2026年中考数学二轮复习 专题18 综合与实践专项(高频考点专练)

专题 综合与实践专聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练）题型三新定义问题实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升6～12分，以解答题为主，常作为中档题或压了解初中数学常见数学文化背景（古代数学、经典结论、数学家思想）掌握跨学科融合的信息转化能力（物理、生活、经济、图表等）会处理新定义：读懂规则→转化为旧知识→熟练阅读理解：提取关键条件→建立方程/函数/能完成方案设计：列出约束→求最优解（成本、利润、效率）———2026必考题型难度适中命题趋势题型一数学文化题01】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽m，𝑛(𝑚>𝑛)5，(𝑚+𝑛)2=21，则大正方形面积为（） 【答案】的面积为𝑚2+𝑛2．【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为∴(𝑚−𝑛)2=5，即𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛=∵(𝑚+𝑛)2=∴𝑚2+𝑛2+2𝑚𝑛=①+②得2(𝑚2+𝑛2)=∴大正方形的面积𝑚2+𝑛2=13，（组𝑥2𝑦3恰有一个正整数解𝑥=1,𝑦=12𝑥3𝑦=21的正整数解的个数是（） 【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出2𝑥3𝑦=21【详解】解：∵2𝑥3𝑦=∴𝑦=正整数解为：𝑥=3，𝑦=5；𝑥=6，𝑦=3；𝑥=9，𝑦=13个，人，𝑦辆车，则所列方程组正确的是（）

𝑥=𝑥

𝑥=𝑥

𝑥=𝑦+𝑥−8=

𝑥=𝑦+𝑥+8=【答案】【详解】解：设有𝑥人，𝑦𝑥𝑥=𝑦水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即𝐴𝐶=5，𝐷𝐶=1，𝐵𝐷=𝐵𝐴，则𝐵𝐶=（） 【答案】【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设𝐵𝐶=𝑥，则𝐵𝐷=𝐵𝐴=(𝑥1)，由勾股定理列出方程进行求解【详解】解：设𝐵𝐶=𝑥，则𝐵𝐷=𝐵𝐴=(𝑥1)，由题意，得：(𝑥+1)2=52+𝑥2，解得：𝑥=12，即𝐵𝐶=12，【变式04】（2024江苏盐城中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 【答案】设绳索长𝑥尺，竿长𝑦尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于𝑥，𝑦的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设绳索长𝑥尺，竿长𝑦𝑥=𝑦+𝑥=𝑦=

𝑥= 【变式三角”．事实上，这个三角形给出了(𝑎+𝑏)𝑛(𝑛=0,1,2,3,4……)的展开式（按𝑎的次数由大到小的顺序）数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着(𝑎𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏𝑏2(1)请根据(𝑎+𝑏)3(2)请根据(𝑎+𝑏)6(3)请你预测并直接写出(𝑎+𝑏)𝑛展开式的第二项系 【答案】(1)（2）写出(𝑎𝑏)6的展开式补齐第七行的系数，根据题意知每行系数的规律为：每个数字等于上一行的左（3）观察数字规律即可知：从第二行开始第二项的系数与(𝑎+𝑏)【详解】（1）∵(𝑎+𝑏)3=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)2=(𝑎+𝑏)(𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2)=𝑎3+3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2+∴(𝑎+𝑏)3的展开式的系数为∴(𝑎+𝑏)3∵(𝑎+𝑏)6=𝑎6+6𝑎5𝑏+15𝑎4𝑏2+20𝑎3𝑏3+15𝑎2𝑏4+6𝑎𝑏5+∴（3）解：由题意知，从第二行开始第二项的系数与(𝑎+𝑏)∴(𝑎+𝑏)𝑛展开式的第二项系数为𝑛，题型二跨学科融合题光线为𝐵𝐶，点𝐶在平面镜𝑂𝑀上，再次反射后反射光线为𝐶𝐷．若∠𝑀𝑂𝑁=110°，∠𝐴𝐵𝑁=30°，则∠𝐷𝐶𝑀的度数为（） 【答案】【分析】本题考查轴对称，三角形的内角和定理，由反射可知∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐶𝐵𝑂=30°，∠𝐷𝐶𝑀=∠𝐵𝐶𝑂，再【详解】解：根据题意：∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐶𝐵𝑂=30°，∠𝐷𝐶𝑀=∵∠𝑀𝑂𝑁=∴∠𝐵𝐶𝑂=180°−∠𝐶𝐵𝑂−∠𝑀𝑂𝑁=∴∠𝐷𝐶𝑀=∠𝐵𝐶𝑂=2）．下列结论中错误的是（）A．当𝑃=440W时，𝐼= B．Q随I的增大而增C．I每增加1A，Q的增加量相 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越【答案】【详解】解∶1知：当𝑃=440W时，𝐼=2AA正确，但不符合题意；2知：QIB正确，但不符合题意；2知：QIC错误，符合1知：IPQIPQ越多，D正确，但不符合题意；相同．其中正确结论的序号是（） 【答案】03】（2025河南驻马店一模）1V）换算为人的质量𝑚（单位：kg）．已知𝑈0随着𝑅12所示，𝑅1与踏板上人的质量𝑚的3．则下列说法正确的是（）B．当𝑈0=3V时，踏板上人的质量为95kgC．当踏板上人的质量为90kg时，𝑈0=D．若电压表量程为0−6𝑉(0≤𝑈0≤6)，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是【答案】D选项．【详解】解：A2可知，在一定范围内，𝑈0越大，𝑅1由𝑅1=−2𝑚+240(0≤𝑚≤120)可得，𝑅1越小，𝑚B2可知，当𝑈0=3V时，𝑅1的阻值为∴50=−2𝑚240，解得：𝑚=95，C3关系式可知，当踏板上人的质量为90kg时，𝑅1=−290+240=60Ω2可知，𝑈0=时，𝑅1=90ΩD、当电压表量程为0~6V(0≤𝑈0≤6)2可知，当𝑈0=6V，𝑅1阻值最小为10Ω，由𝑅1=−2𝑚+240可知，𝑅1随着𝑚的增大而减小，则当𝑅1=10Ω时，𝑚有最大值，10=−2𝑚240，解得：𝑚=115，即该电子体重秤可称的最大质量是115kg，原说法错误，不符合题意； 【答案】把ℎ=78.4代入ℎ=4.9𝑡2即可求解．【详解】解：把ℎ=78.4代入ℎ=4.9𝑡2得：4.9𝑡2=78.4，解得𝑡=4（舍负），第1种物质的分子式是C10H8，第2种物质的分子式是C16H10，第3种物质的分子式是C22H12，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 【答案】CH随序数的增长规律计算求值即可．1，C6，H2n个分子式为8个分子式为C6×8+4H2×8+6=故答案为题型三新定义问题【典例01】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数𝑥和𝑦，𝑥☆𝑦=𝑎2𝑥+𝑎𝑦+1（𝑎为常数），如：2☆3=𝑎2⋅2+𝑎⋅3+1=2𝑎2+3𝑎+1．若1☆2=3，则3☆6的值为（ 【答案】根据新运算可得𝑎2+2𝑎=2，再根据3☆6=3𝑎2+6𝑎+1=3(𝑎2+2𝑎)+1，把𝑎2+2𝑎=2【详解】解：因为1☆2=3，所以𝑎2+2𝑎+1=3，所以𝑎2+2𝑎=所以3☆6=3𝑎2+6𝑎+1=3(𝑎2+2𝑎)+1=3×2+1=7．

