北师大版五年级数学上册第一单元：《除得尽吗》教案：通过探究活动引导学生认识循环小数落实小数概念拓展培养数学思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第一单元：《除得尽吗》教案：通过探究活动引导学生认识循环小数，落实小数概念拓展，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版。课题是《除得尽吗》，隶属于第一单元“小数除法”中关于小数分类与循环小数概念的认知拓展课。课型定位为通过计算、观察、对比、归纳等活动，发现“除不尽”的小数的特点，初步认识循环小数及其表示方法的探究发现课。学生已经掌握了小数除法的基本计算，并学习了求商的近似值。在实际计算中，他们多次遇到“除不尽”的情况（如10÷3），并习惯于用“四舍五入”法取近似值来解决实际问题。然而，他们可能从未有意识地去探究这些“除不尽”的商本身究竟是什么样子，有什么规律。本节课《除得尽吗》的核心价值在于：1.引领学生超越“近似”的应用视角，从纯数学的角度深入观察“除不尽”的商（循环小数）的本质特征，完善对小数的认知体系（小数分为有限小数和无限小数，无限小数中的循环小数）。2.初步认识循环小数的定义、特点及其简便记法，了解循环节的概念。3.在探究“永远除不完”的现象中，感受数学的规律性和奇妙性，培养探究精神和观察、归纳、概括的能力。4.为后续学习分数与小数互化、分数分类等知识埋下伏笔。学生的认知冲突和兴趣点在于：为什么有些除法（如10÷2）能除尽，有些（如10÷3）却永远除不完？这些永远除不完的商，数字排列到底有没有规律？如何用一种简洁的方式表示这种无限重复却写不完的小数？通过“计算对比—观察发现—交流归纳—定义概念—学习表示—拓展分类”的学习路径，本节课旨在帮助学生揭开“除不尽”背后的数学奥秘，初步建构循环小数的概念。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念理解：通过计算与观察，初步认识循环小数，知道什么是循环小数、循环节。特点归纳：能判断一个小数是否是循环小数，能找出循环小数的循环节。表示方法：会用循环节简便记法表示循环小数（如用3.33…表示或在第一个循环节首尾数字上加点表示）。分类了解：知道小数可以分为有限小数和无限小数，无限小数中又包括循环小数和无限不循环小数（后者仅作了解，不展开）。过程与方法目标：经历“计算—观察—比较—归纳—定义—应用”的概念形成过程：体验数学概念的发现与建构。运用“计算与观察实验法”发现规律：通过计算一组除法算式（如10÷3，58.6÷11，1÷7等），观察商的余数和商的小数部分数字排列，自主发现“除不尽”和“数字依次不断重复出现”的现象。运用“对比分析法”揭示本质：将能“除尽”的商（有限小数）与“除不尽但数字有规律重复”的商（循环小数）进行对比，分析它们的异同，从而概括循环小数的特征。运用“归纳概括法”形成概念：在观察多个循环小数实例的基础上，尝试用自己的语言描述什么是循环小数、循环节，再与数学定义进行比对和修正。运用“符号简记法”优化表达：学习用省略号和循环节上加点的简便方法表示循环小数，体会数学符号的简洁与准确。情感态度与价值观目标：在探索循环小数的过程中，感受数学的规律美和奇异美，激发对数学的探究兴趣和好奇心。认识到小数世界的丰富性，拓展数学视野。教学重难点及突破策略教学重点：认识循环小数，会用简便记法表示循环小数。教学难点：理解循环小数产生的原因（余数重复出现导致商的小数部分重复出现）。理解循环节的概念，并能准确找出循环节；能正确判断一个数是不是循环小数。突破策略：“除式中余数的跟踪观察”揭示根源：这是理解循环小数本质的关键。