2026年中考数学二轮复习 高频考点08 几何中基础证明24大题型专练

高频考点 几何中基础证明专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一全等三角形相关证明11223345考点三相似三角形相关证明考点四圆中相关证明11223344每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+5道中考闯关题已知条件，利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL证明两个三角形全等；三角形模型识别与证明；5.实际情境3~8分，属必拿分基础题；6~10分，利用AA、SAS、SSS判定定理，证含A型、X型、母子型等相似模型偏难核心考点，选择、填空、解答题4~12分，是几何综合题的基础；垂直条件；4.证明切线后，利用切线6~10分，径”两种核心证明思路，渗透几何建模与逻辑推理考点一全等三角形相关证明4命题点011】（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“1，已知𝐴𝐶,𝐵𝐷相交于𝑂，𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐶=𝑂𝐷【答案】【答案】②【分析】利用“边边边”证明𝐴𝐵𝐶𝐵𝐴𝐷由正确步骤①知𝐴𝑂𝐷𝐵𝑂𝐶，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶，因为𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐶=𝑂𝐷．所以𝐷𝐵=𝐶𝐴，在𝐴𝐵𝐶𝐵𝐴𝐷𝐵𝐶=𝐴𝐵=𝐵𝐴𝐶𝐴=所以𝐴𝐵𝐶直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷E，F．(1)𝐴𝑂𝐸(2)若𝐶𝐷=𝐷𝐹=3，𝐴𝐷=5，求𝑂𝐸【答案】【答案】(1)(2)2【分析】（1）由平行四边形的性质得𝐴𝐵∥𝐶𝐷，则∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴，由中点的定义得𝐴𝑂=𝐶𝑂，由对顶角相等得∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹，即可由ASA△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹；由勾股定理求出𝐴𝐶

，再由勾股定理求出𝑂𝐹，由（1）中△𝐴𝑂𝐸≌△𝑂𝐶=得𝑂𝐸=𝑂𝐹∴∠𝐵𝐴𝐶=∵O是𝐴𝐶∴𝐴𝑂=在𝐴𝑂𝐸𝐶𝑂𝐹∠𝐸𝐴𝑂=𝐴𝑂= ∠𝐴𝑂𝐸=∴△𝐴𝑂𝐸≌△（2）解：∵𝐴𝐶𝐶𝐷，𝐶𝐷=𝐷𝐹=3，𝐴𝐷=∴在Rt△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶 𝐴𝐷2−𝐶𝐷2 52−32=∵O是𝐴𝐶∴𝑂𝐶

1𝐴𝐶=在Rt△𝑂𝐶𝐹中，𝐶𝐹=𝐶𝐷+𝐷𝐹=6，𝑂𝐶=∴𝑂𝐹 𝑂𝐶2+𝐶𝐹2 22+62=2由（1）知𝐴𝑂𝐸∴𝑂𝐸=𝑂𝐹=2=(1)𝐴𝐵𝐶(2)若𝐷𝐸=8，求𝑂𝐶【分析】（1）根据平行四边形的性质得出𝐵𝐶=𝐴𝐷，𝐴𝐷𝐵𝐶，即可得∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐵，结合𝐴𝐸=𝐴𝐵，根（2）根据平行四边形的性质得𝑂𝐶=1𝐴𝐶，根据全等得𝐴𝐶=𝐷𝐸=8∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，𝐴𝐷∥∴∠𝐸𝐴𝐷=在𝐴𝐵𝐶𝐸𝐴𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐷𝐵𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△（2）解：∵𝐴𝐶、𝐵𝐷交于𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝑂𝐶=由（1）中全等三角形对应边相等，得𝐴𝐶=∵𝐷𝐸=∴𝐴𝐶=∴𝑂𝐶=×8=03】（2026·陕西西安·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷𝐵𝐶D，E为𝐴𝐶边上一点，连接𝐵𝐸交𝐴𝐷F，且𝐵𝐹=𝐴𝐶，𝐷𝐹=𝐷𝐶．求证：𝐴𝐷=𝐵𝐷．【分析】证明Rt𝐵𝐷𝐹≌Rt𝐴𝐷𝐶(HL)，即可证明𝐴𝐷=【详解】证明：∵𝐴𝐷∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=在在Rt𝐵𝐷𝐹和Rt𝐴𝐷𝐶𝐵𝐹=𝐷𝐹=𝐷𝐶∴Rt△𝐵𝐷𝐹≌Rt△∴𝐴𝐷=命题点022】（2026·湖北荆州·模拟预测）在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，作∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐷【答案】(1)(2)【分析】（1）（2【答案】(1)(2)【分析】（1）（2𝐵𝐶𝐷𝐵𝐶【详解】（1）（2）∵𝐷𝐺垂直平分∴𝐴𝐺=𝐵𝐺，∠𝐵𝐺𝐷=𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶=∴𝐷𝐺=𝐵𝐷=在Rt𝐵𝐷𝐺和Rt𝐵𝐷𝐶𝐷𝐺=𝐷𝐶∴∴Rt△𝐵𝐷𝐺≌Rt△∴𝐵𝐺=∴𝐴𝐺=1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形𝐴𝐵𝐶【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，作𝐴𝐵𝐶【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，作𝐴𝐵𝐶（2）先计算𝐴𝐵𝐶的面积，根据题意，取格点𝐺，连接𝐵𝐺,𝐶𝐺【详解】（1）𝐷𝐸𝐹（2）解：如图所示𝐵𝐶𝐺∵𝐴𝐵∵𝐴𝐵 12+22=5，𝐵𝐶 22+42=25，𝐴𝐶 32+42=∴𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵𝐶∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×5×25=∵𝐵𝐺=𝐶𝐺 12+32=∴𝐵𝐺2+𝐶𝐺2=𝐵𝐶𝐺∴𝑆△𝐵𝐶𝐺𝐵𝐺2=𝐵𝐶𝐺的面积与𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶𝐺02】（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷E在边𝐵𝐶上，连接(1)尺规作图：作∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐸，𝐶𝐹交线段𝐴𝐷F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母(2)𝐴𝐵𝐸【答案】【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）首先由正方形的性质得到∠𝐵=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐶𝐷，然后根据ASA𝐴𝐵𝐸𝐶𝐷𝐹∴∠𝐵=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐶𝐷．在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中，∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐵=∠𝐵=∴△𝐴𝐵𝐸≌△03】（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的7×7𝐴𝐵𝐶中，𝐴，𝐵两点为格点，𝐶1中，作出△𝐴𝐵𝐶的重心2中，取𝐵𝐶的中点𝑀，连接𝐴𝑀𝐶𝑁𝑀【答案】【答案】(1)(2)得𝐴𝐸=𝐵𝐸；取格点𝑀,𝑁，使得𝐴𝑀=𝑀𝑁=1，过点𝑀的格线交𝐴𝐶于𝐹，易得𝐹𝑀∥𝐶𝑁，则有=𝐴𝑀=即𝐶𝐹=𝐴𝐹；连接𝐶𝐸,𝐵𝐹，则点𝑃𝐴𝐵𝐶（2）取格点𝑃,𝑄，使得𝐵𝑄=𝑄𝑃，过点𝑄的格线交𝐵𝐶于𝑀，易得𝑀𝑄∥𝐶𝑃， =𝐵𝑄=1，所以𝐵𝑀=即点𝑀为𝐵𝐶的中点；连接𝐴𝑀并延长，交格线𝐸𝐹于点𝑁𝐴𝑁𝐾中，易知𝑀𝑇∥𝑁𝐾，且𝐴𝑇=𝐾𝑇，则𝑁𝑀=1，即𝐴𝑀=𝑁𝑀，结合∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐵𝑀𝐴𝐶𝑁𝑀【详解】（1）解：如图，点𝑃命题点0303】（2025·浙江杭州·三模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐸𝐴𝐶E，𝐶𝐷𝐴𝐵(1)𝐴𝐸𝐵(2)若∠𝐸𝐵𝐶=35°，求∠𝐴𝐵𝐸【答案】【答案】(1)（（1）先证明∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，再证△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝐷𝐶（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠𝐴𝐶𝐵，再根据等边对等角求得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=55°∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，在△𝐴𝐸𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴=𝐴𝐵=∴△𝐴𝐸𝐵≌△（2）∠𝐵𝐸𝐶=90°,∠𝐸𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝐸𝐵𝐶=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶=55°−35°=𝐴𝐵𝐸的度数是01】（2025·湖南长沙·模拟预测）B在线段𝐴𝐶上，∠𝐴=∠𝐸，𝐷𝐴=𝐵𝐸，𝐴𝐵=(1)𝐴𝐵𝐷(2)若∠𝐷=20°，∠𝐶=115°，求∠𝐷𝐵𝐸【答案】【答案】(1)（1）利用SAS𝐴𝐵𝐷𝐷𝐴=【详解】（1）证明：在𝐴𝐵𝐷𝐸𝐶𝐵∠𝐴=∠𝐸𝐴𝐵=∴△𝐴𝐵𝐷≌△（（2）𝐴𝐵𝐷𝐸𝐶𝐵,∠𝐷=20°,∠𝐶=∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐷=20°,∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶=∴∠𝐷𝐵𝐸=180°−∠𝐸𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷=180°−20°−115°=02】（2026·浙江杭州·一模）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵=∠𝐶=90∘，点𝐸在𝐵𝐶上，𝐴𝐵=𝐸𝐶,𝐵𝐸=(1)求证：𝐴𝐸=(2)已知𝐴𝐵=2,𝐶𝐷=3，求△𝐴𝐸𝐷【答案】【答案】(1)【分析】（1）证明𝐴𝐵𝐸𝐸𝐶𝐷(SAS)（2）根据△𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐶𝐷得到𝐸𝐶=𝐴𝐵=2，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐷𝐶，根据勾股定理求出𝐴𝐸=𝐷𝐸 𝐶𝐸2+=13，证明∠𝐴𝐸𝐷=90°【详解】（1）证明：在𝐴𝐵𝐸𝐸𝐶𝐷𝐴𝐵=∠𝐵=∠𝐶𝐵𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐴𝐸=（2）解：𝐴𝐵𝐸∴𝐸𝐶=𝐴𝐵=2，∠𝐴𝐸𝐵=∵∠𝐶=90°，𝐶𝐷=∴在Rt△𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐸 𝐶𝐸2+𝐶𝐷2 22+32=∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=∵∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐷𝐸𝐶=180°−∠𝐶=∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐷𝐸𝐶=∴∠𝐴𝐸𝐷∴∠𝐴𝐸𝐷=180°−(∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐷𝐸𝐶)=∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=2𝐴𝐸⋅𝐷𝐸=2×13×13=2===在线段𝐵𝐶上，将线段𝐴𝐷A90度得线段𝐴𝐷′，连接(1)求证：∠𝐵𝐶𝐷′=(2)若∠𝐵𝐴𝐷=15°，求𝐵𝐷【答案】【答案】(1)(2)【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，线段𝐴𝐷A逆时针旋转90°得到根据旋转的性质得到𝐴𝐷=𝐴𝐷′，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷′△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐷′，∠𝐴𝐶𝐷′=∠𝐵，得到=∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐷′=（2）由勾股定理求出𝐵𝐶=22，过点𝐴作𝐴𝐸𝐵𝐶于点𝐸，则𝐴𝐸=𝐵𝐸=1𝐵𝐶=2，求出𝐷𝐸=3𝐵𝐷=𝐵𝐸−𝐷𝐸【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，∠𝐶𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=由题意得：𝐴𝐷A90度得线段𝐴𝐷′，则：𝐴𝐷=𝐴𝐷′，∠𝐷𝐴𝐷′=∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐷′=∴∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐷=在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷′𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷′𝐴𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷≌△∴∠𝐴𝐶𝐷′=∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐵𝐶𝐷′=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷′=45°+45°=∴𝐵𝐷=𝐵𝐸−𝐷𝐸=2−3∴𝐷𝐸=2=∴2=∴𝐴𝐸=又∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=45°+15°=过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，则𝐴𝐸=𝐵𝐸=1𝐵𝐶=（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐷=15°，∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐷𝐴𝐶=90°−15°=在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2 22+22=2如图，在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷，𝑃分别为𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，连接𝐵𝐷，𝐸为𝐵𝐷的中点，过点𝐷𝐷𝑀𝐵𝐶，垂足为点𝑀，交𝐸𝑃的延长线于点𝑁，连接(1)若𝐴𝐵=8，求𝐸𝑃(2)证明：𝐶𝐷=(3)当𝐴𝐸

