2026年中考数学二轮复习 高频考点05 一次函数的图象与性质综合专练21大题型

高频考点 一次函数的图象与性质综合专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一一次函数的图象112233445566考点三一次函数与方程（组）、不等式（组考点四一次函数与几何综合112233445每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+7道中考闯关题式考查，分值3~8分，属基础区分/中档拉分题；重点考查一次函数定义、k/b的几何意义、交点求（选择、最值优化）4~8分，属基础必拿分/中档拉k的符号与增减性对应关系的理解，常结合x轴的交点坐标；6~12分，属中档拉分/压轴区行四边形存在性10~1（如最短路径、面积最值考点一一次函数的图象1.一次函数解析式：𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0,𝑘,𝑏为常数2.k𝑘>𝑏>𝑘>𝑏<𝑘>𝑏=𝑘<𝑏>𝑘<𝑏<𝑘<𝑏=k、b3.y轴交点：令𝑥3.y轴交点：令𝑥=0，得x轴交点：令𝑦=0，得𝑏𝑘>0，𝑦随𝑥增大而增大，𝑘<0，𝑦随𝑥图象经过象限(k,b共同决定6.k【典例】（2025·四川·中考真题）函数𝑦=𝑥−2的图象为 A． 【答案】【答案】x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．先明确函数𝑦=𝑥−2是一次函数（图象为直线）；分别令𝑦=0x轴的交点，令𝑥=0y轴的交【详解】解：函数𝑦𝑥−2为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．令𝑦=0，则0=𝑥−2，解得𝑥=2x轴的交点为(2,0)；令𝑥=0，则𝑦=0−2=−2y轴的交点为A1】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦=𝑘𝑥和𝑦=𝑥+𝑘（𝑘≠0，𝑘为常数）的图象可能是（）【答案】【答案】【分析】根据一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏中𝑘、𝑏的正负判断函数图象的趋势以及与𝑦【详解】解：本题中，系数𝑘决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与𝑦当𝑘0时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于𝑦轴正半轴，上述选项中均不满当𝑘0时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于𝑦轴负半轴，D选项满足该情况；2】（2025·浙江杭州·一模）yx𝑎+𝑏+则这个函数的图象可能是 【答案】xy的减小值的特点，即可判断选项．【答案】xy的减小值的特点，即可判断选项．【变式3（2025·陕西延安·二模在同一平面直角坐标系中函数𝑦=−𝑘𝑥与𝑦=𝑘𝑥+𝑘的图象大致 【答案】【答案】><【详解】解：当𝑘>0时，𝑦=𝑘𝑥𝑘的图象过一、二、三象限；𝑦=−𝑘𝑥的图象过二、四象限；当𝑘<0时，𝑦=𝑘𝑥+𝑘的图象过二、三、四象限；𝑦=−𝑘𝑥的图象过一、三象限；4】（2025·安徽宣城·二模）两个一次函数𝑦1=𝑚𝑥𝑛,𝑦2=𝑛𝑥𝑚(𝑚𝑛<0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（） 【答案】m、n【答案】m、nm、n【详解】解：当𝑚>0，𝑛<0时，𝑦1=𝑚𝑥+𝑛经过一、三、四象限，𝑦2=𝑛𝑥+𝑚经过一、二、四象限，故选项B符合题意；当𝑚<0，𝑛>0时，𝑦1=𝑚𝑥+𝑛经过一、二、四象限，𝑦2=𝑛𝑥+𝑚经过一、三、四象限，没有选项符合命题点02【典例】（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线𝑦−3𝑥𝑏（b为常数，𝑏0）和直线𝑦（k为常数，𝑘>0）的交点在（ B．第二象 C．第三象 【答案】【答案】【详解】解：∵直线𝑦=−3𝑥+𝑏（b为常数，𝑏<0），−3<∴直线𝑦=−3𝑥𝑏∵直线𝑦=𝑘𝑥（k为常数，𝑘>==𝑥+𝑚的图象不经过（ B．第三象 C．第二象 【答案】【答案】mm的值确定一次函数的表达式，最后根据一【详解】解：∵点(−2,3)在正比例函数𝑦=−𝑚𝑥∴3=−𝑚×(−2)，解得𝑚=将𝑚=2代入一次函数𝑦=(𝑚−1)𝑥+𝑚中，可得：𝑦=2−1𝑥+2=2𝑥+ 对于一次函数对于一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（k，b为常数，𝑘≠0），当𝑘>0,𝑏>0∵在一次函数𝑦=𝑥+中，𝑘 >0，𝑏 > 2】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏（𝑘、𝑏为常数，且𝑘𝑏≠0）的图象不经过第三象限，则一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑘的图象不经过的象限是（） B．第二象 C．第三象 【答案】【答案】【分析】先根据已知一次函数的位置判断𝑘和𝑏【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘、𝑏为常数，且𝑘𝑏≠0）∴𝑘<0，𝑏>∴一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑘∴一次函数𝑦=𝑏𝑥+𝑘3】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数𝑦𝑥（𝑘是常数，𝑘≠0）么一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图像一定经过（ B．第一、三、四象C．第二、三、四象 【答案】【答案】【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑥∴𝑘>∴一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图像一定经过第一、三象限，且交𝑦∴一次函数𝑦𝑘𝑥−𝑘的图像一定经过第一、三、四象限．命题点03【典例】（2025·四川广元·模拟预测）已知直线𝑙1∶𝑦=𝑥+1与直线𝑙2∶𝑦=𝑘𝑥−2(𝑘≠0)在第二象限交于点M，则k的取值范围是（ A．𝑘< B．−2<𝑘< C．0<𝑘< D．𝑘>【答案】【答案】直线𝑙1𝑦=𝑥1𝑙2𝑦=𝑘𝑥−2(𝑘≠0)在第二象限交于点∴直线𝑙2:𝑦=𝑘𝑥−2(𝑘≠0)∴𝑘<直线𝑙1:𝑦=𝑥1与𝑥轴的交点为(−1,0)，把点为(−1,0)代入𝑦=𝑘𝑥−2得，𝑘=−2，∴直线𝑙1:𝑦=𝑥+1与直线𝑙2:𝑦=𝑘𝑥−2(𝑘≠0)在第二象限交于点𝑀，则𝑘<1】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线𝑦𝑘𝑥𝑏经过第一、第二、第三象限，则𝑘,𝑏的取值范围是（）A．𝑘<0,𝑏< B．𝑘<0,𝑏> C．𝑘>0,𝑏< D．𝑘>0,𝑏>【答案】【答案】【分析】根据一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏（𝑘、𝑏为常数，𝑘0）的图象性质，分析𝑘、𝑏取值对直线经过象限的影【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏∴𝑘>0𝑏>0时，故选：D．2】（2025·陕西咸阳·二模）已知一次函数𝑦=(𝑘2)𝑥𝑏（k、b为常数，且𝑘≠−2）的图象不经k、b的值可能是（）A．𝑘=−1,𝑏= B．𝑘=−4,𝑏= C．𝑘=−1,𝑏=2D．𝑘=−4,𝑏=【答案】【答案】k，bkb的符号，再写出符合条件的一次函数解析式【详解】解：∵一次函数𝑦=(𝑘2)𝑥𝑏（k、b为常数，且𝑘≠−2）∴𝑘+2<0,𝑏≤∴𝑘<∴∴k、b的值可能是𝑘=−4,𝑏=3】（2025·陕西延安·三模）若一次函数𝑦(𝑘−2)𝑥𝑘1（𝑘为常数）的图象经过第一、二、四象限，则𝑘的取值范围是（）A．−1<𝑘< B．𝑘> C．𝑘< D．𝑘>【答案】【答案】𝑘−2<𝑘1>0，然后解不等式组即可，解题的关键是理解直线𝑦=𝑘𝑥𝑏所在的位置与𝑘、𝑏符号有直接的关系，𝑘>0时，直线必经过一、三象限；𝑘<0时，直线必经过二、四象限；𝑏>0时，直线与𝑦轴正半轴相交；𝑏=0时，直线过原点；𝑏<0时，直线与𝑦轴负半轴相交．【详解】解：∵一次函数𝑦=(𝑘−2)𝑥𝑘1（𝑘为常数）𝑘−2<∴𝑘+1>0解得：−1<𝑘<2，命题点04【典例】（2025·江苏南京·三模）已知二次函数𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+求证：该函数的图象与𝑥该函数的图象经过的定点的坐标 已知点𝐴4，2，𝐵7，8，若该函数的图象与线段𝐴𝐵没有公共点，直接写出𝑚【答案】【答案】(1)(3)𝑚<3或𝑚>（1）结合𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+3𝑚−3，整理Δ=−(𝑚+2)−4×1×(3𝑚−3)=(𝑚−4)2≥0（2）结合𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+3𝑚−3，且函数的图象经过的定点，故整理𝑦=𝑥2+(3−𝑥)𝑚−2𝑥−33−𝑥=0，解得𝑥=3，再把𝑥=3代入𝑦=32−(𝑚+2)×3+3𝑚−3（3）先求出线段𝐴𝐵的解析式为𝑦=2𝑥−6(4≤𝑥≤7)，依题意，得𝑥2−(𝑚+4)𝑥+3𝑚+3=0𝑥=4，𝑥=7代入𝑥2−(𝑚+4)𝑥+3𝑚+3=−𝑚+3> −𝑚+3<得−𝑚3，−4𝑚24−4𝑚+24>0−4𝑚24<0，再解得𝑚【详解】（1）解：∵𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+∴Δ=−(𝑚+

