北师大版五年级数学下册第五单元：《分数除法（一）》教案：借助分物情境帮助学生掌握分数除以整数落实分数除法启蒙培养计算能力与表达素养

北师大版五年级数学下册第五单元：《分数除法（一）》教案：借助分物情境帮助学生掌握分数除以整数，落实分数除法启蒙，培养计算能力与表达素养课题与学情背景信息本教案针对北师大版小学数学五年级下册第五单元，课题为《分数除法（一）》，课型为算理探索与算法建构课。本课是学生在学习了分数乘法（特别是“倒数”）之后，首次系统接触分数除法运算，具体内容是“分数除以整数（整数不能为0）”。学生已经熟练掌握整数除法（等分除、包含除）的意义、分数乘法的运算以及倒数的概念。五年级学生的思维正处于具体运算向形式运算过渡的时期，他们能够借助直观模型（如长方形图、线段图）来理解抽象的算理。本节课的核心任务在于：1.将整数除法的意义（平均分）自然迁移到分数领域，理解“分数除以整数”的现实背景（如把一张纸的4/7平均分给2个人）。2.探索并理解分数除以整数的多种计算方法，特别是“除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数”这一核心算法的推导过程。3.掌握计算方法并能正确进行运算，为后续学习“整数除以分数”和“分数除以分数”奠定坚实的基础。学生的认知冲突和兴趣点在于：分数怎么除以整数？结果会比原来大还是小？可以用乘法来算吗？通过“情境感知—算法探究—算理辨析—方法优选—巩固应用”的学习路径，引导学生顺利进入分数除法的世界。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：意义理解：结合“平分”的具体情境，理解分数除以整数的意义，知道分数除以整数就是求这个分数的几分之一。方法掌握：探索并掌握分数除以整数的计算方法，理解并掌握“除以一个不为零的整数，等于乘这个整数的倒数”这一核心算法。技能形成：能正确计算分数除以整数，并能解决简单的实际问题。过程与方法目标：运用“情境模型法”理解意义：创设“分纸张”、“分果汁”等平均分情境，将抽象的算式与直观的“平分”过程相对应，理解“分数÷整数”就是“把一份东西（已经是分数了）再平均分”。运用“数形结合法”探索算法：通过画长方形图或线段图，将“4/7平均分成2份”的操作过程可视化，通过观察图形变化，发现两种计算方法：①直接用分子除以整数（4÷2）/7=2/7；②转化为乘这个整数的倒数4/7×1/2=2/7。运用“算理对比法”沟通方法：引导学生对比两种方法的算理，理解用分子直接除以整数（当分子是整数倍数时可行）的局限性，以及将其转化为乘法（乘倒数）的普适性。运用“归纳总结法”形成策略：在学生体验多种例子后，引导他们归纳出分数除以整数的通用计算方法：除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。运用“变式练习法”巩固技能：设计直接计算、解决实际问题、包含简便计算（先约分）等多种形式的练习，巩固算法。情感态度与价值观目标：在算法的自主探索中，体验数学逻辑的严密性和方法的多样性。教学重难点及突破策略教学重点：掌握分数除以整数的计算方法。教学难点：理解“分数除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数”的算理。灵活运用“乘倒数”的方法进行计算，并养成先观察能约分再计算的习惯。突破策略：“情境铺垫，建立意义”：问题一：把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？列出算式：4/7÷2。引导学生借助图形理解：就是求4/7的1/2是多少。所以也可以写成4/7×1/2。问题二：把一张纸的4/7平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？算式：4/7÷3。同样可以理解为求4/7的1/3是多少，即4/7×1/3。建立联系：通过图形操作（画、折叠），让学生直观看到分的过程，从而理解分数除以整数就是求这个分数的几分之一，所以可以转化为乘法。