2026年中考数学二轮复习 专题12 几何作图与尺规作图专项(高频考点专练)

专题 几何作图与尺规作图专聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练）题型三作一个角的平分线（作垂线）题型五作圆及圆的切线问题题型六格点作图问题实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升5～8分，以填空题、作证明以小综合题形式考查，整体以低中档题为主，侧基础知识必备：掌握7关键点、作辅助线；明确中考作图失分点，会标注关键点、特殊符号（⊥、∠、=等）。2026题型稳定：作图题必考内容，无刻度直尺作题型 作一条线段等于已知线01】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形𝐵𝐷：①𝐴；②𝐴为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交𝑀，𝑁于点𝐵，𝐷；③分别以点𝐵，𝐷为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点𝐶；④连接𝐵，𝐷，𝐷．若𝐴=4°，则𝐷的大小是（） 【答案】【详解】解：作图可得𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶=∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐷=∵∠𝐴=∴∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐴=∴∠𝐶𝐵𝐷=1(180°−∠𝑀𝐵𝐶)=1(180°−44°)= 01】（2025·贵州贵阳·三模）如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐶=5，𝐶𝐵=3A为圆心，𝐴𝐷长为半径画弧，交边𝐴𝐵E，则𝐵𝐸的长为（） 【答案】根据平行四边形的性质得𝐴𝐷=𝐵𝐶=3,𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，再根据题意得𝐴𝐸=𝐴𝐷∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=3,𝐴𝐵=𝐶𝐷=5．根据题意，得𝐴𝐸=𝐴𝐷=3，∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=5−3=2．02】如图，在𝐴𝐵𝐶∠𝐵=49°𝐴,𝐶为圆心，𝐵𝐶,𝐴𝐵𝐷，连接𝐴𝐷,𝐶𝐷，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ 【答案】【详解】解：通过尺规作图操作可得𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐶𝐷=𝐴𝐵，又𝐴𝐶=𝐶𝐴，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷=∠𝐵=49°，△于点𝐸．下列结论不一定成立的是（）A．𝐷𝐹∥ B．∠𝐴=C．𝐷𝐸= 【答案】【详解】解：由作图可知，𝐶𝐷=𝐵𝐹,𝐵𝐶=∴𝐷𝐹∥𝐵𝐶，𝐵𝐹∥∴∠𝐴=A、B、D无法证明𝐷𝐸=𝐸𝐹，即𝐷𝐸=𝐸𝐹不一定成立．点D，连接𝐴𝐷．若𝐴𝐵=5，则𝐴𝐷的长为 【答案】【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出𝐴𝐷=𝐴𝐵【详解】解∶由作图可知∶𝐴𝐷=∵𝐴𝐵=∴𝐴𝐷=5，05】（2025·山西·中考真题）例如，下列各图中的线段𝐴𝐵与𝐶𝐷所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若𝐴𝐵=𝐶𝐷问题1：如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵<𝐴𝐷，若对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷互为双关联线段，则∠𝐴𝐶𝐵= 2：如图，在等边𝐴𝐵𝐶D，E分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐴的延长线上，且𝐴𝐸=𝐶𝐷，连接证明：延长𝐷𝐴交𝐵𝐸F．𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∵∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐸=180°，∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐶𝐷（依据∵𝐴𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐵𝐸=𝐴𝐷，∠𝐸=问题1中的∠𝐴𝐶𝐵= °，问题2中的依据 2C在线段𝐴𝐵3中作线段𝐴𝐵的双关联线段【分析】（1）设𝐴𝐶，𝐵𝐷O，利用矩形的性质及已知可证明𝐴𝑂𝐵是等边三角形，由等边三角形2的依据．（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=60°（3）∴𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝑂𝐵=𝐴𝑂𝐵∴∠𝑂𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝑂𝐴𝐵=2中的依据是：等角的补角相等；𝐴𝐹𝐵△𝐴𝐸𝐹∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐸𝐴𝐹+𝐴𝐶𝐵𝐴𝐶𝐷∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷+∵∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐸=∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐴𝐷=线段𝐴𝐷与线段𝐵𝐸作法一 作法二题型二作一个角等于已知角【典例上述方法通过判定△𝐶′𝑂′𝐷′≌△𝐶𝑂𝐷得到∠𝐴′𝑂′𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵△𝐶′𝑂′𝐷′≌△𝐶𝑂𝐷的依据是（O为圆心，任意长为半径画弧，分别交𝑂𝐴，𝑂𝐵作射线𝑂′𝐴′，以点𝑂′为圆心，𝑂𝐶长为半径画弧，交𝑂′𝐴′于点𝐶′；以点𝐶′为圆心，𝐶𝐷过点𝐷′作射线𝑂′𝐵′，则∠𝐴′𝑂′𝐵′= 【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，𝑂𝐶=𝑂′𝐶′，𝑂𝐷=𝑂′𝐷′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′，从而利用SSS△𝐶′𝑂′𝐷′≌△𝐶𝑂𝐷，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．【详解】解：由作图可得，𝑂𝐶=𝑂′𝐶′，𝑂𝐷=𝑂′𝐷′，𝐶𝐷=∴△𝐶′𝑂′𝐷′≌△∴判定△𝐶′𝑂′𝐷′≌△𝐶𝑂𝐷的依据是SSS，线段𝐴𝑃F；③F为圆心，𝐷𝐸G；④作直线𝑃𝐺，交线段𝐴𝐶Q．则𝐵𝐶的值为（ 【答案】【分析】本题考查了作图-点定义可得𝐴𝐵=2𝐴𝑃，由作图过程可得∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐵𝐴𝑃𝑄