−4×1×=(𝑚+=𝑚2+4𝑚+4−12𝑚+=𝑚2−8𝑚+=(𝑚−4)2≥即该函数的图象与𝑥（2）解：𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+=𝑥2−𝑚𝑥−2𝑥+=𝑥2+即3−𝑥=∴𝑥=∴把𝑥=3代入𝑦=𝑥2+得𝑦=32−(𝑚+2)×3+3𝑚−3=9−3𝑚−6+3𝑚−3=（3）解：设线段𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(4≤𝑥≤把点𝐴4，2，𝐵7，8分别代入𝑦=𝑘𝑥+2=4𝑘+8=7𝑘𝑘=𝑏=∴线段𝐴𝐵的解析式为𝑦=2𝑥−6(4≤𝑥≤∵该函数𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+3𝑚−3的图象与线段𝐴𝐵∴2𝑥−6=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+整理得𝑥2−(𝑚+4)𝑥+3𝑚+3=把𝑥=4代入𝑥2−(𝑚+4)𝑥+3𝑚+3=得得42−(𝑚+4)×4+3𝑚+3=16−4𝑚−16+3𝑚+3=−𝑚+把𝑥=7代入𝑥2−(𝑚+4)𝑥+3𝑚+3=得72−(𝑚+4)×7+3𝑚+3=49−7𝑚−28+3𝑚+3=−4𝑚+−4𝑚24>0−4𝑚24<−𝑚+3>−𝑚+3<𝑚<6，即𝑚<3𝑚>6，即𝑚>综上：𝑚<3或𝑚>3>𝑚>的天数的天数𝑦1𝑦2通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度𝑦1，𝑦2（单位：cm）与已种菜苗的天数𝑥（单位：天）之间均满足一次函数关系．(1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度𝑦1，𝑦2关于已种菜苗的天数𝑥(𝑥≥的函数图象，并求出𝑦1，𝑦2关于𝑥的函数解析式；（不需要写出自变量𝑥的取值范围【答案】(1)见解析，𝑦1=3𝑥+3，𝑦2=𝑥+(2)（2）将当𝑦1=60和𝑦2=60x【详解】（1）解：画出甲、乙两种菜苗的高度𝑦1，𝑦2关于已种菜苗的天数𝑥(𝑥≥0)设𝑦1关于𝑥的函数解析式为𝑦1=𝑘1𝑥+𝑏1(𝑘1≠0)．𝑏1=2𝑘1+𝑏1=6解得𝑘1=2𝑏1=∴𝑦1关于𝑥的函数解析式为

=2𝑥+设𝑦2关于𝑥的函数解析式为𝑦2=𝑘2𝑥+𝑏2(𝑘2≠0)，𝑏2=2𝑘2+𝑏2=11解 𝑘2解 𝑏2=∴𝑦2关于𝑥的函数解析式为𝑦2=𝑥+当

=

𝑥+3= 解得𝑥=当𝑦2=60时，𝑥+9=解得𝑥=∵38<∴∴时间𝑡（秒时间𝑡（秒 根据以上判断，求𝑉关于𝑡90【答案】【答案】(1)(2)𝑉=3𝑡+(3)90150【分析】（1）（2）Vt的函数关系式为：𝑉=𝑘𝑡𝑏(𝑘≠0)0，1510，30（3）将𝑡=90V【详解】（1）（2）解：设一次函数的解析式为𝑉=𝑘𝑡𝑏(𝑘≠0)，将(0,15)，(10,30)𝑏=10𝑘+𝑏=30𝑏=𝑘=3∴一次函数的表达式为𝑉=𝑡+（3）解：当𝑡=90时，𝑉=3×90+15=160元/10分别求出𝑦1、𝑦2与𝑥在图中画出𝑦2【答案】(1)𝑦1=30𝑥；𝑦2=10𝑥+如果在一个月内，游玩时间为𝑥小时，当0<𝑥<8时，推荐方案一；当𝑥=8时，两个方案都可以推荐；当𝑥>8时，推荐方案二求出𝑦2的函数图象过点(0,160),(2,180)【详解】（1）解：（1）方案一：设𝑦1=∴𝑘1=∴𝑦1=方案二：由题意，得：𝑦2=10𝑥+（2）解：对于𝑦2=10𝑥+当𝑥=0时，𝑦2=160，当𝑥=2时，𝑦2=∴𝑦2的函数图象过点（3）解：令30𝑥=10𝑥+160，解得𝑥=∴𝑦1与𝑦2图象相交于点当0<𝑥<8时，方案一更优惠，推荐方案一；当𝑥8当𝑥>8命题点05【答案】𝑦=线解析式为𝑦=2𝑥+𝑏，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：设平移后的直线解析式为：𝑦=2𝑥𝑏，把(1【答案】𝑦=线解析式为𝑦=2𝑥+𝑏，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：设平移后的直线解析式为：𝑦=2𝑥𝑏，把(1，−6)代入𝑦=2𝑥+𝑏，得：−6=2×1+解得𝑏=则平移后的直线解析式为𝑦2𝑥−8，故答案为：𝑦=2𝑥−8．【答案】−2<𝑎<先求出直线𝑦=−𝑥平移后的表达式，再求出平移后的直线与直线𝑦=2𝑥−4的交点坐标，根据交点在第四象【详解】解：把直线𝑦=−𝑥向下平移𝑎个单位后可得：𝑦=【答案】−2<𝑎<先求出直线𝑦=−𝑥平移后的表达式，再求出平移后的直线与直线𝑦=2𝑥−4的交点坐标，根据交点在第四象【详解】解：把直线𝑦=−𝑥向下平移𝑎个单位后可得：𝑦=𝑦=𝑥𝑦=2𝑥−4𝑦=−2𝑎−44−𝑎 4−𝑎4−𝑎>−2𝑎−4<，解得：−2<𝑎<故答案为：−2<𝑎<

6𝐴𝐵:𝑦=2𝑥+ ∴𝐴∴𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，则𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=∴𝐴𝐵 𝑂𝐴2+𝑂𝐵2 42+22=2∵直线𝐴𝐵:𝑦=𝑥26个单位长度得到直线ACB∴𝐵𝐷∥𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐷=由𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶=𝐴𝐵⋅ℎ=𝐴𝐶⋅𝑂𝐵得ℎ=6×2=62即直线𝐴𝐵与𝐶𝐷间的距离为6故答案为：6当𝑥=0时，𝑦=2，当𝑦=0时，由0=1𝑥2得𝑥=【详解】解：设直线𝐴𝐵:𝑦=1𝑥2x、yA、h识，利用平行四边形的性质求解是解答的关键．先求得直线𝐴𝐵:𝑦=1𝑥2x、yA、B5【答案】65/63】（2025·天津·二模）将一次函数𝑦=−𝑥+𝑏（b为常数）3(2,0)，则b的值 【答案】【答案】【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为𝑦−𝑥𝑏−3，再将点(2,0)代入𝑦=−𝑥+𝑏−3，得0=−2𝑏−3，解得𝑏=5，命题点06【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线𝑦𝑘𝑥−1与直线𝑦−7𝑥𝑏关于𝑦轴对称，则一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象不经过（） B．第二象 C．第三象 【答案】【答案】k，b的值，然后进行解答即【详解】解：∵直线𝑦=𝑘𝑥−1与直线𝑦=−7𝑥𝑏关于𝑦∴𝑘=7,𝑏=∴一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏即𝑦=7𝑥−1，的图象不经过第二象限，1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线𝑦2𝑥1关于𝑦的解析式为（A．𝑦=−2𝑥+1B．𝑦=