时，求 的值【答案】【答案】(1)𝑃𝐸=(2)(3)𝑆△𝐴𝐸𝐷=【分析】（1）根据题意可得𝑃𝐸是△𝐵𝐶𝐷的中位线，推出𝑃𝐸=1𝐶𝐷=1𝐴𝐶，结合𝐴𝐵=𝐴𝐶=8（2）连接𝑃𝐷，根据题意可得𝑃𝐷𝐴𝐵𝐶

，推 ，进而得到𝑃𝐷=𝐶𝐷，结𝐶𝐷= 𝑃𝐷=𝐷𝑀𝐵𝐶推出𝑃𝑀=𝐶𝑀，由𝑃𝐸𝐵𝐶𝐷的中位线，推出∠𝑃𝑁𝑀=∠𝐶𝐷𝑀𝑃𝑁𝑀𝐶𝐷𝑀，根据全（3）根据𝐷为𝐴𝐶的中点，得到𝑆△𝐴𝐵𝐷=1𝑆△𝐴𝐵𝐶，再根据𝐸为𝐵𝐷的中点，得到𝑆△𝐴𝐸𝐷=1𝑆△𝐴𝐵𝐷 【详解】（1）∵𝑃为𝐵𝐶的中点，𝐸为𝐵𝐷的中点，𝐷为𝐴𝐶∴𝑃𝐸是𝐵𝐶𝐷的中位线，𝐶𝐷=

∴𝑃𝐸

2𝐶𝐷

∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=∴𝑃𝐸

1𝐴𝐶=（2）证明：连接∵𝑃为𝐵𝐶的中点，𝐷为𝐴𝐶∴𝑃𝐷𝐴𝐵𝐶的中位线，𝐶𝐷=

∴𝑃𝐷

∵𝐴𝐵=∴𝑃𝐷=∵𝐷𝑀⊥∴𝑃𝑀=∵𝑃𝐸是𝐵𝐶𝐷∴𝑃𝐸∥∴∠𝑃𝑁𝑀=在𝑃𝑁𝑀𝐶𝐷𝑀∠𝑃𝑁𝑀=∠𝑃𝑀𝑁=∠𝐶𝑀𝐷=90°𝑃𝑀=∴△𝑃𝑁𝑀≌△∴𝐶𝐷====2 =×2∴ =∵𝐸为𝐵𝐷=∴（3）∵𝐷为𝐴𝐶如图，在𝐴𝐵𝐶中，D是𝐵𝐶边上的一点，𝐸是𝐴𝐷A点作𝐵𝐶的平行线交𝐶𝐸的延长线于点𝐹，且𝐴𝐹=𝐵𝐷，连接𝐵𝐹；(1)求证：𝐵𝐷=

1 请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于

(2)△𝐴𝐵𝐷,△𝐴𝐶𝐷,△𝐴𝐵𝐹,△【分析】（1）先证明𝐴𝐸𝐹𝐷𝐸𝐶，可得𝐴𝐹=𝐶𝐷∴∠𝐴𝐹𝐸=∵𝐴𝐸=𝐷𝐸,∠𝐴𝐸𝐹=∴△𝐴𝐸𝐹≌△∴𝐴𝐹=∵𝐴𝐹=∴𝐵𝐷=（（2）𝐴𝐵𝐷𝐴𝐶𝐷𝐴𝐵𝐹𝐴𝐶𝐹∵𝐵𝐷=∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐶𝐷=∵𝐴𝐹∥𝐵𝐶，𝐴𝐹=∴𝑆△𝐴𝐵𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐷=∵𝐴𝐹∥∴𝑆△𝐴𝐶𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐹=如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷E、F分别在边𝐴𝐷、𝐶𝐷上，且𝐴𝐸𝐶𝐹．连接𝐵𝐸、𝐵𝐹，延长𝐵𝐹交𝐴𝐷的延长G．(1)𝐴𝐵𝐸(2)若𝐴𝐵=4,𝐴𝐸=3，求𝐷𝐺【答案】【答案】(1)（2）先证明𝐷𝐺𝐹𝐶𝐵𝐹∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴=∵𝐴𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝐵𝐶=∵𝐴𝐸=𝐶𝐹=∴𝐷𝐹=𝐶𝐷−𝐶𝐹=∵𝐴𝐷∥∴∴△𝐷𝐺𝐹∽△∴𝐷𝐺= ∴𝐷𝐺= ∴𝐷𝐺=考点二一.中考通用证明思路(万能步骤1：逐级升级(最稳妥，不易扣分①有直角/②邻边相等/2：直接判定(条件充足时快速用)二、高频隐藏条件&角平分线+平行→等腰三角形(边相等全等三角形→转移边、转移角(四边形大题必考结合全等命题点0105】（2026·北京通州·一模）如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，点𝐸，点𝐹分别是𝐵𝐶，𝐴𝐶

𝐴𝐷=(2)若𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10，求𝐷𝐸∴∴在Rt△𝐴𝑂𝐷中，𝑂𝐷 𝐴𝐷2+𝐴𝑂2=∴𝐴𝑂=𝐴𝐹=∴𝐴𝐹=𝐴𝐶=4∵点𝐹是𝐴𝐶的中点，𝐴𝐷=𝐴𝐵=（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=∴在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶 𝐵𝐶2−𝐴𝐵2=∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹，𝐴𝐷=∵𝐴𝐷=∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵，𝐸𝐹=【分析】（1）根据三角形中位线定理可得𝐸𝐹𝐴𝐵，𝐸𝐹=1𝐴𝐵，进而证明𝐴𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐷=𝐸𝐹【答案】(1)(2)𝐸𝐷=2∴𝐸𝐷∴𝐸𝐷=2𝑂𝐷=201】（2026·贵州遵义·一模）𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸𝐵𝐶交边𝐴𝐶于点∠𝐵=(2)当四边形𝐷𝐸𝐹𝐵是菱形时，𝐴𝐵=10，𝐵𝐶=8【答案】【答案】(1)【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由∠𝐵=∠𝐸𝐹𝐶得出𝐵𝐷𝐸𝐹，再结合已知条件𝐷𝐸𝐵𝐶“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形𝐷𝐸𝐹𝐵（2𝑥【详解】（1）𝐵=∴𝐵𝐷∥𝐸𝐹，又𝐷𝐸𝐵𝐶，设𝐷𝐸=𝐵𝐷=𝑥，由𝐴𝐵=10得：𝐴𝐷=∵𝐷𝐸∥∴△𝐴𝐷𝐸∽△∴𝐴𝐵= =解得：𝑥=902】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷=90°E在𝐵𝐶𝐴𝐸𝐷𝐶，𝐸𝐹𝐴𝐵(2)若𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶,𝐵𝐸=5，cos𝐵=5，求𝐵𝐹和𝐴𝐷【答案】【答案】(1)【分析】（1）由题意易得𝐴𝐷𝐶𝐸（2）由（1）及题意易得𝐸𝐹=𝐶𝐸=𝐴𝐷，然后由𝐵𝐸=5,cos𝐵=5【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷=∴𝐴𝐷∥∵𝐴𝐸∥∴𝐶𝐸=∵𝐸𝐹𝐴𝐵，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐸𝐹=∴𝐸𝐹=𝐶𝐸=∵𝐵𝐸=5,cos𝐵=∴𝐵𝐹=𝐵𝐸⋅cos𝐵=5×=∴𝐸𝐹∴𝐸𝐹 𝐵𝐸2−𝐵𝐹2=∴𝐴𝐷=𝐸𝐹=03】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为𝑂的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹G，H分别在边𝐶𝐷上，且不同于正六边形的顶点，𝐶𝐻=证明：四边形𝐵𝐺𝐸𝐻【答案】(1)(2)16π−8【答案】(1)(2)16π−8∴𝐵𝐶=𝐸𝐹=𝐶𝐷=𝐴𝐹=𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐶=∠𝐷=∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，又𝐶𝐻=𝐹𝐺，∴△𝐵𝐶𝐻≌△∴𝐵𝐻=∵𝐶𝐷=𝐴𝐹，𝐶𝐻=∴𝐶𝐷−𝐶𝐻=𝐴𝐹−𝐹𝐺，即𝐷𝐻=∴△𝐷𝐸𝐻≌△∴𝐸𝐻= −43−43 −8 120×4扇形（2）解：如图，连接∴∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐹=120°，𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐹=3𝐴𝐵2=4∴𝑂𝐵=𝑂𝐴=𝑂𝐹=𝐴𝐵=𝐴𝐹=4，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐹=∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=∴△𝐴𝑂𝐵≌△=∴𝑂𝐵=𝑂𝐴=𝑂𝐹，∠𝐵𝐴𝐸命题点02(2)若已知∠𝐴𝐷𝐶=120°，𝐴𝐷=12，求四边形𝑂𝐸𝐹𝐺【答案】【答案】(1)(2)18【分析】（1）由菱形的性质可得𝐴𝑂𝐶𝑂，进而可得𝑂𝐸𝐴𝐵𝐷的中位线，推出𝑂𝐸∥𝐴𝐵，依次证明四边（2）根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出𝑂𝐸=𝐴𝐸=6，再在Rt𝐸𝐹𝐴中，解直角三角形求得𝐸𝐹=33，最后根据矩形面积公式即可求解．∴𝐴𝑂=∵E是𝐴𝐷∴𝐴𝐸=∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝑂𝐺⊥∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝑂𝐺𝐵=∵∠𝐸𝐹𝐺=（2）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐷=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=12，𝐴𝐶⊥∴∠𝐴𝑂𝐷=90°，∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐷𝐴𝐵=∵∠𝐴𝐷𝐶=∴∠𝐷𝐴𝐵=∵E是𝐴𝐷∴𝑂𝐸=𝐴𝐸

