概率论与数理统计（王明慈第二版）第2章随机变量及其分布7-1节

预备知识回顾二重积分的计算法2026/5/131且在积分区域D上连续时,若D为

X-

型区域

则若D为Y-型区域则利用直角坐标计算二重积分2026/5/132说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y

-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-

型域或Y-

型域,则2026/5/133例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X-型区域,则解法2.

将D看作Y-型区域,

则2026/5/134例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则2026/5/135例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X-

型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.2026/5/136例4.计算二重积分其中区域D

是由直线与双曲线

围成的闭区域

.解:Y-型区域，则2026/5/137例5.计算二重积分其中D是由直线y=2x,x=2y和直线x+y=3所围的封闭区域.x=2yy=2xx+y=3解:

由将D看作X-型区域，它由两部分组成:122026/5/138例5(续).计算二重积分其中D是由直线y=2x,x=2y,和直线x+y=3所围的封闭区域.x=2yy=2xx+y=3解:

积分域D由两部分组成:12X-型区域2026/5/139第七节多维随机变量

及其分布(1)一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量2026/5/1310在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：1)

射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述;2)

研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;3)

具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺寸,外形,外包装等.2026/5/13111）定义：设

E

是一个随机试验，它的样本空间是Ω={ω}，设X=X(ω)和Y=Y(ω)是定义在Ω

上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。ΩωX(ω)Y(ω)一、

二维随机变量及其分布函数2026/5/1312注意事项2026/5/13133.联合分布函数1）定义2）几何意义yo(x,y)(X,Y)2026/5/13143）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2026/5/13154）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1<x2时，对于任意固定的y

,

且对于任意固定的

x,当y1<y2时，对于任意固定的

x

,2026/5/1316

（3）

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),

即

F(x,y)关于

x

右连续，关于y

也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。2026/5/1317定义若X,Y均为离散随机变量，则(X,Y)

为二维离散随机变量,且二、二维离散随机变量1.

二维离散随机变量的联合概率分布2026/5/1318XY………………………………其中2026/5/1319设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取试求（X,Y）的联合概率分布。例1一个值，随机变量Y在1-X中等可能地取一整数值，解：由乘法公式易得（X,Y）的联合概率分布。即Y

X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162026/5/1320设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例2X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：2026/5/1321三、二维连续随机变量1.二维连续随机变量定义设X,Y均为连续随机变量，2026/5/1322联合概率密度的性质：设G是平面上的一个区域，点(X,Y

)落在

G

内的概率为：这个公式非常重要！2026/5/1323例3(1)求F(x,y);1D1O

xy(2)求(X,Y)落在区域D内的概率,区域D如图所示.2026/5/1324解(1)2026/5/1325(2)1D10

xy2026/5/1326例42026/5/13272026/5/13282026/5/13292026/5/1330x+y=12026/5/1331小结：1二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。

2联合分布函数的定义及性质。

3二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性质，特别是4二维均匀分布和二维正态分布。2026/5/13321.二维随机变量的分布函数2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数3.二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数内容小结2026/5/1333习题二(P64)：16,17,18

作业

2026/5/1334思考题2026/5/1335备用题1.解2026/5/1336XY01231300002026/5/13372.解2026/5/13382026/5/13392026/5/13403.设随机事件A,B满足求(X,Y)的分布列.解2026/5/1341所以(X,Y)的联合分布列为2026/5/1342所以(X,Y)的联合分布列为2026/5/13434.在长为a的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，一点，求两点间的距离小于a/3的概率.记X为线段中点左边所取点到端点0的距离，解OxaXY2026/5/1344图2.2的阴影部分，因此，所求概率为xyO图2-22026/5/13455.设随机变量(X,Y)的概率密度