【分析】分5°αβαβ式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 𝛼=𝛽=角是， ∴𝛼=③54°αβ，则𝛼+𝛽+54°=180°，∴𝛼+1𝛼+54°=解得𝛼=02aa为奇数，则𝑓(𝑎)=5𝑎−1a为偶数，则𝑓(𝑎)=

=5×3−1=14，𝑓(10)=10=5．若

=

=

=

=𝑓(𝑎3)，…去，得到一列数𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,…（n为正整数），则𝑎3= ，𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎2023= 【答案 可以分别求出𝑎1=8，𝑎2=4，𝑎3=2，𝑎4=1，𝑎5=4，…，进而可以得出数列𝑎𝑛4、2、13个数为周期循环，再根据2023−1=674×3即可求解．【详解】解：∵𝑎1=∴𝑎=𝑓(𝑎)=8= 𝑎=𝑓(𝑎)=4= 𝑎=𝑓(𝑎)=2= 𝑎5=𝑓(𝑎4)=5×1−1=∴数列𝑎𝑛4、2、13∵2023−1=674×∴𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+=8+4+2+1+…+4+2+=8+(4+2+1)×=2m为“倍和数”．例如：m＝6132，∵6+2=2×(1+3)，∴6132是“倍和数m＝1374，∵1+4≠2×(3+7)，∴1374不是“倍和数(1)10474657是否为“倍和数”(2)当一个“倍和数”m8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为𝑇(𝑚)，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为𝑅(𝑚)，令𝐺(𝑚)=𝑅(𝑚)，当𝐺(𝑚)3整除时，求出满足条件的所有“倍和数【答案】(1)1047是倍和数：46572倍，则称这个四位数为“倍和数”，进行判断即可．（2）设“倍和数”𝑚=𝑎𝑏(4−𝑏)(8−𝑎)，（其中1≤𝑎≤8，0≤𝑏≤4a，b为整数），根据已知表示出𝑇(𝑚)，𝑅(𝑚)，𝐺(𝑚)G（m）3整除，ma，b的m值．【详解】（1）解；∵1+7=2×(0+4)，∴1047是“倍和数∵4+7≠2×(5+6)，∴4657不是“倍和数（2）解：设“倍和数”𝑚=𝑎𝑏(4−𝑏)(8−𝑎)，（其中1≤𝑎≤8，0≤𝑏≤4a，b为整数∴𝑇(𝑚)=|2𝑎−8|，𝑅(𝑚)=|2𝑏−4|，𝐺(𝑚)=𝑇(𝑚)= ∵m∵G（m）3∴𝐺(𝑚)=|𝑎−4|=3𝑘（k为正整数