=【详解】解：𝐴𝐵𝐶中，P是边𝐴𝐵∴𝐴𝐵=由作图过程可得，∠𝐴𝑃𝑄=∵∠𝐴=∴△𝐴𝑃𝑄∽△

，从而证明

∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=02】（2024·山东德州·中考真题）已知∠𝐴𝑂𝐵P为𝑂𝐴P作𝑂𝐵的平行线．下列作图痕迹的是（） 【答案】【详解】解：A、由作图知，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，且𝑃𝑂=∴∠1=∠2，∠1=∴∠2=B、由作图知，𝑃𝐷是∠𝐴𝑃𝐶的平分线，且𝑃𝑂=∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能说明∠2与∠4C、由作图知，𝑃𝑂=𝑂𝐷=𝐶𝐷=D、由作图知，∠1=03】（2025·吉林·中考真题）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=45°,∠𝐴>∠𝐴𝐶𝐵>∠𝐵径画弧，交边𝐶𝐵于点𝑁′；再以点𝑁′为圆心，𝑀𝑁C为圆心的弧相交于三角形内部的点𝑀′；（3）过点𝑀′画射线𝐶𝑀′交边𝐴𝐵D．下列结论的为（）A．∠𝐵= C．𝐷𝐵= D．𝐴𝐷+𝐷𝐶=【答案】由作图方法可得∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=45°，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠𝐵𝐷𝐶=90°，𝐵𝐷=𝐷𝐶，由大角对大边得到𝐵𝐶>𝐴𝐵，再由𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐴𝐵可得𝐴𝐷+𝐷𝐶<𝐵𝐶．【详解】解：由作图方法可得∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=45°A∴∠𝐵𝐷𝐶=180°−∠𝐵−∠𝐷𝐶𝐵=90°，𝐵𝐷=𝐷𝐶B、C∵∠𝐴>∠𝐴𝐶𝐵>∴𝐵𝐶>∵𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐷+𝐵𝐷=∴𝐴𝐷𝐷𝐶<𝐵𝐶D结论错误，符合题意；内部求作一点𝑃，使得∠𝐴𝑂𝑃=25°，且𝐶𝑃∥𝑂𝐵．（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图，点𝑃∴∠𝐴𝑂𝑃

2∠𝐴𝑂𝐵

1×50°=∵∠𝐴𝐶𝐹=∴𝐶𝑃∥05】（2024·吉林长春·中考真题）𝐴𝐵𝐶中，𝑂是边𝐴𝐵 A．∠𝐴𝑂𝑀= B．∠𝑂𝑀𝐶+∠𝐶=C．𝐴𝑀=

𝑂𝑀=【答案】性质得出∠𝑂𝑀𝐶∠𝐶=

=1，即可得出𝐴𝑀=，根据平行线分线段成比例得出 【详解】解：A．根据作图可知：∠𝐴𝑂𝑀∠𝐵A不符合题意；B．∵∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐵，∴∠𝑂𝑀𝐶∠𝐶=180∘B∴𝐴𝑂=∴𝐴𝑀=𝐴𝑂= ∴𝐴𝑀=𝐶𝑀CD．𝑂𝑀=2𝐴𝐵D题型 作一个角的平分01】（2026·湖北·模拟预测）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知𝐴𝐵12,𝐴𝐷=8BE，连接𝐵𝐸并延长交𝐶𝐷F，则𝐷𝐹的长为（ 【答案】质，可得∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐶𝐵𝐹，从而得到𝐶𝐹=𝐵𝐶=8，即可求解．∴∠𝐴𝐵𝐹=∵在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=12,𝐴𝐷=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=12,𝐵𝐶=𝐴𝐷=8,𝐴𝐵∥∴∠𝐵𝐹𝐶=∴∠𝐵𝐹𝐶=∴𝐶𝐹=𝐵𝐶=∴𝐷𝐹=𝐶𝐷−𝐶𝐹=4．01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10 【答案】∴∠𝐵𝐴𝐺=∵𝐴𝐷∥∴∠𝐵𝐺𝐴=∴∠𝐵𝐴𝐺=∴𝐴𝐵=𝐵𝐺=∵𝐵𝐶=∴𝐶𝐺=𝐵𝐶−𝐵𝐺=====内交于点F．作射线𝐴𝐹交𝐵𝐶于点D，则点D到𝐴𝐶的距离 【答案】23/23∠𝐵𝐴𝐶，求得𝐷𝐺=𝐷𝐵，∠𝐵𝐴𝐷=

1∠𝐵𝐴𝐶=30°【详解】解：作𝐷𝐺𝐴𝐶于点𝐺D到𝐴𝐶的距离为𝐷𝐺∵∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐷𝐺=∵Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐷

1∠𝐵𝐴𝐶=∵𝐴𝐵=2∴𝐷𝐵=𝐴𝐵⋅tan∠𝐵𝐴𝐷=2∴𝐷𝐺=𝐷𝐵=故答案为：203】（2025·陕西汉中·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，点𝐷在边𝐵𝐶上，连接𝐴𝐷，过点𝐷在𝐴𝐷右侧作射线𝐷𝐸⊥𝐴𝐷．请你用尺规作图法在射线𝐷𝐸上作一点𝐹，连接𝐴𝐹△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐵𝐶．（不写作关键是确定相似三角形的对应角，易错点是作角时的对应关系错误．解题思路：由△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐵𝐶且∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵=90∘，通过尺规作∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶，其与射线𝐷𝐸的交点即为点【详解】解：要使𝐴𝐷𝐹𝐴𝐵𝐶，已知∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵=90∘，只需使∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶（两角对应相等，三角通过尺规作∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶，射线𝐴𝐹与射线𝐷𝐸的交点𝐹𝐴𝐷𝐹𝐴𝐵𝐶．取𝑀𝑂为半径，以𝑁1的弧交于点[拓展探究【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究][初步尝试]经过圆心的直线平分扇形𝑂𝑀𝑁[拓展探究]𝑂𝐶𝐷①连接𝑀𝑁，分别以点𝑀和点𝑁为圆心，大于2𝑀𝑁两弧交于点𝑃，标注出点②分别以𝐸、𝐹为圆心，大于2𝐸𝐹的长为半径作弧，两弧交于点𝑃，标注出点[拓展探究∵∴扇形𝑂𝐶𝐷的面积∶扇形𝑂𝑀𝑁=𝑟2∶𝑅2=∴𝑅=只要画出𝑂𝑀或𝑂𝑁的中点即可05】（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=(2)若𝐵𝐶=3，sin𝐴=2，求△𝐴𝑂𝐶【答案】(1)𝐴𝑂𝐶的面积为连接点𝐶与两弧交点并延长交𝐴𝐵边于点𝑂，再以点𝑂为圆心，𝑂𝐵⊙𝑂；（2）由特殊角的三角函数值可得∠𝐴30°，结合角平分线的定义、等角对等边、解直角三角形的相关计算求出𝐵𝑂、𝑂𝐴△𝐴𝑂𝐶的面积．【详解】（1）𝐴𝐵𝐶=90°，sin𝐴=∴∠𝐴=𝑂𝐶是∠𝐴𝐶𝐵∴∠𝐴𝐶𝑂=∠𝑂𝐶𝐵

1∠𝐴𝐶𝐵=30°=∴𝐵𝑂=𝐵𝐶·tan30°

×3=1，𝑂𝐴=𝑂𝐶=2𝑂𝐵= ∴△𝐴𝑂𝐶的面积为2×𝑂𝐴×𝐵𝐶=2×2

=题型四作线段的垂直平分线（作垂线===以𝐴𝐶长为半径作弧，交𝐵𝐶于点𝐷；再分别以点𝐶和点𝐷为圆心，以大于2𝐷𝐶长为半径作弧，两弧相交于点作射线𝐴𝐸交𝐵𝐶于点𝐹，则𝐵𝐹的长为（ 【答案】度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知𝐴𝐹𝐶𝐷30𝐵𝐶=2𝐴𝐶=8,𝐶𝐹

1𝐴𝐶=2【详解】解：由作图可知：𝐴𝐹∴∠𝐴𝐹𝐶=∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐵=30°，𝐴𝐶=∴𝐵𝐶=2𝐴𝐶=8,∠𝐶=∴∠𝐹𝐴𝐶=90°−∠𝐶=∴𝐶𝐹

1𝐴𝐶=∴𝐵𝐹=𝐵𝐶−𝐶𝐹=6，01】（2025·福建漳州·三模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐶=62°，分别以点𝐴，𝐶于2𝐴𝐶的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于𝐸，𝐹两点，连接𝐸𝐹，𝐸𝐹与𝐴𝐶交于点𝑂，则的大小为（ 【答案】边的一半推出𝑂𝐵=𝑂𝐶，则∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐶=62°，据此可得答案．O是𝐴𝐶∵∠𝐴𝐵𝐶=∴𝑂𝐵=𝑂𝐶

∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐶=𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑂𝐵𝐶=28°．02】（2025·天津·一模）△𝐴𝐵𝐶AB为圆心，大于1𝐴𝐵两弧相交于M、N两点，连接𝑀𝑁，交𝐴𝐵于点H，以点H为圆心，𝐻𝐴的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，𝐵𝐶的长为半径作弧交𝐴𝐵于点D，连接𝐶𝐷，若∠𝐴=26°，则∠𝐵𝐷𝐶=（ 【答案】明∠𝐴𝐶𝐵=90°，易得∠𝐵=64°，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，连接𝐶𝐻．由作图可知，𝑀𝑁垂直平分线段𝐴𝐵，𝐻𝐴=𝐻𝐶,𝐵𝐷=∴𝐻𝐴=∵𝐻𝐴=∴𝐻𝐶=𝐻𝐴=∴∠𝐻𝐴𝐶=∠𝐻𝐶𝐴,∠𝐻𝐶𝐵+∵∠𝐻𝐵𝐶+∠𝐻𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐻𝐵𝐶∠𝐻𝐴𝐶∠𝐻𝐶𝐴∠𝐻𝐶𝐵=180°，即∠𝐻𝐶𝐴∠𝐻𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=(∠𝐻𝐶𝐴+∠𝐻𝐶𝐵)=∵∠𝐴=∴∠𝐵=90°−26°=∵𝐵𝐷=∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=1(180°−64°)=【变式内交于点𝐺；作射线𝐴𝐺，交𝐵𝐷于点𝐻．若𝐴𝐵=7，𝑂𝐻=2，则𝑆△𝐴𝐵𝐻= 【答案】作𝐻𝐼𝐴𝐵交𝐴𝐵I，根据菱形的性质可知𝐻𝑂𝐴𝐶，由作图可知𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐶，即𝐻𝐼=𝑂𝐻=2，进而根据【详解】如图，作𝐻𝐼𝐴𝐵交𝐴𝐵∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，即𝐻𝑂⊥𝐴𝐶，∴𝐻𝐼=𝑂𝐻= ∴𝑆△𝐴𝐵𝐻=2×𝐴𝐵×𝐻𝐼=2×7×2=【变式(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心𝑂（保留作图痕迹，不写作法【答案】(1)(2)根据平行四边形的性质结合题意得到𝐴𝐸∥

