2026年中考数学二轮复习 专题05 相似三角形与解直角三角形热点 6类核心题型(方法+题型+实战)

专题 相似三角形与解直角三角形热（A字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形等）6第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模A字模型求解及技巧方法二8(解直角三角形的应用)解题技巧(解直角三角形的应用)解题技巧方法六相似+解直角三角形综合解题技巧第三部分题型专攻01】A02】80304】仰角俯角问题(解直角三角形的应用05】坡度坡比问题(解直角三角形的应用06】相似+第四部分答题实战考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值1：相似三角形（中档核心，必考点）——侧重判定（两角对应相等为主，边角边、2：解直角三角形（基础+中档，必考点）——聚焦锐角三角函数（sin、cos、tan）3：两者综合（压轴过渡，高频）——结合相似与解直角三角形，求解复杂图形（如思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板2：解直角三角形易错点突出，记错锐角三角函数定义（混淆对边、邻边），忽略“直角三3：综合题衔接不畅，无法快速拆分复杂图形，不会结合相似与解直角三角形的性质建立关 核心基础公式（解题地基，必背通用基础公式（两大模块均需用到Rt△ABC中，∠C=90˚，则𝐚2𝐛2𝐜2（、𝑎、𝑏为直角边，𝑐为斜边），用于求边长、两点距离公式：𝐀𝐁 (𝐱2—𝐱1)2+(𝐲2—𝐲1)2（适配坐标型相似、解直角三角形，求线段长度）比例基本性质：若𝑎=𝑐，则𝐚𝐝=

（交叉相乘）；若===𝑘， =𝐤（合比性质， 配相似比例计算）

三角形内角和：∠𝐀+∠𝐁+∠𝐂=180∘（用于求未知角，辅助相似判定、解直角三角形）相似三角形判定公式（中考必考，3种核心判定AA判定（两角分别相等）：若∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′，则△𝐀𝐁𝐂∽△𝐀′𝐁′𝐂′（中考最常用，适配所SAS判定（两边成比例且夹角相等）：

=𝐴𝐶，且∠𝐴=∠𝐴′，则△𝐀𝐁𝐂∽△𝐀′𝐁′𝐂′（′′𝐴

=

=𝐵𝐶，则△𝐀𝐁𝐂∽△𝐀′𝐁′𝐂′（相似三角形性质公式（核心应用，求边长、面积

=

=

=𝐤（𝑘为相似比）对应角相等：∠𝐀=∠𝐀′，∠𝐵=∠𝐵′，∠𝐶=∠𝐶′（用于角度转化、证明平行）=周长比：𝐂△𝐀𝐁𝐂 ==面积比：𝐒△𝐀𝐁𝐂 2=𝐡=𝐦=𝐭=𝐤（等于相似比，拓展考点） 三角函数定义（核心，必背正弦：的对边斜边𝐬𝐢𝐧𝐀=∠𝐀的对边=斜 余弦：的邻边斜边𝐜𝐨𝐬𝐀=∠𝐀的邻边=斜 正切：的对边的邻边𝐭𝐚𝐧𝐀=∠𝐀的对边=∠𝐀的邻 互余角三角函数关系：𝐬𝐢𝐧𝐀=𝐜𝐨𝐬(90𝐀)，𝐭𝐚𝐧𝐀𝐭𝐚𝐧(90𝐀)=1（简化计算，避免查表）特殊角三角函数值（中考必考，精准记忆解直角三角形核心边角关系（直接套用边边关系：𝑎2+𝑏2=𝑐2（勾股定理） 边角关系：sin𝐴=𝑎⇒𝑎=𝑐⋅sin𝐴，𝑐=𝑎 cos𝐴=𝑏⇒𝑏=𝑐⋅cos𝐴，𝑐=𝑏 tan𝐴=𝑎 𝑏⋅tan𝐴，𝑏=tan𝐴角角关系：∠𝐀+∠𝐁=90∘（用于求未知角）万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用1：相似三角形万能建模公式（4类核心模型1：A字型相似（基础高频，必考𝐀𝐃𝐄∽△

𝐀𝐃=𝐀𝐄=𝐃𝐄=

𝐒△𝐀𝐃𝐄=𝐤2（AA判定

DEBC，但∠ADE=∠ABC，A字型相似（AA判定），2：8字型（X字型）相似（基础高频，必考模型识别：两条线段相交（ACBD0），对顶角相等，另外一组角相等（或两直线平万能步骤：识别对顶角→证明另一组角相等（或两直线平行）→△𝐀𝐎𝐁∽△

𝐀𝐎=𝐁𝐎=𝐀𝐁=

=𝐤2（AA判定

AB∥CD，3：相似与动点/面积综合（中考压轴，拉分点P在图形上运动，构成的三角形与固定三角形相似，或求动点运动过程中三角形面相似分类：若𝑃𝐴𝐵

=𝐤2（𝑘为相似比），2：解直角三角形万能建模公式（4类核心场景1：仰俯角问题（实际应用，必考Rt△（作水平线/垂直线，转化为直角三角形）→标注已知角（仰俯角）仰角𝛼：垂直高度水平距离𝐭𝐚𝐧𝛂=垂直高度𝐡，𝐡=𝐝⋅𝐭𝐚𝐧𝛂，𝐝=水平距离

2：坡度（坡比）问题（实际应用，高频）模型识别：涉及“坡度𝑖”“坡角𝛼坡度定义：垂直高度水平宽度𝐢=垂直高度𝐡=𝐭𝐚𝐧𝛂（𝛼为坡角水平宽度坡面长度：𝐀𝐁=

=

（勾股定理+三角函数结合） 方法一A例题1（2025•）如图，已知VABC和△CEFABCCEF90，且E是中线AD的中点，连接BF，若AB4，则线段BF的长为 A．

D．3【答案】【答案】【分析】如图所示，延长CEG，使CEGEAGBDCD1BC2AEDE明出VAEG≌VDECSASAGCD2，然后证明出VACG∽VBCFAGAC 2【详解】如图所示，延长CEG，使CEGE∵VABCABC∴ABBC∴BDCD1BC2，AE∵CEGE，AEG故选故选2∴AGAC ∴BF2∴V∴GC2∴1∴ACG∵CE∴ACBECF45，AC2，FC∴AGCD∵VABC和△CEF例题2（2025）（1）如图，在VABCD、E、QABAC、DE∥BCAQDEPDPPE （2）如图，VABC中，BAC90DEFG的四个顶点在VABCAGAFDE于MN两点．ABAC1，直接写出MNMN2DMEN 同理在△ACQ△AEP ②由【答案】(1)见解析;(2)①2【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP， （2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高AQ 2，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边在VABQ中，由于 BQ∴△ADP∽VABQDE 2MNGCMNANNEDGFEMNFEMNDG 【详解】（1）△DBG∽△CEFMNMD，所以MN2DMEN（2）①2,AQ⊥BC∵BC边上的高AQ 又AD1 DE ∵DE边上的高为2,MN:GF 2: MN:2 2:MN