= ∵1≤𝑎≤∴0<|𝑎−4|≤∴|𝑎−4|=∴a＝1∴𝑘|𝑏−2|=∴|𝑏−2|=∴𝑏=1∴满足条件的所有“倍和数”m04】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线𝑦𝑎𝑥2𝑏𝑥𝑐和直线𝑦=𝑚，若抛物线与直线有两个不同的交点，若抛物线的顶点到直线𝑦=𝑚的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线𝑦=𝑚具有“等距截线性(1)判断抛物线𝑦=𝑥2−6𝑥+8是否关于直线𝑦=3具有“等距截线性质”(2)已知抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥+𝑘关于直线𝑦=2具有“等距截线性质”，求𝑘(3)已知抛物线𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2+𝑏关于直线𝑦=4具有“等距截线性质”②若点𝑃是抛物线上位于直线𝑦=4上方的一个动点，点𝑄是抛物线上位于直线𝑦=4P、Q关于直线𝑦=4对称，直接写出𝑃𝑄的最大值．【答案】(1)不具有“等距截线性质”(2)𝑘=(3)①𝑏=3；②𝑃𝑄的最大值为先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半根据定义列方程，即可求解参数①先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求②利用对称性表示𝑃𝑄Q先将抛物线配方：𝑦=𝑥2−6𝑥+8=(𝑥−3)2−1，顶点坐标为(3,−1)，顶点到直线𝑦=3的距离为：|3−(−1)|=联立抛物线与直线𝑦=3的方程：𝑥2−6𝑥8=3，解得𝑥1=1，𝑥2=5，截距为|5−1|=4，截距的一半为4÷2=2，而顶点到直线的距离为4，4≠2，（2）已知抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥𝑘关于直线𝑦=2具有“等距截线性质”：配方得：𝑦=(𝑥−2)2+𝑘−4顶点坐标为(2,𝑘−4)，顶点到直线𝑦=2的距离为：|2−(𝑘−4)|=联立抛物线与直线𝑦=2的方程：𝑥2−4𝑥+𝑘=设两根为𝑥1,𝑥2，由韦达定理，𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=(𝑥1+(𝑥1+

=根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半：|6−𝑘|令𝑡=6−𝑘(𝑡>0)（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则𝑘=11

=

=解得𝑡=1（𝑡=0舍去），故𝑘=6−1=（3）已知抛物线𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2+𝑏关于直线𝑦=4具有“等距截线性质”，且截距为①配方得：𝑦=(𝑥−𝑎)2顶点坐标为(𝑎,𝑏)，顶点到直线𝑦=4的距离为根据定义，距离等于截距的一半，即|4−𝑏|=1×2=1，解得𝑏=3或𝑏=又因为抛物线开口向上，顶点在直线𝑦4下方（否则截距不存在或不符合定义），故𝑏=3；②由①得抛物线为𝑦=(𝑥−𝑎)2+3，𝑃,𝑄关于直线𝑦=4对称，∵抛物线𝑦=(𝑥−𝑎)2∴抛物线的最低点即顶点为∵𝑃在𝑦=4上方，𝑄在𝑦=4∴3≤8−𝑦<4，解得4<𝑦≤∴𝑃𝑄的长度为：𝑃𝑄=𝑦−(8−𝑦)=∴0<2𝑦−8≤2，即𝑃𝑄的最大值为(1)1，已知Rt𝐴𝐵𝐶在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点𝐷，使四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是==②若𝐴𝐵𝐶的面积43，求线段𝐵𝐹【答案】(1)(2)①见解析；②𝐵𝐹=（1）根据勾股定理求出𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=25，𝐴𝐶=5，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解，确（2）①证明𝐴𝐵𝐹𝐹𝐵𝐶，即可得证；②根据𝐴𝐵𝐹𝐹𝐵𝐶，得𝐵𝐹2=𝐴𝐵𝐵𝐶，过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐶于点𝐻，结合△𝐴𝐵𝐶的面积为43，易得𝐵𝐶⋅𝐴𝐵=16，即可得解．【详解】（1）解：由图可知𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=25，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=∴∠𝐴𝐵𝐶=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是以𝐴𝐶为“相似对角线”当∠𝐴𝐶𝐷=90°𝐴𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶𝐷 ∴𝐶𝐷=𝐵𝐶=2或𝐶𝐷=𝐴𝐵=∴𝐶𝐷=10或𝐶𝐷=同理：当∠𝐶𝐴𝐷=90°时，𝐴𝐷=2.5或𝐴𝐷=10；（2）①点𝐸是𝐴𝐶∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐵𝐶

1∠𝐴𝐵𝐶=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐵𝐶𝐷=∵∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴𝐹𝐵=180°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐴𝐹=∴∠𝐴𝐹𝐵=∴△𝐴𝐵𝐹∽△∴𝐵𝐹是四边形𝐴𝐵𝐶𝐹的“相似对角线②∵△𝐴𝐵𝐹 ∴𝐵𝐶=∴𝐵𝐹2=𝐴𝐵⋅过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐶于点∴𝑆 △𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=2𝐵𝐶×2𝐴𝐵=4∴𝐵𝐶⋅𝐴𝐵=∴𝐵𝐹2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=∵𝐵𝐹>∴𝐵𝐹=题型四阅读理解型问题01】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2，将它适当变(1)填空：已知𝑎+𝑏=5，𝑎𝑏=3，则𝑎2+𝑏2= 1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ②2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，𝑎𝑏−33的对话内容，求𝑎+𝑏小彬：由填数规则得小彬：由填数规则得1≤𝑎𝑏−3≤6；所以4≤𝑎+𝑏≤9小彬：对！根据你的发现，可以求出𝑎𝑏𝑎+𝑏=6若12+22+32+42+52+62+𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=126，求𝑎𝑏【答案】(2)①4，5，12；②𝑎𝑏=69；③𝑎𝑏=【分析】（1）由(𝑎𝑏)2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏可知，𝑎2+𝑏2=(𝑎𝑏)2−2𝑎𝑏，代入已知条件，从而求得𝑎2+4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为而求得𝑆=6+2(𝑎+𝑏)S为整数，以及4≤𝑎+𝑏≤9，求出𝑎+𝑏③先求出𝑎2+𝑏2=26，运用𝑎2+𝑏2=(𝑎𝑏)2−2𝑎𝑏将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解【详解】（1）解：∵𝑎𝑏=5，𝑎𝑏=又∵𝑎2+𝑏2=(𝑎+∴𝑎2+𝑏2=52−2×3=25−6=即𝑎2+𝑏2=3+𝑥+𝑦=2+𝑥+2+𝑥6=6+𝑦+1𝑥=𝑦=5每个圆圈上的三个数字之和为：3+𝑥+𝑦=3+4+5=y，𝑎+𝑏+𝑚=∴𝑎+(𝑎+𝑏−3)+𝑥=𝑆②𝑏+(𝑎+𝑏−3)+𝑦=③得：4𝑎4𝑏−6(𝑚𝑥𝑦)=3𝑆，即𝑥+𝑦+𝑚=3𝑆−4(𝑎+𝑏)+6，即𝑥𝑦=2𝑆+6−3(𝑎+∵所有填入的数字之和为：1+2+3+4+5+6=𝑥𝑦+𝑚+𝑎+𝑏+(𝑎+∴𝑥+𝑦+𝑚+2(𝑎+𝑏)=∵𝑥+𝑦+𝑚=3𝑆−4(𝑎+𝑏)∴24−2(𝑎+𝑏)=3𝑆−4(𝑎+𝑏)∴𝑆=6+2(𝑎+∵4≤𝑎+𝑏≤9，S∴𝑎+𝑏=6③∵12+22+32+42+52+