1𝐴𝐷=∵∠𝐸𝐹𝐴=在Rt△𝐸𝐹𝐴中，𝐸𝐹=𝐴𝐸sin60°=3∴𝑆𝑂𝐸𝐹𝐺=𝑂𝐸×𝐸𝐹=33×6=18并延长至点𝐹，使𝐸𝐹=𝐷𝐸，连接(2)过点𝐸作𝑀𝐸𝐷𝐹交𝐴𝐷于点𝑀，若𝐴𝐹=10,tan∠𝐶𝐴𝐵=4，求𝑀𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷为𝐵𝐶∴∠𝐶𝐴𝐷=四边形𝐴𝐷𝐵𝐹∴𝐴𝐷∥𝐵𝐹,𝐴𝐸=【详解】（1）证明：∵在Rt△𝐴𝐵𝐷中，点𝐸为𝐴𝐵∴𝐷𝐸=𝐵𝐸=∵𝐷𝐸=四边形𝐴𝐷𝐵𝐹在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷为𝐵𝐶∴𝐴𝐷⊥∴∠𝐴𝐷𝐵=平行四边形𝐴𝐷𝐵𝐹（2）解：如图，过点𝐴作𝐴𝐺𝐷𝐹于= 由勾股定理得𝐴𝐹 𝐴𝐺2+𝐺𝐹2=10𝑥=10，证明△𝐷𝑀𝐸∽△𝐷𝐴𝐺（2）过点𝐴作𝐴𝐺𝐷𝐹于𝐺，由tan∠𝐶𝐴𝐵=4，设𝐴𝐺=3𝑥，则𝐸𝐺=4𝑥,𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐸𝐹=5𝑥，则𝐺𝐹=𝑥【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出𝐷𝐸=𝐵𝐸=𝐴𝐸边形推出𝐴𝐷𝐵𝐹为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出∠𝐴𝐷𝐵=90°【答案】(1)∴𝑀𝐸=3×9= ∴𝐴𝐺=𝐷𝐺=5𝑥+4𝑥=∴𝐴𝐹 𝐴𝐺2+𝐺𝐹2=10𝑥=∴𝑥=∴𝐴𝐺=3𝑥=∵𝑀𝐸⊥𝐷𝐹,𝐴𝐺⊥∴∴△𝐷𝑀𝐸∽△∴tan∠𝐴𝐸𝐹=tan∠𝐶𝐴𝐵=𝐸𝐺=设𝐴𝐺=3𝑥，则𝐸𝐺=4𝑥,𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐸𝐹=5𝑥，则𝐺𝐹=∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐹=∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐴𝐷𝐸=2∠𝐷𝐴𝐸=F，且𝐴𝐸=(1)求证：𝑂𝐴=【答案】【答案】(1)(2)【分析】（1）证明𝐴𝑂𝐸𝐵𝑂𝐹(AAS)（2）根据平行四边形的性质结合（1）【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸𝐵𝐷，𝐵𝐹∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐵𝐹𝑂=∵∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝐹，𝐴𝐸=∴△𝐴𝑂𝐸≌△∴∴𝑂𝐴=（2）证明：由（1）知𝑂𝐴=∵∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=∴𝐴𝑂=𝑂𝐵=𝑂𝐶=∴𝐴𝐶=03】（2026·云南玉溪·一模）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐸和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐶𝐸交于点𝐸，(2)若𝐴𝐷=6，∠𝐴=120°，求四边形𝐵𝐸𝐶𝐹【答案】【答案】(1)(2)9【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠𝐵𝐸𝐶=90°（2）根据平行四边形的性质可得𝐵𝐶=𝐴𝐷=6，∠𝐶𝐵𝐸=30°30𝐶𝐸=3，再根据勾股定理可得𝐵𝐸=33∴𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐶𝐵=∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐵= ∴∠𝐵𝐸𝐶=180°−(∠𝐸𝐵𝐶+∠𝐸𝐶𝐵)=180°−(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐶𝐵)=∴∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐵𝐶=𝐴𝐷=∴∠𝐴𝐵𝐶=180∘−∠𝐴=∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=∵∠𝐵𝐸𝐶=∴𝐶𝐸=𝐵𝐶=×6= ∴𝐵𝐸 𝐵𝐶2−𝐶𝐸2=3𝑆矩形𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐵𝐸𝐶𝐸=33×3=9命题点03【典例𝐵𝐸>𝐸𝐷，𝐴𝐸=(2)点𝐹是边𝐵𝐶上一点，𝐴𝐹与𝐵𝐷相交于点𝐺，若𝐵𝐺⋅𝐵𝐸=𝐴𝐵⋅𝐵𝐹，求证：𝐴𝐵2=𝐵𝐸⋅【答案】【答案】(1)(2)【分析】（1）连接𝐴𝐶交𝐵𝐷于点𝑂，利用等腰三角形的性质证明𝑂𝐸𝐴𝐶（2）根据题意得到𝐵𝐸=𝐵𝐹，证明△𝐴𝐷𝐺∽△𝐹𝐵𝐺，推出𝐵𝐸=𝐴𝐷=𝐴𝐵 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=∵𝐴𝐸∵𝐴𝐸=∴𝑂𝐸⊥四边形𝐴𝐵𝐶𝐷（2）𝐵𝐺𝐵𝐸=𝐴𝐵∴𝐵𝐸=𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵=∴△𝐴𝐷𝐺∽△∴𝐴𝐷=∴𝐵𝐸=𝐴𝐷=∴𝐴𝐵2=𝐵𝐸⋅ 【变式𝐸,𝐹，垂足为𝑂，𝑂𝐸=𝑂𝐹．连接(2)已知𝐴𝐵=4，延长𝐵𝐶到点𝐺，使𝐶𝐺=𝑂𝐶，连接𝑂𝐺，∠𝐺=15°，若点𝐸是𝐵𝐶的中点，求△𝐸𝑂𝐺【答案】【答案】(1)(2)23【分析】（1）利用𝐸𝐹是𝐴𝐶的垂直平分线，得到𝐴𝐶𝐸𝐹且𝐴𝑂𝐶𝑂，结合𝑂𝐸𝑂𝐹先证四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行⊥∴𝐴𝐶⊥𝐸𝐹,𝐴𝑂=∵𝑂𝐸=∵𝐴𝐶⊥（2）解：在菱形𝐴𝐸𝐶𝐹中，𝑂是𝐴𝐶的中点，∠𝐶𝑂𝐸=∴𝑂𝐸是𝐴𝐵𝐶则𝑂𝐸=1𝐴𝐵=∵𝐶𝐺=𝑂𝐶,∠𝐺=∴∠𝐶𝑂𝐺=15°，则∠𝑂𝐶𝐸30°，∴∠𝑂𝐸𝐶=如图，过点O作OH⊥BC于∴∠EOH=则HE=1OE=∴OH=OE2−HE2=22−12=同理，在RtOEC中，CE=4，OC=23，则CG=23，∴EG=CE+CG=4+2 =1×(4+23)×3=2302】（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸在对角线𝐷𝐵的延长线上，𝐴𝐹𝐵𝐷于点𝐹，过点𝐸作𝐸𝐺∥𝐵𝐶交𝐴𝐹的延长线于点𝐺，且𝐸𝐺=𝐴𝐷，连接𝐷𝐺．(2)若∠𝐵𝐴𝐹=45°，∠𝐹𝐺𝐸=60°，𝐴𝐵=42，求线段𝐵𝐸【答案】【答案】(1)(2)𝐵𝐸=4（2）根据sin∠𝐵𝐴𝐹=sin45∘=𝐵𝐹=𝐵𝐹=2，求出𝐵𝐹=4，根据tan∠𝐹𝐺𝐸=tan60°=𝐸𝐹=𝐸𝐹=3𝐹𝐸=43

4

∴𝐴𝐷∥∵𝐸𝐺∥∴𝐴𝐷∥∵𝐸𝐺=四边形𝐴𝐸𝐺𝐷∵𝐴𝐹⊥平行四边形𝐴𝐸𝐺𝐷（2）解：∵𝐴𝐹∴∠𝐴𝐹𝐵=在Rt△𝐴𝐵𝐹中，sin∠𝐵𝐴𝐹=sin45∘=∴𝐵𝐹=在Rt△𝐴𝐵𝐹中，sin∠𝐵𝐴𝐹=sin45∘=∴𝐵𝐹=4∴𝐴𝐹=𝐵𝐹=∴𝐺𝐹=𝐴𝐹=又∵∠𝐹𝐺𝐸= =2在Rt△𝐸𝐹𝐺中，tan∠𝐹𝐺𝐸=tan60°=𝐸𝐹=𝐸𝐹= ∴𝐹𝐸=4∴𝐵𝐸=𝐸𝐹−𝐵𝐹=403】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，过对角线𝐵𝐷O作𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，分别交𝐵𝐶(2)若𝐴𝐷=2𝐴𝐵=8，求𝐷𝐹【答案】(1)(2)𝐷𝐹=（2）设𝐷𝐹=𝑥，则𝐴𝐹=𝐴𝐷−𝐷𝐹=8−𝑥，𝐵𝐹=𝑥，在Rt△𝐴𝐵𝐹【详解】（1）∴∠1=∵O为𝐵𝐷∴𝐵𝑂=∵∠𝐵𝑂𝐸=∴△𝑂𝐵𝐸≌△∴𝐵𝐸=又∵𝐸𝐹（2）解：设𝐷𝐹=∵四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是菱形，𝐴𝐷=2𝐴𝐵=8，∠𝐴=∴𝐴𝐹=𝐴𝐷−𝐷𝐹=8−𝑥，𝐵𝐹=在Rt𝐴𝐵𝐹由勾股定理得，𝐵𝐹2=𝐴𝐵2∴𝑥2=42+(8−𝑥)2，解得𝑥=5，∴𝐷𝐹=命题点0408】（2026·江苏盐城·一模）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，点𝐸是边𝐶𝐷𝐴𝐸，过点𝐶作𝐶𝐹𝐴𝐸于点𝐹，交𝐴𝐷G，且∠𝐸=(2)F是𝐴𝐸的中点，且𝐶𝐸=42时，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷【答案】【答案】(1)【分析】（1）根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐵=𝐵𝐶得平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，再根据𝐶𝐹∠𝐸=∠𝐶𝐺𝐷，可以证明∠𝐶𝐺𝐷∠𝐸𝐶𝐺=90°，从而得出∠𝐶𝐷𝐺=90°（2）连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，根据𝐶𝐹𝐴𝐸于点𝐹，点𝐹为𝐴𝐸的中点得𝐶𝐹为线段𝐴𝐸的垂直平分线，则𝐴𝐶=𝐶𝐸=8【详解】（1）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐵=平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∵𝐶𝐹⊥∴∠𝐸∠𝐸𝐶𝐺=90°，又∵∠𝐸=∠𝐶𝐺𝐷，∴∠𝐶𝐺𝐷+∠𝐸𝐶𝐺=∴∠𝐶𝐷𝐺=180−(∠𝐶𝐺𝐷+∠𝐸𝐶𝐺)=菱形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐶𝐹𝐴𝐸于点𝐹，点𝐹为𝐴𝐸𝐶𝐹为线段𝐴𝐸∴𝐴𝐶∴𝐴𝐶=𝐶𝐸=4四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐶=𝐵𝐷=4正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐶·𝐵𝐷=×42×42= 01】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐶𝐵90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，D是𝐴𝐵的D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶E，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶F，连接𝐸𝐹．(2)若𝐴𝐶=6，求𝐸𝐹【答案】【答案】(1)(2)3利用等腰直角三角形的性质推导𝐶𝐸=𝐶𝐹，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形．（2）因为四边形𝐸𝐷𝐹𝐶是正方形，所以𝐸𝐹与正方形的边长有关；先根据𝐴𝐶6和等腰直角三角形的性质、【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷𝐸𝐴𝐶，𝐷𝐹∴∠𝐶=∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐹𝐶=∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=又∵𝐷𝐸𝐴𝐶，𝐷𝐹∴𝐸𝐶∴𝐸𝐶=𝐴𝐶，𝐶𝐹= ∴𝐶𝐸=（2）解：∵𝐴𝐶=6，∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，∴𝐸𝐶=𝐴𝐶=3，𝐹𝐶=𝐵𝐶= 在Rt△𝐸𝐶𝐹中，∠𝐶=90°，由勾股定理得𝐸𝐹 𝐸𝐶2+𝐶𝐹2 32+32=302】（2026·陕西咸阳·一模）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐵𝐷E，连接𝐶𝐸，∠𝐶𝐷𝐸=135°，F在线段𝐵𝐷上，连接𝐶𝐹，𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸．(2)若𝐴𝐵=