在计算如10÷3时，引导学生不仅关注商3.33…，更要关注每一步的余数：10÷3商3余1；余1补0成10，10÷3商3余1；余1补0成10……让学生发现，余数“1”不断重复出现，导致商的小数部分“3”不断重复出现。对于更复杂的循环小数（如58.6÷11=5.32727…），引导学生观察余数的变化规律（如依次出现某几个数字），从而理解“循环”的根源在于“余数的循环出现”。“多组实例并列计算与观察”归纳特征：提供多个除不尽但规律明显的算式（如1÷3，1÷7，10÷9，58.6÷11，1÷6等），让学生在计算和观察中充分感知“依次不断重复出现”、“无限”等特征。通过小组交流，让他们用自己的话描述这些商的特点（如“后面总是3、3、3…”、“27、27一直重复”、“从某一位起一个或几个数字重复出现”），为数学定义的形成做好铺垫。“正反例对比”明确内涵与外延：正例：3.333…，5.32727…，0.41666…（混循环小数，作为拓展）。反例：0.5（有限小数），计算出的近似值如3.14（有限小数，不是循环的真面貌），以及告知存在无限不循环小数如圆周率π（仅提及，不深究）。通过对比，让学生明确循环小数的两个核心要素：一是“小数部分”的位数无限，二是“从某一位起”数字“依次不断重复出现”。“循环节找找乐”游戏强化概念：出示几个循环小数（用省略号表示），让学生比赛谁最快找出循环节。对于像0.41666…这样的数，引导学生讨论：循环节是“6”还是“416”？明确“循环节是指从小数部分某一位起依次不断重复出现的数字”，所以这里的循环节是“6”，因为它从百分位开始不断重复。“简便记法创作与规范”活动：在认识循环节的基础上，提问：“既然写不完，我们能不能发明一种简单的方法来表示它？”鼓励学生提出想法（如写几个循环节后加“…”；在循环节首尾数字上做标记）。然后介绍数学家的约定：在第一个循环节的首位和末位数字上各点一个点。进行读写练习（如3.333…记作3.3（3上点一个点），读作三点三，三循环）。教学准备与资源描述教师准备：实物教具：可粘贴的数字卡片（用于在黑板上拼出循环小数并标记循环节）。写有“循环小数”、“循环节”、“有限小数”、“无限小数”等词语的卡片。学具准备：为学生准备“循环小数探秘卡”：包含计算区、我的观察记录区（余数变化、商的数字排列）、概念归纳区、简便记法练习区、分类练习区。学生准备：草稿本、笔。准备好进行较长时间的小数除法计算。课前预习要求：尝试计算一下10÷3，看看你能写出多少位小数？你觉得能写完吗？为什么？教学过程一、情境导入师：（在黑板上写下一个大大的算式：10÷3）同学们，这是一个非常简单的除法算式。我们已经学过小数除法，谁来试着算一算它的商是多少？能除尽吗？生1：10除以3等于3.333…，后面一直是3，除不尽。师：你算得很快，而且用了一个省略号“…”来表示后面还有很多3。非常好！这说明你早就发现它“除不尽”了。（再写下另一个算式：10÷2）那这个呢？生2：等于5，除尽了。师：是的，10÷2能除尽，得到一个整数5。（再写：1÷8）生3：等于0.125，也除尽了。师：对，得到一个有限小数。看来，在除法运算中，有些能除尽，有些却除不尽。这些除不尽的商，就像有一个神秘的“尾巴”，怎么也甩不掉。师：（指着10÷3的商3.333…）大家仔细看看这个“尾巴”，它仅仅是“很长”而已吗？它有没有什么特别的地方？生4：它的数字一直在重复，都是3。师：你的眼睛真尖！这可不是一般的“除不尽”，它的数字是在有规律地、无限地重复。在数学王国里，这种数有一个专门的名字。今天这节课，我们就一起来探究《除得尽吗》这个有趣的课题，揭开这些“除不尽”的数的神秘面纱。（板书课题）二、探究新知探究一：计算与观察，发现“循环”现象师：为了更全面地研究，我们再来算几道题。请大家拿出探秘卡，计算下面两道题，并请你特别关注两个东西：第一，商的数字是怎么排列的？第二，每一步的余数有什么变化？算式1：58.6÷11算式2：1÷7（学生独立计算，教师巡视。