“画图操作，初探算法”：方法一（分子整除）：对于4/7÷2，可以在图上表示4/7（如一个长方形平均分7份，取4份）。平均分成2份，就是将这4份平均分，每份是2份（占整张纸的2/7）。对应的算式是：(4÷2)/7=2/7。引导学生发现：当分子能被整数整除时，可以直接用分子除以整数，分母不变。方法二（转化为乘倒数）：同样对于4/7÷2，我们也可以这样理解：把4/7平均分成2份，求一份，就是求4/7的1/2是多少。根据分数乘法的意义，就是4/7×1/2。计算得4/14=2/7。“特例冲突，凸显通用”：提问：用方法一（分子÷整数）计算4/7÷3可以吗？（4÷3除不尽）再试一例：3/5÷2，方法一（3÷2除不尽），方法二（3/5×1/2=3/10）可行。从而得出结论：虽然分子能整除时两种方法都行，但当分子不能整除时，方法一就不行了。而方法二（乘这个整数的倒数）总是可行的。所以，一般情况下，我们采用这种方法：分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。“归纳算法，规范表达”：算法归纳：引导学生用语言描述计算方法，教师规范为：除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。字母表示：如果用字母表示，a/b÷c=a/b×1/c(c≠0)。“优化计算，养成习惯”：出示例题：6/7÷3=6/7×1/3=6/21=2/7。引导学生观察：在计算（6×1）/(7×3)=6/21后，还需要约分。能否让计算更简便？指出：可以在乘的时候就约分。即：6/7÷3=6/7×1/3=(6×1)/(7×3)，6和3可以约分，约掉3后，2/7。强调“先观察，能约分先约分”的计算习惯。“分层练习，巩固内化”：设计从模仿到灵活应用的练习题，让学生在计算中巩固算法。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境导入页：呈现将一张长方形纸平均分成7份，其中4份涂色的图，并提出“平均分成2份”的问题。算法探究页：动态展示用两种方法（直接分分子和转化为乘法）解决4/7÷2的完整过程（包括图形和算式对应）。冲突凸显页：展示4/7÷3的例子，方法一（分子除）受阻，方法二（乘1/3）仍可行。算法归纳页：清晰地总结出“分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数”的文字和字母公式。优化计算页：展示“6/7÷3”先约分再计算的过程，突出简便性。巩固练习页。实物教具：几张画有平均分格子的长方形纸（代表单位“1”）、彩笔。学生准备：练习本、彩笔、直尺（用于画辅助图）。课前预习要求：复习倒数的概念，尝试计算几道分数乘整数的题目。教学过程一、情境导入师：（出示一张画好的长方形纸，平均分成了7份，其中4份涂上了颜色）同学们，看这张纸，涂色部分占整张纸的几分之几？生（齐）：4/7。师：现在，我要把这涂色部分（强调）平均分成2份，分给小明和小红。请问，每人分得的涂色部分，占整张纸的几分之几？谁能用一个算式来表示这个“平均分”的过程？生1：4/7÷2。师：（板书：4/7÷2）非常正确！“÷2”就表示平均分成2份。这就是我们今天要学习的《分数除法（一）》——分数除以整数。（板书课题）这个算式怎么计算呢？每人到底分到多少？请大家先独立思考，可以画图帮助理解。二、探究新知活动一：探究算法多样性（以4/7÷2为例）师：大家都思考过了，谁来说说你的想法？也可以到黑板上来画图讲解。生2：我可以画图。先把整张纸平均分7份，涂出4份表示4/7。然后，我把这4份再平均分成2份，每份就是2小份。所以每人拿到的是2/7张纸。师：画图一目了然！对应你的操作，算式可以怎么写？生2：4/7÷2=(4÷2)/7=2/7。师：很好！这是一种方法：当分数的分子（4）能被整数（2）整除时，可以用分子除以整数，分母不变。（板书方法一：分子÷整数，分母不变。）师：还有不同的思路吗？生3：老师，我觉得把4/7平均分成2份，求一份，就是求4/7的1/2是多少。所以可以写成4/7×1/2。师：这个想法太巧妙了！把“除以2”转化成了“乘1/2”。