是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.1234567891011121314151617189.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.123456789101112131415161718(1)证明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解

连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.123456789101112131415161718B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°ABC解析

由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.12345678910111213141516171812345678910111213141516171811.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是(

)BC解析

设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=,由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,123456789101112131415161718过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.以C正确,D错误.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(

)A解析

如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=4,故CM的最小值为2,又PC=4,则PM的最小值为12345678910111213141516171812345678910111213141516171813.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则(

)ABCD12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线.其中正确结论的序号是

.

②③④

解析

①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.12345678910111213141516171812345678910111213141516171815.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.(1)证明

因为AC=BC=,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171816.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.证明

(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=CD,NQ∥CD.∵M是AB的中点,∴AM=AB=CD.又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AQ⊂平面PAD,∴AB⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴AB⊥MN.123456789101112131415161718123456789101112131415161718C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是

.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.②④

解析

连接A1B,BC1,图略.对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C1B,在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等边三角形,则∠A1C1B=60°,故①错误;对于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,∴△BCM≌△CDF,∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,123456789101112131415161718又因为CC1⊥平面ABCD,且BM⊂平面ABCD,所以CC1⊥BM,因为CF∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正确;对于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因为平面CC1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BE