=6×6

(6+1)×(2×6+1)=又∵12+22+32+42+52+62+𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=∴𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=126−91=∴(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏−3)2=∴2𝑎𝑏=(𝑎𝑏)2+(𝑎𝑏−3)2−35，由②得𝑎+𝑏=69，当𝑎+𝑏=6时，2𝑎𝑏=62+(6−3)2−35=36+9−35=∴𝑎𝑏=当𝑎𝑏=9∴𝑎𝑏=则𝑎、𝑏是方程𝑥2−9𝑥+41=0∵Δ=(−9)2−4×1×41=−83<∴𝑎𝑏=012：若函数𝑦=𝑥𝑥（𝑥>0,𝑚>0,𝑚由阅读1的结论可知𝑥+𝑚≥ 2：若函数𝑦=𝑥𝑥（𝑥>0,𝑚>0,𝑚由阅读1的结论可知𝑥+𝑚≥ 𝑥即𝑥 ≥数数∵𝑥>0,𝑚>且𝑎>0,𝑏>∵(𝑎−𝑏)≥当𝑥=𝑥时，函数𝑦=𝑥𝑥(1)当𝑥 时，函

有最小值，最小值 ∴𝑎−2𝑎𝑏+𝑏≥𝑎𝑏≥2𝑎𝑏（当且仅当𝑎=∴𝑎−2𝑎𝑏+𝑏≥𝑎𝑏≥2𝑎𝑏（当且仅当𝑎=𝑏时232m2250007元；三是折旧费，折y（元）t（小时）的函数关系式为𝑦0.1𝑡2(𝑡0)t长达多少小时【答案】8m4mt500107【分析】（1）2 xmymS，可得𝑦=𝑥，从而得到𝑆=𝑥+𝑥2 =0.1𝑡 =0.1𝑡

【详解】（1）解：根据题意得

𝑥⋅𝑥+𝑥≥ ∴𝑥+

≥ ∴当𝑥=𝑥时，函数𝑦=𝑥+𝑥x=2时，函数𝑦=𝑥+𝑥∴𝑦

𝑥∴𝑆=𝑥+2𝑦=𝑥

𝑥×2=𝑥+

≥

=∴当𝑥=

𝑥S8m4m0.1𝑡⋅0.1𝑡2+7𝑡+25000=0.1𝑡+25000+70.1𝑡⋅

+7=100+7= ∴当0.1𝑡=

𝑡107t=500t=-500（舍去t50010702300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论如图①，在线段𝐴𝐷C，C把𝐴𝐷分为𝐴𝐶和𝐶𝐷两段，其中𝐴𝐶是较小的一段，如果𝐴𝐶:𝐶𝐷=𝐶𝐷:𝐴𝐷，那么称线段𝐴𝐷CC叫做线段𝐴𝐷的黄金分割点，𝐴𝐶与𝐶𝐷的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设𝐴𝐷=1,𝐶𝐷=𝑥，则𝐴𝐶=∵𝐴𝐶:𝐶𝐷=①设𝐴𝐵B作𝐵𝐷𝐴𝐵且使𝐵𝐷=

②连接𝐷𝐴，在𝐷𝐴上截取𝐷𝐸=③在𝐴𝐵上截取𝐴𝐶=C即为线段𝐴𝐵(3)已知线段𝐴𝐵=1，点C，D是线段𝐴𝐵上的两个黄金分割点，则线段𝐶𝐷的长是 黄金分割数为【答案】 5−1黄金分割数为(3)(3)【分析】（1）设𝐴𝐷=1,𝐶𝐷=𝑥，则𝐴𝐶=1−𝑥x（2）设𝐴𝐵=2𝑚，根据勾股定理求出𝐴𝐷=5𝑚，再证明𝐴𝐶:𝐶𝐵=5−1（3）利用黄金分割的定义求出𝐴𝐷,𝐵𝐶，再根据𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐶−𝐴𝐵【详解】（1）设𝐴𝐷=1,𝐶𝐷=𝑥，则𝐴𝐶=∵𝐴𝐶:𝐶𝐷=∴𝐶𝐷2=𝐴𝐶⋅∴𝑥2=−1±∴𝑥−1±∵𝑥>∴𝑥 ∴𝐶𝐷:𝐴𝐷 即黄金分割数为2设𝐴𝐵=2𝑚，则𝐵𝐷=∴𝐷𝐸=𝐵𝐷=∵𝐵𝐷⊥∴∠𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐵2+𝐴𝐵2+