（板书：4/7÷2=4/7×1/2）那我们来算一下4/7×1/2等于多少？生4：4/7×1/2=4/14=2/7。师：结果和第一种方法一样，都是2/7。所以，计算4/7÷2，我们至少有两种方法：一是（分子÷2，分母不变），二是（乘2的倒数1/2）。活动二：制造认知冲突，凸显通用算法师：看来分数除以整数也不难。我们来挑战一个新问题：还是这张纸的4/7，如果平均分成3份呢？算式是？生（齐）：4/7÷3。师：请大家用刚才的两种方法分别尝试计算一下。（学生尝试，教师巡视）师：方法一，4/7÷3=(4÷3)/7，4÷3能除得尽吗？生5：除不尽，得不到整数。师：是啊，方法一在这里遇到了麻烦。那方法二呢？4/7÷3可以转化成什么？生6：可以转化成4/7×1/3。师：这个能算吗？生7：能！4/7×1/3=4/21。师：所以，当分子不能被整数整除时，方法一就不适用了，但方法二依然畅通无阻！我们再试一个例子：3/5÷2。用方法一，3÷2？除不尽。用方法二呢？生8：3/5×1/2=3/10。师：通过这几个例子，大家觉得，在一般情况下，哪种方法更可靠、更通用？生9：第二种，乘倒数的方法。师：对！因为无论分子能不能被整数整除，我们都可以把“除以一个整数”转化为“乘这个整数的倒数”。所以，我们得到分数除以整数的一个非常重要的计算方法。（板书核心算法：分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。）活动三：归纳算法，理解算理师：请大家齐读一遍这个计算方法。谁能用自己的话解释一下，为什么可以这样算？生10：因为除以一个数，就是求这个数的几分之一，求一个数的几分之一用乘法，乘的就是它的倒数。师：解释得非常到位！从意义上讲，“÷3”就是求（1/3），“÷5”就是求（1/5），所以除以一个整数，就等于乘这个整数的倒数。如果用字母表示，怎么表示呢？生11：a/b÷c=a/b×1/c，c不能是0。师：为什么c不能是0？生12：因为0没有倒数，而且0不能作除数。师：补充得非常完整！（完善字母表达式）活动四：优化算法，先约分再计算师：我们来看这道题：6/7÷3。按照我们总结的方法，等于？生13：6/7×1/3。师：请一位同学来计算一下。生13：6/7×1/3=(6×1)/(7×3)=6/21=2/7。师：计算正确。但请大家观察计算过程，有没有办法让它更简便一些？生14：在乘的时候，6和3可以约分。6/7×1/3=(6'×1)/(7×3')=2/7。这样直接就能得到最简结果2/7。师：太棒了！这提醒我们，在把除法转化成乘法后，计算时也要养成好习惯：先观察，能约分的先约分，再计算。这样可以使计算更简便。三、巩固练习师：掌握了新武器，我们赶紧来练练兵。第一关：基础计算（写出计算过程）2/3÷2=2/3×1/2=1/38/9÷4=8/9×1/4=2/9（先约分：8和4约4）5/6÷5=5/6×1/5=1/63/10÷6=3/10×1/6=1/20第二关：判断对错，并改正4/5÷2=4÷2/5=2/5（×，方法对但结果未约简？原结果2/5已是最简，此句可改为“（√）”或换一个例子）（改为：）4/9÷2=4÷2/9=2/9（√）7/8÷3=7/8×3=21/8（×，应乘1/3，改正：7/8÷3=7/8×1/3=7/24）1/3÷5=1/3×5=5/3（×，应乘1/5）第三关：解决问题（列式计算）把3/4升的果汁平均分给3个小朋友，每个小朋友分得多少升？（3/4÷3=3/4×1/3=1/4升）一个正方形的周长是7/10米，它的边长是多少米？（正方形边长=周长÷4，7/10÷4=7/10×1/4=7/40米）第四关：在○里填上“>”、“<”或“=”4/5÷2○4/5（<，除以一个大于1的整数，商小于被除数。或具体计算：2/5<4/5）2/3÷1○2/3（=）5/6÷5○5/6×5（<，左边=1/6，右边=25/6）第五关：思维拓展如果a是一个不为0的自然数，那么1/a÷3=()，1/3÷a=()。（1/a÷3=1/a×1/3=1/3a；1/3÷a=1/3×1/a=1/3a。发现二者相等，渗透规律。）一个数除以4，再乘4，结果是8/9，这个数是多少？