，即𝐴𝐸=𝑂𝐶𝐴𝐸=2𝐴𝐷,𝑂𝐶=【详解】（1）（2）∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐷= ∴𝐴𝐸𝑂𝐶，𝐴𝐸=2𝐴𝐷，𝑂𝐶=2𝐵𝐶，即𝐴𝐸=05】（2025·福建·中考真题）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵<(2)若𝐴𝐵=2,𝐴𝐷=4，求（1）【答案】(1)由作图可知，𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝐸𝐺∴𝐴𝐷∥∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐷𝐸𝑂=∴△𝐷𝑂𝐸≌△∴𝑂𝐸=由作图可知，𝑂𝐸=𝑂𝐺=𝑂𝐹=∵𝐸𝐺⊥（2）由（1）知：𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝑂𝐸=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴=在Rt𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵=2,𝐴𝐷=𝐴𝐵2+∴𝐵𝐷 =𝐴𝐵2+∴𝑂𝐷

1𝐵𝐷=∵𝐸𝐺⊥𝐷𝑂𝐸=∠𝐷𝐴𝐵=90°．又∵∠𝑂𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐵，∴△𝐸𝑂𝐷∽△

𝐴𝐵=𝐴𝐷2=4∴𝑂𝐸=在Rt△𝐸𝑂𝐻中，𝑂𝐸=∴𝐸𝐻=2𝑂𝐸 ∴正方形EFGH的边长 题型 作圆及圆的切线问01】（2025·青海西宁·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：𝐴𝐵𝐶⊙𝑂，作直径𝐴𝐸，连接(2)𝐴𝐵𝐸【答案】(1)(2)以𝑂为圆心，𝑂𝐴的长为半径画圆，延长𝐴𝑂⊙𝑂于点𝐸，连接𝐵𝐸，即可；（2）根据圆周角定理得到∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐶=90°,∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐸𝐵【详解】（1）∴∠𝐴𝐵𝐸=∵𝐴𝐷⊥∴∠𝐴𝐷𝐶=90°=∠𝐴𝐵𝐸，又∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，∴△𝐴𝐵𝐸∽△01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段𝐴𝐵8，O是𝐴𝐵上一点，且𝑂𝐴=3O𝑂𝐴为半径作圆在𝐴𝐵P使得𝐵𝑃⊙【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以𝑂𝐵𝑂在𝐴𝐵P02】（2026·陕西西安·一模）𝐴𝐵𝐶P在𝐵𝐶边上，请用尺规作图法，求作𝑂，使O在𝐴𝐵⊙𝑂与𝐵𝐶P．（保留作图痕迹，不写作法）P作𝐵𝐶的垂线，交𝐴𝐵O，O为圆心，以𝑂𝑃⊙𝑂𝑂𝑃⊙𝑂的半径，且𝑂𝑃⊥∴𝐵𝐶是𝑂∴⊙𝑂03】如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4，D是𝐵𝐶𝑂O在𝐵𝐶上，且𝑂B、D两点，与𝐴𝐵E；（尺规作图，不写作法，保留作【答案】(1)(2)𝐷𝐸=O一定在线段𝐵𝐷O在𝐵𝐶O为𝐵𝐷的中点，据此作线段𝐵𝐷的垂直平分线交𝐵𝐷OO为圆心，𝑂𝐵的长为半径画弧交𝐴𝐵E即可；由（1）可知，𝐵𝐷𝑂的直径，则∠𝐷𝐸𝐵=90°；由勾股定理可得𝐴𝐵𝐷𝐸𝐵 得到𝐴𝐶=𝐴𝐵【详解】（1）由（1）可知，𝐵𝐷𝑂的直径，∴∠𝐷𝐸𝐵=∵在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=𝐴𝐶2+∴𝐴𝐵𝐴𝐶2+∵D是𝐵𝐶∴𝐵𝐷

1𝐵𝐶=∵∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐶=90°，∠𝐷𝐵𝐸=∴△𝐷𝐸𝐵∽△

∴𝐴𝐶=𝐴𝐵3=∴𝐷𝐸=04】（2025·广东深圳·二模）已知直线𝑙⊙𝑂(1)1，𝐵𝐸是𝑂的直径，延长𝐵𝐸与直线𝑙AB作𝐵𝐶𝑙C，交𝑂F𝐵𝐷．若𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=12，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： 【答案】(2)问题：求⊙𝑂连接𝑂𝑃，𝑂𝐷，作∠𝑃𝑂𝐷lQ，作直线𝑃𝑄【详解】（1）O的半径是多少解：连接∴𝑂𝐷⊥∵𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=12，𝐵𝐶⊥∴根据勾股定理可得𝐴𝐵=∵𝑂𝐷⊥𝑙，𝐵𝐶⊥∴∠𝑂𝐷𝐴=∠𝐵𝐶𝐴，又∵∠𝐵𝐴𝐶∠𝑂𝐴𝐷，∴△𝑂𝐴𝐷∽△∴𝑂𝐴=