故答案为∵ GC∴MNANNE DGFE∴GFEF∴MNNE ∴∴MNFE 同理，在△ABFMNAMDM ∴MNDM ∴MNDG 又因为△DBG∽△CEF∴BGFE ∴MNMD． ∴MN2DMEN例题3 发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为Qt（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：HQACt

t【答案】（1）【答案】（1）t15；（2）t40；（3）t【分析】（1）PHCQPHCQPHCH，构建方程求证明VHCQ~VABCCHCQ ABCDPHCQ75【详解】解：（1）QAB3BC4AC32425APtCP5tCQ2tQABCDB90QPHBCCHPB90QPCHACBPHCHPCPHCH5t PH3(5t)，CH4(5t) PHCQPHCQ3(5t)2t，t15当t15PHCQ为矩形；（2）HQACHQACQHCACB90QBACACB90QHCBACQHCQB90CHCQ，即CHBCABCQ 4(5t)432t当t40HQAC34751[2t3(5t)]4(5t44t1或t13（舍去方法二8例题1（25–26九年级上•安徽安庆•期中）如图，在VABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上意一点，BF交AD于点E，且DE1AE，则BE的值为（ A．B．C．

D．【答案】【答案】DGCF，证明出VGDE∽VFAEBEEF与GEDDGCFBGFGQDGCFDE=GE QDE1AEDEGE1 FE3GEQBEBGGEGFGE2GEFE5GEBE5GE5 故选例题2（25–26九年级上•四川宜宾•期中）在RtVABC中，BAC90，AB1，BC ADRtVADEDAE90EDCBADBEAD1的最小值 37/度等量关系，证VAME∽VDMCAMMEAMDM，又可证VAMD∽VEMC 角度等量关系，证得MCEABCECBCEAD1BE1AEBEBBEB ABAD1BE【详解】解：连接CEACDEMABCAB1BC

10∴ACBC2AB23∵EDCBADEDCADC180BDABADABD180BDA∴ADEABDBACDAE90ABACADAB1 ∴AE3AD∵EDCBAD，BADDACDACEACEDCEAC，AMEDMC，AMMEAMDM AMDEMC∴MCEADEADEABC∴MCEABC∴ABCACB90MCEACB90ECBCE在过点CBC∵AE3AD∴AD1BE1AEBE AEBEBBEBAEBEABAAFBCBCFBCCB

10∵ABFABC，BACAFB90∴ABAFBF BF

10，AF310 ∴FBBBBF210

101910 ∴AB

FB2AF2

37则AD1BE 1AB 37 故答案为：37例题 （2025•辽宁铁岭•三模）如图，在VABC中，ABAC，P为AC边上一点，连接PB，将PB翻折，得到△PBDPDABE1，PDBCBCPD2，PDABAP1ACAEDEBE若tanA ，BC3，在VABP和△BDP中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请接写出△BDP与VABC【答案】(1)BCPDBE2AEDEBE2DE4AE21根据折叠和平行证明DBPDPBCBPBDPD，由四边相等的四边形是菱形得出过点C作CFABF，证明△DEB≌△BFCDEBFFCBEEPFCAPAEEPAE3AFFC3EPBE2DE4AE DPPC2AP2AP1，再证明VDEB∽VAEPAPAEEP1 AE3BEABAE21，由此即可求出△BDP与VABC VBPE【详解】（1）BCPDBDBCPDPCDBPCBP∵PD∥BC∴DPBCBP∴DBPDPB∴BDPDBCPCBCPDBE2AEDE理由：过点C作CFABF∴CFB90PDAB，即BED90∴BEDCFB90∵△PBCPB翻折，得到△PBD∴DACB，BDBC∵ABAC∴∠ABCACB∴DABC∴△DEB≌△BFC∴DEBF，FCBE∵BFC90，BED∴EP∥FC∴APAEEP ∵AP1AC∴AE3AF，FC3EP∴EF2AE∵BEEFBE2AEDE，（可作结论∴ABAC2AEDEAE3AEDE∴PCDP2AC2(3AEDE) ∴EPDPDE2(3AEDE)DE2AE1DE ∴FC3EP3(2AE1DE)6AEDE∴2AEDE6AEDE∴DE2AE∴BE2AEDE2DE∴BE2DE4AE∵tanA3∴A60∵ABAC∴VABC∴CAD60，ABACBDBC3在VABP和△BDP2PDABE∴SVBPDSVBPC2SVBPA∴DPPC2AP2AC2，AP∴PHAPsinA 3∵AD，DEB=AEP∴VDEB∽VAEP∴APAEEP1 ∴DE3AE，BE3EP∴BE3(DPDE)3(23AE)∴AEABBE33(23AE)∴∴AE3∴BEABAE21∴ 1V 3213例题1（2024•浙江•一模）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CFCE，BE延长线交DF于G，则BGEG的值是 【答案】4【答案】42BMBDF的中垂线.根据相似三角形VBGF∽VDGEBGDG 即GEGBGD²，最后在直角VDCF中利用勾股定理来求GD²【详解】QBC2ABCDBD22BE平分DBCDF于G,BGDFBDBF，DGFGCF222在VBGF和VDGEGBFGDE,BGFDGE90BGGF BGDG即GEGBGD2 QQDC2FC22DG2即2222224DG2DG2422即GEGB422故答案为：422例题2（2025）ABCDE，FBCCDBEFDAFBCHAEDC求证：AFD∽GADDF2CFCDBECH【答案】(1)【答案】(1)(2)（1）利用菱形性质证明VABE≌VADF，进而得到DAFG 【详解】（1）证明：QABCDABAD,BD,ABCD,ADBC（2）DF2CFCDCFDFBHCFCHCF 又QBEDFBAEDAFQABCD∴GBAEGDAF．又QDD，（2）证明QDF2CFCFDF QADBHCFCH, CHDF QADCHDFQBEDFBECH3（2024）ABCDAB4BC3EABEFCEAD于点FE作AEHBECFDH，交射线CDN．如图aHFBE如图bHFDBExDNyyx之间的函数关系式，并写出它的定义AC，当VFHE与△AECDN【答案】（1）3；（2）y2x42x3；（3）1（1）EFECAEFBEC90AEFBECAEFBEC45BEEEGCN，垂足为点GBEGCBECG，可证ENCECNENECBExDNyy2x42x3BAD90，EFEC，推出HFEAEC，当VFHE与△AECFHEEAC，推出EACECBtanEACtanECBBCBEBE9 FHEECAEGAC交于点OENECEGCN，知12，可证△AEO∽△ABC，AE5BE3DN11时VFHE与△AEC 【详解】（1）∵EFEC∴AEFBEC90∵AEFBEC∴AEFBEC45∵ÐB=∴BEBC∵BC∴BE3EEGCN，垂足为点GBEGC∴BECG∵ABCN∴AEHENC，BECECN∵AEHBEC∴ENEC∴CN2CG2BE∵BEx，DNy，CDAB4∴2x-HFDy2x4≥x∴y2x42x3∵BAD90∴AFEAEF90∵EFEC∴AEFCEB90∴HFEAEC当VFHE与△AEC①若FHEEAC∵∠BAD∠B，AEHBEC∴FHEECB∴EACECB∴BCBE ∵AB4，BC∴BE9BExDNyy2x4∴DN1②若FHEECAEGAC交于点O∵ENEC，EGCN∴12∴FHE1∴FHE2∴EOCO∵AB=4，BC=3，AEEOAO即AEEO AE4kAO5k∴k5∴AE5，BE3 ∴DNDGNGAEBEDN11时VFHE与△AEC方法四仰角俯角问题(解直角三角形的应用)例题1（2025•）AB（如图AECCDACEFAC，且CDEF1.7mDB的仰角为22FB的仰角为31CE32mAB的高度（结果取整数）．tan220.4tan310.6．ABAB的高度约为DFAB相交于点GRtVFGB和Rt△DGB求得GFtan和GDtan，再根据GFDFGDABAGGB1.738.440AB的高度约为40m0.6tan31tanGB32tan22tan31320.40.638.4tan32tanQGFDFGDtanGD在Rt△DGBtanGDBGBtanGF有GDB22GFB31DGB90AGEFCD1.7DFCE32例题2（2025•）ABACCB的俯角为30AB方60DDA的俯角为63.4AB之间的距离．（确到0.1米；参考数据：sin63.40.89，cos63.40.45，tan63.42.00 1.73分别解RtVACD,RtVABC，进行求解即可．在Rt△ACDACCDtan63.4120在Rt△ABCAB1203207.6例题3（2025）ABCD，EBCD19AE的俯角为22BDB15米到达C点，在CE的仰角为42DE的高度．（sin223cos2215tan222sin4227cos423，tan429