对于1÷7，计算量稍大，可以只要求计算到小数点后六七位，或借助计算器辅助观察规律。）师：我们先来看58.6÷11。谁来说说你的计算结果和发现？生5：我算出来是5.32727…，后面“27”一直在重复。师：余数呢？你在计算时，余数是怎么变化的？生6：我开始算58除以11商5余3，落下6成36，36除以11商3余3，落下百分位的0（因为被除数58.6可看作58.60）成30，30除以11商2余8，落下0成80，80除以11商7余3…诶？余数又出现了3！然后20除以11商1余9，90除以11商8余2，20除以11商1余9…好像余数也开始重复了。师：了不起的发现！他把竖式计算的过程和余数的变化都看得很清楚。确实，当余数重复出现时，商的小数部分相应的数字就开始重复出现了。我们再来看看1÷7。生7：1÷7等于0.142857142857…，数字“142857”这六个数字在反复出现。师：大家的观察都很敏锐。像3.333…，5.32727…，0.142857142857…这样，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现的小数，我们给它起个名字，叫作——“循环小数”。（板书：循环小数）探究二：归纳特征，认识“循环节”师：现在，请大家看着这三个循环小数：3.333…，5.32727…，0.142857142857…。小组讨论一下，它们有哪些共同的特征？能不能试着用自己的话说说什么叫循环小数？（学生小组讨论）组1：共同特征是小数部分的数字都在不停地重复出现，而且写不完。组2：重复出现的那些数字是连在一起的，有顺序的。师：总结得很好！数学上，我们这样定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数就叫作循环小数。其中，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的“循环节”。（板书：循环节）师：那你们能指出这三个循环小数的循环节分别是什么吗？生8：3.333…的循环节是“3”。5.32727…的循环节是“27”。0.142857142857…的循环节是“142857”。师：完全正确！那像0.41666…呢？它的循环节是什么？（这是一个混循环小数，拓展）生9：我觉得是“416”？好像不对…小数部分“416”没有完全重复。是“6”在一直重复，应该是“6”。师：对！看循环节，要看从小数部分哪一位开始“依次不断重复”。这里是从百分位开始的“6”在不断重复，所以循环节是“6”。前面不重复的“41”属于不循环部分。探究三：学习循环小数的简便记法师：我们已经认识了循环小数和循环节。可是，每次写循环小数都要写一串数字加省略号，比如5.32727…，有点麻烦。数学家们也这么觉得，于是他们发明了一种简便的记法。既然循环节是重复的核心，我们就在循环节上做文章。师：例如3.333…，循环节是“3”，我们可以只写一个3，然后在它的头上点一个点，写成3.3（在3正上方点一个点），读作“三点三，三循环”。（板书示范）师：5.32727…，循环节是“27”，我们就写成5.327（在2和7正上方各点一个点），读作“五点三二七，二七循环”。师：0.142857142857…，循环节是“142857”，就写成0.142857（在1和7正上方各点一个点），读作“零点一四二八五七，一四二八五七循环”。师：对于像0.41666…这样的，循环节是“6”，我们就在循环节“6”的头上点一个点，写成0.416（在6正上方点一个点）。注意，简便记法只点循环节，前面不循环的部分照写。师：请大家在探秘卡上，用简便记法重新表示刚才我们研究过的几个循环小数。探究四：了解小数的分类（有限与无限）师：同学们，认识了循环小数，我们再回头看所有的小数。