设半径为𝑟则𝑂𝐷=𝑂𝐵=𝑟，𝐴𝑂=∴13−𝑟= 解得𝑟=05】如图，已知矩形(1)1中求作⊙𝑃，使⊙𝑃与边𝐴𝐵、𝐶𝐷分别相切于点𝐴、𝐷；（保留作图痕迹【答案】(1)(2)作线段𝐴𝐷的垂直平分线交𝐴𝐷PP为圆心，𝐴𝑃【详解】（1）⊙𝑃∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐴𝐷𝐶=由作图得出𝐴𝑃=𝑃𝐷⊙𝑃∴𝐴𝐵,𝐶𝐷𝑃故𝑃与边𝐴𝐵、𝐶𝐷分别相切于点𝐴、于点③Q为圆心，𝑄𝐷𝑄，⊙𝑄即为所求．∵⊙𝑄经过𝐶、𝐷∴𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐸𝐾=∠𝐷𝐾𝐸=则点𝐸题型 格点作图问01】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长1．(1)𝐴𝐵𝐶，使得点𝐶在格点上，𝐴𝐶=𝐵𝐶，且∠𝐴𝐶𝐵<【答案】(1)(2)【详解】（1）𝐴𝐵𝐶32+证明：∵𝐴𝐶=5,𝐵𝐶32+∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶（2）解：如图，𝐶𝐻∵H是矩形𝐴𝑁𝐵𝑀∴𝐴𝐻=𝐵𝐻

𝐴𝐵𝐶∴𝐶𝐻⊥A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不(1)在图①中以线段𝐴𝐵𝐴𝐵𝐶C在格点上，且tan𝐴=(2)如图②中以线段𝐴𝐵𝐴𝐵𝐷，tan𝐴=【答案】(1)(2)取格点𝐶，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，使𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，此时tan𝐴=1，故𝐴𝐵𝐶取格点𝐾，连接𝐵𝐾交格线于𝐷，连接𝐴𝐷𝐴𝐵𝐾是等腰直角三角形，可得𝐵𝐾𝐴𝐵，∠𝐵90° 𝐵𝐾=3，𝐴𝐵=3，所以tan∠𝐵𝐴𝐷=3，故△𝐴𝐵𝐷【详解】（1）解：如图：取格点𝐶，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶（2）解：如图：取格点𝐾，连接𝐵𝐾交格线于𝐷，连接𝐴𝐷𝐴𝐵𝐷(1)𝐴𝐵𝐶关于𝐴𝐶△(2)在𝐴𝐶D，在𝐵𝐶E，使得𝐷𝐸𝐶𝐴𝐵𝐶，且相似比为【答案】(1)(2)通过观察格点中𝐴𝐶的位置，利用对称点到𝐴𝐶的格点距离相等的特征，在𝐴𝐶B𝐵1，连接𝐴𝐵1、𝐵1𝐶先根据网格确定𝐴𝐶的格点长度，按3∶5的相似比在𝐴𝐶D，使𝐶𝐷:𝐴𝐷3∶2，则𝐶𝐷:𝐴𝐶=3∶5，再利用格点中与𝐴𝐵平行的连线与𝐵𝐶E，于是满足△𝐷𝐸𝐶∽△𝐴𝐵𝐶．【详解】（1）△𝐴𝐵1𝐶（2）D、E03】（2025·湖北武汉·中考真题）34格，每个小正方形的顶点叫作格(2)2，先画点𝐶关于直线𝐵𝐷的对称点𝑀，再画射线𝑀𝑁交𝐵𝐷于点𝑁，使𝑀𝑁【答案】(1)(2)04】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）1个单位长度，每△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． △𝐴𝐶𝐷（点𝐷在格点上），满足𝐴𝐶=2，且△𝐴𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐴上画出点𝐸，使线段𝐵𝐸3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），【答案】(1)(2)见解析，tan∠𝐸𝐷𝐴=【分析】（1）作𝐴𝐷=5，𝐴𝐷边上的高为2，𝐶𝐷=

12+=12+

=

=，则 42+（2）取格点𝑀和𝑁，使𝐴𝑀=2，𝐵𝑁=3，连接42+ 𝐵𝐸=5𝐴𝐵=3；作𝐸𝐹𝐴𝐷𝐴𝐸𝐹𝐴𝐵𝑁，求得𝐸𝐹=5，𝐴𝐹=5，𝐹𝐷=𝐹𝑁𝑁𝐷=5【详解】（1）𝐴𝐶𝐷（2）解：点𝐸作𝐸𝐹𝐴𝐷，则∴△𝐴𝐸𝐹∽△∴𝐸𝐹=𝐴𝐹=