DE9EEFABFFBDE是矩形，解RtVAFEAF2 AF2xEF5x，则CD5x15BFED192x，解RtVEFD9192xx 5xED192xEEFABF，由题意得，∠1∠222342BC15mAB19mAF2xEF5x则CDBDBCEFBC5x15BFEDABAF192x∴DE19259m 5x 19在RtVEFDtan3ED∵DEFBB90∴FBDE,EFBD 在RtVAFEtan2AF方法五坡度坡比问题(解直角三角形的应用)例题1（2026•）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为20cm，深为30cmA，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i1:5，则AC的长度是 A． B． C． D．【答案】【答案】BBDAC，交CADAD60cmBD60cm，根据i15CD300cmACBBDAC，交CAD∵每级台阶高为20cm，深为30cm∴AD60cm，BD60cm∵斜坡的坡度i15 ∴CD300cm∴ACCDAD30060240cm2（2026•）A处出发，先步行200mBB处坐缆车到达山顶CAB的坡角α16BC与水平面的夹角β37，这座山的高度CD296m，A，B，C，D在同一平面内．（参考数据：求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数BC的长（结果取整数【答案】(1)【答案】(1)(2)(2)【详解】（1）BBEAD在Rt△ABEAα16AB200m，BEABsinA2000.2856m．答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m（2）BBF⊥CD，DFBE56mQCD296mCFCDDF29656240m，在Rt△CBFCBFβ37sin 240400mBC的长约为400m3（25–26）AB为从一楼到二楼扶梯的离AD1.6m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BE（BEAF）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好AB的坡度为1:2.4AB的长度是13m．(1)B(2)求日光灯C到一楼地面的高度

1.732，结果精确到0.1m【答案】(1)B到一楼地面的高度为(2)日光灯C到一楼地面的高度为【分析】（1）BBHAFHBHxm，然后在RtVABH中，根据坡度的概念结合勾股定理（2）过点C作CPAFPBE于GDDICPIBHJBG3m，四BGPHADJHCDI30，然后在RtVCDI中，利用锐角三角函数解直角三角形．【详解】（1）BBHAFHBHxm∴BH

1∴AH2.4xm在RtVABHBH2AH2AB2，x22.4x2132，x5BH5mB到一楼地面的高度为5m（2）解：如图，过点C作CPAFPBE于GDDICPIBHJBG3mBGPHADJHCDI30PHBG3mIPJHAD1.6mAPDI，由（1）AH2.4x2.4512m，∴APAHPH12315m∴DIAP15m在在RtVCDItanCDICI∴CIDI·tanCDI153538.66m∴CPCIIP8.661.610.2610.3m答：日光灯C到一楼地面的高度为10.3m方法六相似+例题1（2026•）背景：AB测量过程：CA的仰角ACBA的像．CD16.5DE2EF1.6ACB63.4ABBEEFBEB、C、D、E任务：AB．（sin63.40.89cos63.40.45tan63.42.00ABAB为22【分析】先由VADB∽VFDEAB4xBD5x，再解Rt△ABCABCFED90FDE∴V∴EF=DE ∴1.6 ∴AB1.6 AB4xBD5xBCBDCD5x16.5在Rt△ABCtanACBABACB5x2（2026•）在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校sin26.6∘0.45，cos26.6∘0.89，tan26.6∘0.50）【答案】8【答案】8先由镜面反射的性质证明CDE∽△ABEBEAB的关系；再通过作辅助线构造直角三角形，利用仰AB的方程，求解得出树高．【详解】解：过点C作CFABF22AB3242ABAB7.582AB1.52.042.040.50QAFABBFAB1.5CF2.0BE2.04AB，且tan26.60.50BE4AB在Rt△ACFACF26.6tan26.6AF 则四边形CDBFCDBF1.5CFBDDEBE2.0BEQCDBD，ABBDCDEABE90．又QCEDAEB，CDDE 例题3（2026•）HBA落在地面上的GABBC2.8DE1.7米，EF0.85米，彤彤用测倾仪测得AGB53.3ABGFDEGF，G，B，C，E，FHB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53.30.80cos53.30.60tan53.31.34）【详解】解：根据题意可得ABG90，△ABC∽△DEFABDE ABBCDE5.6sin7HBHAABAGAB12.601】A字模型（5题1．（2024•山东济南）如图，在VABCABC90C30AABAP交BC于点E，连接DE，则下列结论中的是 A．BEC．S△EDC