𝐷𝐸=【答案】【答案】(1)(2)8（1）由平行四边形的性质得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶，由角平分线的定义得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶𝐷𝐵，则𝐵𝐶=𝐶𝐷，再求出∠𝐴𝐷𝐶=2×∠𝐶𝐷𝐵（2）根据正方形得𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=4和𝐵𝐷 𝐴𝐵2+𝐴𝐷2，进一步求得𝐷𝐸和𝐵𝐸=𝐷𝐸+𝐷𝐵，证△𝐶𝐷𝐹∽△𝐸𝐵𝐶，即有𝐸𝐵=𝐵𝐶，求得𝐷𝐹 ∴𝐴𝐷∥∴∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐷𝐵𝐶∴∠𝐷𝐵𝐶=∴𝐵𝐶=又∠𝐶𝐷𝐸=则∠𝐶𝐷𝐵=180°−135°=∴∠𝐴𝐷𝐶=2×∠𝐶𝐷𝐵=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=∴𝐵𝐷 𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=4∴𝐷𝐸=𝐵𝐷=2，𝐵𝐸=𝐷𝐸+𝐷𝐵=5∵∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸，∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝐵𝐸=∴△𝐶𝐷𝐹∽△则𝐸𝐵=𝐵𝐶， =4 5∴𝐷𝐹=58𝐶𝐷，𝐷𝐴上的动点，且𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺= 【答案】【答案】(1)4个三角形全等，由全等三角形性质得到四边（1）由正方形的性质得出∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴，证出𝐴𝐻=𝐵𝐸=𝐶𝐹=证明𝐴𝐸𝐻𝐵𝐹𝐸𝐶𝐺𝐹𝐷𝐻𝐺(SAS)，得出𝐸𝐻=𝐹𝐸=𝐺𝐹=𝐻𝐺，∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐴𝐸𝐻∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐵𝐹𝐸，证出四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形，再证出∠𝐻𝐸𝐹=90°（2）设四边形𝐸𝐹𝐺𝐻S，𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺=𝐷𝐻=𝑥，则𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐺=𝐴𝐻=8−𝑥，由勾股定理得出𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻=𝐸𝐹2=𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=𝑥2+(8−𝑥)2=2(𝑥−4)2+32，Sx∴∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=∵𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺=∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐺=∴△𝐴𝐸𝐻≌△𝐵𝐹𝐸≌△𝐶𝐺𝐹≌△∴𝐸𝐻=𝐹𝐸=𝐺𝐹=𝐻𝐺，∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐵𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝐻=∵∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐴𝐸𝐻=∴∠𝐵𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝐻=∴∠𝐻𝐸𝐹=（2）设𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺=𝐷𝐻=𝑥，则𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐺=𝐴𝐻=8−𝑥，𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻=𝐸𝐹2=𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=𝑥2+(8−𝑥)2=𝑥2+𝑥2−16𝑥+64=2(𝑥−4)2∴当𝑥=4时，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻面积取最小值，最小值为命题点0509】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①概念理解：如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，如果𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐶𝐵=𝐶𝐷，那么四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是垂美四边形吗？请说问题解决：如图②，已知𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵＝1，𝐵𝐶＝2，∠𝐴𝐵𝐶＝150°，求垂美四边形𝐴𝐵𝐶𝐷【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：𝐴𝐵2+𝐶𝐷2=𝐵𝐶2+𝐴𝐷2【分析】（1）先利用𝑆𝑆𝑆𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶，再根据全等性质的得出∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴，然后证明𝐴𝐶𝐵𝐷，（2）先证明∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐵=90°，再利用勾股定理列出式子：𝐴𝐵2=𝑂𝐴2𝑂𝐴2+𝑂𝐷2，𝐶𝐷2＝𝑂𝐷2+𝑂𝐶2，𝐵𝐶2＝𝑂𝐵2+𝑂𝐶2∵𝐴𝐵2+𝐶𝐷2，𝐴𝐷2+𝐵𝐶2，证明𝐴𝐵2＝𝐴𝐷2先利用邻补角的意义求出∠𝐴𝐵𝑀，再利用三角形面积公式分别求得𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐷𝐶，再求出四边形的在𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶𝐴𝐵=𝐶𝐵=𝐶𝐷𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴∵∴𝐶𝑂⊥即𝐴𝐶性质探究：𝐴𝐵2+𝐶𝐷2＝𝐴𝐷2由题可知𝐴𝐶𝐴𝑂𝐷＝∠𝐶𝑂𝐷＝∠𝐶𝑂𝐵＝∠𝐴𝑂𝐵＝90°，在Rt△𝐴𝑂𝐵中，𝐴𝐵2＝𝑂𝐴2+𝑂𝐵2，在Rt△𝐴𝑂𝐷中，𝐴𝐷2＝𝑂𝐴2在Rt△𝐶𝑂𝐷中，𝐶𝐷2＝𝑂𝐷2+𝑂𝐶2，在Rt△𝐵𝑂𝐶中，𝐵𝐶2＝𝑂𝐵2∵𝐴𝐵2+𝐶𝐷2＝𝑂𝐴2+𝑂𝐵2+𝑂𝐷2+𝑂𝐶2，𝐴𝐷2+𝐵𝐶2＝𝑂𝐴2+𝑂𝐷2+𝑂𝐵2∴𝐴𝐵2+𝐶𝐷2＝𝐴𝐷2如图，连接𝐴𝐶，过𝐴作𝐴𝑀𝐵𝐶于点∵∴在Rt△𝐴𝐵𝑀中 𝐴𝑀=2𝐴𝐵= ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶•𝐴𝑀=∵△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝑆△𝐴𝐷𝐶＝𝑆△𝐴𝐵𝐶=∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷＝𝑆△𝐴𝐷𝐶+01】（2026·青海西宁·一模）在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐸是𝐴𝐷的中点，过点作𝐴𝐹𝐵𝐶交𝐵𝐸的延长线于点(1)求证：𝐴𝐹=【答案】(1)【分析】（1）由平行线的性质可得∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐵𝐸𝐴𝐸𝐹𝐷𝐸𝐵(AAS)===【详解】（1）证明：∵𝐴𝐹∴∠𝐴𝐹𝐸=∴𝐴𝐸=在𝐴𝐸𝐹和𝐷𝐸𝐵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐵𝐴𝐸=∴△𝐴𝐸𝐹≌△∴𝐴𝐹=由（1）可得𝐴𝐹=∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐷是𝐵𝐶∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=∴𝐴𝐹=∵𝐴𝐹𝐵𝐶，即𝐴𝐹∵𝐴𝐷=02】（2026·上海虹口·二模）△𝐴𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸，∠𝐴𝐷𝐵=90°，延长𝐵𝐷交𝐶𝐸于点𝐹，交𝐴𝐶于点(2)如果∠𝐹𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐹，求证：2𝐴𝐷2=𝐹𝐺⋅【答案】【答案】(1)(2)合𝐴𝐵𝐴𝐶、𝐴𝐷=𝐴𝐸，用SAS△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得到∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=90°；接着结合∠𝐷𝐴𝐸=90°，判定四边形𝐴𝐷𝐹𝐸是矩形，最后根据邻边𝐴𝐷=𝐴𝐸，得出四边形𝐴𝐷𝐹𝐸为正方形；（2）连接𝐴𝐹，先由（1）中正方形𝐴𝐷𝐹𝐸的性质，结合勾股定理得到𝐴𝐹2=2𝐴𝐷2的角度关系和外角定理，推导出∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐹𝐴𝐹𝐺𝐵𝐹𝐴 ，交叉相乘后结合𝐴𝐹2=2𝐴𝐷2，证得2𝐴𝐷2=【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷=∵在𝐴𝐵𝐷𝐴𝐶𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=∴△𝐵𝐴𝐷≌△∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=∵∠𝐷𝐴𝐸=90°,∠𝐴𝐷𝐹=180°−∠𝐴𝐷𝐵=∵𝐴𝐷=（2）证明：连接∴𝐴𝐷=𝐷𝐹，∠𝐴𝐷𝐹=90°，∠𝐴𝐹𝐵=由勾股定理得：𝐴𝐹2=𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=𝐴𝐷2+𝐴𝐷2=∵𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶=90°∴∠𝐴𝐵𝐶=45°∠𝐴𝐵𝐹∠𝐹𝐵𝐶=∵∠𝐹𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴𝐶𝐹=∵由（1）𝐸𝐶𝐵𝐹，即∠𝐵𝐹𝐶=∴∠𝐶𝐹𝐺=∠𝐵𝐴𝐺=∵∠𝐴𝐺𝐹𝐶𝐺𝐹∴∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐶𝐹𝐺+∠𝐴𝐶𝐹=90°+在𝐴𝐹𝐺∠𝐴𝐺𝐹=180°−∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐹𝐴𝐺=180°−45°−∠𝐹𝐴𝐺=∴90°+∠𝐴𝐶𝐹=整理得∠𝐴𝐶𝐹∠𝐹𝐴𝐺=∵∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴𝐶𝐹=∴∠𝐹𝐴𝐺=∵在𝐴𝐹𝐺和𝐵𝐹𝐴∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐹𝐵𝐴，∠𝐴𝐹𝐺=∴△𝐴𝐹𝐺∽△∴𝐹𝐺=𝐴𝐹，即𝐴𝐹2=𝐹𝐺·𝐹𝐵，代入𝐴𝐹2=

