第04讲 勾股定理 折叠问题专练（解析版）

第04讲勾股定理折叠问题专练一、单选题1．如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【解析】【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．解：∵在中，，，，，∵折叠，点B与点重合，，，，，设，则，又，在中，，即，解得：，．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．2．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解：∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE＝ED，设AE＝x，则ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的长是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．3．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴点F到BC的距离为．故选：C【点睛】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（

）．A．5 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．解：如图，∵是直角∴由题意知，，∴∴三点共线∴与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得∴的长为故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．5．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.7．如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】连接AG，证明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE对折至△AEF，则EF＝DE，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt△EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．如图，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE对折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共边，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G刚好是BC边的中点，∴BG＝FG＝，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根据勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的长是4，答案选C．【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．8．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵D为斜边BC中点，∴AD=BC=5，由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，∴AP1=AD1，AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，∴AP2=AD2，可知：AP3=AD3，AD1=AD=，AD2=AD1=AD=，∴AD3=AD2==，∴AP3=AD3=，故选D．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，∴•(AF+DF)•BF＝5，∴•(4+DF)•2＝5，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则•BD•h＝•BF•DF，即：，∴h＝，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．10．和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（

）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】由折叠的性质得，，故，，推出，由，推出，根据AAS证明，即可得，，设，则，由勾股定理即可求出、，由计算即可得出答案．由折叠的性质得，，∴，，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，，设，则，∴，解得：，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．二、填空题11．如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．【答案】【解析】【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解再证明从而求解于是可得答案.解：长方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.12．如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入数据：∴，解得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．13．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点C落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．则的长________．【答案】1【解析】【分析】设CD=x，根据，，，利用勾股定理BC=，DB=BC-CD=4-x，根据折叠，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，求出C′B=AB-AC′=5-3=2，在Rt△DC′B中，根据勾股定理列方程，解得：即可．解：设CD=x,∵，，，∴BC=，∴DB=BC-CD=4-x，根据折叠，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，∴C′B=AB-AC′=5-3=2，在Rt△DC′B中，根据勾股定理即，解得：，∴BD=4-，∴，故答案为1．【点睛】本题考查折叠性质，勾股定理，一元一次方程，线段的和差计算，掌握折叠性质，勾股定理，一元一次方程，线段的和差计算是解题关键．14．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．将此三角形纸片先沿CD折叠，使点A落在AB边的点A′处．再沿CE折叠，使点B的对应点B'落在CA的延长线上．则△A'B'E的面积为_____．【答案】【解析】【分析】由题意可知，，，由折叠可知，，，，，，推出为等边三角形，，所以，推出，即，根据即可求出的面积．解：，，，，，由折叠可知，，，，，，为等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，的面积：．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠问题，做题注意折叠的性质和勾股定理的使用，最后找到是直角三角形是解题的关键．15．如图，是的中线，，，把沿翻折，使点落在的位置，则为___．【答案】【解析】【分析】根据翻折知：∠ADE＝∠ADC＝45°，ED＝EC，得到∠BDE＝90°，利用勾股定理计算即可．解：是的中线，，翻折，，，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．16．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到，与AC交于点E，连接交AD于点F，若，，，的面积为12，则点B到的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由翻折的性质可得，，，由可得，然后利用勾股定理求出，即可推出，则，即可得到，，设点B到的距离为h，由，进行求解即可．解：由翻折的性质可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴，在直角三角形ABF中，，∴，∴，∴，∴，∴，，设点B到的距离为h，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上的点，连接CD，CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A'落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CA'的延长线上．若AC＝15，BC＝20，则下列结论：①EB'∥CD，②∠DEC＝45°，③EA'＝3，④S△BCE＝18．其中正确的是_______（将所有正确答案的序号都填在横线上）．【答案】①②③【解析】【分析】先由勾股定理求得AB的长，然后利用折叠得到相关线段长度和相关角度，再利用等面积法求CD得长，然后利用等腰直角三角的性质得到∠DEC的大小，最后求得△BCE的面积．解：∵AC＝15，BC＝20，∠ACB＝90°，∴AB＝25，∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴×15×20＝×25×CD，∴CD＝12，∴AD＝＝9，∴BD＝25﹣9＝16，由折叠得，∠ACD＝∠DCA'，∠BCE＝∠B'CE，∠BEC＝∠B'EC，AD＝AD'＝9，∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCA'＋∠BCE＋∠B'CE＝90°，∴∠DCA'＋∠B'CE＝45°＝∠DCE，故②正确；∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，∴DC＝DE＝12，∴A'E＝DE﹣DA'＝12﹣9＝3，故③正确；∵∠BEC＝180°﹣45°＝135°，∴∠CEB'＝135°，∴∠B'EA'＝90°＝∠CDE，∴CD∥B'E，故①正确；∵S△BCE＝BE×CD，∴S△BCE＝×（16﹣12）×12＝24，故④错误；∴正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，准确计算是解题的关键．18．如图，点D是的边上的一点，连接，将沿翻折得到，连接交于点G，连接，交于点F，若的面积是，则点G到的距离是______．【答案】【解析】【分析】根据题意求出的面积，根据折叠的性质可知,,然后求出的长度进而求得的长度，运用勾股定理求出的长度，运用等面积法可求得结果．解：∵，的面积为,∴,由折叠的性质可知:,,∴,∴,∴,,∴到距离为．故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练运用三角形面积的不同表示方法是解本题的关键．三、解答题19．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EF的长【答案】5【解析】【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，根据勾股定理计算即可．解：∵四边形ABCD是长方形，BC=10cm，AB=8cm∴AD=BC=10cm，AB=CD=8cm又∵AF为AD折叠所得

∴AF=AD=10cm，∴BF2=AF2-AB2=36∴BF=6cm∴FC=BC-BF=4设CE长为xcm，则DE长为（8-x）cm，则EF长为（8-x）cm．在RT△CEF中，x2+42=(8-x)2解得：x=3∴CE=3cm∴EF=8-3=5cm故EF的长为5cm．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．【答案】【解析】【分析】由折叠的性质可得，，，先利用勾股定理求出，即可得到，设，则，在直角三角形中：，则，解方程即可．解：由折叠的性质可得，，，∴∵∠B=90°，AB=9，BC=12，∴，∴，设，则，在直角三角形中：，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质与勾股定理．21．在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根据题意得：，∴；(2)解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设，则，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②联立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．22．如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．(1)若，求的值．(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？【答案】(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．（2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝，∴S1＝BD×DE＝＝．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=x，∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=x，∴S2=AH×HN=×x×x=x2，∵S1+S2=13，∴x2+x2=13，解得x2=6，∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36．答：单个直角三角形纸片的面积是36；②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，∴BF=BC-CF=4x-3x=x，∴S3=S△CMF=S△ACM，∴S3==，答：此时S3的值为．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．23．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图②，如果点B′是AC的中点，求CE的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，实施勾股定理即可；（2）设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，实施勾股定理即可．解：(1)设CE＝x，则BE＝8－x，由题意得AE＝BE＝8－x，由勾股定理得，解得x＝，即CE的长为；(2)因为点是AC的中点，所以C＝AC＝3，设CE＝x，则BE＝8－x，由题意得E＝BE＝8－x，由勾股定理得，解得x＝，即CE的长为．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．24．如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，．(1)如图1，若，求四边形的面积．(2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