B．DED．BD2BC【答案】【答案】ABC90C30得到ABDAP平分BACPACC30AECE,且30ABAD1ACDE QADAB，ABDQABC90，C30AC，证明EDC~ABCEDCDABDADABADBDAP平分EAC1BAC30AEECBAC60ABAD1QECDACB30，EDCABC90EDC∽ABCEDCDAB1 13 QEDBE，ABCDBEBD BD2BCBED2．（2025•吉林）如图，△AB0Ay＝

【答案】【答案】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ进而可求出△AOBk的值也可求出．【详解】解∵M、N0A∴AN1，AN1 AO AN 3SV3．（2026•）如图，在VABCDEBCDABE，点为CD的中点，连接AG与CE交于点F．若AGAC，则下列结论错误的是 FG

AE

CF

EF

【答案】【答案】∴FCGB，BDCD，BECE∵AGAC∴FGCACB DEBC，点G为CD∴FGCG1 ∴FG1 FGaAGAC4a∴AFAGFG3a∴FGa

1．A∵AGAC∴AGCACB∵AGCBBAG，ACBBCEACE∴BAGACE∴AEEFAF ∵BECE∴AEAF3a3 B∵AEEFAF3 AE12k，则CE16kEF9k∴CFCEEF16k9k7k∴CF

7C∴EF9k9 D故选4．（25–26）如图，在Rt△ABCC90，四边形CDEFAC15，BC10AFDE求正方形CDEFEG【答案】(1)证△EFB∽△ACBEFFBACBC151032EF3xFB2x，则CFEF3xBCBFCF5x10证VADG∽VACFDGCFADAC91535DG18【详解】（1）EFBACB90∴EF∥AC∴EF:FBAC:BC15:103:2EF3xFB2x，则CFEF3x∵BCBFCF5x10∴x2∴EF3x6即正方形CDEF的边长为6（2）解：由（1）CDCFEFDE6∴ADACCD9∵ADEACB90∴DG∥CF∴DG:CFAD:AC9:153:5∴DG18∴GEAEDG满足OPOQR2PQ两点为eO互为反演点，已知：如图2EBAF两点分别为eO的互VOEF∽VOAB△OABA90FE与eODBD是eO【答案】(1)【答案】(1)(2)ODOD即为半径，根据A的度数，再利用OE·OBR2，得出VODE∽VOBD，从而得出ODB90，【详解】（1）QEBAF两点分别为eOOE·OBR2,OA·OFOEOF 在VOEF与VOABQ （2）连接ODQAOEOEFAQOE·OBROB 在VODE与VOBD ODBOEDQODODBBD是eO02】8字模型（5题1．（2025•）A，B，C均在eO上，若A50，B65，则BOC的度数为 A． B． C． D．【答案】【答案】由圆周角定理得∠BOC2∠A100°，由三角形内角和定理得BOCCAB，求出C15，即可【详解】解：QA50BOC2A100QQBOCCABC15BOCC85，y1x

AO的延长线交函数y

x

，k0的常数）点A关于y轴的对称点A，点C关于x轴的对称点为C，连结CC交x轴于点B，连结AB，AA，AC，若VABC的面积等于6，则由线段AC，CC，CA，AA所围成的图形的面积等于 面积面积SVOBCSVOBCSVOAAAADxD，连接OA，OCkb结合11V V V b ka k3总有k16；O，A，C在同一条直线上，得 OD【答案】k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明AADxD，连接OA，OC，由题意设Aa,，C 1k2ab；可证VOAD∽VBCO，推出VADOOB；根据V ,1k2V 1 k2AaaCb,b，其中a0，b0 ∵ADBD，BCBD，AODCOB OD ∴VADO ∵

OB1,

1k2V

k 由点坐标可知a0，b0k0∴kb∵

11b1k26V

V

V

2a k2b12，即k2k120k3或k4（舍去）．则有k29；由题意得AOEAOE，COBCOB∴

1k29 ∵SVOAA2SVOADAC，CC，CA，AA所围成的图形的面积SVOBCSVOBCSVOAA10故答案为：103．（2025•）ABCDE为CDAEBCF，DFBEDFG．1，E为CDAEBBCDBE2CE·BCAB6EG如图2，点H在边AD上，若∠EBH∠BCD60，BE4EG2，线段AH的长 【答案】(1)①【答案】(1)①见解析；②51或5 ②先证明VDEM≌VCEBASA，再证明VCEF≌VDEADMBF，就可以证明VDMG∽VFBG，解∴AB∥CD，ABBC∴ABEBEC∵AEBBCD ∴BE2CE·AB∴BE2CE·BCADBG交于点M∴AD∥BC，ABBCCDAD6∴MDEBCEE为CD∴DECE1CD3BE2CE·BC3618∴BE32∵DEMCEB，DECE，MDEBCE∴DMBC6，MEBE32BMBEME62，VCEF≌VDEA，∴CFAD6∴BFBCCF12∵DM∥BF∴MGDM

1 ∴MG

11 MG 1 ∴MG1BM16222 ∴EGMEMG32222EG的长为2（2）ADBGNBD∴AD∥BC，ABADCDBC，BADBCD60∴△ABD和△BCD∴BDAB，BDE60∴BAHBDE60∵EBH60∴ABDEBHABDDBHEBHDBH，即HBAEBD∴AHDE∵BE4EG2EG1BGBEEG5设GNaENGNEGa1QDN∥BC，DN∥BFa

DNGNaDNDEEN

2a1，

5BCDNDN2a2a1 10aBC BF

10a5

2aDEADCF 2a1 2a

525，

525 ①当a525DE2a135 CDDECE3

5255 设CE2xBCCD5

5xEKBCK，则EKCEKB90EKECsinECKECsin603xCKECcosECK2xcos60xBKBCCK45x在RtVBEKBK2EK2BE2[45x]2(3x)222x