得：2𝐴𝐷2=03】（2026·浙江衢州·一模）1，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=5，对角线𝐴𝐶=7，∠𝐵𝐴𝐶=45°𝐷𝐸𝐴𝐶E，且𝐷𝐸<(2)2，连结𝐵𝐸，求𝐴𝐵𝐸的中线𝐴𝐹【答案】(2)【分析】（1）△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，得𝐷𝐸=𝐶𝐸，设𝐷𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=𝑥，𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=7−𝑥，在Rt△𝐴𝐷𝐸中根据勾股定理得(7−𝑥)2+𝑥2=52，求出𝑥的适当的值即可；（2）延长𝐴𝐹到点𝑀，使𝐹𝑀𝐴𝐹，连接𝐵𝑀𝐴𝐹𝐸𝑀𝐹𝐵(SAS)得𝐵𝑀=𝐴𝐸=4，𝐴𝐹=𝐹𝑀𝐴作𝐴𝑁𝑀𝐵交𝑀𝐵的延长线于点𝑁，求得𝐴𝑁=𝐵𝑁

=3，𝑀𝑁=𝑀𝐵𝐵𝑁=4+3=7得𝐴𝑀=58，可求出【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐵𝐶=5，∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=5，𝐴𝐵∥∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐸又∠𝐷𝐶𝐴=𝐶𝐷𝐸∴𝐷𝐸=设𝐷𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=∵𝐴𝐶=∴𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=在Rt△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐸2+𝐷𝐸2=∴(7−𝑥)2+𝑥2=52，解得𝑥=3或𝑥=4，∵𝐷𝐸<∴𝑥<解得𝑥<∴𝑥=∴𝐷𝐸=（2）解：延长𝐴𝐹到点𝑀，使𝐹𝑀=𝐴𝐹，连接∵𝐴𝐶=7，𝐶𝐸=𝐷𝐸=∴𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=7−3=∴𝐵𝐹=又∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑀𝐹𝐵，𝐴𝐹=∴△𝐴𝐹𝐸≌△∴𝐵𝑀=𝐴𝐸=4，∠𝐹𝐵𝑀=∴𝐵𝑀∥∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝑀=又∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐴𝐵𝑀=180°−∠𝐵𝐴𝐶=∵∠𝐷𝐸𝐶=90°,𝐷𝐸=𝐶𝐸=3,𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=∴𝐶𝐷=2𝐷𝐸=3∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=3过点𝐴作𝐴𝑁𝑀𝐵交𝑀𝐵的延长线于点𝑁，则∠𝐴𝐵𝑁=180°−135°=∴△𝐴𝑁𝐵是等腰直角三角形，𝐴𝑁=𝐵𝑁,𝐴𝑁2+𝐵𝑁2=∴𝐴𝑁=𝐵𝑁

=∴𝑀𝑁=𝑀𝐵+𝐵𝑁=4+3=在在Rt△𝐴𝑀𝑁中，𝐴𝑀 𝐴𝑁2+𝑀𝑁2 32+72=∴𝐴𝐹=2𝐴𝑀=2【答案】【答案】(1)(2)【分析】（1）根据菱形的性质得出𝐸𝐻=𝐻𝐺，根据中位线的性质可得𝐸𝐻=1𝐵𝐷，𝐻𝐺=1𝐴𝐶得出𝐴𝐶=（2）依题意得出𝐴𝐵𝐵𝐶=6,𝐴𝐵𝐵𝐶=8，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得𝐴𝐶=25，根据中【详解】（1）证明：如图，连接∴𝐸𝐻=∴𝐸𝐻=𝐵𝐷，𝐻𝐺= ∴𝐴𝐶=∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=6,𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=∴𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=(𝐴𝐵+𝐵𝐶)2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=62−2×8=∴𝐴𝐶=2∴𝐻𝐺=𝐴𝐶=5，即菱形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为2．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，对角线𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷B作𝐵𝐸𝐶𝐷交𝐷𝐶的延长EB作𝐵𝐹∥𝐸𝐷，交𝐴𝐶G，交𝐴𝐷F．F是𝐴𝐷的中点，𝐷𝐸=9，求𝐴𝐵【答案】【答案】(1)(2)𝐴𝐵=6【分析】（1）（2）证明𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶(AAS)，得到𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐴𝐹【详解】（1）∵𝐵𝐸∴∠𝐵𝐸𝐷=∵𝐵𝐹∥∴∠𝐵𝐹𝐷+∠𝐴𝐷𝐶=∵∠𝐴𝐷𝐶=∴∠𝐵𝐹𝐷=90°=∠𝐹𝐷𝐸=（2）解：∵F是𝐴𝐷∴𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐴𝐶=∵∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=∴在Rt△𝐴𝐵𝐹中，sin∠𝐴𝐵𝐹 = ∴∠𝐴𝐵𝐹=∵在矩形𝐵𝐸𝐷𝐹中，𝐷𝐸=∴𝐵𝐹=𝐷𝐸=∵cos∠𝐴𝐵𝐹=∴cos30°=𝐴𝐵=2∴𝐴𝐵=6得𝐸𝑂=𝐷𝑂，连接𝐵𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐸．𝐴𝐵𝐶30，且𝐴𝐵𝐵𝐶=17，求四边形𝐷𝐵𝐸𝐶【答案】【答案】(1)【分析】（1）先证明四边形𝐷𝐵𝐸𝐶是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得𝐵𝐷=𝐶𝐷（2）设𝐴𝐵=𝑥，𝐵𝐶=𝑦．则𝑥𝑦=17，𝐴𝐶=13，由勾股定理可得𝑥2+𝑦2=169，求出𝑥𝑦=60，即可得【详解】（1）点𝑂是𝐵𝐶∴𝑂𝐵=∵𝐸𝑂=𝐴𝐵𝐶是直角三角形，点𝐷是𝐴𝐶∴𝐵𝐷=四边形𝐷𝐵𝐸𝐶（2）解：设𝐴𝐵=𝑥，𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶的周长为30，𝐴𝐵𝐵𝐶=∴𝑥+𝑦=17，𝐴𝐶=在Rt△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝑥2+𝑦2=𝑥+𝑦=∴𝑥𝑦=∴𝐴𝐵=∵𝐷𝐸=∴𝐴𝐵=𝐷𝐸=∴𝑆四边形𝐷𝐵𝐸𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐷𝐸=2𝑥𝑦=2×60=考点三找成比例线段（SAS/SS用）由全等、平行推导线段相等/命题点01体𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，幕布𝐸𝐶⊥𝐵𝐶OED处．(1)𝐷𝐸𝑂∽(2)已知𝐸𝐶=1.6m，𝐷𝐶=1m，𝐴𝑂=2𝐷𝑂，求物体𝐴𝐵的高度（即线段𝐴𝐵的长【答案】【答案】(1)(2)𝐴𝐵=【分析】（1）根据题意得到𝐴𝐵𝐸𝐶（2）根据相似三角形的性质得到𝐴𝐵=2𝐷𝐸，结合图形得到𝐷𝐸=0.6m【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵𝐵𝐶，𝐸𝐶∴𝐴𝐵∥∴∠𝐸𝐷𝑂=∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐷𝐸𝑂=∴△𝐷𝐸𝑂∽△（2）解：𝐷𝐸𝑂∽∴𝐷𝐸=𝐴𝑂=∴𝐴𝐵=𝐸𝐶=1.6m，𝐷𝐶=∴𝐷𝐸=∴𝐴𝐵=01】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，过𝐷作𝐷𝐸𝐴𝐵于(1)𝑂𝐷𝐹(2)若𝐴𝐹=3，𝑂𝐵=4，求𝑂𝐹及𝐴𝐸【答案】(1)（1）由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，得𝐴𝐶𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂，又𝐷𝐸𝐴𝐵，所以∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷=90°∠𝐵𝐷𝐸∠𝐴𝐵𝑂=90°，∠𝐵𝐴𝑂∠𝐴𝐵𝑂=90°，得出∠𝑂𝐷𝐹=∠𝑂𝐴𝐷，然后通过相似三角形的判定方法即可

（2）由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，得𝑂𝐷=𝑂𝐵=4，又△𝑂𝐷𝐹∽△𝑂𝐴𝐷，所以𝑂𝐷=𝑂𝐴4=𝑂𝐹+7𝑂𝐹=3，在Rt△𝑂𝐷𝐹中，𝐷𝐹 𝑂𝐹2+𝑂𝐷2 32+42=5，再证明△𝐴𝐹𝐸∽△𝐷𝐹𝑂，所以𝐴𝐹=𝐴𝐸， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝑂=∴∠𝐴𝑂𝐷=∵𝐷𝐸⊥∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷=∴∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐴𝐵𝑂=90°，∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝐵𝑂=∴∠𝐵𝐷𝐸=∴∠𝑂𝐷𝐹=∵∠𝐷𝑂𝐹=∴△𝑂𝐷𝐹∽△∴𝑂𝐷=𝑂𝐵=∵△𝑂𝐷𝐹∽△∴𝑂𝐹=