根据小数部分位数的特点，我们可以对小数进行一个简单的分类。师：像0.5、0.125、3.14这样，小数部分的位数是有限的小数，叫作“有限小数”。（板书）师：而像3.333…，5.32727…这样，小数部分的位数是无限的小数，叫作“无限小数”。（板书）循环小数都属于无限小数。师：在无限小数家族里，除了我们刚认识的，有着美丽循环节的循环小数之外，其实还有另一类成员，它们的小数部分位数也是无限的，但数字的排列却没有这样周期性的重复规律。最著名的代表就是圆周率π，它是3.1415926535…，目前人们用计算机算到了小数点后几十万亿位，还没有发现循环节。这类小数叫作“无限不循环小数”。（仅作介绍，知道名字即可）师：因此，我们可以说：小数分为有限小数和无限小数。无限小数又包括循环小数和无限不循环小数。这样，我们对小数的了解就更全面了。三、巩固练习师：现在，我们来做一些练习，看看大家是不是真的认识了这位新朋友——循环小数。第一关：火眼金睛（判断下面哪些小数是循环小数）0.777…（是）4.3636（不是，它是有限小数4.3636，缺少表示无限的省略号或循环节标记；若题目是4.3636…，则是）3.1415926…（不是，它是无限不循环小数圆周率的近似，但若没有说明，仅从小数看，无法判断其循环性，通常视为不是循环小数）8.4747…（是）0.123123123…（是）5.12012012…（是，循环节是“120”）9.0（不是，是有限小数）第二关：找找循环节（找出下列循环小数的循环节，并用简便记法表示）0.666…（循环节6，记作0.6（6上点））2.305305…（循环节305，记作2.305（3和5上点））7.8654654…（循环节654，注意从千分位开始？仔细看：7.8654654…，小数部分是8654654…，重复的是“654”？需要确认数字：8，65，然后重复654？可能是7.8654654654…，循环节是654。题目应明确。）1.13888…（循环节8，记作1.138（8上点））第三关：计算与发现（计算下面各题，并指出哪些商是循环小数，用简便记法表示）5÷6（5÷6=0.8333…，是循环小数，记作0.83（3上点））10÷9（10÷9=1.111…，记作1.1（1上点））50÷8（50÷8=6.25，有限小数）7÷11（7÷11=0.6363…，记作0.63（6和3上点））第四关：分类小能手（将下列小数分类，填入集合圈或表格）小数：0.5，3.1415926…（视为无限不循环），1.333…，8.4747…，6.25，0.121121112…（这是一个无限但不循环的例子，每两个1之间2的个数递增），0.207207…（分类：有限小数：0.5，6.25；无限循环小数：1.333…，8.4747…，0.207207…；无限不循环小数：3.1415926…，0.121121112…）第五关：挑战思维写出一个比0.5小、比0.4大的循环小数。（如0.4545…，0.4111…等）两个数相除，如果不能得到整数商，那么结果一定是循环小数吗？为什么？（不一定，如果得到的是有限小数，就不是循环小数。只有当除不尽且余数出现循环时，才是循环小数。）四、课堂小结师：同学们，今天的探索之旅，我们聚焦于那些“除不尽”的除法算式，发现了一个奇妙的数学世界。师：我们认识了哪种新的小数？（生：循环小数。）什么是循环小数？（生：从小数部分某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数。）其中不断重复的部分叫（循环节）。师：为了书写方便，我们学会了用（在循环节的首位和末位数字上点圆点）的简便记法来表示循环小数。师：我们还知道，小数可以按位数分为（有限小数）和（无限小数）。无限小数中，除了循环小数，还有（无限不循环小数），比如π。师：循环小数的出现，告诉我们，除法计算中，当余数开始重复时，商的小数部分就开始循环了。