51，

5（舍去CE

51 555 AHDECDCE5

51 51 ②当a525DE2a135 CDDECE3

5255 CE

51，BCCD5AHDECDCE5

51

51 AH的长为51或51 4．（2026•江苏扬州•一模）1，在Rt△ABCBC0AOAOODBD、CD2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固RtVADEA按逆时针方向旋转，其中ACBAED90，若ABC30EAB边上AE并延长，使得CEEFAFBFACBF的形状，并说明理由．3，当RtVADEA90˚时，连接CDBEBEPAP交QAP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由．BEGGBEAM【答案】(1)【答案】(1)(2)AP1CDAPCD(3)1【分析】（1）由旋转证明△ACE是等边三角形，再证明CAF90，进而得到VAEFVBECAF∥CBACBFCAF90AP至点F，使PFAPBF，证明VAPEVFPBAEFB，C、B、F共线，再证明VABFVDAC，得到CD2AP，再由角度的互余关系证明FQC90，则问题可证；延长CBEGF，证明VAGE∽VCGBEGAE，再有MDAG EAGMAG90证明EAGAMD，再证明MADABFADABVMAD≌VFBAAMBFGBE【详解】（1）解：QRtVABCRtVADEACBAED90ABC30BAC60，ACAEQ点E落在AB

ACAECAE60，CEAC，AEC60QCEEF

QAEF180AEC120EAFEFA30CAFCAEFAE603090QAEAC1AB∴E是ABAEBE

和VBECCEEF，AEFBEC120EAFEBC30，AFCBEFAECB∴AF∥CBACBFQCAFCAEEAF603090ACBFAP1CD，且APCDAPF，使PFAPBFQPBEBPPE在VAPE和VFPBAPFPAPEFPBPEPBVAPEVFPBAEFB，PAEPFBQRt△ADE是绕点A逆时针旋转90DAECAB,DABCAE90，ADABQCADCABDABABFACBCAD在△ABF和△DACABADABFCADBFAEACAFCD，BFEACDQAF2APCD2AP

AP1CD，QACFACDQCBBFAQCB90AQC18090BAFBAFAPCD解：延长CBEG

是绕点A逆时针旋转90ADAB，ACAEEGAE ∵AGDM∴AMDMAG90∵EAGMAG∴EAGAMDQ∴EAGF∴AMDFQMADMABDABABFACBCABMAD∵ADAMBF∵GBE∴当BG1

AMBFBG1 当BG2BEAMBFBG2 AM1 或2【点睛】本题需要运用”倍长中线法”构造全等三角形和相似三角形，当BG2BEAMBFBG2 AM1 或2【点睛】本题需要运用”倍长中线法”构造全等三角形和相似三角形，BABEBGDCH，当GF1AF时，请直接写出VGFHDGBC于点MOE4，求CM【答案】(1) 【答案】(1)VGFH的面积为1【分析】（1）ADBC，得到EADAEB，再通过平分的性质BAEEAD，ABBCBGDCH，作GTBCBC于点TVABE、△FCEECx，通过勾股定理求出各个边长，通过GF1AFx再通过相似求出GT，后通过平行相似得VABG~VFHGABBC时，过点G作GQCD于Q，设CEyEF

2y，GFGE

2yy4GF22GQ2，根据平行得出VABG∽VFHG FH1，利用三角形面积公式即可得VGFH先通过矩形的性质得VABE、△FCE、△ADFECaOE4条件求出OE42a，再平行相似得VABG~VFHG得出a的值，最后以点C 解析式，求出点M坐标，即可求出CM的长．∴AD∥BC∴EADAEBAE平分BAD∴BAEEAD∴BAEAEB∴VABE∴BABEABBCBGDCH，作GTBCBC于点ADBCABDFABDCABCDCB90．由（1）可得VABEABC90，∵AB2∴AE2AB22△FCEECxEF∵点GEF

2x∴EGGF1EF 2x ∵GF1AF∴GF1AEEF2x122 x4

2x∴EC4，EF42，EGGF22∴AGAEEG42GTBC，点GEF∴GT1EC2．∵AB∥DF∴VABG∽VFHG∴ABAG422 2∴FHAB∴

1FHGT112 ABBC时，过点G作GQCD于QAE22△CEF设CEyEF∵GF1AF

2y，GFGE

2y∴AE52y22y4∴GF

2y

2422 ∵CFE45∴VGFQ∴GQ

2GF

2222 FHGF1FH1 ∴FH1∴ 1FHGQ1121

22 VGFH的面积为11解：∵由（2）可得VABE、△FCE为等腰直角三角形，AB2ECa，∴AE

2AB22，EF

2EC

2a∵点GEF∴EGGF1EF 2a ∵OE4 ∴OE4EF42a ∴AD∥BC，ABDC2∴同理：△ADF∴ADDFDCCFABCE2a∵AD∥BC∴AOAD2a 2AO2aOE 4222

a2a42a 4282a82a42a2 42a2162a420 a24a50a1a50a11a25（舍∴CFCE1∵以点C∵点GEF∴点GxFxE,yFyE，即点G11 2 DGykxbk0∴CM2y0x2，即点M20k521kb203】母子相似模型（5题1．（2024•重庆梁平）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABCB在第一象限，点CxyDEAB、OADyk(x0k0)BC交于点GDC点F在DC上，且DF:FC3:1，连结DE、EF．若VDEF的面积为6，则k的值 FFP⊥BCPPF0AQ0ABC0Q=PC，PQ=0C=2b，证明△CFP∽△CDBCP=FPCFCP= ADFQ–S△ADE–S△EFQ=6，求得ab

S∴CP=FP=CF CP=FP1

，FP=bEQ=E0–0Q=a–

=a，FQ=PQ–PF=2b–b=7b ∴SADFQ–S△ADE– 可得 则 故答案为 2．（2024•）如图1ABDEABCBDE，点CBDACDE，AB∥CEFACAFCEBFDFDF交CE于点GBFDF如图2，若ACECDFCECFBFDG(3)如图3，若延长BF恰好经过点E， 的值【答案】(1)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）证明VABF≌VCAEBFAEAFDEAEDF （3）证明△ABF∽△CEFABAFABxAFCEmx【详解】（1）Q DE,ABBDEACB,ABCDCE,BACQABCABCBDEACBABAC,CE在VABF和VCAEAF又QBACABBFQCEDE,AFAFQAFDE,ACAFDEAEBFACEQACECFGF 又QACGFCFGF CFDG