∴𝑂𝐹 4 ∴𝑂𝐹=在Rt△𝑂𝐷𝐹中，𝐷𝐹 𝑂𝐹2+𝑂𝐷2 32+42=∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝑂，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝑂𝐹=∴𝐴𝐸=15（负值舍∴3∴𝐴𝐹=∴△𝐴𝐹𝐸∽△02】（2026·上海普陀·一模）如图，点𝐷是Rt𝐴𝐵𝐶斜边𝐴𝐵上的中点，点𝐸位于𝐴𝐶∠𝐴𝐷𝐸=(1)𝐴𝐵𝐶(2)若𝐴𝐷=26，𝐴𝐸=2，求𝐶𝐸【答案】【答案】(1)【分析】（1）由直角三角形的性质得𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐵𝐷，即得∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐴，又由∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵−∠𝐴得∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐶（2）由直角三角形的性质得𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐵𝐷=26，即得𝐴𝐵=46，再根据相似三角形的性质解答即可求【详解】（1）点𝐷是Rt△𝐴𝐵𝐶∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=∴∠𝐴=∵∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐴+𝐴𝐷𝐸∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐴，又∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵−∠𝐴，∴∠𝐵=∴△𝐴𝐵𝐶∽△（（2）解：点𝐷是Rt△𝐴𝐵𝐶斜边上的中点，𝐴𝐷=2∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐵𝐷=2∴𝐴𝐵=26×2=4∵△𝐴𝐵𝐶∽△∴𝐶𝐸=即46=2解得𝐶𝐸=6或𝐶𝐸=−8（不合题意，舍去𝐶𝐸的长为命题点0211】（2025·广东·二模）如图，已知在Rt𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶=(1)实践与操作：用尺规作图法在边𝐵𝐶上找一点𝑃，连接𝐴𝑃𝐴𝑃𝐶𝐵𝐴𝐶；（保留作图痕迹，不写(2)应用与求解：若𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=7𝐴𝐵𝐷的周长为16△𝐴𝐶𝐷【答案】【答案】(1)（1）本题要求用尺规作图找出使△𝐴𝑃𝐶∽△𝐵𝐴𝐶的点𝑃．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在Rt𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶=90∘，已有∠𝐶是𝐴𝑃𝐶和𝐵𝐴𝐶的公共角，所以只需作出∠𝑃𝐴𝐶=𝐵，就能满足相似条件，点𝑃（2）已知𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，根据三角形中线的定义，可得𝐵𝐷=𝐶𝐷𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐵=6，可先求出𝐴𝐷𝐵𝐷的值，再利用𝐵𝐷=𝐶𝐷，将𝐴𝐷𝐶𝐷的值求出，最后加上𝐴𝐶𝐴𝐶𝐷【详解】（【详解】（1）解：如图，作∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵，则点𝑃即为所求．（作法不唯一∵∴𝐵𝐷=𝐴𝐵𝐷16，𝐴𝐵∴𝐴𝐷+𝐵𝐷=∴𝐴𝐷+𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐶𝐷𝐴𝐶=10+7=17，即𝐴𝐶𝐷01】（25-26九年级上·广西桂林·期中）A，B，C，D𝐴𝐵=14km，𝐴𝐷=28km，𝐵𝐷=21km，𝐵𝐶=42km，𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐷𝐵𝐷𝐶【答案】(1)𝐴𝐵𝐷𝐵𝐷𝐶(2)𝐴𝐵𝐶𝐷 【详解】（1）证明 =14= =42= ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷= ∴△𝐴𝐵𝐷∽△（2）解：𝐴𝐵𝐶𝐷∵∵△𝐴𝐵𝐷∽△∴∠𝐴𝐵𝐷=∴𝐴𝐵∥02】（25-26九年级上·江西抚州·期中）在4×101𝐴𝐵𝐶和𝑀𝑁𝐾𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹相似吗？若相似，求出∠𝐴𝐶𝐵𝐴𝐵𝐶𝑀𝑁𝐾𝐴𝐵𝐶𝑀𝑁𝐾 ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶△𝐷𝐸𝐹∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸=（2）𝐴𝐵𝐶𝑀𝑁𝐾相似，周长比为在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶 22+62=210，𝐵𝐶 22+42=2在△𝑀𝑁𝐾中，𝑁𝐾=2，𝑀𝐾 22+22=22，𝑀𝑁 22+42=2 ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶【答案】(1)相似，∠𝐴𝐶𝐵=135°(2)相似，周长比为【详解】（1）𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹相似，∠𝐴𝐶𝐵=135°在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶= 22+62=210，𝐵𝐶= 22+42=25，在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐹=2，𝐸𝐹= 12+12=2，𝐷𝐸= 12+32=10，即周长比为𝑀𝑁=G．𝐴𝐵𝐹若点𝐹在𝐷𝐶延长线上，且𝐴𝐵𝐶𝐹=𝐺𝐹𝐷𝐸，求证：∠𝐴𝐺𝐵=【答案】【答案】(1)(2)（1）证明四边形𝐴𝐷𝐸𝐹是平行四边形，得到𝐴𝐹=𝐷𝐸，利用SSS（2）由𝐴𝐵⋅𝐶𝐹=𝐺𝐹⋅𝐷𝐸可得𝐷𝐸=𝐶𝐹，由𝐴𝐷∥𝐵𝐶可得𝐶𝐹=𝐷𝐹，从而可得𝐷𝐸=𝐷𝐹△𝐷𝐶𝐸∽△𝐷𝐸𝐹，从而得到∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐸𝐹，再由四边形𝐴𝐷𝐸𝐹是平行四边形和𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=同理，𝐵𝐶𝐸𝐹,𝐵𝐶=𝐸𝐹,𝐵𝐹=∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹，𝐴𝐷=∴𝐴𝐹=𝐴𝐵=在𝐴𝐵𝐹𝐷𝐶𝐸𝐵𝐹=𝐴𝐹=∴△𝐴𝐵𝐹≌△（2）证明：∵𝐴𝐵𝐶𝐹=𝐺𝐹∴△∴△𝐷𝐶𝐸∽△∴∠𝐷𝐶𝐸=∴∠𝐷𝐴𝐹=∴∠𝐷𝐴𝐹=∵𝐴𝐷∥∴∠𝐷𝐴𝐹=∴∠𝐴𝐺𝐵=∵𝐶𝐷= ∴𝐷𝐸=在𝐷𝐶𝐸和𝐷𝐸𝐹 ∴𝐶𝐹= ∴𝐶𝐹=又∵𝐴𝐹= ∴𝐷𝐸=∵𝐴𝐷∥又∵𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=命题点03 𝐷𝐴⊥𝐴𝐸，使得𝐴𝐷=𝐴𝐸，连接𝐷𝐸交𝐴𝐶于点𝐹，若𝐴𝐶=6，𝐴𝐵=(1)△𝐴𝐵𝐷∽△(2)若𝐵𝐷=4，求tan∠𝐸𝐷𝐶【答案】【答案】(1)先由𝐴𝐵𝐷𝐴𝐶𝐸，可得∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸，再证明∠𝐵𝐶𝐸=90°，接着利用勾股定理求得𝐵𝐶=10，从而【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐵𝐴𝐷=又∵𝐴𝐵=∴△𝐴𝐵𝐷∽△（2）解：𝐴𝐵𝐷∴∠𝐵=∵∠𝐵+∠𝐵𝐶𝐴=∴∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐴=∴∠𝐵𝐶𝐸=∵在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=6，𝐴𝐵=∴𝐵𝐶 𝐴𝐶2+𝐴𝐵2 62+82=∵𝐵𝐷=∴𝐷𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐷=10−4=∵△𝐴𝐵𝐷∽△∴∴𝐴𝐵=∴8=4∴𝐶𝐸=∴在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐶中，tan∠𝐸𝐷𝐶 = ∴tan∠𝐸𝐷𝐶=01】（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知点𝐷，𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，𝐴𝐸=𝐴𝐷=3，𝐴𝐶=4，𝐴𝐵=6△𝐴𝐷𝐸【分析】先得【分析】先得𝐴𝐶=𝐴𝐵，然后结合∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶【详解】证明：∵𝐴𝐸=2，𝐴𝐷=3，𝐴𝐶=4，𝐴𝐵= =∴𝐴𝐸=∵∠𝐷𝐴𝐸=∴△𝐴𝐷𝐸∽△02】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐶、𝐴𝐵𝐴𝐵=2𝐴𝐷，𝐴𝐶=(1)𝐴𝐷𝐸(2)若𝐴𝐷=6，𝐴𝐸=4，连接𝐷𝐸，求𝑆△𝐶𝐷𝐸【答案】【答案】(1)又又∵∠𝐴=∴△𝐴𝐷𝐸∽△（2）解：∵𝐴𝐸=4，𝐴𝐷=6，𝐴𝐵=2𝐴𝐷，𝐴𝐶=∴𝐴𝐶=8，𝐴𝐵=∴𝐷𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐷=2，𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸== ∴𝑆△𝐶𝐷𝐸∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=3𝑆△𝐴𝐸𝐷，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出 = =∴𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵=2𝐴𝐷，𝐴𝐶=可得出：𝑆△𝐶𝐷𝐸=1𝑆△𝐴𝐸𝐷，𝑆△𝐵𝐷𝐸=2𝑆△𝐴𝐸𝐷 （1）首先得到𝐴𝐷=𝐴𝐸，然后结合∠𝐴=∠𝐴（2）由已知条件可得出𝐷𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐷=2，𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=803】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶D、E分别在边𝐴𝐶、𝐴𝐵上，且𝐴𝐶𝐴𝐸，连接𝐷𝐸、(1)𝐴𝐷𝐸(2)E为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐷:𝐴𝐸=4∶3，若𝐴𝐵=12，求𝐶𝐷【答案】【答案】(1)∴𝐴𝐸∴𝐴𝐸=𝐴𝐵=∵𝐴𝐷:𝐴𝐸=∴𝐴𝐷=∵△𝐴𝐷𝐸∽△ ∴8=𝐷𝐸=6 ∴𝐴𝐶=∴𝐶𝐷=𝐴𝐶−𝐴𝐷=9−8= ∴△𝐴𝐷𝐸∽△【详解】（1）证明 ，∠𝐷𝐴𝐸=，求出𝐴𝐶= （2）由𝐴𝐷:𝐴𝐸4∶3，得出𝐴𝐷=8命题点04=上，且𝐶𝐹=𝐴𝐵𝐸𝐵𝐸𝐹【答案】【答案】(1)(2)△𝐵𝐸𝐹又又∵∠𝐴=∠𝐷=∴△𝐴𝐵𝐸∽△在Rt△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：𝐵𝐸2=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=42+22=16+4=20，在Rt△𝐷𝐸𝐹中，由勾股定理得：𝐸𝐹2=𝐷𝐸2+𝐷𝐹2=22+12=4+1=5，在Rt△𝐵𝐶𝐹中，𝐵𝐶=4，𝐶𝐹=3，由勾股定理得：𝐵𝐹2=𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=42+32=16+9=∵𝐵𝐸2+𝐸𝐹2=20+5=25=𝐵𝐸𝐹是直角三角形，且∠𝐵𝐸𝐹=∴𝐴𝐵= ∴𝐴𝐵=4=2，𝐴𝐸=2=∵𝐶𝐹=3𝐹𝐷，且𝐶𝐹+𝐹𝐷=𝐶𝐷=∴4𝐹𝐷=4，即𝐹𝐷=∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐴𝐷=（1）先利用正方形性质得到∠𝐴∠𝐷=90°【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=4，∠𝐴=∠𝐷=01】（2026·江苏宿迁·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝑘𝐴𝐵（0<𝑘<如图1，点D在𝐴𝐵边上，若∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，则𝐴𝐷= ．（用含k的代数式表示2，用无刻度直尺和圆规，在边𝐵𝐶E，使得𝐶𝐸=𝑘𝐵𝐶，（不写作法，保留作图痕迹【答案】【答案】(2)∴𝐵𝐶=1，即𝐶𝐸==𝑘−1=𝑘 ∴𝐵𝐸=𝐵𝐹=𝐴𝐵−𝐴𝐶=𝐴𝐵∴△𝐵𝐸𝐹∽△ ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=∵𝐴𝐶=∴𝐴𝐶=【分析】（1）先证明𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶𝐷（2）C作𝐶𝑄∥𝐴𝐵，分别在𝐶𝑄、𝐴𝐵M、F，使得𝐴𝐹𝐴𝐶𝐶𝑀，连接𝐹𝑀与𝐵𝐶E即【详解】（1）解∶∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，∠𝐴=∴△𝐴𝐵𝐶∽△02】（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷E，将𝐴𝐵𝐷沿着直线𝐴𝐵𝐴𝐵𝐹（D (2)如果四边形𝐴𝐹𝐵𝐶是矩形，且𝐴𝐵=𝐵𝐸，求证：𝐴𝐵=【答案】【答案】(1)（2）先根据比例线段证明𝐴𝐷=𝐶𝐷，然后结合翻折，矩形的性质证明∠3=30°【详解】（1）证明：由翻折可得，𝐵𝐷=𝐵𝐹,𝐴𝐷=∵梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷=∴梯形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形，𝐴𝐹=∴𝐴𝐶=∴𝐴𝐶=（2）∴∠𝐹=∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶∥∴∠3=∠4，设∠3=∠4=∵𝐴𝐵∥∴△𝐷𝐸𝐶∽△𝐵𝐸𝐴，∠2=∠3=∴𝐷𝐸=

