8.6.1直线与直线垂直（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.若a是空间中的一条直线,则在平面α内一定存在直线b与直线a()A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面【答案】C【解析】如图所示的正方体中,取平面α为平面ABCD,直线a与平面α的位置关系有三种,(1)取直线AB为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a异面;(2)取直线A1B1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a相交;(3)取直线AA1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a平行.故选:C.2．如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：取中点，连接，因为、分别是棱、的中点，且为中点，所以且，所以且；所以异面直线与所成的角即为或其补角，则，所以，所以异面直线与所成的角即为的补角：.3．如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】延长至点，使得，连接，，四边形为平行四边形，异面直线与所成角即为与所成角，即，设正方体的棱长为，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为.故选：.4．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】如图,延长B1A1到E,使A1E=A1B1,连接AE,EC1,则AE∥A1B,所以∠EAC1是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角,由已知条件可得△AEC1为正三角形,所以∠EAC1为60°,故选:C.5.已知四面体D-ABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,点E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角为θ,且cosθ=,则该四面体的体积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】如图,取CD的中点F,连接BF、EF,∵AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,∴CD=AD,又E、F分别为AC、CD的中点,∴BF=DC,EF=DA,且EF∥AD,∴∠FEB(或其补角)为异面直线AD与BE所成的角.由题意得BE=,设BF=EF=a,在△BEF中,由余弦定理得a2=+a2-2××a×,解得a=,∴DA=,在Rt△ADB中,可得DB=2,∴四面体D-ABC的体积V=××1×1×2=.故选:A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定成立的是()A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°D.l与BD垂直【答案】BCD【解析】假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.易证B、C、D成立,故选:BCD.7．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值不可能为()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．故选:BCD.8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是()A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面【答案】ABC【解析】如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;连接B1D1,则A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选:ABC.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知长方体的高为，两个底面均为边长为的正方形．则异面直线与所成角的大小为___________；【答案】【解析】由长方体的性质得：，或其补角是异面直线与所成角．连结，平面，，在中，，，，，即异面直线与所成角为.故答案为:如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为________________【答案】【解析】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．

平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，

在△A2BM中，故答案为:11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，AB与CD成角大小为_______;AB与EF成角大小为____________【答案】60°90°【解析】又，所以是与所成角，又是等边三角形，则，所以与成60°角，因为，又，所以与成90°角故答案为：60°90°．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求证：AC⊥BD．【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则求异面直线与所成的角【答案】【解析】连接，四边形为菱形，，.又为直角三角形，，得，四边形为正方形.连接交于点，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形，，故异面直线与所成的角为.14．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,点E在侧棱CC1上,DE∥平面AB1C1,(1)证明:E是CC1的中点;(2)设∠BAC=90°,四边形ABB1A1是边长为4的正方形,四边形ACC1A1为矩形,且异面直线DE与B1C1所成的角为30°,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.【答案】(1)证明见解析；（2）32【解析】(1)证明:连接A1D、A1E,分别交AB1、AC1于M、N,连接MN.∵DE∥平面AB1C1,DE⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面AB1C1=MN,∴DE∥MN,∵D为AB的中点,∴A1B1=AB=2AD.由AD∥A1B1可得∠MAD=∠MB1A1,∠MDA=∠MA1B1,∴△ADM∽△B1A1M,故A1M=2MD,∵DE∥MN,∴A1N=2NE.同理可证得△A1NA∽△ENC1,∴CC1=AA1=2EC1,∴E是CC1的中点.(2)取BB1的中点F,连接EF、DF,可知EF∥B1C1,∴∠DEF即为异面直线DE与B1C1所成的角或其补角.设AC=x,则DE=,DF=,EF=BC=,在△DEF中,由余弦定理可得cos∠DEF==,解得x=4,故=×4×4×4=32.A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱所在直线中,和AC垂直且异面的直线有()A.1条 B.2条C.3条 D.4条2.[探究点一]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 ()A.22 B.32 C.523.(多选题)[探究点一]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°4.[探究点一]若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.

5.[探究点一]如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为.

6.[探究点一]一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为.(填序号)

7.[探究点一]如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=.

8.[探究点一]如图所示,AB是圆O的直径,点C是AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.9.[探究点二]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=3,则异面直线AD,BC所成的角为.

11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为,直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

12.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=2.求证:AD⊥BC.13.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?C级学科素养创新练14.如图,已知在圆柱OO1中,AB,A1B1分别是☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.点P在☉O上,BP⊥A1P.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题.(1)求三棱锥A1-APB的体积.(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由参考答案1.B和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.2.C如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB,设正方体棱长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=5a,AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2.则tan∠EAB=BEAB故选C.3.ABD由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.4.60°∵a∥OA,∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,又∠AOB=120°,∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.∴a与OB所成的角为60°.5.30°设G为AD的中点,连接GF,GE,如图.则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.∴GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=12CD=2,则EF与CD所成的角等于EF与GE又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF,则△GEF为直角三角形.GF=1,GE=2,∠GFE=90°,∴在直角三角形GEF中,sin∠GEF=12,∴∠GEF=30°∴EF与CD所成的角为30°.6.①③如图,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,可知AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.7.5如图,取AD的中点P,连接PM,PN.则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角),∴∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,∴MN=8.解因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角.又因为AB是圆O的直径,点C是AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.9.证明如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=12∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1是正方形,则四边形CDD1C1也是正方形,又G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠DGD1=90°,∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.10.60°如图,取AC的中点为H,连接EH,HF,则易得EH∥BC,FH∥AD,所以∠EHF就是异面直线AD,BC所成的角(或所成角的补角).因为AD=BC=2,所以EH=HF=1,则△EHF是等腰三角形,又EF=3,所以cos∠EHF=12+12-(3)22×1×1=-12,因为0°<∠EHF<180°,所以11.90°33如图所示,连接AB1,在△AA1B1与△AA1C1中∵AA1=AA1,A1B1=A1C1,∠AA1B1=∠AA1C1=120°,∴△AA1B1≌△AA1C1,∴AC1=AB1,又E是B1C1的中点,∴AE⊥B1C1,又BC∥B1C1,∴AE⊥BC,即直线AE与BC所成的角为90°.如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD.由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB=a,∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=AC=AA1,∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos30°=3a.又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,AD=2a,∴A1D1=2a,∴A1D12+A1B2=BD12,∴∠BA1∴在Rt△B