𝑦=2𝑥+ 𝑦=【答案】【答案】首先求出直线𝑦2𝑥1xyxy轴的交点【详解】解：∵直线𝑦=2𝑥+∴当𝑥=0时，𝑦=2×0+1=∴直线𝑦=2𝑥1y轴的交点为∴当𝑦=0时，0=2𝑥+解得解得𝑥=∴直线𝑦2𝑥1x2∵一次函数的图象与直线𝑦=2𝑥1关于𝑦∴y轴的交点为(0,1)x2设一次函数的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏=∴1𝑘+𝑏=∴𝑘=∴此一次函数的解析式为𝑦=−2𝑥+𝑏=偶值”为（） 【答案】【答案】【分析】设𝑃(𝑚,𝑚2)，𝑄(𝑛,−2𝑛1)，根据题意，得𝑚=−𝑛,𝑚2=−2𝑛1，【详解】解：函数𝑦1P，函数𝑦2QP、Qy轴对称，且𝑦1=𝑥+𝑦2=−2𝑥+设𝑃(𝑚,𝑚2)，𝑄(𝑛,−2𝑛根据题意，得𝑚=−𝑛,𝑚2=−2𝑛−𝑛2=−2𝑛1，解得𝑛=−1，∴−𝑛+2=−(−1)+2=2+1=3】（2023·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝐴(2,0)，点𝐴′(−2,4)与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是 A．𝑦= B．𝑦= C．𝑦=𝑥+ D．𝑦=−𝑥+【答案】【答案】B，即可求解．【详解】解：如图，连接∴线段𝐴𝐴′的中点∵AA′l∴l垂直平分∴l∴l的解析式是𝑦=𝑥2，中考预测题1．如图，一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏(𝑘0)的图像与𝑥轴，𝑦轴分别交于点𝐴(1,0)和点𝐵，并与正比例函数𝑦2𝑥的图像平行，下列说法不正确的是（）C𝐴𝑂𝐵的周长是3D．关于𝑥的方程𝑘𝑥𝑏=0的解是𝑥=【答案】【答案】【分析】根据一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)的图像与正比例函数𝑦=2𝑥的图像平行，一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)的图像与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，求出一次函数解析式为𝑦=2𝑥−2，然后逐项进行判断即可．【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)的图像与正比例函数𝑦=2𝑥∴𝑘=∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图像与𝑥轴交于点∴1×2+𝑏=0，解得：𝑏=−2，∴一次函数解析式为：𝑦=2𝑥−2，把𝑥=0代入𝑦=2𝑥−2得：𝑦=−2，∴点𝐵的坐标是(0,−2)A∵把𝑥=−1代入𝑦=2𝑥−2得：𝑦=2×(−1)−2=−4≠∴点(−1,4)B∵𝐴𝐵 12+22=𝐴𝑂𝐵的周长是1+2+5=3+5C∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图像与𝑥轴交于点∴关于𝑥的方程𝑘𝑥𝑏=0的解是𝑥=1D2．在平面直角坐标系中，正比例函数𝑦𝑘𝑥的图像经过点𝐴(2,𝑎),𝐵(𝑏6)，且𝐴𝐵两点关于原点中心对称，2个单位长度，则平移后的图像不经过（） B．第二象 C．第三象 【答案】【答案】∴由关于原点对称的点的坐标性质得𝑏=−2，𝑎=−6，即𝐴(2,−6)，将𝐴(2,−6)代入𝑦=𝑘𝑥，得−6=2𝑘，解得：𝑘=−3.∴原正比例函数解析式为𝑦=将该函数图像向下平移2个单位长度，根据平移的“上加下减”规则，得平移后解析式为𝑦=对于一次函数𝑦=∵𝑘=−3<0，𝑏=−2<∴函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，.A符合题意3．如图，直线𝑦=−2𝑥+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△𝐴𝑂𝐵绕着直线AB翻折后得到△𝐴𝑂′𝐵，则点𝑂′的坐标是 5,8A，B的坐标，设𝑂′(𝑥,𝑦)，根据𝐴𝑂′=1，𝐵𝑂′=2直线𝑦−2𝑥2与𝑥轴交点𝐴，与𝑦轴交点𝐵，令𝑦=0，得0=−2𝑥+2，解得𝑥1，令𝑥=0，得𝑦=2，由翻折，得𝐴𝑂′=𝐴𝑂=1,𝐵𝑂′=𝐵𝑂=2，且𝐴𝐵是𝑂𝑂′设设由𝐴𝑂′=1，得(𝑥−1)2+𝑦2=12;由𝐵𝑂′=2，得𝑥2+(𝑦−2)2=22;联立方程：(𝑥−1)2+𝑦2=𝑥2+(𝑦−2)2=4展开并化简得：𝑥=2𝑦，代入其中一个方程，解得𝑥=8,𝑦=故答案为：5,58考点二一次函数的性质判断增减性，只看k不看b：kk①k>0：x大→y大；②k<0：x大→y①递增→k>0k≠0①图象从左到右上升→k>0xk①量随另一个量增大而增大→k>0k命题点01【典例】（2026·河北邢台·一模）无论𝑘取何值，一次函数𝑦=𝑘𝑥2𝑘−1的图象一定经过点（ 【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑘𝑥+∴整理得𝑘(𝑥+2)−𝑦−1=𝑥+2=∴−𝑦−1=0𝑥=𝑦=−11】（2025·安徽合肥·三模）已知直线𝑦=2𝑥+1经过点(𝑎,𝑏)，则必经过另一个点（A．(𝑎+1,𝑏+ B．(𝑎+1,𝑏+ 【答案】【答案】【详解】解：∵直线𝑦=2𝑥+1经过点∴2𝑎+1=当𝑥=𝑎+1时，𝑏+1=2(𝑎+1)∴𝑏=2𝑎+2A当𝑥=𝑎+1时，𝑏+2=2(𝑎+1)∴𝑏=2𝑎+1B符合题意；当𝑥=2𝑎时，2𝑏=2×2𝑎1，∴𝑏=𝑎+2C当𝑥=𝑎时，2𝑏=2𝑎+∴𝑏=𝑎+2D【变式2】（2026·上海杨浦·二模）直线𝑦=𝑎𝑥−3𝑎+7恒过定 【答案】【答案】【分析】将直线解析式变形为𝑦=𝑎(𝑥−3)+7，易知当𝑥−3=0时，𝑦=7，从而得到直线𝑦=𝑎𝑥−3𝑎+7过定点过定点【详解】解：∵𝑦=𝑎𝑥−3𝑎+∴𝑦=𝑎(𝑥−3)当𝑥−3=0时，即𝑥=3时，𝑦=∴直线𝑦=𝑎𝑥−3𝑎+7恒过定点命题点02【典例】（2025·湖北襄阳·一模）当自变量𝑥>1时，下列函数𝑦随𝑥的增大而增大的是()A．𝑦=

C．𝑦=3𝑥+ D．𝑦=𝑦=【答案】【答案】【详解】A．𝑦=−3𝑥，𝑘=−3<0∴𝑦随𝑥B．𝑦=−1𝑥2−1，𝑎=<0，开口向下，对称轴为直线𝑥=0，当𝑥>1∴𝑦随𝑥C．𝑦=3𝑥+1，𝑘=3>0∴𝑦随𝑥D．𝑦=−(𝑥−1)2−3，𝑎=−1<0，开口向下，对称轴𝑥=1，当𝑥>1𝑦随𝑥增大而减小．【变式 【答案】【答案】𝑦=𝑥4（答案不唯一【分析】根据一次函数经过点(0,4)可得截距𝑏4，由𝑦随𝑥的增大而增大可得斜率𝑘0，取满足条件的𝑘即【详解】解：设符合题意的一次函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠∴4=𝑘×0+𝑏，即𝑏=又∵𝑦随𝑥∴𝑘>∴当𝑘=1时满足题意，则函数表达式为𝑦=𝑥【变式2】（2023·浙江宁波·模拟预测）给出下列函数：①𝑦=−3𝑥+2；②𝑦=1；③𝑦=−𝑥2+1．从中任取一个函数取出的函数符合条件“当𝑥<−1时函数值y随x增大而减小”的概率是 【答案】况数之比．利用一次函数、二次函数、反比例函数的性质确定当𝑥<−1yx增大而减小的个【详解】解：①𝑦=−3𝑥+2是一次函数，𝑘<0yx②𝑦=𝑥是反比例函数，𝑘>0，当𝑥<0时，yx的增大而减小，因此当𝑥<−1yx③𝑦=−𝑥2+1是二次函数，当𝑥<0时，yx的增大而增大，因此当𝑥<−1yx增大而增大，综上：符合条件的函数有①②2∴取出的函数符合条件“当𝑥<−1yx增大而减小”的概率是命题点03【典例】（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数𝑦1=𝑚(𝑥1)+1和𝑦2=+2，无论x取何值始终有𝑦1>𝑦2，则m的取值范围是 【答案】【答案】𝑚>1/𝑚>𝑥的不等式恒成立的条件，进而求解𝑚【详解】解：𝑦1=𝑚(𝑥+1)+1=𝑚𝑥+𝑚+1，𝑦2=𝑎(𝑥−1)+2=𝑎𝑥−𝑎+∵𝑦1>∴𝑚𝑥+𝑚+1>𝑎𝑥−𝑎+整理得(𝑚−𝑎)𝑥𝑚+𝑎−1>因为无论𝑥取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数𝑚−𝑎=0，即𝑎=此时不等式变为此时不等式变为𝑚+𝑚−1>2𝑚−1>2𝑚>𝑚>故答案为：𝑚>𝑥+【变式1】（2025·山东日照·二模）若点𝐴(𝑥,𝑦),𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦=2 𝑥+1𝑥2，都有𝑦1<𝑦2，则𝑘的取值范围 【答案】【答案】𝑘>一次函数的性质知， >0，进行解答即可【详解】解：∵点𝐴(𝑥,𝑦),𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦 𝑥+𝑏上的两点，对于任意𝑥1<𝑥2，都有𝑦1<1∴该函数图象是𝑦随𝑥 >解得𝑘>故答案为：𝑘>2】（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘，𝑏为常数，𝑘≠0），当1≤𝑥≤43≤𝑦≤6，则𝑘的值 【答案】【答案】2或−7/−7【详解】解：当𝑘>0时，𝑦随𝑥∵当1≤𝑥≤4时，3≤𝑦≤∴一次函数图象上的点坐标为(1,3)和𝑘+𝑏=4𝑘𝑏=6②②−①得：3𝑘3，解得：𝑘=1，把𝑘=1代入①得：𝑏=此时此时𝑘=当𝑘<0时，𝑦随𝑥∴一次函数图象上的点坐标为(1,6)和𝑘+𝑏=4𝑘𝑏=3𝑘=𝑏=7此时𝑘=故答案为：2或命题点04【典例】（2026·陕西·一模）已知一次函数𝑦=𝑘2𝑥2（𝑘为常数，且𝑘≠0）的图象经过点𝐴(−4,𝑎)和点𝐵(2,𝑏)，则𝑎、𝑏的大小关系为（）．A．𝑎> B．𝑎< C．𝑎= D．𝑎≥【答案】【答案】A、B两点横坐标的大小关系比较𝑎、𝑏【详解】解：∵𝑘≠∴𝑘2>∴一次函数𝑦=𝑘2𝑥+2中，𝑦随𝑥∵−4<∴𝑎<【变式1】（2026·安徽·一模）点𝑡2+3,𝑦1,(2𝑡,𝑦2)在一次函 𝑦2的大小关系为（