又QDECEDFCFDG，即CECFBF ACBQACBBCAB Q CEABAF ABCFAFCEABxAFCEmx(xmx15m（负值舍去BCAB1 3．（2025•山东泰安ABCD0AAGBDBD、于点GEEB2EGEA连接CGBECECGEDBC【答案】（1）见解析；（2）【答案】（1）见解析；（2）∵AG∴EBEG ∴EB2∴CE2EG∴CEEA ∴CGE4．（2025•）（1）如图，点CABDEABADCEBACAD 如图，点CABDEABADCECBE90ADCABDAC3BC16，求tanCDB如图，△ABD中，点CAB边上，且ADCBAC3BC16EBD边上，连接CEBCEBAD180CE12BE 【答案】（1）见解析；（2）【答案】（1）见解析；（2）8；（3） 【分析】（1）ACAD，可证△ADC∽△BCE，根据ADCECBE可得ADCECB根据ADCECBE90ADCABD，可得到△ADC∽△ABD，从而求出相应的线段长度，得到tanCDB的值；根据ADCABD△ACD∽△ADBAD△BEH【详解】解：（1）DCADCEECB180DCAACDA180，ADCE∴ADCECB∵AB∴ACAD (2)BD与CE交于点G∵ADCDBA，AA∴ACAD

25AD5∴DC

34，DB534设DBACDAα∴CDG902α∴CGD2α∴GCBGBCα∴CGGB设CGGBxDG534x∴342x2534x x834∴tanCDBCG8 （3）∴∴ADCDCABCE，∴BEHACD∵EHEC，EHCECBADCDCA，BADC∴BEEH54 一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．∵BCEBAD180，ADCDCABAD180，ECEH12 ∴AD ∵ADCB，AA5．（2024•陕西西安）E处有一棵小树．他们想利用皮DE236016340332米（米x601633x591.6即设EF为x米，DF 3x米，DE23x米QBEFC90QACBECDVABC∽VEFCABBC QCDE120EDF6004】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（5题1．（2024•）202462日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合AB点，再垂直下降到着陆点CBD点的俯角为36.87AD17BD10米．求CD【答案】(1)CD8(2)AB点的时间为4.5BBE∥CDADE，根据余弦值求出CD【答案】(1)CD8(2)AB点的时间为4.5BBE∥CDADE，根据余弦值求出CD【详解】（1）BBE∥CDADE，DBE36.87，BDC36.87在△BCDC90BD10QcosBDCCDCDBDcos36.87100.808即CD8ACAD2CD215QsinBDCBCBCBDsin36.87100.606ABACBC1569即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．2．（2025•）A处出发，先步平面的夹角β37，这座山的高度CD296m，A，B，C，D在同一平面内．求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解直角三角形的应用–––BBEADEBEBBF⊥CDFDF，进而求出CF【详解】（1）B【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解直角三角形的应用–––BBEADEBEBBF⊥CDFDF，进而求出CF【详解】（1）BBEADE在Rt△ABEAα16AB200m，BEABsinA2000.2856m，答：小明一家步行上升的垂直高度约为56mDFBE56mQCD296mCFCDDF29656240m，在Rt△CBFCBFβ37sin 240400mBC的长约为400m3．（2026•山东临沂•一模）DA点的仰角为23.5．在测角仪和大门之间水平光滑的地EDA在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得CE2米．已知测角仪的高度CD1A，B，C，D，EB，E，C在同一条水AB的高度．（1sin23.50.40cos23.50.92，tan23.50.43【答案】13【答案】13【分析】根据光的反射定律，可得AEBDECBE2ABDFABFBFCD，在RtVADF中利用23.5DDFAB根据题意可知根据题意可知AEBDEC在Rt△CDEtanDECCD1 ∴tanAEBAB1 BFCD1在RtVADFtan23.5AF，即x10.432x4．（2026•）DE，如图，BC是长为15m的斜坡，坡角为36.5，坡底CD的距离为37mABAE的仰角为sin36.50.59，cos36.50.80，tan36.50.74，sin42.70.68，cos42.70.73，tan42.70.92DEDE的高度约为【分析】如图，解RtVBCFBF、CFAHDG，再解Rt△AEHEHDEDGGHEHABAHDEHBGDE于点GABDC的延长线FBF⊥CD，AHBGDF，ABGH1.5m，BFDG在RtVBCFsinBCFBFcosBCFCFBC15mBFBCsinBCF15sin36.5150.598.85m，CFBCcosBCF15cos36.5150.8012m，又QCD37m，AHDFCDCF371249m，DGBF8.85mQEHAHtanEAH49tan42.7490.9245.08mDEDGGHEH8.851.545.0855.43m，答：电视塔DE的高度约为55.43m．在Rt△AEHtanÐEAHEHAH49m5．（2026•江苏徐州•一模）DE1.7mA，B，CAB，DEFCAB．（参考数据：sin72.50.95，cos72.50.30，tan72.53.17【答案】【答案】BGBGBHcosHBG490.34.9m∴EGEHGH5.38915.5220.909m∵AEG45∴△AEG∴AGEG20.909m∴ABAGBG20.9094.916m∴GHsin72.5490.954915.52m∴HBGEDH72.5∵sinHBGGHsin72.5，cosHBGBGcos72.5∴BHBDDH221749m 1.717m ∴EHtan72.51.73.171.75.389m，DH∵tanEDHEHtan72.5，cosEDHDEcos72.505】坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（5题1．（2026•）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所BC的水平距离为20mABCD，水平距离均为5mDE已知坡度铅直高度，试根据上述信息解决以下问题：求主坡道的铅直高度CG高为车库上方横梁到坡道的垂直距离AK【答案】(1)(2)①2.7mEF【分析】（1）（2）①EEP^BGPBC【答案】(1)(2)①2.7mEF【分析】（1）（2）①EEP^BGPBCMMMSCGS，根据锐角三角函数，结合已知数据求解【详解】（1）BC的水平距离为20m∴在Rt△CGHCGCG0.12 ∴CG0.12202.4m答：主坡道的铅直高度CG为2.4m（2）解：①∵缓坡道CDBC1∴在RtVDICDIDI10.12 DI510.120.3m∴AK2.40.32.7mAK为2.7mEFEPAK2.7mMPGSMSBGDE，CMSCBGαMSDE522517m，在RtVCMSCSMStanα170.122.04m∴MPGSCGCS2.42.040.36m∴MEEPMP2.70.362.34m∵EF⊥BC，EP^BG∴FEM90EMF90BMPMBPα∴EFMEcosα2.340.992.3166m∵2.31662.22．（2026•山西忻州•一模）①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于1.5m（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于1.2m．入户台阶总高度为0.3m入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为6mAB0.3m，坡道起点ACDE1.5mAB0.3m，坡道起点ACDE1.5m（终CDDB为两段式折结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中BE m，该方案 (2)【分析】（1）过点C作CMBE于点MDM12CM3.6BEDEDMBM6.66（2）CEDEDGEDABP，推导出GPAC1.5mAPCGBPEFBFEPAPCGxmBPEF0.3xmtanCDGtanDBF1DG12CG12xmDP