∵𝐴𝐷=

∴𝐴𝐷=

∴𝐴𝐷=∴∠1=∠2=∴∠5=∠𝐵𝐴𝐷=∠1+∠3=∵∠𝐹∵∠𝐹=∴∠4+∠5=3𝛼=∴𝛼=∴∠3=∵∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐵=∵𝐴𝐷=𝐶𝐷,𝐴𝐷=∴𝐴𝐵=03】（2026·上海闵行·二模）如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶90°，𝐴𝐵𝐵𝐶．点𝐷在边𝐵𝐶上，点𝐸𝐶𝐵的延长线上，连结𝐴𝐷、𝐴𝐸，过点𝐸作𝐴𝐷的垂线，分别交𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐴𝐶于点𝑀、𝐻和𝐹，且𝐴𝐸=(1)求证：𝐵𝐷=(2)𝐴𝐸

𝐷𝐸及角的和差关系得到∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐹𝐸𝐶，根据等角的余角相等得到∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐻𝐷𝐸，继而根据等腰三角形三线通过证明𝐴𝐸𝐵𝐸𝑀𝐵𝐴𝑀𝐻𝐸𝑀𝐵，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证【详解】（1）证明；∵𝐴𝐵=△∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=∵𝐴𝐸=𝐸𝐴𝐹 ∴代入上式得𝐴𝐸=𝐷𝐸又∵𝐵𝐸=𝐵𝐷= 𝑀𝐻，即 ∴𝐴𝐸=𝐸𝑀，𝐸𝑀=∴∠𝐸𝐴𝐹=∵∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐶𝐴+∴∠𝐸𝐴𝐵=∵𝐸𝐹⊥∴∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐷𝐻𝐸=∴∠𝐷𝐻𝐸=∠𝐹𝐸𝐶+∠𝐻𝐷𝐸=∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐸=∴∠𝐴𝐸𝐵=∴𝐴𝐸=𝐴𝐸𝐷∵∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐵𝐷=（2）证明：由（1）知，∠𝐸𝐴𝐵∠𝐹𝐸𝐶，𝐵𝐷𝐵𝐸𝐴𝐸𝐷∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐵=又∵∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐴𝐵𝐸=90°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐵𝑀=90°，∠𝐸𝑀𝐵=∴△𝐴𝐸𝐵∽△𝐸𝑀𝐵，△𝐴𝑀𝐻∽△04】（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，𝐵𝐷=𝐷𝐸∠𝐴𝐵𝐶=(2)连接𝐴𝐸交𝐵𝐷于𝐹，若∠𝐷𝐸𝐵=30°，𝐴𝐷=4，求𝐵𝐸和𝐴𝐹【答案】【答案】(1)(2)𝐵𝐸=12，𝐴𝐹=【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，则𝐴𝐵=𝐴𝐷，（2）过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐸于点𝐻，根据菱形的性质，得出𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐷=𝐷𝐸=43∠𝐶𝐷𝐸=90°，利用勾股定理求出𝐶𝐸=8，即可得出𝐵𝐸𝐴𝐸=47，证明△𝐴𝐷𝐹𝐸𝐵𝐹，利用对应边成比例得出𝐸𝐹=3𝐴𝐹，即可求出𝐴𝐹【详解】（1）∵平行四边形∴∴∠𝐴𝐷𝐵=∵𝐵𝐷=∴∠𝐷𝐵𝐶=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷（2）解：如图，过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐸于点∵∠𝐷𝐸𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐷𝐸𝐵=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=4，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐴=𝑂𝐶

1𝐴𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷

𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=∴在Rt△𝐴𝑂𝐵中，𝑂𝐵 𝐴𝐵2−𝑂𝐴2=2∴𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4∴∴𝐵𝐷=𝐷𝐸=4∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐶𝐷𝐸=180°−∠𝐷𝐸𝐵−∠𝐷𝐶𝐸=∴𝐶𝐸 𝐶𝐷2+𝐷𝐸2=∴𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐻∴𝐵𝐻=𝐶𝐻=𝐵𝐶=∴𝐴𝐻 𝐴𝐶2−𝐶𝐻2=23，𝐸𝐻=𝐵𝐸−𝐵𝐻=∴在Rt△𝐴𝐻𝐸中，𝐴𝐸 𝐴𝐻2+𝐸𝐻2=4∵∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐸𝐵𝐹,∠𝐷𝐴𝐹=∴△𝐴𝐷𝐹∽△∴𝐸𝐹=𝐵𝐸=12=∴𝐸𝐹= ∴𝐴𝐹=𝐴𝐸=05】（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，𝐷𝐸𝐴𝐹，垂(1)求证：𝐴𝐸=6，𝐴𝑀=22，求𝐷𝑀【答案】【答案】(1)(2)𝐷𝑀=2【分析】（1）证明∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐵𝐴𝐹，根据ASA𝐷𝐴𝐸𝐴𝐵𝐹 （2）根据勾股定理求出𝐴𝐶=62，得出𝑀𝐶=42，可得𝑀𝐶=2，证明△𝐴𝐸𝑀∽△𝐶𝐷𝑀，求出𝐴𝐸=3勾股定理求出𝐷𝐸=35，根据相似三角形的性质可求出𝐷𝑀=2∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐹=90°，即∠𝐵𝐴𝐹∠𝐷𝐴𝐻=∵𝐷𝐸⊥∴∠𝐴𝐻𝐷=90°，∠𝐴𝐷𝐻+∠𝐷𝐴𝐻=∴∠𝐴𝐷𝐻=在𝐷𝐴𝐸𝐴𝐵𝐹∠𝐴𝐷𝐸=𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸=∴△𝐷𝐴𝐸≌△∴𝐴𝐸=∴𝐴𝐶 62+62=6∵𝐴𝑀=2∴𝑀𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝑀=62−22=4∴𝐴𝑀=22=

4 ∵𝐴𝐵∥∴△𝐴𝐸𝑀∽△∴𝐴𝐸=𝐴𝑀= ∵𝐶𝐷=∴𝐴𝐸

1×6=在Rt𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐷=6，𝐴𝐸=∴𝐷𝐸 𝐴𝐷2+𝐴𝐸2 62+32=45=3𝐴𝐸𝑀𝐶𝐷𝑀，且相似比为∴𝐸𝑀= ∴𝐷𝑀=3𝐷𝐸=3×35=2∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐸𝐶𝐴,𝐵𝐸=𝐶𝐷+(1)△𝐷𝐶𝐸(2)若𝑂𝐸=1，求𝑂𝐵2，当∠𝐷=90°，求∴∴△𝐷𝐶𝐸∽△【详解】（1）证明：∵∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐸𝐴𝐶∠𝐸𝐶𝐴,∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐸𝐴𝐶∴∠𝐷𝐸𝐶=又∵𝑂,𝐸分别为𝐴𝐶,𝐴𝐷∴𝑂𝐸是𝐴𝐶𝐷∴𝑂𝐸∥∴∠𝐴𝐸𝐵=5−1，再根据正切的定义可得tan∠𝐷𝐴𝐶=𝑎（3）设𝐶𝐷=𝑎,𝐷𝐸=𝑏，则𝐵𝐸=𝑎+𝑏．由（1）可知△𝐷𝐶𝐸𝐸𝐴𝐵𝑎【分析】（1）由三角形外角的性质以及等量代换可得∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐸𝐵𝐴，再说明𝑂𝐸𝐴𝐶𝐷𝑂𝐸𝐶𝐷可得∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷（2）先说明𝑂𝐸是𝐴𝐶𝐷的中位线，即𝐶𝐷=2𝑂𝐸=2．设𝐷𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=2+𝑥，由（1）𝐷𝐶𝐸𝐸𝐴𝐵，利用相似三角形的性质可得𝑥=1+5，即𝐵𝐸=3+5，最后根据𝑂𝐵=𝐵𝐸−𝑂𝐸求解即(3)tan∠𝐷𝐴𝐶=【答案】(1)(2)2+ ∴tan∠𝐷𝐴𝐶 = 𝑎 ，即 ，整理得 +−1=0，解得： （已舍去负值∴𝐵𝐸=𝑥+2=1+5+2=3+∴𝑂𝐵=𝐵𝐸−𝑂𝐸=3+5−1=2+（3）解：设𝐶𝐷=𝑎,𝐷𝐸=𝑏，则𝐵𝐸=𝑎+𝑏．由（1）可知，△𝐷𝐶𝐸∽△𝐸𝐴𝐵， ，解得∶𝑥=1+5（负值舍去𝐸𝐵，即 （2）解：∵𝑂,𝐸分别为𝐴𝐶,𝐴𝐷中点，𝑂𝐸=∴𝑂𝐸是𝐴𝐶𝐷的中位线，即𝐶𝐷=2𝑂𝐸=2．设𝐷𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=2+𝑥，1，等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷为斜边𝐵𝐶中点，𝐸为𝐴𝐷上任一点，𝐶𝐸交𝐴𝐵F，𝐹𝐺𝐵𝐸交𝐵𝐶于△𝐴𝐸𝐹【答案】【答案】(1)(2)(3)𝐵𝐺=2𝐷𝐸【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合𝐷为斜边𝐵𝐶中点可得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=45°，𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐶𝐷△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，则∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝐵．由等角的余角相等可得∠𝐵𝐺𝐹=∠𝐶𝐸𝐷，结合∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐹可得∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵𝐺𝐹，因此命题得证；（2）结合（1）的结论容易证明𝐴𝐸𝐹𝐵𝐺𝐹(AAS)，则𝐴𝐸=𝐵𝐺，从而得到𝐷𝐸=𝐷𝐺性质和三角形内角和定理可得∠𝐷𝐸𝐺=∠𝐵𝐴𝐷=45° 过点𝐴作𝐵𝐶的平行线，交𝐶𝐹的延长线于点𝐼，由（1）𝐴𝐸𝐹𝐵𝐺𝐹，则𝐵𝐺=𝐵𝐹

定𝐴𝐼𝐹𝐵𝐶𝐹，则𝐵𝐶=𝐵𝐹，因此𝐵𝐶=𝐵𝐺，同理可得𝐴𝐼𝐸𝐷𝐶𝐸，则𝐶𝐷=𝐷𝐸，结合𝐵𝐶=2𝐶𝐷𝐵𝐺=∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷=∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐵𝐶=45°=在𝐵𝐷𝐸𝐶𝐷𝐸𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶𝐷𝐸=∴△𝐵𝐷𝐸≌△∴∠𝐸𝐵𝐶=∵𝐹𝐺⊥∴∠𝐵𝐻𝐺=∴∠𝐸𝐵𝐶+∠𝐵𝐺𝐹=∵∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐶𝐸𝐷=∴∠𝐵𝐺𝐹=∵∠𝐶𝐸𝐷=∴∠𝐴𝐸𝐹=又∵∠𝐵𝐴𝐷=∴△𝐴𝐸𝐹∽△∴𝐵𝐹=由（1）可知，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵𝐺𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=在𝐴𝐸𝐹和𝐵𝐺𝐹∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵𝐺𝐹𝐴𝐹=∴△𝐴𝐸𝐹≌△∴𝐴𝐸=∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐷=∴𝐴𝐷−𝐴𝐸=𝐵𝐷−𝐵𝐺，即𝐷𝐸=∵∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐷𝐸𝐺

