专题31 点、直线与圆的位置关系 2026年中考数学一轮复习专题

专题31点、直线与圆的位置关系基础巩固 1.(北师九下练习改编)已知☉O与直线l无公共点，若☉O的直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是()A.6 B.5 C.4 D.32.(2025郑州二七区一模)如图，在☉O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝60°，则∠AOC的度数为()第2题图A.40° B.50° C.60° D.100°3.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P对应的读数为37°，则∠CBD的度数是()第3题图A.53 B.43° C.37° D.27°4.如图，AB与☉O相切于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OAB＝32°，则∠OCD的度数为()第4题图A.28° B.29° C.30° D.31°5.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，连接OD，cosD＝35，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长为(第5题图A.8 B.83 C.10 D.1036.(2025福建)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC，且交☉O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为()第6题图A.30° B.45° C.60° D.75°7.(2025洛阳二模)如图，AB为☉O的直径，PB，PC分别与☉O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交☉O于点D.若CD＝PB＝23，则☉O的半径长为()第7题图A.1 B.2 C.3 D.48.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆的半径r为()第8题图A.1 B.2 C.3 D.49.(2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝ .第9题图10.(2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为 °.第10题图11.(2025浙江)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE.第11题图(1)求证：OD⊥OE；(2)若AB＝BC，OB＝3，求四边形ODCE的面积.12.(2025湖北)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G.第12题图(1)求证：FD＝FG；(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.综合训练 13.(2025郑州一模)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点.如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过()第13题图A.点(0，3) B.点(6，0)C.点(1，3) D.点(6，1)14.(2025郑州管城区一模)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，O为BC上一点，且BO＝3，将线段OB绕点O逆时针旋转(旋转角小于360°)，得到线段OM，连接CM并延长，交直线AB于点P，则AP的最小值为，最大值为 .第14题图参考答案1.A【解析】∵☉O与直线l无公共点，∴☉O与直线l相离，∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∵☉O的直径为10cm，∴☉O的半径为5cm，∴圆心O到直线l的距离大于5cm.2.C【解析】∵CD为☉O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°.3.C【解析】由题意得，AB与量角器所在的圆相切，∠POB＝37°，∴OP⊥AB，∴∠PBO＝90°－∠POB＝53°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝180°－∠PBO－∠ABC＝37°.4.B【解析】如解图，连接OB，∵AB与☉O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－32°＝58°，∴∠BDC＝12∠AOB＝29°，∵BD∥OA，∴∠OCD＝∠BDC＝29第4题解图5.B【解析】如解图，连接OC，BC，∵CD是半圆的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵cosD＝CDOD＝35，CD＝6，∴OD＝53CD＝53×6＝10，∴OC＝OD2－CD2＝102－62＝8，∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OC＝8，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵第5题解图6.C【解析】如解图，连接OA，OB，∵PA与☉O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°－∠P＝90°－30°＝60°，∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝180°－∠AOP－∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°.第6题解图7.B【解析】如解图，连接OD，BD，∵PB，PC分别与☉O相切于点B，C，∴PC＝PB＝23，AB⊥PB，∵AB⊥CD，∴CD∥PB，∵CD＝PB，∴四边形CPBD为平行四边形，∴BD＝PC＝23，∵AB⊥CD，AB为☉O的直径，∴DE＝12CD＝3，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得BE＝BD2－DE2＝（23）2－（3）2＝3，在Rt△DOE中，OD2＝OE2＋DE2，即OD2＝(第7题解图8.B【解析】如解图，设△ABC的内切圆与AC，BC，AB分别相切于点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，易得四边形CDOE是正方形，∴CD＝CE＝r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵BE＝BF＝8－r，AF＝AD＝6－r，∴8－r＋6－r＝10，∴r＝2第8题解图9.70°【解析】∵PA是圆O的切线，AC是直径，∴PA⊥AC，即∠PAC＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠PAB＝∠PAC－∠BAC＝55°，∵PA，PB是圆O的切线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝55°，∴∠P＝180°－∠PBA－∠PAB＝180°－55°－55°＝70°.10.20【解析】如解图，连接OB，∵PB与☉O相切于点B，OB是☉O的半径，∴∠OBP＝90°.∵∠P＝50°，∴∠BOP＝40°，∴∠PAB＝12∠BOP＝20第9题解图11.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由作图可知OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵AC是☉O的切线，E为切点，∴OE⊥AC，∴OD⊥OE；(2)解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，在Rt△AEO中，∵OE＝OD＝OB＝3，∴OA＝OEsinA＝33AE＝OEtanA＝33∴AC＝AB＝OA＋OB＝2＋3，∴EC＝AC－AE＝2＋3－1＝1＋3，∴四边形ODCE的面积为12OE(OD＋EC)＝12×3×(3＋1＋3)＝3＋12.(1)证明：∵DF经过圆心O，GF是☉O的切线，∴DF⊥GF，∵DF⊥AB，∴AB∥GF，∴∠G＝∠BAC＝45°，∴∠FDG＝90°－45°＝45°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴FD＝FG；(2)解：如解图，连接OA，∵DF⊥AB，DF经过圆心O，∴AE＝BE＝12AB＝6由(1)得∠ADE＝∠BAC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝6，由(1)得FD＝FG＝10，∴EF＝DF－DE＝10－6＝4，设OE＝x，则OA＝OF＝OE＋EF＝x＋4，在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即(x＋4)2＝62＋x2，解得x＝52∴OA＝x＋4＝52＋4＝13∴☉O的半径为132第12题解图13.C【解析】如解图，取点E(2，0)，连接EA，EB，EC，由勾股定理得EA＝EB＝EC＝12＋22＝5，∴点E是过整点A，B，C的圆弧所在圆的圆心，EB是该圆的半径，取点F(1，3)，连接EF，作直线BF，∵BE2＝BF2＝12＋22＝5，EF2＝12＋32＝10，∴BE2＋BF2＝EF2，∴△BEF是直角三角形，且∠EBF＝90°，∴BF⊥EB，∴直线BF与这条圆弧相切于点B，且经过点(1第13题解图14.2，14【解析】由题意可知CO＝5，∠ABC＝90°，点M在以点O为圆心，OB长为半径的