==

𝐴𝐵，即 5 ∴𝐸𝐹=5，𝐴𝐹=∴𝐹𝑁=4−𝐴𝐹=5∴𝐹𝐷=𝐹𝑁+𝑁𝐷=5 ∴tan∠𝐸𝐷𝐴

5 △在图（1）𝐴𝐵𝐶的中线在（1）的基础上，在线段𝐵𝐷E𝐵𝐸=在图（2）中，E为格点，在线段𝐴𝐶F𝐸𝐹在（2）的基础上，在线段𝐴𝐵G，使𝑆△𝐵𝐸𝐺=【答案】(1)连接𝐸𝑁，可证明四边形𝐴𝐵𝐸𝑁为平行四边形，所以𝐴𝐵𝐸𝑁，则𝐸𝑁与𝐴𝐶交点即为点因为𝐴𝐵𝐸𝐹，所以𝑆△𝐴𝐹𝐺=𝑆△𝐴𝐸𝐺，若使𝑆△𝐵𝐸𝐺=2𝑆△𝐴𝐹𝐺，即使𝑆△𝐵𝐸𝐺=2𝑆△𝐴𝐸𝐺，即使𝐵𝐺=2𝐴𝐺，利连接𝐵𝐷即为△ABC𝑀为𝐴𝐵根据重心性质可知𝐵𝐸=2𝐷𝐸，∴𝐸∵𝐴𝑁=𝐵𝐸=3,𝐴𝑁∥∴𝐴𝐵∥∵𝐴𝑃=𝑄𝐸=1,𝐴𝑃∥∴𝐴𝐸∥ ∴𝐴𝐺=𝑄𝐸=即𝐵𝐺=∴𝑆△𝐵𝐸𝐺=∵𝐴𝐵∥∴𝑆△𝐴𝐹𝐺=∴𝑆△𝐵𝐸𝐺=2𝑆△𝐴𝐹𝐺，题型七无刻度直尺作图(1)∠𝐴𝑃𝐵=【答案】(1)(2)在𝐴𝐵下方作等边三角形𝐴𝐵𝐶C为圆心，𝐴𝐶⊙𝐶lP和点𝑃′等边三角形的性质可得∠𝐴𝐶𝐵=60°，由圆周角定理可得∠𝐴𝑃𝐵=

𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵=如图所示，延长𝐵𝐴lC，以𝐵𝐶A作𝐴𝐷⊥𝐴𝐵交以𝐵𝐶D，C为圆心，𝐶𝐷lPPAB的圆与直线l相切时，∠𝐴𝑃𝐵△𝐴𝐶𝑃∽△𝑃𝐶𝐵，则可证明𝐶𝑃2=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶△𝐶𝐷𝐵∽△𝐶𝐴𝐷，则𝐶𝐷2=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶，则𝐶𝑃=【详解】（1）P和点𝑃′（2）P==与边𝐷𝐶P重合，𝑀𝑁M，N分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶M，D，P的⊙𝑂；（不写作法，保留作图痕迹若直线𝐵𝑀M，D，P三点的𝑂相切，求⊙𝑂【答案】(1)【分析】（1）连结𝑀𝑃，作𝑀𝑃的垂直平分线，与𝑀𝑃OO为圆心，𝑂𝑀（2）O作𝐸𝐹𝐴𝐷交𝐴𝐷E、交𝐵𝐶F，连接𝐵𝑃，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得Δ𝐴𝐵𝑀≌【详解】（1）解：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，由∠𝐷=则Rt𝑀𝐷𝑃的外接圆是以斜边𝑃𝑀①A，B为圆心，大于2𝐴𝐵的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与②O为圆心，𝑀𝑂为半径画圆，O即为所作图形．（2）解：过𝑂作𝐸𝐹𝐴𝐷交𝐴𝐷于𝐸、交𝐵𝐶于𝐹，连接𝐵𝑃，如图（2）𝐵𝑀⊙𝑂∴∠𝑃𝑀𝐵=∴∠𝐴𝑀𝐵+∠𝐷𝑀𝑃=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∴∠𝐴𝑀𝐵+∠𝐴𝐵𝑀=∴∠𝐴𝐵𝑀=𝑀𝑁垂直平分∴𝐵𝑀=∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴=𝐵𝑀=∴∴𝐴𝐵=𝐷𝑀=4，𝐴𝑀=∴𝐷𝑃=𝐴𝑀=𝐴𝐷−𝐷𝑀=7−4=𝐷𝑀2+𝐷𝑀2+

=4242+∴⊙𝑂的半径为△𝐴𝐵𝐶为格点（网格线的交点）三角形．△𝐴𝐵𝐶先向右平移4个单位长度，再向下平移3△𝐴1𝐵1𝐶1，画出平移后的△𝐴𝐵𝐶关于𝑦△(3)用无刻度直尺在𝐴𝐶边上作一点𝐹，使∠𝐴𝐵𝐹=45°（保留作图痕迹【答案】(1)在𝐴𝐵的右侧作𝐴𝐺𝐴𝐵，且𝐴𝐺=𝐴𝐵，连接𝐵𝐺交𝐴𝐶于点𝐹，则点𝐹【详解】（1）△𝐴1𝐵1𝐶1△𝐴2𝐵2𝐶2如图，在𝐴𝐵的右侧作𝐴𝐺𝐴𝐵，且𝐴𝐺=𝐴𝐵，连接𝐵𝐺交𝐴𝐶于点此时𝐴𝐵𝐺∴∠𝐴𝐵𝐺=45°，即∠𝐴𝐵𝐹=45°，则点𝐹第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作∠𝐴𝐵𝑂的角平分线交对角线𝐴𝐶E；作∠𝐶𝐷𝑂的角平分线交对角线𝐴𝐶F；连接𝐵𝐸、𝐷𝐹（不写作法，保留作图痕迹）．证明：在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶𝐵𝐷，𝑂𝐵=𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂（两直线平行，内错角相等𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝑂，𝐷𝐹平分∴2∠𝐸𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝑂，2∠𝐹𝐷𝑂=∴ 𝐵𝐸𝐷𝐹（内错角相等，两直线平行在𝐵𝑂𝐸𝐷𝑂𝐹