=∴∠𝐷𝐸𝐺=（3）解：𝐵𝐺=2𝐷𝐸由（1）△𝐴𝐸𝐹∴𝐴𝐸=

∵𝐴𝐼∥∴△𝐴𝐼𝐹∽△∴𝐴𝐼=

∴𝐴𝐼=𝐴𝐸，即𝐴𝐼=

𝐵𝐺∵𝐴𝐼∥∴△𝐴𝐼𝐸∽△∴𝐴𝐼=𝐴𝐸，即𝐴𝐼=

∴2𝐶𝐷=𝐶𝐷，即𝐵𝐺=∵𝐵𝐶=∴𝐵𝐶=∴𝐴𝐸⋅𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶中，分别以𝐴𝐵，𝐴𝐶向外作Rt𝐴𝐷𝐵和Rt𝐴𝐸𝐶，其中∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=𝛼，𝐹，𝐺，𝐻分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，连接(1)𝐴𝐷𝐺(2)求证：𝐷𝐹= （用含𝛼的代数式表示【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得∠𝐴𝐵𝐷∠𝐶𝐴𝐸，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得∠𝐷𝐺𝐴=∠𝐸𝐻𝐴，即可证得结论；（2）连接𝐹𝐺、𝐹𝐻，根据三角形中位线的性质可证得𝐺𝐹=𝐻𝐸，𝐺𝐷=𝐻𝐹，∠𝐷𝐺𝐹=∠𝐹𝐻𝐸，即可根据证得𝐷𝐺𝐹𝐹𝐻𝐸【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=∴∠𝐴𝐵𝐷∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸∠𝐶𝐴𝐸=90°，即∠𝐴𝐵𝐷=∴𝐺𝐷=𝐵𝐺=𝐴𝐺

1𝐴𝐵，𝐻𝐸=𝐶𝐻=𝐴𝐻

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐺，∠𝐴𝐶𝐸=∴∠𝐷𝐺𝐴=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐵𝐷𝐺=2∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐸𝐻𝐴=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐻𝐸𝐶=∴∠𝐷𝐺𝐴=∴△𝐴𝐷𝐺∽△∴𝐺𝐹

𝐴𝐶，𝐺𝐹∥𝐴𝐶，𝐻𝐹

∴∠𝐴𝐺𝐹+∠𝐵𝐴𝐶=180°,∠𝐴𝐻𝐹+∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐴𝐺𝐹=由（1）可知，𝐺𝐷=1𝐴𝐵，𝐻𝐸=1𝐴𝐶，∠𝐷𝐺𝐴=∠𝐸𝐻𝐴 ∠𝐷𝐺𝐹=∠𝐷𝐺𝐴+∠𝐴𝐺𝐹,∠𝐹𝐻𝐸=∠𝐸𝐻𝐴+∴𝐺𝐹=𝐻𝐸，𝐺𝐷=𝐻𝐹，∠𝐷𝐺𝐹=∴△𝐷𝐺𝐹≌△∴𝐷𝐹=（3）解：由（2）𝐷𝐺𝐹∴∠𝐺𝐷𝐹=∠𝐻𝐹𝐸，∠𝐻𝐹𝐶=∴∠𝐺𝐷𝐹+∠𝐺𝐹𝐷+∠𝐷𝐺𝐹=∠𝐻𝐹𝐸+∠𝐺𝐹𝐷+∠𝐷𝐺𝐴+∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐺𝐵𝐹+∠𝐺𝐹𝐵=∠𝐻𝐹𝐶+∴∠𝐷𝐺𝐴=由（1）可知∠𝐷𝐺𝐴=2∠𝐴𝐵𝐷=∴∠𝐷𝐹𝐸=180°−(∠𝐺𝐹𝐵+===考点四圆中相关证明三大核心证明题型(中考必考题型已知直线与圆有公共点，连接圆心和交点，证明夹角=90˚命题点01⊥(1)求证：𝐷𝐸𝑂(2)若𝐸𝐷=4，𝐴𝐵=10，求cos∠𝐵𝐴𝐶【答案】【答案】(1)【分析】（1）连接𝑂𝐷，结合已知条件𝐷𝐸𝐴𝐶，证明𝑂𝐷𝐴𝐸（2）要求cos∠𝐵𝐴𝐶，尝试把∠𝐵𝐴𝐶放到直角三角形中，连接𝐵𝐶，显然∠𝐴𝐶𝐵=90°，进而可知𝑂𝐷𝐵𝐶，由垂径定理及𝐸𝐷=4可得𝐵𝐶的长，问题得解．【详解】（1）证明：如图，连接∵𝑂𝐴=∴∠1=𝐴𝐷平分∴∠1=∴∠2=∴𝑂𝐷∥∵𝐷𝐸⊥∴𝐷𝐸⊥∴∠𝐸𝐷𝑂=又𝑂𝐷⊙𝑂𝐷𝐸是⊙𝑂𝐴𝐵⊙𝑂∴∠𝐴𝐶𝐵=∵𝑂𝐷∥∴∠𝑂𝐹𝐵=𝐵𝐶=2𝐶𝐹，四边形𝐸𝐶𝐹𝐷∴𝐶𝐹=𝐸𝐷=∴𝐵𝐶=在Rt𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵=10𝐴𝐶 𝐴𝐵2−𝐵𝐶2 102−82= ∴cos∠𝐵𝐴𝐶=10=01】（2026·江苏宿迁·一模）𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶OA，B两点，且与𝐵𝐶E，D为𝐵𝐸所对的下半圆中点，连接𝐴𝐷交𝐵𝐶F，𝐴𝐶=𝐹𝐶．求证：𝐴𝐶𝑂𝑂10，𝐵𝐹=12，求𝑂𝐶【答案】【答案】(1)【分析】（1）连接𝑂𝐴，𝑂𝐷，由题意可得𝐷𝑂𝐵𝐶，即∠𝐷𝑂𝐹=90°，从而可得∠𝑂𝐷𝐹∠𝐷𝐹𝑂=90°，由等边对等角并结合对顶角相等得出∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐹𝐴𝐶=90°，即∠𝑂𝐴𝐶=90°，即可得证；（2）由题意可得𝑂𝐴=𝑂𝐵=10，则𝑂𝐹=2，设𝐴𝐶=𝐶𝐹=𝑥，则𝑂𝐶=𝑥2，再由勾股定理计算即可得出【详解】（1）证明：如图：连接∵D为𝐵𝐸∴𝐷𝑂⊥∴∠𝐷𝑂𝐹=∴∠𝑂𝐷𝐹+∠𝐷𝐹𝑂=∵𝑂𝐴=∴∠𝑂𝐷𝐴∴∠𝑂𝐷𝐴=∴∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐷𝐹𝑂=∵𝐴𝐶=𝐶𝐹，∠𝐴𝐹𝐶=∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐴𝐹𝐶=∴∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐹𝐴𝐶=90°，即∠𝑂𝐴𝐶=∴𝐴𝐶是𝑂∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=∴𝑂𝐹=𝐵𝐹−𝑂𝐵=设𝐴𝐶=𝐶𝐹=𝑥，则𝑂𝐶=𝑂𝐹+𝐶𝐹=𝑥+2，由勾股定理可得𝐴𝐶2+𝑂𝐴2=𝑂𝐶2，∴𝑥2+102=(𝑥+解得：𝑥=∴𝑂𝐶=𝑥+2=02】（2026·湖南张家界·一模）如图，𝐴𝐵𝑂的直径，𝐴𝐶，𝐵𝐶是𝑂O作𝐵𝐶的平行线𝑂𝐷CD，与𝐴𝐶E．(1)求证：𝐴𝐷𝑂(2)如果∠𝐵=2∠𝐶𝐷𝑂，𝑂𝐷=3，求𝐶𝐷在（2）【答案】【答案】(1)(2)3(3)9【分析】（1）连接𝑂𝐶，可证得𝐶𝑂𝐷𝐴𝑂𝐷，从而∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝐶𝑂（2）可推出∠𝐶𝐷𝑂=1∠2，结合∠𝐶𝐷𝑂∠2=90°得出∠𝐶𝐷𝑂=30°（3）可结合（1）（2）得出∠3=∠2=2∠𝐷𝐶𝑂=

3，𝐴𝐷𝐶𝐷33，从而求得𝑂𝐴=𝑂𝐶=2𝑂𝐷= 【详解】（1）证明：如图，连接∵𝑂𝐵=∴∠𝐵=∵𝐵𝐶∥∴∠𝐵=∠3，∠1=∴∠2=∵𝑂𝐶=𝑂𝐴，𝑂𝐷=∴△𝐶𝑂𝐷≌△∴∠𝐷𝐴𝑂=𝐶𝐷⊙𝑂∴∠𝐷𝐶𝑂=∴∠𝐷𝐴𝑂=∴𝑂𝐴⊥∵点𝐴在⊙𝑂𝐴𝐷⊙𝑂解：如图由（1）知：∠𝐵=∠1=∵∠𝐵=∴∠𝐶𝐷𝑂

∵∠𝐶𝐷𝑂+∠2=∴∠𝐶𝐷𝑂=∵∠𝐷𝐶𝑂=∴𝐶𝐷=𝑂𝐷⋅cos∠𝐶𝐷𝑂=3⋅cos30°=9∴𝑆阴影=𝑆△𝐴𝑂𝐷−𝑆扇形𝐴𝑂𝐹=3，𝑆扇形𝐴𝑂𝐹 3 9𝑂𝐴⋅𝐴𝐷=× ∴𝑆△𝐴𝑂𝐷由（1）（2）知，∠3=∠2=2∠𝐷𝐶𝑂=60°，𝑂𝐴=𝑂𝐶=1𝑂𝐷=3，𝐴𝐷=𝐶𝐷=3=边𝐴𝐶上，以𝐶𝐸为直径的⊙𝑂恰好过点𝐷．(1)求证：𝐴𝐵𝑂(2)当𝐴𝐸=𝐸𝑂=2时，求𝐶𝐷【答案】【答案】(1)(2)2【分析】（1）连接𝑂𝐷，证明𝑂𝐷𝐵𝐶（2）【详解】（1）解：如图，连接𝐶𝐷平分∴∠𝐵𝐶𝐷=∵𝑂𝐷=∴∠𝑂𝐷𝐶=∴∠𝑂𝐷𝐶=∴∴𝑂𝐷∥∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝑂=∴𝑂𝐷⊥（2）𝐴𝐸=𝐸𝑂=𝑂𝐷=∴𝐴𝑂=2𝑂𝐷=∵𝑂𝐷⊥∴𝐴𝐷=23，∠𝐴=30°，∠𝐴𝑂𝐷=∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝑂𝐷𝐶+∠𝑂𝐶𝐷=∴∠𝐴=∠𝑂𝐶𝐷=∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=204】（2026·北京通州·一模）如图，已知𝐴𝐵O的直径，CO上一点，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，O作𝑂𝐷⊥𝐴𝐶D