三年级奥数-等差数列

【三年级奥数——轻松掌握等差数列】小朋友们，我们在数学课上已经认识了很多数，也学过怎么把它们按顺序排列起来。今天我们要认识一种非常有规律的数列，它就像上楼梯一样，每一步的台阶高度都一样，这种数列叫做“等差数列”。掌握了它，很多数学问题都会变得简单起来哦！一、什么是等差数列？我们先来看看下面这几组数：1.1，2，3，4，5，6……2.2，4，6，8，10……3.5，10，15，20……4.10，8，6，4，2……仔细观察一下，它们有什么共同的特点呢？对了！在每一组数里，从第二个数开始，每个数与它前面一个数的差都是一样的。像这样，相邻两个数的差都相等的数列，就叫做等差数列。这个像台阶一样的差，我们给它起个名字，叫做“公差”。比如第一组数，每相邻两个数的差是1，那它的公差就是1；第二组数，差是2，公差就是2。第三组数呢？没错，公差是5。第四组数有点特别，是从大到小排列的，差是-2（或者说每次减少2），它也是等差数列，因为相邻两个数的差依然是相等的（都是2，只是方向相反）。二、等差数列的“零件”——认识几个新朋友要学好等差数列，我们得先认识它的几个“零件”，就像认识一辆自行车，要知道车轮、车把一样。1.首项：数列里的第一个数，就像队伍的排头兵，我们叫它“首项”。比如数列3，6，9，12……首项就是3。2.末项：数列里的最后一个数，它在队伍的最后面，我们叫它“末项”。比如数列5，10，15，20，25，末项就是25。3.项数：数列里一共有多少个数，也就是有多少“项”，这个数量就是“项数”。刚才那个5，10，15，20，25的数列，项数就是5。4.公差：我们刚才已经认识啦，就是相邻两个数之间的差，用“d”来表示（小朋友们知道就行，不用记字母）。这四个“零件”可是我们解决等差数列问题的好帮手，一定要分清楚哦！三、火眼金睛——怎么在数列里找规律？遇到一个数列，我们怎么判断它是不是等差数列，并且找到它的公差呢？小技巧：从第二个数开始，用后一个数减去前一个数，看看这些差是不是都一样。如果都一样，那它就是等差数列，这个差就是公差！比如：7，13，19，25，31……13-7=619-13=625-19=631-25=6所有的差都是6，所以这是一个等差数列，公差是6。知道了公差，我们就能根据前面的数，往后填数啦！比如上面这个数列，31后面一个数是多少呢？对了，31+6=37。反过来，如果数列是递减的，比如：50，45，40，35……公差就是5（因为45比50少5，40比45少5），那35后面就是30，25……四、等差数列求和——巧妙的“配对法”小朋友们，我们已经会算1+2+3+……+100这样的题目了吗？是不是觉得一个一个加起来特别麻烦？等差数列求和有一个非常巧妙的方法，能让我们算得又快又准！这个方法叫做“配对求和”。我们发现，在等差数列中，首项和末项相加的和，第二项和倒数第二项相加的和，第三项和倒数第三项相加的和……它们都是相等的！比如：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。首项是1，末项是10，1+10=11；第二项是2，倒数第二项是9，2+9=11；第三项是3，倒数第三项是8，3+8=11；第四项是4，倒数第四项是7，4+7=11；第五项是5，倒数第五项是6，5+6=11。一共有5对，每对的和都是11，所以总和就是11×5=55。你看，这样是不是比一个一个加起来简单多了？所以，等差数列求和公式（小朋友们可以记文字版）：总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式太重要啦！我们来验证一下刚才的例子：首项=1，末项=10，项数=10。总和=（1+10）×10÷2=11×10÷2=110÷2=55。完全正确！五、小试牛刀——解决实际问题我们来看几个例子，看看怎么用学到的知识解决问题。例1：一个等差数列的首项是2，公差是3，请问这个数列的第5项是多少？思路：首项是2（第1项），第2项就是2+3=5，第3项是5+3=8，第4项是8+3=11，第5项是11+3=14。小窍门：第n项=首项+（n-1）×公差。（这个公式了解一下，三年级小朋友主要还是通过依次累加来理解）例2：计算：1+3+5+7+9+11+13思路：这是一个等差数列吗？我们看看差：3-1=2，5-3=2……是的，公差是2。首项=1，末项=13，项数是多少呢？数一数，1、3、5、7、9、11、13，一共7项。总和=（1+13）×7÷2=14×7÷2=98÷2=49。例3：有一摞书，第一层有3本，第二层比第一层多2本，以后每层都比前一层多2本，一共堆了5层。这摞书一共有多少本？思路：先把每层的本数写出来：第一层3本，第二层3+2=5本，第三层5+2=7本，第四层7+2=9本，第五层9+2=11本。这是一个首项3，末项11，项数5，公差2的等差数列。总和=（3+11）×5÷2=14×5÷2=70÷2=35（本）。六、解题小锦囊1.判断是不是等差数列：算相邻两数的差，看是否相等。2.找公差：用后项减前项（注意顺序）。3.求某一项：从首项开始，依次加公差（或者减公差，如果数列递减）。4.求和：记住“（首项+末项）×项数÷2”这个黄金公式！小