8.6.2直线与平面垂直（基础练）解析版

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是()A.60° B.45° C.30° D.120°【答案】A【解析】易知AO⊥平面α,∴∠ABO是直线AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,cos∠ABO==,故选：A∴∠ABO=60°.∴直线AB与平面α所成的角为60°.故选:A.2．已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由直线m，n满足，，则时，m与可垂直，可不垂直，当，且，根据线面垂直的性质定理，可以得到，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．在正方体中，分别是的中点，则（）A． B． C．平面 D．平面【答案】D【解析】对于选项A，因为分别是的中点，所以点平面，点平面，所以直线MN是平面的交线，又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，故选项A错；对于选项B，正方体中易知，因为点是的中点，所以直线与直线不垂直．故选项B不对；对于选项C,假设平面，可得．因为是的中点，所以．这与矛盾．故假设不成立．所以选项C不对；对于选项D,分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ．因为点是的中点，所以且．同理且．所以且，所以四边形为平行四边形．所以．在正方体中，因为，平面，平面，所以平面．因为，所以平面．故选项D正确．故选：D.4．如图所示，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】是直角三角形.由平面，得，，，是直角三角形.又，平面是直角三角形.平面，平面，是直角三角形，，均为直角三角形，共6个.故选：D．5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的是()A.AC⊥AFB.AC⊥平面BEFC.AB与平面BEF所成的角是30°D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【答案】B【解析】如图,连接BD,交AC于点O.A选项,若F与B1重合,则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AB1=B1C,此时AC与AF所成的角为∠CAB1=60°,显然AC与AF不垂直,故A错误;B选项,∵正方体的底面为正方形,正方形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD.∵正方体的侧棱与底面垂直,∴BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.又BB1∩BD=B,∴AC⊥平面BDD1B1,又平面BEF即平面BDD1B1,∴AC⊥平面BEF,故B正确;C选项,∵AC⊥平面BDD1B1,∴∠ABD即为直线AB与平面BEF所成的角,易知∠ABD=45°,故C错误;D选项,∵点A∉平面BDD1B1,点B∈平面BDD1B1,由正方体的结构特征易得,点A到直线D1B1的距离大于正方体的侧棱长,点B到直线D1B1的距离等于正方体的侧棱长,∴△AEF面积与△BEF的面积不相等,故D错误.故选:B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法中正确的是()A.过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；B.若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；C.若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；D.若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．【答案】BC【解析】由点直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是BC.故选：BC7．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【答案】ABD【解析】由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故A正确.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故B正确.结合B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故D正确，C错误.8．如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．A、M、N、B四点共面 B．平面C．与BN所成角 D．平面ADM【答案】BC【解析】对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知为等边三角形，且四边形为矩形，所以与BN所成角，故C正确；

对于D，平面，显然BN与平面ADM不平行，故D错误；故选：BC．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是_________个.【答案】8【解析】平面，,都是直角三角形；是直角三角形；是直角三角形；由得平面，可知：也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是个．故答案为：8在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,PA⊥平面ABC,如果PB、PC与平面ABC所成的角分别为30°和60°,那么PD与平面ABC所成的角为__________【答案】45°【解析】连接AD,设PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是30°和60°,∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,∠ADP是PD与平面ABC所成的角,∴PB=2,AB=,AC=,∴CD=BC=×=,∴AD===1,∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,∴PD与平面ABC所成角的大小为45°.故答案为：45°11．如图，在三棱锥中，点B在以为直径的圆上运动，平面，垂足为，垂足为E，若，则三棱锥体积的最大值是_________．【答案】【解析】由平面，得，又，，平面，得，又，，平面，得，而，，平面，可得．在中，由，得．由，得，则，由，，得，又，，得，即（当且仅当时等号成立），三棱锥体积的最大值是．故答案为：．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（2）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.13．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求证：PO⊥底面ABCD（2）求直线与OF所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点，在中，PB=PD，可得PO⊥BD，因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC，又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD.（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE.，故∠EOF为直线与OF所成的角，又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=.14．如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=2BC=2CD=4,PC=2,△PAD是正三角形.(1)求证:CD⊥PA;(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】(1)证明:∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,∴PD=4,CD=2,又PC=,∴PC2=PD2+CD2,∴CD⊥PD,又AD⊥CD,AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD,∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.(2)如图,取PD的中点E,连接AE,延长DC、AB交于点H,连接EH,∵△PAD是正三角形,∴AE⊥PD,AE=,由(1)得CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.∵CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.∴∠AHE就是AB与平面PCD所成的角,∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,∴DH=4,AH=,EH==,∴cos∠AHE===,∴AB与平面PCD所成角的余弦值为.A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交2.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD13.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)

5.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

6.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

7.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,求点P到平面CEF的距离8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.9.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD所成角的正切值为3B.EF与AD所成角的正切值为2C.AB与面ACD所成角的余弦值为7D.AB与面ACD所成角的余弦值为712.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.27 B.7C.19 D.513.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则()A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为3C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为15D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为114.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1与BD为异面直线其中正确结论的序号是.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥平面PAB;(3)设AB=2BC=2,求三棱锥P-AEF的体积.参考答案1.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.D对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.3.C如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC=62=4.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.5.1510如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'6.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.7.(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为PA=AD=2,所以PD=PA2+A因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,所以h=PD·68.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.又因为BP=AP2+ABF是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6410.ABC由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.11.BC设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×22=141212.A如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=43,故CM的最小值为23,又PC=4,则PM的最小值为42+(213.ABCD因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC'⊂平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为13×32×当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=(32)

2当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=12,故D正确14.②③④①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.15.(1)证明因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面积为12×2×2因为VA所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12所以点A1到平面ABE的距离为2.16.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=12CD,NQ∥∵M是AB的中点,∴AM=12AB=1又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