=(2𝑚)2+∴𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐸=5𝑚−𝑚=((2𝑚)2+∴𝐴𝐶=𝐴𝐸=(∴𝐴𝐶:𝐴𝐵=(5−1)𝑚= ∴C是线段𝐴𝐵（3）如图，设𝐴𝐵=1,𝐶𝐵=𝑛,𝐴𝐶=∵𝐴𝐶:𝐶𝐵=∴𝐶𝐵2=𝐴𝐶⋅∴𝑛2=−1±∴𝑛−1±∵𝑛>∴𝑛 2∵𝐴𝐷=𝐶𝐵 ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐶−𝐴𝐵=5−2，故答案为：5−2．0341而得数学等式：(𝑎+𝑏)2=

+4×

，化简证得勾股定理：𝑎2+𝑏2=【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积 形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．量关系式及其推导过程（660°yx＝k）．𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=𝑐2【分析】（1）1根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2MNKTxy，从而用x，yS1，S2，S3，得出答案即可；根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+【详解】（1）∵𝑐 𝑎2+∴c＝𝑎2+42+∴小正方形面积：大正方形面积＝(5a)2：(3a)2𝑎2+42+（2）根据题意可求𝑐=

=2AC＝xOA＝3+x，AB＝6-x．在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=𝐴𝐵2，即(𝑥+3)2+32= △𝐴𝑂𝐵=4×2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=2×4×3=MTKNx∵ABCDEFGHMNKTS1，S2，S3∴x+4y＝3∴S2＝x+4y＝33结论：𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+

2(𝑎+𝑏)×𝑘(𝑎+𝑏)=3×2×𝑏×𝑘𝑎+2×𝑐×∴(𝑎+𝑏)2=3𝑎𝑏+∴𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=04设𝐷，𝐸，𝐹依次是△𝐴𝐵𝐶的三边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴或其延长线上的点，且这三点共线，则满足𝐴𝐷𝐵𝐸𝐶𝐹=情况①1，直线𝐷𝐸交𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵于点𝐷，交边𝐴𝐶于点𝐹，交边𝐵𝐶的延长线与点 过点𝐶作𝐶𝑀∥𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝑀，则𝐶𝐸=𝐷𝑀，𝐷𝑀=𝐹𝐶（依据𝐵𝐸 𝐸𝐶

𝐵𝐷𝐴𝐷𝐵𝐸∴𝐵𝐸·𝐴𝐷·𝐹𝐶=𝐵𝐷·𝐴𝐹·𝐸𝐶，即

𝐸𝐶

=情况②：如图2，直线𝐷𝐸分别交△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐴，𝐵𝐶，𝐶𝐴的延长线于点𝐷，𝐸，𝐹．… (3)如图3，𝐷，𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且𝐴𝐷:𝐷𝐵=𝐶𝐹:𝐹𝐴=2∶3，连接𝐷𝐹并延长，交𝐵𝐶的延长线于点𝐸，那么𝐵𝐸:𝐶𝐸= 【答案】(1)【分析】（1）（2）2中，作𝐶𝑁𝐷𝐸交𝐵𝐷于𝑁，模仿情况①（3）利用梅氏定理𝐴𝐷∙𝐵𝐸∙𝐶𝐹=1𝐸𝐶（2）2中，作𝐶𝑁𝐷𝐸交𝐵𝐷于则有∠𝐷𝐹𝐹=∠𝐴𝐶𝑁，∠𝐷𝐴𝐹=∴△𝐴𝐷𝐹∽△∴𝐴𝐷=

𝐴𝐶

𝐴𝐹，变形得

∴𝐴𝐷=

∵𝐶𝑁∥∴𝐵𝐸=

𝐵𝐸 𝐸𝐶

𝐵𝐷∴𝐵𝐸·𝐴𝐷·𝐹𝐶=∴ 𝐴𝐷∴ ∙=𝐷𝐵𝐸𝐶 ∙=（3）解：∵𝐴𝐷𝐵𝐸 ，𝐴𝐷:𝐷𝐵= ∙=𝐷𝐵𝐸𝐶∴2

𝐸𝐶×

= ∴𝐸𝐶=05部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为5−1．用下面的方法（图（1））AB①AB②ADE③DAF，使𝐸𝐹=④AFAFGHHABHAB的黄金分割点的部分过程．ABCD1，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=1．∵EAD的中点，∴𝐴𝐸=𝐴𝐵2+𝐴𝐵2+

=5，∴𝐸𝐹=𝐵𝐸=11∴𝐴𝐹11

如图（2），CAB的黄金分割点（𝐴𝐶>𝐵𝐶），AC，BCABACDECBFDBD，BE𝐸𝐴𝐵∽如图（3），ABCDEAD，ACEBM，NMAD的黄【答案】(1)【分析】（1）ABCD1，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=1．可得𝐴𝐸=1．由勾股定理可得𝐸𝐹=𝐵𝐸= 从而得到𝐴𝐻=𝐴𝐹=5−1AC1，可得𝐵𝐶=5−1，从而得到𝐴𝐵=5+1ACDE 是矩形，可得𝐴𝐸=𝐷𝐶=𝐴𝐶=1，∠A=∠BCD=90°，从而得到𝐵𝐶=5−1，𝐶𝐷

【详解】（1）ABCD1，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=∵EAD∴𝐴𝐸=在𝑅𝑡𝐵𝐴𝐸中，𝐵𝐸=