（倒推：先乘4得8/9，那么之前是8/9÷4=2/9；这个2/9是“一个数除以4”的结果，所以原数是2/9×4=8/9。或者设未知数X，X÷4×4=X=8/9。）四、课堂小结师：同学们，今天我们打开了分数除法的大门，学习了《分数除法（一）》。师：我们知道了分数除以整数的意义是什么？（把一个分数平均分成整数份，求一份是多少。）师：我们探索出了最核心的计算方法是什么？（分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。）（引导学生齐说）师：在计算时我们还要养成什么好习惯？（先观察，能约分的先约分。）师：希望大家不仅记住算法，更要理解算法背后的道理：除法是乘法的逆运算，所以除以一个整数，可以转化为乘它的倒数。这是数学中非常重要的“转化”思想。五、作业布置必做作业：完成练习册《分数除法（一）》一课的练习题。找一道生活中的实际问题，需要用“分数除以整数”来解决，并解答。选做作业（挑战自我）：“算法推广大使”：画一幅思维导图或连环画，向没学过的人解释清楚“为什么分数除以整数等于乘这个整数的倒数”。“规律探索家”：计算1/2÷2，1/2÷3，1/2÷4，1/2÷5…观察商的变化。你发现了什么规律？再尝试用其他的分数（如2/3）除以2,3,4,5…，规律还成立吗？作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能深刻理解分数除以整数的算理（转化为求几分之一）；能熟练、准确地进行计算（包括先约分）；能主动探索规律并能清晰解释。良好（3星）：理解算法，能正确计算分数除以整数。达标（2星）：知道用乘倒数的方法，但在计算过程中（如找倒数、约分）偶有失误。需努力（1星）：对算法不理解，计算错误率高；需要重新进行情境引导和算理分析。预设性教学反思本节课是分数除法单元的奠基之作，其教学设计的精髓在于巧妙地将学生已有的“倒数”知识和“分数乘法”技能作为“支架”，引导学生自己发现并理解“除以一个整数”与“乘这个整数的倒数”之间的等价关系，从而自然、顺畅地建构起分数除以整数的核心算法。预设的教学推进关键点与思维发展过程如下：从“平均分”的意义切入，建立算式模型：利用“分一张纸的几分之几”这一直观情境，使学生明确“分数除以整数”的算式来源于现实中的等分需求。列出算式4/7÷2后，不急于计算，而是让学生结合图形理解其意义（求4/7的1/2），这为后续将除法转化为乘法埋下了至关重要的伏笔。理解意义是理解算法的基础。“算法一”的引入与作用：允许并鼓励学生用“分子除以整数，分母不变”的方法计算诸如4/7÷2这类题目。这种方法直观、易于理解（直接从图上数份数），且与整数除法（等分）的认知一脉相承。它的存在，让学生感觉新知识并不全然陌生，降低了学习门槛。但更重要的是，它将成为凸显“通用算法”必要性的“反面教材”。制造认知冲突，引出“算法二”的优越性：当遇到4/7÷3时，“算法一”立刻失效（4÷3除不尽）。这个“冲突”是本节课第一个思维高潮。学生在此刻会产生“那该怎么办？”的疑惑和探究欲。此时，引导学生回顾“÷3就是求1/3”，自然引出“算法二”：4/7×1/3。通过计算验证，发现此法可行且结果合理。通过比较几个例子（分子能整除和不能整除的），学生自然而然会认同“算法二”更具普适性。这个过程是学生自主进行“算法优化”选择的宝贵经历。归纳算法，并追溯算理：在学生体验到“乘倒数”方法的普适性后，及时引导他们用语言归纳出一般规律：“分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数”。此时，必须追问“为什么可以这样算？”，引导学生从意义上解释：因为“除以c”就是“求1/c”，而求一个数的1/c，就是用这个数乘1/c。将算法与意义（算理）紧密挂钩，避免机械记忆。这里，“倒数”概念起到了关键的桥梁作用。计算习惯的培养：在算法确立后，进一步引导学生优化计算过程，即“先观察，能约分先约分”。这不仅是计算技能的提升，更是严谨、细致数学态度的培养。练习层次的设计：练习设计应从直接套用算法，到辨析易错点（如忘记求倒数），再到解决实际问题，最后进行思维拓展（如探索规律）。通过多层次练习