𝑦=−𝑥+A．𝑦1> B．𝑦1= C．𝑦1< 【答案】【答案】【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑥𝑏中，𝑘=<∴𝑦随𝑥对两个点的横坐标作差得，对两个点的横坐标作差得，(𝑡2+3)−2𝑡=𝑡2−2𝑡+3=(𝑡−1)2∵(𝑡−1)2≥∴(𝑡−1)2+2>0，即𝑡2+3>∵𝑡2+3,𝑦1,(2𝑡,𝑦2)都在该一次函数图象上，且𝑡2+3>2𝑡，𝑦随𝑥∴𝑦1<【答案】𝑦1<【详解】解：∵一次函数𝑦=−7𝑥𝑏中𝑘=−7<∴yx∵5>【答案】𝑦1<【详解】解：∵一次函数𝑦=−7𝑥𝑏中𝑘=−7<∴yx∵5>∴𝑦1<故答案为：𝑦1<【变式3】（2025·吉林长春·二模）点𝐴(1,𝑦1)、𝐵(2,𝑦2)在一次函

𝑦2（𝑦=2𝑥+ 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据𝑘=1>0yxx【详解】∵一次函数𝑦=1𝑥+1中，𝑘=1>∴yx∵1<∴𝑦1<命题点05【典例】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑙的表达式为𝑦=𝑥，点𝐴1标为(2,0)，以𝑂为圆心，𝑂𝐴1为半径画弧，交直线𝑙于点𝐵1，过点𝐵1作直线𝑙的垂线交𝑥轴于点𝐴2；以𝑂为圆心，𝑂𝐴2为半径画弧，交直线𝑙于点𝐵2，过点𝐵2作直线𝑙的垂线交𝑥轴于点𝐴3；以𝑂为圆心，𝑂𝐴3为半径画弧，交直线𝑙于点𝐵3，过点𝐵3作直线𝑙的垂线交𝑥轴于点𝐴4；……按照这样的规律进行下去，点𝐴224的横坐标是 【答案】【答案】【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作𝐵1𝐻H，依次求出𝑂𝐴2，𝑂𝐴3，𝑂𝐴4【详解】解：作𝐵1𝐻⊥𝑥∵𝐵1,𝐵2,𝐵3,𝐵4,𝐵5⋯均在直线𝑦=𝑥∴𝑂𝐻=∴∠𝐵1𝑂𝐻=∵ 2，0，𝑂𝐴1=∴𝑂𝐵1=𝑂𝐴1=∵𝐵1𝐴2⊥𝑙,∠𝐵1𝑂𝐻=∴𝑂𝐵1=𝐵1𝐴2=∴𝑂𝐴2=2𝑂𝐵1=2𝑂𝐴1=∴同理，𝑂𝐴2=𝑂𝐵2=𝐵2𝐴3=∴𝑂𝐴3=2𝑂𝐴2=22 2同理，𝑂𝐴4 𝑂𝐴5 2∴𝑂𝐴2024=即点𝐴2024的横坐标是1】（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑎的解析式为𝑦3𝑥1，直线𝑏析式为𝑦3𝑥直线𝑎交𝑦轴于点𝐴，以𝑂𝐴为边作第一个等边三角形𝑂𝐴𝐵，交直线𝑏于点𝐵，过点𝐵作𝑦线交直线𝑎于点𝐴1，以𝐴1𝐵为边作第二个等边三角形𝐴1𝐵𝐵1，交直线𝑏于点𝐵1，…顺次这样作下去，第个等边三角形的边长为（ 【答案】【答案】【分析】延长𝐴1𝐵xD，𝐴2𝐵1xE，根据等边三角形的性质得𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝐴1𝐵=𝐵𝐵1，𝐴2𝐵1𝐵2𝐵1b的解析式为𝑦=3𝑥，得∠𝐵𝑂𝐷=30°a的解析式𝑦=3𝑥11，解Rt𝑂𝐵𝐷得𝑂𝐷=3，𝐵𝐷=1，把𝑥=3代入𝑦=3𝑥1求得𝐴2026【详解】解：延长𝐴1𝐵xD，𝐴2𝐵1x∵△𝑂𝐴𝐵△𝐵𝐴1𝐵1△𝐵1𝐴2𝐵2∴𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝐴1𝐵=𝐵𝐵1，𝐴2𝐵1=∵b的解析式为：𝑦=∴∠𝐵𝑂𝐷=a，𝑦=3𝑥+1，当𝑥=0时，𝑦=∴A的坐标为∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=在Rt𝑂𝐵𝐷中，𝑂𝐵=1，∠𝐵𝑂𝐷= ∴𝐵𝐷=2𝑂𝐵=2，𝑂𝐷=2∴B3,12对于𝑦=3𝑥+1，当𝑥=3时，𝑦= ∴点𝐴3,5 2∴𝐴1𝐷= ∴𝐴𝐵=𝐵𝐵=𝐴𝐷−𝐵𝐷=2= ∴𝑂𝐵1=𝑂𝐵+𝐵𝐵1=在Rt△𝐴𝐵1𝐸中，𝑂𝐵1=3，∠𝐵1𝑂𝐸= 3∴𝐵1𝐸=2，𝑂𝐸=∴点𝐵的坐标为33,3 对于𝑦=3𝑥+1，当𝑥=33时，𝑦= 2∴𝐴2𝐸=2∴𝐴∴𝐴2𝐵1=𝐴2𝐸=𝐵1𝐸=4=2同理得：𝐴3𝐵2=2∴2026个等边三角形的边长为22025．【变式2】（2025·河南·一模）如图，分别过点𝑃𝑖 𝑖＝1、2、…、2024作x轴的垂线，交𝑦=𝑥2的像于点𝐴，交直线𝑦=−𝑥于点𝐵，则