𝐴𝐵2+1𝐴𝐵2+11∴𝐸𝐹=𝐵𝐸=∴𝐴𝐹=𝐸𝐹−𝐴𝐸 ∵AFGH∴𝐴𝐻=𝐴𝐹 ∴𝐴𝐻= ∴HAB证明∶AC∵CAB的黄金分割点（𝐴𝐶>∴𝐵𝐶 ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=5−1+1= ∵ACDECBFD∴𝐴𝐸=𝐷𝐶=𝐴𝐶=∴𝐵𝐶=5−1，𝐶𝐷=1

∴𝐵𝐶=𝐶𝐷 ∴△𝐸𝐴𝐵∽△ABCDE中，AE=DE=AB，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=(5−2)×180°=∴𝐴𝐸=𝐴𝑀，即

解得：𝐴𝑀=5−1或−5−1（舍去 ∴𝐴𝑀= MAD题型五方案设计型问题××出风最小角：∠𝐸𝐹𝐺133°，出风最大角：∠𝐸𝐹𝐻=××出风最小角：∠𝐸𝐹𝐺133°，出风最大角：∠𝐸𝐹𝐻=154°空调尺寸：795200∗273（宽×深×200cm50cm𝐸𝐶（1cmsin43°0.68cos43°0.73tan43°0.93sin64°0.90cos64°tan64°≈2.05）连接𝐹𝐴，过点𝐹作𝐹𝑂𝐴𝐷于点𝑂，构造出直角三角形𝐹𝐴𝑂和矩形𝐸𝐹𝑂𝐷，结合题意推出𝐴𝑂=180cm，要使𝑅𝑡𝐹𝐴𝑂中，根据题意得出∠𝐴𝐹𝑂=43°，利用tan43°=𝐹𝑂得到𝐹𝑂≈194cm，进而得到𝐷𝐸据𝐸𝐶=𝐶𝐷+𝐷𝐸【详解】解：连接𝐹𝐴，过点𝐹作𝐹𝑂𝐴𝐷于点𝑂，如图所示，则四边形𝐸𝐹𝑂𝐷∴𝐷𝐸=𝐹𝑂,𝑂𝐷=𝐸𝐹=200mm=20cm,∠𝐸𝐹𝑂=∴𝐴𝑂=𝐴𝐷−𝑂𝐷=200−20=由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘𝐴当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘𝐴处时，空调安装的高度最低，此时∠𝐴𝐹𝑂=133°−90°=43°，在Rt𝐹𝐴𝑂中，tan∠𝐴𝐹𝑂=tan43°=∴𝐹𝑂=

≈180≈∴𝐷𝐸=𝐹𝑂=∵𝐶𝐷=∴𝐸𝐶=𝐶𝐷𝐷𝐸=50+194=244(cm)，01 ht1h后乙容器的水面高度（此时水还未溢出【答案】（1）是；（2）ℎ=0.2𝑡3；（3）乙容器的水面高度为15cm；（4）乙容器10∶15用𝑡=0时，ℎ=3，𝑡=10时，ℎ=5，由待定系数法求解；（3）把𝑡=60代入函数解析式，求出ℎ（4）根据高度随时间变化规律，求出当ℎ=30cm时，𝑡8：00【详解】解：（1）每隔10min水面高度观察值的变化量为：5−3=2，7−5=2，9−7=2，11−9=2，ht之间的关系式为ℎ=𝑘𝑡𝑡=0时，ℎ=3，𝑡=10时，ℎ=3= 5=10𝑘+𝑏

𝑘=𝑏=3ht之间的函数解析式为ℎ=0.2𝑡+把𝑡=60代入ℎ=0.2𝑡+3得，ℎ=0.2×60+3=答：乙容器的水面高度为（4）当ℎ=30cm时，得30=0.2𝑡3，解得：𝑡=135min，8：00开始放水，①用皮尺测得看台①用皮尺测得看台𝐴𝐵的长为2.5i为3∶4A到地面𝐶𝐸的距1米，𝐴𝐸⊥𝐸𝐶，𝐷𝐶⊥𝐸𝐶，𝐵𝐺⊥𝐺𝐶，𝐴𝐻⊥𝐵𝐺，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷；②AD点的仰角为30°，在看台顶部BD点的仰角为26°35′；③用计算器计算得：sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈3≈𝐴𝐻2+【分析】延长𝐻𝐴交𝐶𝐷于点N，设𝐵𝐻=3𝑘,𝐴𝐻=4𝑘，则𝐴𝐵 =5𝑘，求得𝑘=0.5𝐴𝐻2+米，则𝐷𝑁=𝐷𝐹𝐹𝑁=(𝑥1.5)米，𝐵𝐹=2𝑥，𝐴𝑁=3𝐷𝑁=3(𝑥1.5)，根据特殊角的正切列式求解根据题意，得∠𝑁𝐴𝐷=因为看台𝐴𝐵的长为2.5i为∴𝐵𝐻:𝐴𝐻=𝐴𝐻2+设𝐵𝐻=3𝑘,𝐴𝐻=4𝑘，则𝐴𝐵𝐴𝐻2+∴5𝑘=2.5，解得𝑘0.5，∴𝐵𝐻=3𝑘=1.5,𝐴𝐻=4𝑘=𝐵𝐻=𝑁𝐹=1.5,𝐵𝐹=𝐻𝑁=𝐻𝐴𝐴𝑁=2+𝐴𝑁，𝐴𝐸=𝐶𝑁=1，设𝐷𝐹=𝑥米，则𝐷𝑁=𝐷𝐹+𝐹𝑁=(𝑥+1.5)米，根据题意，得∠𝐷𝐵𝐹=∴tan∠𝐷𝐵𝐹=tan26°35′=𝐷𝐹=𝑥≈ ∴𝐵𝐹=根据题意，得tan∠𝐷𝐴𝑁=tan30°=𝐷𝑁= ∴𝐴𝑁=3𝐷𝑁=3(𝑥+2+根据题意，得tan∠𝐷𝐵𝐹=tan26°35′=𝐷𝐹 2+