∠𝐸𝐵𝑂= ，∠𝐵𝑂𝐸=∴△𝐵𝑂𝐸≌△∴③ 又∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹，四边形𝐵𝐸𝐷𝐹𝐴𝐶𝐵𝐷E、F均在𝐴𝐶𝐸𝐹𝐵𝐷，即𝐵𝐷∴四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是菱形 【答案】作图见解析；①∠𝐸𝐵𝑂=∠𝐹𝐷𝑂；②𝑂𝐵=𝑂𝐷；③𝐵𝐸=𝐷𝐹；④对角线互相垂直的平行四边形是【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂，结合角平分线可推得①𝐵𝑂𝐸𝐷𝑂𝐹，得出②，再证明四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是平行四边形，结合𝐵𝐷⊥𝐸𝐹，即可证明四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是菱形，得到④．证明：在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶𝐵𝐷，𝑂𝐵=𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂（两直线平行，内错角相等𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝑂，𝐷𝐹平分∴2∠𝐸𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝑂，2∠𝐹𝐷𝑂=∴∠𝐸𝐵𝑂=𝐵𝐸𝐷𝐹（内错角相等，两直线平行在𝐵𝑂𝐸𝐷𝑂𝐹

∠𝐸𝐵𝑂=𝑂𝐵= ∠𝐵𝑂𝐸=∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐵𝐸=𝐷𝐹，又∵四边形𝐵𝐸𝐷𝐹𝐴𝐶𝐵𝐷E、F均在𝐴𝐶𝐸𝐹𝐵𝐷，即𝐵𝐷四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形故答案为：①∠𝐸𝐵𝑂=∠𝐹𝐷𝑂；②𝑂𝐵=𝑂𝐷；③𝐵𝐸=𝐷𝐹；④04】（2025·广东深圳·中考真题）1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐸=𝐶𝐷，𝐴𝐷=2，若点𝑂为𝐴𝐶上一点，𝐴𝐶=4，且𝐸，𝐴，𝐷三点均在⊙𝑂上，连接𝑂𝐷，𝐶𝐷⊙𝑂相切于点①求∠𝐴𝐶𝐷= ②求⊙𝑂的半径2中作射线𝐷𝐹∥𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点𝐹【答案】(1)(2)①30°；②𝑟=(3)

𝐶𝐷=2𝐴𝐵=𝐴𝐷=（2）①根据菱形的性质，得到∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷，等角对等边得到∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐴∠𝐶𝑂𝐷=∠𝑂𝐴𝐷+∠𝑂𝐷𝐴=2∠𝑂𝐴𝐷=2∠𝑂𝐶𝐷，切线得到∠𝐶𝐷𝑂=90°（3）利用尺规作图作∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐴𝐶𝐷【详解】（1）𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐶𝐷=∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为平行四边形，又𝐴𝐶𝐵=90°，且𝐷为𝐴𝐵中点∴𝐶𝐷

1𝐴𝐵=𝐴𝐷=平行四边形𝐴𝐷𝐶𝐸四边形𝐴𝐷𝐶𝐸∴𝐷𝐴=∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷，又𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝑟，∴∠𝑂𝐴𝐷=∴∠𝐶𝑂𝐷=∠𝑂𝐴𝐷+∠𝑂𝐷𝐴=2∠𝑂𝐴𝐷=𝐶𝐷⊙𝑂于∴∠𝐶𝐷𝑂=∴∠𝐶𝑂𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=∴∠𝐴𝐶𝐷=∵𝐴𝐶=∴𝑂𝐶=∵∠𝐴𝐶𝐷=30°，∠𝐶𝐷𝑂=

∴sin∠𝐴𝐶𝐷=𝑂𝐶=4−𝑟=解得：𝑟=05】（2025·江苏·一模）(2)如图③，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶，点𝑃是𝐴𝐷的中点，如果𝐴𝐵=𝑎，𝐶𝐷=𝑏𝑏>𝑎，请过点𝑃作一条直线将四边形𝐴𝐵𝐶𝐷【答案】(1)(2)交𝐴𝐵、𝐶𝐷于𝐸、𝐹两点，则直线𝑂𝑀、𝐸𝐹将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝑂𝑃𝐵𝑂𝐸（2）∴𝐴𝑃=𝐶𝑄，𝐸𝐵=𝐷𝐹．在𝐴𝑂𝑃EOB∵∠𝐴𝑂𝑃=90°−∠𝐴𝑂𝐸,∠𝐵𝑂𝐸=∴∠𝐴𝑂𝑃=∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝑂𝐴𝑃=∠𝐸𝐵𝑂=∴△𝐴𝑂𝑃≌△∴𝐴𝑃=𝐵𝐸=𝐷𝐹=∴𝐴𝐸=𝐵𝑄=𝐶𝐹=O到正方形𝐴𝐵𝐶𝐷一边的距离为 ∴(𝐴𝑃+𝐴𝐸)𝑑=2(𝐵𝐸+𝐵𝑄)𝑑=2(𝐶𝑄+𝐶𝐹)𝑑=2(𝑃𝐷+∴S四边形𝐴𝑃𝑂𝐸=𝑆四边形𝐵𝐸𝑂𝑄=𝑆四边形𝐶𝑄𝑂𝐹=𝑆四边形（2）如图③，在𝐵𝐶上截取𝐵𝑄=𝐶𝐷=𝑏，作直线𝑃𝑄，直线𝑃𝑄延长𝐵𝐴E，使𝐴𝐸=𝑏，延长𝐶𝐷F，使𝐷𝐹=𝑎，连接∴𝐵𝐸∥𝐶𝐹，𝐵𝐸=∵𝐵𝐶=𝐵𝐸=𝑎+连接𝐵𝐹交𝐴𝐷于点𝑀𝑀𝐴𝐵≌∴𝐴𝑀=𝐷𝑀，即点𝑃、𝑀∵在𝐵𝐶上截取𝐵𝑄=𝐶𝐷=∴𝐶𝑄=𝐴𝐵=