+⋯

的值为（ =1−2+2−3+3−4+⋯+2024−=1−= =1×2+2×3+3×4+⋯+2024× +⋯ ∴ = ∴【答案】【详解】解：根据题意得：𝐴𝑖𝐵𝑖=𝑥2−(−𝑥)=𝑥2+𝑥=𝑥(𝑥+【答案】𝑦=−𝑥+【答案】𝑦=−𝑥+3（答案不唯一【典例】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(4,0)P在过原点的直线𝑙𝐴𝑃=𝑂𝑃=4，则直线𝑙的解析式 【答案】【答案】𝑦=3𝑥或𝑦=−【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据𝐴𝑃𝑂𝑃4，结合𝑂𝐴4，得到𝐴𝑂𝑃为等边三角形，分点𝑃在𝐴点上方和点𝑃在𝐴点下方两种情况，求出点𝑃的坐标，待定∴𝑂𝐴=∵𝐴𝑃=𝑂𝑃=∴𝐴𝑃=𝑂𝑃=𝑂𝐴=𝑂𝐴𝑃∴∠𝑃𝑂𝐴=过点𝑃作𝑃𝐵⊥𝑥轴，则：𝑃𝐵=𝑂𝑃sin60°=4×3=23，𝑂𝐵=𝑂𝑃cos60°=4×1=∴𝑃2,23或𝑃2,−23设直线𝑙的解析式为𝑦=∴当𝑃2,23时，23=2𝑘，解得𝑘=3，此时𝑦=当𝑃2,−23时，−23=2𝑘，解得𝑘=−3，此时𝑦=−3𝑥；综上：𝑦=3𝑥或𝑦=−3𝑥；故答案为：𝑦=3𝑥或𝑦=−【变式1】（2026·江苏无锡·一模）写出一个函数表达式，使它的图像经过(3,0)，且𝑥>0时，y随x的增大 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为𝑦=𝑘𝑥+∵𝑥>0时，𝑦随𝑥∴𝑘<令𝑘=−1，可得函数为𝑦=−𝑥+将点(3,0)代入𝑦=−𝑥+𝑏得0=−3+𝑏，解得𝑏=3，因此符合条件的函数表达式可以为𝑦=−𝑥+3．【答案】𝑦=−3𝑥+5/𝑦=根据题意得出一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象也经过点(1,2)【详解】解；由题意可知，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象也经过点(0+1,5−3)，即【答案】𝑦=−3𝑥+5/𝑦=根据题意得出一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象也经过点(1,2)【详解】解；由题意可知，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象也经过点(0+1,5−3)，即𝑏=∴𝑘+𝑏=2𝑘=𝑏=5∴此函数表达式是𝑦=−3𝑥故答案为：𝑦=−3𝑥+3】（2025·江苏泰州·三模）设一次函数𝑦2𝑥2的图象为𝑙1，二次函数𝑦=(𝑥−2)2l，则𝑙1关于l对称的图形𝑙2对应的函数关系式 【答案】【答案】𝑦=−2𝑥+l为直线𝑥=2，求出点(0,2)和(−1,0)l对称的点坐标分别为(4,2)和(5,0)，由对称性可得𝑙2【详解】解：对于𝑦=2𝑥+当𝑥=0时，𝑦=2；当𝑦=0时，则2𝑥+2=0，解得𝑥=∴𝑙1经过点(0,2)和∵∵二次函数𝑦(𝑥−2)2∴l为直线𝑥=设𝑙2的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，代入点(4,2)和(5,0)5𝑘𝑏=0𝑘=解得𝑏=10∴𝑙2的函数关系式为𝑦=−2𝑥+4𝑘+𝑏=故答案为：𝑦=−2𝑥+中考预测题点𝐴(𝑚,𝑦1)，𝐵(𝑚+3,𝑦2)是函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象上的两点，若𝑦1−𝑦2=6，则𝑘= 【答案】【答案】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可用含𝑘，𝑏，𝑚的代数式表示出𝑦1，𝑦2，结合𝑦1−𝑦2=6，可kk值．【详解】解：∵点𝐴(𝑚,𝑦1)，𝐵(𝑚+3,𝑦2)是函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏∴𝑦1=𝑘𝑚+𝑏，𝑦2=𝑘(𝑚+3)∵𝑦1−𝑦2=6，即𝑘𝑚𝑏−𝑘(𝑚3)+𝑏=6，解得：𝑘=−2．对于实数𝑎，𝑏，我们定义符号max{𝑎,𝑏}的意义为：当𝑎≥𝑏时，max{𝑎,𝑏}=𝑎．当𝑎<𝑏=𝑏；如：max{5,5}=5，max{−3,2}=2，若关于𝑥的函数为𝑦=max{𝑥3,−𝑥1} 【答案】【答案】≥−=时，𝑦=−𝑥+1【详解】解：当𝑥3≥−𝑥+1，即：𝑥≥−1时，𝑦=𝑥∵1>∴𝑦随着𝑥∴∴当𝑥=−1时，𝑦有最小值为：−13=当𝑥3<−𝑥+1，即：𝑥<−1时，𝑦=−𝑥+∵当𝑥=−1时，𝑦=−(−1)+1=∴当𝑥<−1时，𝑦>2，正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝑂,𝐴2𝐵2𝐶2𝐶1,𝐴3𝐵3𝐶3𝐶2,⋯按照如图的方式摆放，点𝐴1,𝐴2,𝐴3,⋯在直线𝑦=−𝑥+1上，点𝐶2,𝐶3,⋯在𝑥轴上，则点𝐵2025的坐标 −22025+1,22024/得到规律：𝐵𝑛−2𝑛+1,2𝑛−1，据此即可求解．【详解】解：∵点𝐴1,𝐴2,𝐴3,⋯在直线𝑦=−𝑥+1上，点𝐶1,𝐶2,𝐶3,⋯在𝑥轴上，且当𝑥=0时，𝑦=当𝑥=−1时，𝑦=2，当𝑥=−3时，𝑦=4，∴𝐵𝑛−2𝑛+1,2𝑛−1∴𝐵2025−22025+1,22024−22025+1,22024考点三一次函数与方程（组）、不等式（组1.一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏与一元一次万程的关系：方程𝑘𝑥+𝑏=0的解⟺直线与轴交点的横坐标𝑘𝑥𝑏>0⟺直线在𝑥轴上方的部分对应的𝑥𝑘𝑥𝑏＜0⟺直线在𝑥轴下方的部分对应的𝑥𝑦1>𝑦2⟺直线𝑦1在𝑦2上方对应的𝑥命题点01【典例】（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图象分别与𝑥轴、𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，若𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=2，则关于𝑥的方程𝑘𝑥+𝑏=0的解为 【答案】【答案】𝑥=【详解】解：∵𝑂𝐴=∴𝐴(−4,0)，即一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图象𝑥轴交点坐标为∴关于𝑥的方程𝑘𝑥𝑏=0的解为𝑥=−4，故答案为：𝑥=−4．1】（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象，则关于𝑥的方程𝑘𝑥+𝑏=的解 【答案】𝑥【答案】𝑥=【详解】解：关于𝑥的方程𝑘𝑥𝑏=0的解，就是一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏x轴交点的横坐标，观察图象知，𝑥=−2；故答案为：𝑥=2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)x、yA、B两点，若𝑂𝐴=2，𝑂𝐵=1，则关于x的方程𝑘𝑥+𝑏=0的解 【答案】𝑥【答案】𝑥=【详解】解：∵𝑂𝐴=∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与𝑥轴交于点∴当𝑦=0时，𝑥=−2，即𝑘𝑥+𝑏=0时，𝑥=∴关于𝑥的方程𝑘𝑥𝑏=0的解是𝑥=−2．故答案为：𝑥=−2．=+(0,3)．则关于x的方程𝑘𝑥+𝑏=3的解 【答案】【答案】𝑥=方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值．方程𝑘𝑥𝑏=3的解即为当𝑦=3时方程的解，而一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏y轴交于点(0,3)，则当𝑦=时，𝑥=0【详解】解：方程𝑘𝑥𝑏=3的解即为当𝑦=3∵一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏y轴交于点∴当𝑦=3时，𝑥=0，故答案为：𝑥=0．命题点02【典例】（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图像分别与𝑥、𝑦轴交于𝐴、𝐵两点，若𝑂𝐴=2，𝑂𝐵=1，则关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏≥0的解集为 【答案】𝑥【答案】𝑥≥𝑥【详解】解：∵𝑂𝐴=∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与𝑥轴交于点∴关于𝑥的不等式𝑘𝑥𝑏≥0的解集为𝑥≥−2．故答案为：𝑥≥−2．1】（2026·山东滨州·一模）已知函数𝑦=3−|𝑥−2|的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（A．点A的坐标为 B．直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+C．不等式3−|𝑥−2|>0的解集为−1<𝑥<4D．当𝑥>1时，yx【答案】【答案】【分析】去绝对值化简得当𝑥≥2时，𝑦=−𝑥5，𝐵(2,3)，当𝑥<2时，𝑦=𝑥1，结合图象逐项判断即可【详解】解：当𝑥≥2时，𝑦=3−(𝑥−2)=−𝑥5，令𝑦>0，则−𝑥5>0，解得：𝑥<5；当𝑥=2时，𝑦=−2+5=3，则𝐵(2,3)；当𝑥<2时，𝑦=3+𝑥−2=𝑥1，令𝑦>0，则𝑥1>0，解得𝑥>当𝑥≥2时，𝑦=0，则−𝑥+5=0，解得𝑥=5，则𝐴(5,0)当𝑥≥2时，𝑦=−𝑥+5，即直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+5不等式不等式3−|𝑥−2|>0的解集为−1<𝑥<5当𝑥2时，yx2】（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏的图象与𝑥轴交于点(2,0)，与𝑦轴交于点(0,3)．则关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏≥0的解集为（）A．𝑥≥ B．𝑥≤ C．𝑥≥ D．0≤𝑥≤【答案】【答案】数𝑦𝑘𝑥𝑏的值大于（或小于）0x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线𝑦𝑘𝑥𝑏x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．据此结合图象即可得出答案．【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与𝑥轴相交于点∴当𝑥≤2时，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏x∴关于𝑥的不等式𝑘𝑥𝑏≥0的解集为𝑥≤2．3】（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（k、b𝑘≠0）x轴交于点𝐴(2,0)y轴交于点𝐵(0,6)，根据图象可知0<𝑘𝑥+𝑏<6的解集为（A．𝑥< B．0<𝑥< C．𝑥> D．𝑥<0或𝑥>【答案】【答案】≠∴0<𝑘𝑥+𝑏<6的解集为0<𝑥<2，4】（20-21八年级上·江苏南京·期末）如图，若函数𝑦=𝑘𝑥𝑏的图象经过点𝐴(−3,2)x的不等式𝑘𝑥+𝑏<2的解集为（）．A．𝑥> B．𝑥< C．𝑥> D．𝑥<【答案】【答案】𝑦=𝑘𝑥𝑏的值大于（或小于）0x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线𝑦=𝑘𝑥+x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．𝑥−3时函数𝑦=𝑘𝑥𝑏2，故不等式𝑘𝑥𝑏<2的解集为𝑥>命题点03与𝑦=𝑚𝑥+𝑛（𝑚，𝑛为常数，𝑚≠0）的图象相交于点(1,−2)，则不等式−𝑥−1<𝑚𝑥+𝑛的解集在数轴上表示为（）【答案】 【答案】【详解】解：由一次函数的图象可知，当𝑥>1时，一次函数𝑦=−𝑥−1的图象在一次函数𝑦=𝑚𝑥𝑛的图象∴不等式−𝑥−1<𝑚𝑥𝑛的解集是𝑥>1，1】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦1=𝑥1与𝑦2=𝑎𝑥+𝑏（a、均为常数，且𝑎≠0）的图象相交于点𝑃(1,2)x的不等式𝑎𝑥𝑏−𝑥≤1的解集是（A．𝑥≥ B．𝑥≤ C．𝑥≥ D．𝑥≤【答案】【答案】x的不等式𝑎𝑥+𝑏≤𝑥1的解集是𝑥≥∴x的不等式𝑎𝑥𝑏−𝑥≤1的解集是𝑥≥1，2（2025·湖北孝感·三模𝑦𝑘𝑥𝑏与𝑦=𝑚𝑥𝑛的图象交于点(2,−1)，且𝑦=𝑘𝑥经过点(1,0)，则关于𝑥的一元一次不等式𝑘𝑥𝑏>𝑚𝑥𝑛的解集是（A．𝑥< B．𝑥> C．𝑥< D．𝑥>【答案】【答案】想，且结合一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑦=𝑚𝑥+𝑛的图象交于点(2,−1)，且𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点(1,0)，即可得出𝑘𝑥𝑏>𝑚𝑥𝑛【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑦=𝑚𝑥+𝑛的图象交于点(2,−1)，且𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点∴当𝑘𝑥𝑏>𝑚𝑥𝑛时，则𝑥>2，命题点04【典例】（2026·陕西西安·一模）已知一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏（𝑎、𝑏为常数，𝑎≠0）与𝑦=𝑘𝑥𝑛（𝑘、𝑛𝑦−𝑎𝑥=数，𝑘≠0）的图象交于点𝑃(1,3)，则关于𝑥、𝑦𝑦−𝑘𝑥=𝑛的解是（𝑥=