≈解得𝑥≈17.15（米经检验，𝑥≈17.15故𝐶𝐷=𝐶𝑁𝐷𝑁=1+17.15+1.5=19.65≈19.7（米）；03】（2026年山西省临汾市九年级数学模拟试卷（二））12，𝐷，𝐴，𝐸三点共线，𝐸−𝐴−𝐵−𝐶𝐴𝐸台面𝑀𝑁．𝐴−𝐷−𝐹是开关，可整体绕点𝐴上下旋转，且𝐴𝐷𝐷𝐹，𝐴𝐸连接𝐴𝐹，∠𝐹𝐴𝐷=60°，𝐴𝐸=14cm，𝐴𝐷=4cm3𝐴𝐷𝐹旋转到△𝐴𝐷′𝐹′的位置上，旋转角∠𝐹′𝐴𝐹=30°．(1)2中𝐴𝐹(2)3中点𝐹′到台面𝑀𝑁【答案】 +【分析】（1）在Rt𝐴𝐷𝐹（2）过点𝐹′作𝐹′𝐻⊥𝑀𝑁，垂足为𝐻，交𝐴𝐵于点𝐺，在Rt△𝐹′𝐴𝐺中，利用正弦函数的定义求𝐹′𝐺的长度，据【详解】（1）解：在Rt𝐴𝐷𝐹中，𝐴𝐷=4cm，∠𝐹𝐴𝐷=∴𝐴𝐹

=

=（2）解：如图，过点𝐹′作𝐹′𝐻⊥𝑀𝑁，垂足为𝐻，交𝐴𝐵于点∵𝐴𝐸⊥∴∠𝐷𝐴𝐵=∵∠𝐹𝐴𝐷=∴∠𝐹𝐴𝐵=90°−60°=∴∠𝐹′𝐴𝐺=∠𝐹′𝐴𝐹+∠𝐹𝐴𝐵=60°，根据旋转可得𝐴𝐹′=𝐴𝐹=8cm，在Rt𝐹′𝐴𝐺中，𝐹′𝐺=𝐴𝐹′sin60°=8×3=4∵𝐺𝐻=𝐴𝐸=∴𝐹′𝐻=𝐹′𝐺+𝐺𝐻=

+∴点𝐹′到台面𝑀𝑁的距离为

+04】（2026·安徽六安·一模）71内侧长度𝐵𝐺60cm，∠𝐶𝐷𝐸53∘，档案盒高度𝐴𝐵=35cm．sin53∘0.799cos53∘≈0.602，tan53∘≈任务一：计算右边档案盒的顶点𝐷【答案】(1)(2)𝐷𝐹=【分析】（1）根据𝐷𝐸=𝐶𝐷⋅cos53∘（2）推导出∠𝐷𝐹𝐺=53∘【详解】（1）在Rt𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷=𝐴𝐵=35cm，∠𝐶𝐷𝐸=𝐷𝐸=𝐶𝐷cos53∘≈35×0.602≈21(cm)，（2）由题意得：∠𝐷𝐺𝐹=∠𝐶𝐷𝐹=∵∠𝐶𝐷𝐸=∴∠𝐹𝐷𝐺=180∘−∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐶𝐷𝐹=180∘−90∘−53∘=∴∠𝐷𝐹𝐺=90∘−∠𝐹𝐷𝐺=90∘−37∘=53∘，Rt△𝐷𝐹𝐺中，𝐷𝐹=∴𝐷𝐺=𝐷𝐹⋅sin53∘≈7𝑥0.799𝑥21=60，解得：𝑥≈5，即每一个档案盒的厚度𝐷𝐹=5cm．05】（2025·陕西西安·三模）（1）如图①，已知⊙𝑂与直线𝑙相离，过𝑂作𝑂𝑁⊥𝑙于点𝑁，𝑂𝑁=6，⊙𝑂的半径为4，则圆上一点𝑃到直 （2）如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷𝐵𝐶，𝐴𝐷=2，𝐵𝐶=4，∠𝐵=∠𝐶=60°，请你过点𝐷（3）如图③所示，是由线段𝐷𝐴、𝐴𝐵、𝐵𝐶与弧𝐶𝐷围成的花园的平面示意图，𝐵𝐶=2𝐴𝐷=80m，𝐶𝐷=40m，𝐴𝐷𝐵𝐶，𝐶𝐷𝐵𝐶，点𝐸为𝐵𝐶的中点，𝐶𝐷所对的圆心角为120°．管理人员想在𝐶𝐷上确定一点𝑀，在四边形𝐵𝑀区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过𝐴点修建一条小路𝑁，把四边形𝐵𝑀分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路𝑁？若存在，请求出𝑁的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）图见解析，𝐷𝐸=7；（3）存在满足上述条件的小路𝐴𝑁，𝐴𝑁的长为矩形的性质可得𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐹𝐷𝐸，𝐴𝐸=𝐷𝐹，再证出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，根据全等三角形的性质可得𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑆△𝐷𝐶𝐹，然后解直角三角形求出𝐴𝐸的长，最后在Rt△𝐴𝐷𝐸（3）连接𝐴𝐸，求出𝐴𝐸𝐵的面积，证明要使四边形𝐴𝐵𝐸𝑀𝐴𝑀𝐸的面积需最小，设𝐶𝐷所的距离最短，即𝐴𝑀𝐸的面积最小．得出𝐵𝑁=30m，则𝑁𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑁=10m∵𝑂𝑁=6⊙𝑂的半径为∴最小值是为6−42，（2）如图，过点𝐴作𝐴𝐸𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐷𝐸，则𝐷𝐸即为所求．理由如下：过点𝐷作作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷𝐹𝐶=90°，𝐴𝐸∥∵𝐴𝐷∥∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐹𝐷𝐸，𝐴𝐸=𝐷𝐹，在△𝐴𝐵𝐸△𝐷𝐶𝐹中，∠𝐵=∠𝐶=∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷𝐹𝐶=90°𝐴𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=∴𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑆△𝐹𝐷𝐸+𝑆△𝐷𝐶𝐹，即𝑆四边形𝐴𝐷𝐸𝐵=∵四边形𝐴𝐷𝐹𝐸是矩形，𝐴𝐷=∴𝐸𝐹=𝐴𝐷=∵△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐵𝐸=∵𝐵𝐸+𝐶𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐶=∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=(3)+在Rt△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸=(3)+𝐴𝐸2+在𝐴𝐸2+