数学中充满了规律，只要我们细心观察、深入思考，就能发现这些规律，感受数学的奇妙与和谐。五、作业布置师：课后，请继续你的探究。必做作业：完成练习册第X页《除得尽吗》的练习题。在作业本上，用竖式计算1÷3、1÷7、1÷9、1÷11，观察它们的商，找出循环节，并用简便记法表示。选做作业（挑战自我）：“规律探索者”：计算2÷7，3÷7，4÷7，5÷7，6÷7的商，观察这些循环小数有什么有趣的规律？（它们的循环节都是“142857”这六个数字的轮换）“生活发现家”：找找看，生活中哪些现象或事物中蕴含着“循环”或“周期”的思想？（如星期、季节、音乐节拍、钟表指针等）写下来与同学分享。作业评价量表（Rubric）：优秀（五星）：必做题概念清晰、判断准确、计算正确；能发现1÷n系列商的规律/能找到生活中的循环现象并作解释。良好（四星）：必做题基本正确；能完成计算与表示；选做作业有认真完成。达标（三星）：必做题部分有误，但经订正后能理解概念；完成了必做作业。需努力（两星）：必做题错误较多，未掌握循环小数的概念、判断或表示方法；需要加强辅导和练习。预设性教学反思本节课是小数概念体系的一次重要拓展，其成功的关键在于能否引导学生从“计算工具”的视角跳脱出来，以“数学探索者”的身份，去观察、分析“除不尽”这一现象背后的数学结构和规律，从而主动建构起“循环小数”这一新概念。预计课堂的生成性高潮与思维深化点将体现在：从“除不尽”到“有规律”的视角转换：学生之前面对“除不尽”，习惯性反应是“取近似值”。本节课引导他们停下脚步，仔细看这个“除不尽”的商长什么样。当他们在计算10÷3、58.6÷11时，自己发现“数字在重复”，会感到惊讶和有趣。这种从“麻烦”到“有趣”的情感转变，是激发探究动机的关键。“余数循环”导致“商循环”的因果揭示：这是理解循环小数本质的数学内核。通过引导学生追踪竖式计算中的余数变化（如10÷3总是余1，58.6÷11余数3、8、2、9等周期性出现），让他们自己发现“原来商数字的重复，是因为余数在重复！”这个发现过程充满了逻辑推理的乐趣，能让学生深刻理解循环小数的产生机制，而不仅仅是记住定义。循环节概念的辨析与准确提取：在初步感知“重复”后，如何精确地定义“循环节”是一个难点。学生可能会把最初出现的非重复部分也纳入循环节（如将0.41666…的循环节误认为是“416”）。通过讨论和反例辨析，让学生明确“依次不断重复出现”的起始位置，从而准确找出循环节。这个过程锻炼了学生的观察力和数学语言的精确性。简便记法的“再创造”体验：在学习简便记法前，可以先让学生思考：“如果你来发明一种简写方式，你会怎么做？”学生可能会提出写几个循环节后加省略号、在循环节下面划线、用括号标出循环节等多种创意。然后，教师再介绍数学界的通用约定（循环节上加点）。这不仅能加深对简便记法原理的理解（标记循环节），也让学生体验了“数学符号是约定俗成”的特点。可能存在的遗憾与不足：由于循环小数的概念相对抽象，且涉及到“无限”的观念，部分学生可能在理解“无限重复”时存在困难，仍会问“那它到底是多少？”一节课的时间可能仅够初步建立概念和进行简单判别，对于混循环小数（如0.41666…）只能作为拓展，难以深入。在简便记法的书写上，学生可能不习惯或不记得要在循环节首尾都加点，容易遗漏。对于小数的分类，学生可能混淆“无限小数”和“循环小数”的关系，需要后续练习巩固。基于以上预设，提出迭代升级设想：微调与深化：在探究环节，可以利用“分组计算竞赛”的形式。将学生分成若干组，每组计算不同的“1÷n”（n取3,4,5,6,7,8,9,11,12等），然后各组汇报商的位数特点（有限/无限）和数字规律。在黑板上汇总，形成对比鲜明的“结果墙”，引导学生从中自主归纳分类。在认识循环节后，设计“循环小数猜猜看”游戏：一位学生心中想一个循环小数