𝑥=

𝑥=

𝑥=A．𝑦=

𝑦= C．𝑦= D．𝑦=【答案】【答案】【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑦=𝑘𝑥+𝑛的图象交于点∴关于𝑥、𝑦𝑦=𝑘𝑥𝑛𝑦−𝑘𝑥=𝑛𝑦=3𝑦=𝑎𝑥+𝑦−𝑎𝑥=𝑥=𝑦=𝑥+ 𝑥=1】（2026·陕西西安·一模）已知关于𝑥，𝑦𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑦=𝑚直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘，𝑏为常数，且𝑘≠0）与直线𝑦=𝑥2相交于点𝑃，则点𝑃的坐标为（ 【答案】【答案】【详解】解：∵关于𝑥，𝑦𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑦=𝑚𝑦=𝑥+𝑥=∴𝑚∴𝑚=3+∴𝑚=∴𝑥，𝑦𝑦=𝑘𝑥𝑏𝑦=5二元一次方程组的解就是两个一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏和𝑦=𝑥2𝑦=𝑥+𝑥=2】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦1=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)与=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（A．𝑦1随𝑥B．𝑏>C．当𝑥>2时，𝑦1>𝑎𝑥−𝑦=

𝑥=Dx,y𝑚𝑥−𝑦=−𝑛𝑦=【答案】【答案】【详解】解：A、𝑦1随𝑥AB、由图象可知，一次函数𝑦1=𝑎𝑥𝑏(𝑎≠0)的图象与𝑦轴的交点在𝑦2=𝑚𝑥𝑛(𝑚≠0)的图象与𝑦轴的交点的上方，即𝑏>𝑛B正确，不符合题意；由图象可知：当𝑥>2时，𝑦1<𝑦2C由图象可知，两条直线的交点为∴关于𝑥，𝑦𝑚𝑥−𝑦=−𝑛𝑦=3D𝑎𝑥−𝑦=𝑥=命题点05【典例】（2026·陕西西安·一模）将直线𝑦=2𝑥1向上平移3个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（） 【答案】【答案】将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为𝑦2𝑥1，向上平移平移后直线解析式为𝑦=2𝑥+1+3=2𝑥+当𝑥=0时，𝑦=4，即平移后直线与𝑦轴交点为当𝑦=0时，2𝑥+4=0，解得𝑥=−2，即平移后直线与𝑥轴交点为直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为|−2|=2和∴三角形面积为2×2×4=1】（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线𝑙1∶𝑦=3𝑥与直线𝑙2∶𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘≠0)点𝑃(𝑚,3)，直线𝑙2与𝑥轴交于点𝐴，则△𝐴𝑂𝑃的面积为（ 【答案】【答案】𝑃(𝑚,3)在直线𝑙1𝑦3𝑥∴3=∴𝑚=∴将𝑃(2,3)代入𝑙2∶𝑦=𝑘𝑥+得3=2𝑘1，解得𝑘=1，故𝑙2∶𝑦=𝑥+∵直线𝑙2与𝑥轴交于点∴0=𝑥+∴𝑥=∴∴𝑂𝐴=∴△𝐴𝑂𝑃=2×1×3=2】（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线𝑦1=𝑥，𝑦2=−𝑥面积

=3𝑥+

【答案】设直线𝑦1=𝑥，𝑦2=−𝑥2交于点𝐴，直线𝑦1=

=3𝑥+

交于点𝐵，直线𝑦2=−𝑥

=3𝑥+2于点𝐶，通过解方程组，可求出点𝐴，𝐵，𝐶【详解】解：设直线𝑦1=𝑥，𝑦2=−𝑥+2交于点𝐴，直线𝑦1=

=3𝑥+

交于点𝐵，直线𝑦2=−𝑥+𝑦3

𝑥+2交于点𝑦=联立直线𝑦1，𝑦2𝑦=−𝑥+2𝑥=𝑦=1∴点𝐴的坐标为过点𝐵作𝐵𝐸𝑦轴于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹𝑦轴于点𝐹，则𝐵𝐸=3，𝐴𝐹=1∴∴𝑆△𝐴𝐵𝐶==2𝑂𝐶⋅𝐵𝐸−2𝑂𝐶⋅ =2×2×3−2×2×= =∴直线𝑦1=𝑥，𝑦2=−𝑥+2，𝑦3=1𝑥+2围成三角形的面积为中考预测题1△𝑂𝐴𝐵△𝑂′𝐴′𝐵′A和𝐴′坐标分别是(7,−4)，则位似中心C的坐标 【答案】【答案】【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线𝐴𝐴′𝑦=−𝑥+3x【详解】解：∵A与𝐴′是对应点，𝐵与𝐵′∴𝐴𝐴′与𝐵𝐵′C∵𝐵与𝐵′x∴Cx设直线𝐴𝐴′的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，把(1,2),(7,−4)【答案】𝑦【答案】𝑦=−𝑥+6或𝑦=−𝑥−𝑘+𝑏=7𝑘+𝑏=−4𝑘=𝑏=3∴直线𝐴𝐴′的解析式为：𝑦=−𝑥+把𝑦=0代入得：−𝑥3=0，解得：𝑥=32．如图，直线𝐴𝐵的函数关系式为𝑦=𝑎𝑥+𝑏，直线𝐶𝐷的函数关系式为𝑦=𝑥−2，两直线交点的纵坐标为2，当𝑥−2≥𝑎𝑥+𝑏时，x的取值范围是 【答案】𝑥【答案】𝑥≥2，把𝑦2代入𝑦=𝑥−2，求出𝑥=4，再运用数形结合思想得出当𝑥−2≥𝑎𝑥𝑏时，x的取值范围是𝑥≥4，即可作答．∴把𝑦=2代入𝑦=𝑥−2，得2=𝑥−2，解得𝑥=4，观察函数图象，得当𝑥−2≥𝑎𝑥𝑏时，x的取值范围是𝑥≥故答案为：𝑥≥3．定义：在平面直角坐标系中，若𝑚−𝑛≠−2，称点(𝑚,𝑛)与点(𝑛−2,𝑚+2)互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 l的解析式为𝑦𝑘𝑥𝑏，将点(𝑚,𝑛)和(𝑛−2,𝑚2)𝑛=𝑘𝑚+𝑚2=(𝑛−2)𝑘+𝑏，解得𝑘=∴l的表达式为𝑦=−𝑥当𝑥0时，𝑦=𝑏ly轴交点为当𝑦0时，0=−𝑥𝑏，解得𝑥=𝑏lx轴交点为∴𝑆=×|𝑏|×|𝑏|=∴𝑏=±∴直线的表达式𝑦=−𝑥+6或𝑦=−𝑥−6．故答案为：𝑦=−𝑥+6或𝑦=−𝑥−6．考点四一次函数与几何综合1.设：𝑦𝑘𝑥𝑏；2.代：代入题目给的两个点坐标；3.解k，b；4.写：写出完整解析式，并检验k≠01.与坐标轴交点：令𝑥=0,𝑦=第3步：根据问题选择模型确定底和高（用横坐标差、纵坐标差3.公式：𝑆=1×底×命题点01【典例】（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数𝑦𝑥−1的图象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘0)求𝑚、𝑛若在𝑥轴上存在点𝑃(𝑎,0)𝐴𝐵𝑃6，求𝑎【答案】(1)𝑚= 𝑛=−2，𝑦=(2)𝑎=5或𝑎=ABm、nAB的坐标，再把A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；（2）设直线𝑦=𝑥−1xC，则𝐶(1,0)，根据

=

+

=6可

2×1⋅𝑃𝐶+2×2𝑃𝐶=【详解】（1）解：∵一次函数𝑦=𝑥−1的图象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象交于点𝐴(𝑚,1)、∴𝑚−1=1，−1−1=∴𝑚=2，𝑛=∴1=∴𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=（2）解：如图所示，设直线𝑦=𝑥−1x在𝑦=𝑥−1中，当𝑦=𝑥−1=0时，𝑥=∵𝑆△𝐴𝑃𝐵=𝑆△𝐴𝑃𝐶+𝑆△𝐵𝑃𝐶=∴𝑃𝐶

+𝑃𝐶

)= ∴1×1⋅𝑃𝐶

1×2𝑃𝐶=∴𝑃𝐶=∴|𝑎−1|=∴𝑎=5或𝑎=1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=𝑥𝑦=𝑎𝑥+𝑏的图象交于点𝑂𝐴𝐵【答案】(1)反比例函数的表达式为𝑦=−𝑥，一次函数的表达式为𝑦=−2𝑥+△△△【详解】（1）解：由题意得：将点𝐴(−1,6)代入𝑦=

𝑘=−1×6=𝑥所以反比例函数的表达式为𝑦=𝑚=将点𝐵(𝑚,−2)代入𝑦=−6可得 6𝑚= −𝑎+𝑏=将点𝐴(−1,6)，𝐵(3,−2)代入𝑦=𝑎𝑥𝑏3𝑎+𝑏=−2