12BP120.3xmDPDG1.5m，得到120.3x12x1.5BFEDDP1.52.554.05过点C作CMBE于点M，如图，CMAB0.3，BMAC1.5Q轮椅通行坡道的坡度为1:12

1DM12CM3.6BEDEDM1.53.66.66BE6.6m（2）CEDEDGEDABGPAC1.5mAPCGBPEFBFEP．APCGxmBPEF0.3xm．∵轮椅通行坡道的坡度为1:12∴tanCDGtanDBF1EPBF∴DBFBDP∴tanBDP1∴DG

12CG12xm，DP

12BP120.3xm∵DPDG1.5m∴∴120.3x12x1.5．解得x0.0875．∴DP120.30.08752.55m∴BFEDDP1.52.554.05m∵4.0563．（2026•）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估2AB表示风电架，小陈在点C（BC在同一直线上）的仰角ACB为37．他从点CDA的仰角ADE为32，山坡CD的坡度i1∶2DBC的距离为4m．AB的高度约为DEABFDFABDDHBCBCH出CH8，设ABxmAB的高度约为DEABFDFABDDHBCBCH出CH8，设ABxm，则AFx4m，利用正切分别得出BC ，DFx4，然后根据线段DEABFDFABDDHBCBCHDHBFDH4DHBF4,DFBHQi1:2DH1 CH8ABxmAFx4m在Rt△ACBABC90ACB37QtanACBABBC

在RtVADFAFD90ADF32QtanADFAFDF

x4

x4，BHDFx4QBHBCCH8x4

8 x52AB的高度约为52m4．（2026•）2026ABA45˚的斜上方处；当谷爱凌到达B点时，无人机恰好飞到她正上方D处．已知坡道AB的坡度为 ，坡长AB60米无人机水平飞行距离CD20米，求无人机离地面的高度BD的长 1.732，结果保留整数【答案】62AAM地面于点M，过点C作CNNAFHAFBM边形CDFHAB的坡度为1:3AMxBM

3xx30AMBM303米，再求出CHAH30320BDDFBFAAM地面于点M，过点C作CNNAFHAFBM、四边形CDFHAFBMAMBFCDHF20CHDFQAB的坡度为1:3AM:BM1:3AMxBM

3xAB AB2BM22xQAB602x60，x30AM30BM303BFAM30AFBM303AHAFHF30320QtanCAHtan45CHCHAH30320DFCH30320BDDFBF303203030310625．（2026•）ABAB旁有一小山坡CD，测得山坡CDi（即tanα）为

CD32mA处的仰角为75CA处的仰角为求DACAB的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数【答案】(1)【答案】(1)(2)2483【分析】（1）过点C作CFABF，由三角形内角和定理得BAC60，在Rt△ABDADB75，可得BAD15，从而可求出DAC（2）过点C作CEBDEDDGAC于点G，求出CE16m，再求出CG16mDG163mAC16163mAF1AC883mAB【详解】（1）解：过点C作CFABF则AFC90∵ACF30∴CAF180903060在Rt△ABDADB75ÐABD90∴BAD1809075∴DACBACBAD601545（2）解：过点C作CEBDEDDGAC于点G∵i1:3∴tanαCE1 ∴α30设CExDE

3x在RtVDCECD32mDE2CE2CD2∴3x2x2322x16（负值舍去∴CE16m∵CFAB,FBBE,CEBE∴四边形CFBE∴FBCE16m∵CFAB,FBBE∴CF∥BE∴DCFCDE30∴DCADCFFDA303060又又ADB75∴ADC180ADBCDE180753075DGAC，即DGC90，且ACD60∴CDG180906030∴ADG45在Rt△CDGCD32mCDG30∴CG1CD16mDGCD2DG2322162163m，又DACADG45，AGDG163m∴ACAGCG16316m∴AF1AC883m∴ABAFFB883162483m06】相似+解直角三角形综合（3题1．（2026•）2060103公里，是广东省最AB、CB处测AB与河岸的夹角α为20，在点CAC与河岸的夹角β为45B、C100(1)求该段运河的宽度（即VABCBC边上的高（0.1sin200.34cos200.94tan200.36【答案】(1)(2)【分析】（1）AADBCDADxmBD

0.36xBC100m（2）AABBCC，作CEBC，测量CECDBD的长度，通过相AB的长度．ADxmABD20在Rt△ABD∵ABD20，AD∴BD

x在Rt△ACD∵β45∴ADCDxm∵BCCDBD∴100x

x∴x56.25∴ADCD56.3m∴河的宽度约为56.3m（2）2，AABBCC，作CEBC2．（2026•）【问题背景】万佛楼，为重檐歇山式三层砖木结构建筑（1）．ABF处．【测量数据】MKN37，DE1KF5BK60.6cos0.8tanAB．ABAB18FFG⊥AB于点GKKHFGH，根据sin37HKBGHK3明VAGF∽VCDEFFGAB于点GKKHFGHBGHKBGHK，HGBK6，FG∥BNKFGMKN37sin37HK0.60HK0.60BGHKFH FK2HK24FGFHHG4610，AGGFAG10 AG15 ABAGBG153183．（2026•河南•一模）0学生（身高1.7m，眼睛高度约为1.6m）A手持45三角板，一条直角边平行地面（水平），另一条竖直向上，调整头部使“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端C”共线（视线与地面夹角为45），A、OB（居民楼底部）三点共线．3．将平面镜向后平移到点O1A1此时手持30三角板，一条直角边平行地面（平），另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端C线（视线与地面夹角为30）测出两次镜子间距离OO1AD1.6m，两次镜子间距离OO140m请你根据上面的活动求出居民楼的高度．（结果精确到0.1m