+

+

△𝑄𝐵𝑃=2(𝐴𝐵+𝐵𝑄)𝑑=2(𝐶𝑄+𝐶𝐷)𝑑

∴当𝐵𝑄=𝑏时，直线𝑃𝑄将四边形𝐴𝐵𝐶𝐷（限时训练：30分钟于点𝐶；（4）连接𝐵𝐶、𝐷𝐶、𝐵𝐷．若∠𝐴=40°，则∠𝐵𝐷𝐶的度数是（） 【答案】【详解】解：根据作图可得𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶=∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐴

又∵∠𝐴=∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐴=1∠𝐴𝐷𝐶=1(180°−∠𝐴)= 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵𝐴𝐶=10，点𝐹为𝐴𝐵的中点，以点𝐴为圆心，两弧交于点𝐷，画射线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹的长是（） 【答案】

=得𝐴𝐸𝐵𝐶，再由点𝐹为𝐴𝐵

𝐸𝐹=∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=∴𝐴𝐸⊥∴𝐸𝐹

𝐴𝐵=3．（2025·辽宁·中考真题）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=16，𝐵𝐶=12，𝐶𝐴=10，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝑃与𝐴𝐶相△𝐷𝐴𝐸的周长为 【答案】𝐶𝐸𝐵𝐷𝐵𝑂𝐶𝐵𝑂𝐸，得到𝑂𝐶=𝑂𝐸，𝐵𝐶=𝐵𝐸，进而求出𝐴𝐸的长，得到𝐵𝐷垂直平分𝐶𝐸𝐷𝐸=𝐶𝐷△𝐷𝐴𝐸的周长等于𝐴𝐸𝐴𝐶【详解】解：由作图可知，𝐶𝐸𝐵𝐷，设𝐶𝐸,𝐵𝐷交于点𝑂，则：∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐸=∴∠𝐴𝐵𝑂∠𝐶𝐵𝑂，又∵𝑂𝐵=𝑂𝐵，∴△𝐵𝑂𝐶≌△∴𝑂𝐶=𝑂𝐸，𝐵𝐶=𝐵𝐸=∴𝐵𝐷垂直平分𝐶𝐸，𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=∴𝐷𝐸=𝐴𝐷𝐸的周长为𝐴𝐸𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐶=14；B4．（2026·四川成都·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°．按以下步骤作图：①画弧交直线𝐸𝐹于点G；④连接𝐵𝐺交𝐴𝐶于点P．则∠𝐴𝑃𝐵= 【答案】∠𝐴=∠𝐶=45°，𝐹𝐺∥𝐵𝐶，𝐵𝐻

1𝐵𝐺，则有∠𝐹𝐺𝐵=∠𝑃𝐵𝐶=30°由题意得𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐵，𝐴𝐵=∴𝐵𝐻

2𝐴𝐵

∴sin∠𝐹𝐺𝐵=𝐵𝐺=∴∠𝐹𝐺𝐵=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐹𝐺𝐵=∠𝑃𝐵𝐶=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴=∠𝐶=∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐵𝐶∠𝐶=75°；5．（2026·上海闵行·一模）在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°,∠𝐴𝐵𝐶=60°,𝐴𝐵=12，结合尺规作图痕迹所提供的信 【答案】键．根据作图痕迹可知，𝐵𝑄平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑄𝐵𝑄，因为∠𝐴𝐵𝐶60°，则∠𝐴𝐵𝑄30°，利用含30°的直角三【详解】解：根据作图痕迹可知，𝐵𝑄平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑄∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝑄=∵𝐴𝐵=∴𝐴𝑄

2𝐴𝐵

1×12=6．（2026·陕西西安·一模）A在𝑂外，求作𝑂的一条直径𝐶𝐷，使𝐴𝐶𝐴𝐷．（要求：尺规作【分析】要作出𝑂的直径𝐶𝐷使𝐴𝐶=𝐴𝐷，需利用线段垂直平分线的性质，延长𝐴𝑂𝑂于𝐸,𝐹两点，作【答案】(1)（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得∠𝐵𝐴𝐹，然后由∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐸𝐴𝐹=90°和∠𝐸𝐹𝐴+∠𝐸𝐴𝐹=90°，得到∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐵𝐴𝐹，即可求解．【详解】（1）解：如图，直线𝑙，点𝐹即为所求∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷=45°，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐸𝐴𝐹=∴∠𝐵𝐴𝐹

2∠𝐵𝐴𝐶

1×45°=∵直线𝑙𝐴𝐷，即∠𝐴𝐸𝐹=∴∠𝐸𝐹𝐴+∠𝐸𝐴𝐹=∴∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐵𝐴𝐹=8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形(2)在（1）所作图形中，若𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=5，求𝐶𝐸【答案】(1)(2)𝐶