𝑎=𝑏=4所以一次函数的表达式为𝑦=−2𝑥+（2）解：如图，设一次函数的图象与𝑥轴的交点为点将𝑦=0代入一次函数𝑦=−2𝑥+4得：−2𝑥4=0，解得𝑥=所以一次函数的表达式为𝑦=−2𝑥+（2）解：如图，设一次函数的图象与𝑥轴的交点为点将𝑦=0代入一次函数𝑦=−2𝑥+4得：−2𝑥4=0，解得𝑥=∴𝑂𝐶=由（1）𝐴𝑂𝐶的𝑂𝐶边上的高为|6|=6𝐵𝑂𝐶的𝑂𝐶边上的高为|−2|=∴△𝑂𝐴𝐵的面积为𝑆△𝐴𝑂𝐶+ =×2×6+×2×2=ak设直线𝐴𝐵x轴、yC，D，求△𝐶𝑂𝐷【答案】【答案】(1)𝑎=−2，𝑘=a、k（1）A、B6𝑎+4=62𝑎+4=解得𝑎=−2，𝑘=（2）解：由（1）知直线𝐴𝐵对应的一次函数表达式为𝑦=−1𝑥+在𝑦=−1𝑥+4中，令𝑦=0，得𝑥=8，令𝑥=0，得𝑦=∴𝑂𝐶=8．𝑂𝐷=∴△𝐶𝑂𝐷的面积为2𝑂𝐶𝑂𝐷=2×8×4=命题点02B恰好落在点𝐵′(𝑎,0)处．a(3)若直线𝑦=−𝑥+𝑡与直线𝐴𝑀的交点在直线𝑥=𝑎t【答案】【答案】(1)𝑎=(2)𝑦=1𝑥+(3)𝑡<（1）根据题意得出𝑂𝐴=6,𝑂𝐵=8（2）设𝑂𝑀=𝑥，根据折叠的性质，得𝐵𝑀=𝐵′𝑀=8−𝑥，𝑂𝐵′=4M的坐标，再利【详解】（1）∴𝑂𝐴=6,𝑂𝐵=∵∠𝐴𝑂𝐵=∴𝐴𝐵 𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=∵将△𝐴𝐵𝑀沿直线𝐴𝑀B恰好落在点𝐵′(𝑎,0)∴𝐴𝐵′=𝐴𝐵=∴𝑂𝐵′=10−6=∴𝑎=（2）设𝑂𝑀=根据折叠的性质，得𝐵𝑀=𝐵′𝑀=8−𝑥，𝐴𝐵=𝐴𝐵′，由（1）得𝑂𝐵′=4，∵𝐵′𝑀2=𝑂𝑀2∴(8−𝑥)2=42+𝑥2，解得𝑥=3，故设直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=𝑘𝑥+∴−6𝑘+3=解得𝑘= 𝑦=2𝑥+（3）由（1）得：𝑎=∴直线𝑦=−𝑥+𝑡与直线𝐴𝑀的交点在直线𝑥=4当当𝑥=4时，𝑦=1𝑥+3=1×4+3=∵直线𝑦=−𝑥+𝑡与直线𝐴𝑀的交点在直线𝑥=𝑎∴直线𝑦−𝑥𝑡N∴5=−4𝑡，解得：𝑡=∴t的取值范围为𝑡<1】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数𝑦1=𝑎𝑥𝑏的图象与反比例函数𝑦2=𝑘(𝑥>0)象交于点(2)利用图像，直接写出不等式𝑎𝑥+𝑏>𝑥的解集 xC，使△𝐴𝐵𝐶【答案】【答案】=(𝑥>0)；𝑦1𝑥+(2)2<𝑥<(3)C的坐标为(5,0)△𝐴𝐵𝐶的周长有最小值，最小值为42+2BABBxD，连接𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐷𝐶，𝐴𝐷，则𝐷(2,−3)，由轴对称的性质可得𝐷𝐶=𝐵𝐶；由两点距离计算公式可得𝐴𝐵=25△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶+𝐵𝐶+25，根据𝐴𝐶+𝐷𝐶≥𝐴𝐷，可推A、C、D三点共线时，𝐴𝐶+𝐷𝐶有最小值，即此时△𝐴𝐵𝐶的周长有最小值，最小值为𝐴𝐷+25，利用两点距离计算公式可得𝐴𝐷=42，则△𝐴𝐵𝐶的周长的最小值为42+25；求出直线𝐴𝐷解析式为𝑦=𝑥−5，在𝑦=𝑥−5中，当𝑦=𝑥−5=0时，𝑥=5，则𝐶(5,0)．【详解】（1）解：∵反比例函数𝑦2=𝑘(𝑥>0)的图象经过∴1=解得𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦2=6(𝑥>在𝑦2=6(𝑥>0)中，当𝑥=2

=2=∵一次函数𝑦1=𝑎𝑥+𝑏的图象与反比例函数𝑦2=𝑘(𝑥>0)的图象交于点6𝑎+𝑏=∴2𝑎+𝑏=3𝑎=−解 2𝑏=

=−𝑥+（2）解：由函数图象可知，当一次函数𝑦1=−1𝑥4的图象在反比例函数𝑦2=6(𝑥>0) 量的取值范围为2<𝑥<∴不等式𝑎𝑥+𝑏>𝑥的解集为2<𝑥<（3）BxD，连接𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐷𝐶，𝐴𝐷，则由轴对称的性质可得𝐷𝐶=∴𝐴𝐵 (2−6)2+(3−1)2=2𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐶2∴当𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶∵𝐴𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐶+∴当𝐴𝐶𝐷𝐶𝐴𝐵𝐶∵𝐴𝐶+𝐷𝐶≥∴A、C、D三点共线时，𝐴𝐶𝐷𝐶有最小值，即此时𝐴𝐵𝐶的周长有最小值，最小值为𝐴𝐷+2∴𝐴𝐷 (2−6)2+(−3−1)2=4𝐴𝐵𝐶的周长的最小值为42+26𝑘+𝑏=设直线𝐴𝐷解析式为𝑦=𝑘1𝑥+𝑏12𝑘+𝑏=−3𝑘=∴𝑏=−5∴直线𝐴𝐷解析式为𝑦=在𝑦=𝑥−5中，当𝑦=𝑥−5=0时，𝑥=C的坐标为(5,0)△𝐴𝐵𝐶的周长有最小值，最小值为42+2线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+2−𝑘(𝑘≠0)恒过定点𝐷．求定点𝐷k的所有值．【答案】𝑘的取值范围是

≤𝑘≤

且𝑘≠(3)𝑚=𝑘+2k的值为【分析】（1）将函数解析式变形为𝑦=𝑘(𝑥−1)+2，可得当𝑥=1时，𝑦=2，不管𝑘0成立，即可得到定点𝐷=

𝑘

且𝑘≠𝑘=

−≤𝑘≤（3）先利用待定系数法求出线段𝐴𝐵所在直线的函数解析式为𝑦=−2𝑥9，再由点𝐶是直线𝑙和直线𝐴𝐵点，得到−2𝑚+9=𝑘𝑚+2−𝑘，整理得到𝑚=1+𝑘+2，进而推出当𝑚是正整数时，𝑘+2k【详解】（1）解：∵𝑦=𝑘𝑥+2−𝑘=𝑘(𝑥−1)当𝑥=1时，𝑦=2，不管𝑘0（2）解：当直线𝑙经过点𝐴(2，5)时，将𝐴(2，5)代入，得2𝑘2−𝑘=5，解得𝑘=当直线𝑙经过点𝐵(4，1)时，将𝐵(4，1)代入，得4𝑘2−𝑘=1，解得𝑘=∴𝑘的取值范围是

≤𝑘≤3且𝑘≠（3）解：设𝐴𝐵所在直线的函数解析式为𝑦=𝑘1𝑥+将𝐴(2，5)，𝐵(4，1)2𝑘1+𝑏=5𝑘1=−24𝑘1+𝑏= 𝑏=∴线段𝐴𝐵所在直线的函数解析式为𝑦=−2𝑥∴−2𝑚∴−2𝑚+9=𝑘𝑚+∴𝑚=𝑘+2=1+命题点03如图1，已知图𝑊1：线段𝐴𝐵，𝐴(−1,−1)，𝐵(1,−1)．在𝑃1(−1,0)，𝑃2(1,2)中， =3，已知图𝑊3⊙𝑇，圆心为𝑇(0,𝑡)，半径为1．若𝑥轴上存在点𝑃是图𝑊3的“映射点”，请直接写出【答案】【答案】(3)−2≤𝑡≤根据定义，观察𝑃1(−1,0)，𝑃2(1,2)，经过𝑂𝑁对称后，判断对称点是否在𝐴𝐵根据正方形的顶点到𝑂的距离为2，则对称之前的点到原点的距离为2，进而求得𝑏的最大值，将(−1,1)代入𝑦=𝑥𝑏得，1=−1𝑏（3）根据新定义，找到临界值，即𝑂𝑃′为⊙𝑇的切线时的情形，求得𝑡【详解】（1）解：如图，当𝐴,𝑁重合时，𝑃1关于𝑂𝑁的对称点为(0,−1)，在线段𝐴𝐵∴𝑃1(−1,0)是图𝑊1的“映射点解：依题意，正方形的顶点到𝑂的距离为12+12=∴当𝑙:𝑦=𝑥+𝑏上存在点𝑃是图𝑊2的“映射点”，则点𝑂到𝑦=𝑥+𝑏的距离为∴当𝑦=𝑥+𝑏经过点𝐷时，𝑏的值最大，将𝐷(−1,1)代入𝑦=𝑥𝑏得，1=−1𝑏解得：𝑏=∴𝑏的最大值解：如图，𝑂𝑁,𝑂𝑃′⊙𝑇当𝑃′为𝑊3的“映射点∴∠𝑃′𝑂𝑁=又∵∠𝑃′𝑂𝑁=∠𝑇𝑂𝑁=设设∠𝑃𝑂𝑁=𝛼，则∠𝑇𝑂𝑁=∴∠𝑃′𝑂𝑁=∠𝑃𝑂𝑁=2∠𝑇𝑂𝑁=∴180°−2𝛼=解得：𝛼=∴∠𝑃𝑂𝑁=60°，∠𝑇𝑂𝑁=∵𝑇𝑁=∴𝑂𝑇=当𝑡减小时，𝑃关于𝑊3的“映射点”，在𝑊3即⊙𝑇∴𝑡≤当𝑡<0时，根据对称性可得𝑡≥综上所述，−2≤𝑡≤1】（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦PW Q在𝑃𝑂的延长线上，使得𝑄𝑂=2QWPW的“2分点” =，因为点Q在线段P是线段𝐴𝐵的“2分点