1.41

1.73∵BO1BOOO140∴3xx40x203154.6m．答：居民楼的高度约为54.6m（2）3BC ∴OB（2）【详解】（1）BCxm，由题意知CBODAO90，由光的反射原理得BOCAOD，∴△BOC∵D45∴AODD45BOCBCO∴OBBCx3xx40△BO1C∽△A1O1D1，得出BO1CA1O1D130，则O1B3BC3x【答案】(1)(2)【分析】（1）BCxm，证明△BOC∽△AOD，根据D45，得出OBBCx1．（25–26九年级上•安徽亳州•期中）如图，在VABC中，D，E是边AB的三等分点，F，G是边AC三等分点，若△ADF的面积为m，则四边形EBCG与△AEG的面积差是（ A． B． C． D．【答案】【答案】D、E、F、GABACDFEGBCADAEAB123，即可证得【详解】解：QDEF、GABACDF∥EG∥BC，AD:AE:AB1:2:3SVADF:SVAEG:SVABC1:4:9QVADF的面积是mEBCG与△AEG的面积是5m和4mEBCG与△AEG的面积差是5m4mm，2．（2024•）ABCDEFB的对应点MADCNMN与CDPABCDEFBMDP＝1 AE的值 【详解】解：如图，延长MNBC交于点Q∴△DMP∽△CQP ∴QC2MD，QP2MPDPaMDx，则CP2aQC2xABCD边长为3a∴BQ3a2xEMPEBC90，EMEB3aAE∴EMBEBM∴MQBQ3a2x∴MP1MQ3a2x 在Rt△DMPMD2DP2MP23a2x∴x2a2 故答案 3936∴AM3a12a3a 在Rt△AEMAE2AM2EM2∴AE2(3a)2(3aAE36a∴BEEM3a36a39a x0（舍），x12a3．（2024•江苏盐城）如图，在ABC中，AB=AC=4，BC43，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90至ED，连接CE，则CDE面积的最大值为 CD=x，AAZBCZ，BBNACN，E作EMCA BNNC，证出△MED△NDBCD=x，AAZBCZ，BBNACN，E作EMCA∴ZC

23

422

2

90∴AZBN ∴2

BN23 4根据勾股定理得AN∴NC6

AB2BN2

422

2根据题意可得BDE90，即可得到NBDMDE,QBDD顺时针旋转90BD∴△MED△NDB∴ME=DN=CN-CD=6x∴

1CDME16xx1x23x

x

21 2

19+33=9 BCAB、AC上．求证2，【答案】（1）证明见试题解析【答案】（1）证明见试题解析【详解】（1）∵EGHFEFHG中EFAK即x80x 解得x，BCx80y y802xssxyx(802x)2x280x5．（2025•吉林长春）如图，在VABCACB90AC6AB10DABEABAE18，连接CD、CEcosECD的值为（2）∵（2）∵DAB ∵AA，AEAC ∴AE53，AB10【详解】（1）AC6AB10AE18（2）先根据斜边上的中线性质得到CD1AB，再根据相似三角形的性质得到AECACB90利用勾股定理计算出CE （1）AEAC3，加上A(2)24【答案】(1)∵∵DEC90∴cosECDCE524 36 5 18∴CE62∴AECACB90∴CD1AB56．（2023•VABC中，BC12AD6EFGHBCEFAB,ACADEFNAN的长．【答案】【答案】EFGHEFEHxEHDNDNx，根据正方形的性质EFBC，推出VAEF∽VABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．EFGHEFEHxQEFGHHEFEHG90,EFBCVAEF∽VABCQAD是VABCHDN90EHDNDNEHxANEF（相似三角形对应边上的高的比等于相似比 QBC12,AD6AN6x6xx AN6x642【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定【答案】40.8CCH⊥ABN，BDCNCN＝BD，BN＝CD＝0．8，BD＝CN＝x，BG＝22+x，AN＝CN•tan39˚＝0．8x，AB＝0．8x+0．8，x，即可得到结果．CCH⊥ABN，BDCN【答案】40.8CCH⊥ABN，BDCNCN＝BD，BN＝CD＝0．8，BD＝CN＝x，BG＝22+x，AN＝CN•tan39˚＝0．8x，AB＝0．8x+0．8，x，即可得到结果．CCH⊥ABN，BDCN 解得0.8x 22∴AB＝0.8508＝40.8（米将VADEAE翻折得到△AFEBFDC于点G当0α45时，求DBG的度数用含α的式子表示EDGBFFG，求α【答案】(1)【答案】(1)DBG2(3)【分析】1根据翻变换的性质可以得到ADEAFE45，DAEEAFVEO（A，AOEO，加上对顶角相等得到的AOEBOF证明出：VAOE∼VBOFSAS 2如图2EGEC证明△DEG

【详解】（1）如图1AFBD于点OQABCDABAD，BAD90ABDADB45ADEAFE45，DAEEAFABEAFE45QAOBEOF~VEO（A，AOBO AOgFOEOgBOAOEO QAOEBOF~VBO（SA，DBGEAFDAEα（2）DG

理由：如图2EGECQABCDDADC，ADECDE45QDEDEDAEDCEQEBGDAEEBGECGCEGCBGQCBGCGB90，CGBBECCEGBEC90BEGDEG90QEDG45EGDEDG45DGDG

2DE2（3）如图2BFFGQBEG90EFFBFGQDEEFEGEFEGFGFGE60EBG30αDAEEBG30D是VABCBCAD．AD平分BACBDAB 如图②，若BAD2DAC180BD1AD32AB【答案】(1)(2)【答案】(1)(2)AB42（1）BBEACADE，由平行线的性质和角平分线的定义推出EBADBEAB，判定VBDC∽VCDABDBEBDAB （2）延长BA到E，过D作 AB交AC于F，得到AFDCAE，由平角的定义得到DACCAE因此AFDDACADDF，判定△CDF∽△CBA，推出CDBCDF:ABADAB 【详解】（1）BBEACADBD1ADAB34AB∴EBADAD平分BAC∴BADDAC∴EBAD∴BEAB∴BE∥AC∴BDBE ∴BDAB AB交AC于∴AFDCAE∵BAD2DAC180，BADDACCAE180∴DACCAE∴AFDDAC∴ADDF∴ AB∴△CDF∽△CBA∴CD:BCDF:ABAD:AB∴BD1 ∴CD:BC3:4∴AD:AB3:4∴AD32∴AB4210．（2025•广东深圳）【数学眼光】如图a【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图bAB通过小孔OABABABAB上点C的像是点CAB∥ABACAC 【数学语言】（2）如图cAABABACBBBEABAOE，连接CCBEFQ∠AEBEOF （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（COAC，CO ACBC ACBC QAB∥AB【详解】（1） AB于点GEFGCGCACACGC （2）ACACBBEABAOECCBEFE作【答案】（1）见解析；（2）E作CCAB于点GAC QEG∥CC由（1）EFACEFGC QACGCACACAC 11．（2024•黑龙江哈尔滨）