1，已知图形1：线段

，在12,−1

中 是形𝑊1的“2分点2，已知图形𝑊2：线段𝐵𝐶，𝐵(2,2)，𝐶(5,2)，若直线𝑀𝑁:𝑦−𝑥𝑏P是图形𝑊2的“分点”b【答案】3，已知图形𝑊3：以𝑇(𝑡,1)1的𝑇，若以𝐷(−1,−2)，𝐸(−1,1)，𝐹(2,1)为顶点的等腰直角三角形𝐷𝐸𝐹PP是图形𝑊3的“2分点【答案】(2)(3)1≤𝑡≤3或−1−2≤𝑡≤【分析】（1）作𝐵𝐶2∶1的位似图形𝐵′𝐶′，根据直线𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏P是图形𝑊2的“2分点”，得到直线𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏与𝐵′𝐶′有交点，进而得到当𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏过点𝐶′时，𝑏值最小，作△𝐷𝐸𝐹以原点为位似中心，位似比为1∶2的位似△𝐷′𝐸′𝐹′，得到𝑊3与△𝐷′𝐸′𝐹′有交点，求出⊙与𝐷′𝐸′相切以及⊙𝑇与𝐷′𝐹′相切，两种情况求出𝑡∵点𝑃是图形𝑊1的“2分点∴点𝑃在线段𝐴′𝐵′∵𝑃2(−1,−1),𝑃3(−1,−2)在线段𝐴′𝐵′∴𝑃2,𝑃3是图形𝑊1的“2分点”；作𝐵𝐶以原点为位似中心，位似比为2∶1的位似图形𝐵′𝐶′∴𝐵′(−1,−1)，𝐶−5,−1∵直线𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏P是图形𝑊2的“2分点∴直线𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏与𝐵′𝐶′∴当𝑀𝑁:𝑦=−𝑥+𝑏过点𝐶′时，𝑏 把𝐶2,−1，代入𝑦=−𝑥+𝑏，得：𝑏=∴𝑏的最小值为作𝐷𝐸𝐹以原点为位似中心，位似比为1∶2的位似∵等腰直角三角形𝐷𝐸𝐹PP是图形𝑊3的“2分点∴当𝑊3与△𝐷′𝐸′𝐹′当⊙𝑇与𝐷′𝐸′相切时，如图，则：𝑡=1或𝑡=∴1≤𝑡≤3当⊙𝑇与𝐷′𝐹′相切时，且切点为𝐺，连接𝑇𝐺，则：∠𝑇𝐺𝐸=𝐷𝐸𝐹∴△𝐷′𝐸′𝐹′∴𝐸𝐹𝐸′𝐹′∥𝑥∴∠𝐷′𝐹′𝐸′=∵以𝑇(𝑡,1)1的⊙∴𝑇点在直线𝐸𝐹上，𝑇𝐺=∴∠𝑇𝐸𝐺=∠𝐷′𝐸′𝐹′=∴𝐸𝑇=2𝑇𝐺=∴𝑡=−1−2或𝑡=∴−1−2≤𝑡≤综上：1≤𝑡≤3或−1−2≤𝑡≤3】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于点𝐴，直线𝑙（点𝐴不在𝑙上）𝐶，给出如下定义：若点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴′在𝐶上，则称点𝐴是𝐶关于直线𝑙的映像点，称线段𝐴𝐴′的长度为点𝐴与⊙𝐶的映像距离．⊙𝑂1，直线𝑙1：𝑦=𝑥+①在点𝐴 是⊙𝑂关于直线𝑙的映像点，该点与⊙𝑂的映像距离 ②点𝐵是⊙𝑂关于直线𝑙1的映像点，当点𝐵与⊙𝑂的映像距离最大时，点𝐵的坐标 已知点𝐸(−2,−1)，𝐹(2,−1)，点𝐷在𝑦𝐷𝐸𝐹为等边三角形．点𝑇(𝑡,2)𝑇1．若△𝐷𝐸𝐹上存在⊙𝑇关于过定点(2,2)的某一条直线的映像点，直接写出𝑡【答案】【答案】(1)①𝐴(−2,1)，2；②𝐵−22,2(2)−≤𝑡≤1或3≤𝑡≤【分析】（1）①②根据直径是圆中最大弦，故当点𝐵，𝑂′，𝑂，𝐵′B是直线与⊙𝑂′交点中靠近外侧的点，点𝐵与⊙𝑂的映像距离最大，求解即可；+𝐺最小，此时𝐺𝑇=|𝑡−2|H，连接𝐺𝐻,𝐺𝐹𝐺𝑇=1GE𝐺最大，此时𝐺𝑇=|𝑡−2|最大，解得𝐺𝑇=2，继而得到1≤𝐺𝑇≤2，继而得到1≤|𝑡−2|≤2后分类化简取点绝对值，当𝑡−2≥0时即𝑡≥2时，得1≤𝑡−2≤2，解得3≤𝑡≤2；当𝑡−2<0时即𝑡<2得1≤2−𝑡≤2，解得−≤𝑡≤【详解】（1）解：①O关于直线𝑙1：𝑦=𝑥+2的对称点为𝑂′，且点 根据题意，得2=2整理，得𝑛=𝑚+设直线𝑙1：𝑦=𝑥2xMyN，∴𝑂𝑁=𝑂𝑀=∴∠𝑂𝑁𝑀=∠𝑂𝑀𝑁=根据线段的垂直平分线性质，得𝑁𝑂=𝑁𝑂′=2，∠𝑂𝑁𝑀=∠𝑂′𝑁𝑀=∴∠𝑂′𝑁𝑂=∠𝑂𝑁𝑀+∠𝑂′𝑁𝑀=∴𝑂′𝑁∥𝑥轴，∵⊙𝑂∴⊙𝑂上的点关于直线𝑙1的映像点都应在以点𝑂′(−2,2)1为半径的⊙𝑂′上， −1,

3 5点 2

𝐴2

+

≠故

−1,

不在⊙𝑂′点𝐴3(−2,1)与𝑂′(−2,2)的距离为：𝑂′𝐴3= −2−(−2)2+(2−1)2=1，故𝐴3(−2,1)在⊙𝑂′上，符合题意；故点𝐴3(−2,1)是⊙𝑂关于直线𝑙1的映像点，设𝐴3(−2,1)在⊙𝑂上的映像点为∵∴𝐴3𝑀∥𝑦∴𝐴3𝑀=𝑀𝐴′3=∴故该点与⊙𝑂的映像距离为𝐴3𝐴′3 12+12=②解：根据直径是圆中最大弦，故当点𝐵，𝑂′，𝑂，𝐵′B是直线与⊙𝑂′交点中靠近外侧的B作𝐵𝐷⊥𝑥D，根据得∠𝐵𝑂𝐷=45°，且𝑂𝑂′ 22+22=2故𝐵𝑂=22故𝐵𝐷=𝐷𝑂=𝐵𝑂sin45°=222+1=2+ B故点𝐵−22,2+2 （2）P是⊙𝑇⊙𝑇关于过定点直线的对称圆为⊙𝑇′，由①在⊙𝑇′根据轴对称性质，得𝐺𝑇=𝐺𝑇′=|𝑡−2|，且𝐺,𝑇都在直线𝑦=2上，T在以𝐺(2,2)为圆心，以𝐺𝑇=|𝑡−2|为半径的圆上，∵⊙

的半径为2P在

𝑇′∴𝑃点在以𝐺(2,2)为圆心，以𝐺𝑇−1为半径的内圆上或𝐺𝑇+1 G与𝐷𝐹𝐺最小，此时𝐺𝑇=|𝑡−2|最小，H，连接𝐺𝐻,𝐺𝐹，∴𝐺𝐻⊥∴∠𝐺𝐻𝐹=因为点𝐸𝐹𝑥轴，𝐺𝐹𝑥轴，且𝐺𝐹=2−(−1)=∴𝐺𝐹⊥∴∠𝐺𝐹𝐸=𝐷𝐸𝐹∴∠𝐷𝐹𝐸=∴∠𝐺𝐹𝐻= ∴𝐺𝐻=2𝐺𝐹= ∴𝐺𝑇+2=解得𝐺𝑇=GE⊙𝐺最大，此时𝐺𝑇=|𝑡−2| ∴𝐺𝐸 + =∴

=解得𝐺𝑇=2故1≤𝐺𝑇≤2∴1≤|𝑡−2|≤2当𝑡−2≥0时即𝑡≥2时，得1≤𝑡−2≤

2，解得3≤𝑡≤2当当𝑡−2<0时即𝑡<2时，得1≤2−𝑡≤2，解得−≤𝑡≤−≤𝑡≤1或3≤𝑡≤2命题点04【典例】（2026·湖南怀化·一模）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题：1，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸,𝐹分别在边𝐴𝐵,𝐴𝐷上，连接𝐶𝐸，𝐵𝐹，𝐸𝐹，𝐶𝐹，线段𝐵𝐹，𝐶𝐸O，若𝐴𝐸=𝐷𝐹，证明：四边形𝐵𝐶𝐹𝐸为“双直四边形”；2，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(0,8)，𝐶(16,0)B在线段𝑂𝐶上，且𝐴𝐵=【答案】(1)(2)①𝐴𝐵=10，②存在，点𝐷的坐标为(16,20)【答案】(1)(2)①𝐴𝐵=10，②存在，点𝐷的坐标为(16,20)或【分析】（1）证𝐴𝐵𝐹𝐵𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐵𝐶𝐸（2）①在Rt𝐴𝑂𝐵H坐标，再求直线𝐵𝐷解