=𝐵𝐶=2𝐴𝐷=80m，点𝐸为𝐵𝐶∴𝐶𝐸=𝐵𝐸=𝐴𝐷=∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥四边形𝐴𝐸𝐶𝐷∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐸𝐵=90°，𝐴𝐸=𝐶𝐷=40∴

△𝐴𝐵𝐸=2𝐴𝐸⋅𝐵𝐸=2×40×

= 要使四边形𝐴𝐵𝐸𝑀𝐴𝑀𝐸的面积需最小．设𝐶𝐷所在圆的圆心为𝑂，则∠𝐷𝑂𝐶=120°，过𝑂作𝑂𝐹𝐴𝐸于𝐹，交𝐶𝐷于点𝑄，交𝐶𝐷于由（1）可得，此时点𝑀到𝐴𝐸的距离最短，即𝐴𝑀𝐸∵𝑂𝐹⊥∴𝑂𝐹⊥𝐶𝐷，𝑄𝐹=𝐶𝐸=∴𝐶𝑄=𝐷𝑄

1𝐶𝐷=203m，∠𝐷𝑂𝑄=∠𝐶𝑂𝑄=∴𝑄𝑂

=20m，𝑂𝑀=𝑂𝐶=𝑂𝐷=2𝑂𝑄=∴𝑀𝑄=𝑂𝑀−𝑂𝑄=∴𝑀𝐹=𝑄𝐹−𝑀𝑄=∴△𝐴𝑀𝐸面积的最小值为

=2𝑀𝐹⋅𝐴𝐸=2×20×∴ =∴ = + =12003(m四边形

= ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝑀=6003m>点𝑁在𝐵𝐸 ∴𝑆△𝐴𝐵𝑁=2𝐴𝐸⋅𝐵𝑁=2×403𝐵𝑁=600∴𝐵𝑁=∴𝑁𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑁=𝐴𝐸2+∴𝐴𝑁𝐴𝐸2+勾股定理、作垂线的尺规作图等知识，较难的是题（3），确定△𝐴𝑀𝐸的面积最小时，点𝑀的位置是解题关01】（2025·江苏淮安·中考真题）【主题=米，𝑀𝑄=1.6米，雨伞撑开的宽度𝐴𝐶=1米，伞柄的𝑂𝐺部分长为0.45米，点𝑂为𝐴𝐶中点，𝑂𝐺𝐴𝐶，点𝐺到部分𝑃𝐾=米．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【问题探究】（2）如图（2）所示，𝜃=60°，设小丽将手臂水平前伸了𝑥米（即线段𝐸𝐺的长度），【答案】（1）①1.8；②0.26；（2）𝑦=−3𝑥1.8−

0≤𝑥

；（3）可以，𝐸𝐺的最小值为79+29+2−交𝐴𝐵于点𝐻，过𝐴作𝐴𝐼𝑀𝑁交𝑀𝑁于𝐼，为保证头部不被淋湿，即𝐻𝑁≥𝑀𝑁【详解】解：（1）①由题意知，𝑂𝐺=0.45米，𝐺𝑃=1.35∴𝑂𝑃=𝑂𝐺𝐺𝑃=0.45+1.35=1.8米，②∵𝐴𝐶=1米，点𝑂为𝐴𝐶 ∴𝑂𝐶=2𝐴𝐶=2∵𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐾𝐷𝑃=∵∴∠𝑂𝐶𝐾=∠𝐾𝐷𝑃=在Rt𝑂𝐶𝐾中，𝑂𝐾=𝑂𝐶tan72°

1×3.08=1.54∴𝑃𝐾=𝑂𝑃−𝑂𝐾=1.8−1.54=0.26米，则𝑂𝐹=𝐸𝐺=∴𝐶𝐹=𝑂𝐹𝑂𝐶=𝑥 ∵𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐾𝐷𝑃=∵∴∠𝐹𝐶𝐾=∠𝐾𝐷𝑃=在Rt𝐹𝐶𝐾中，𝐹𝐾=𝐶𝐹tan60°

+𝑥

+3𝑥∴𝑃𝐾=𝐹𝑃−𝐹𝐾=即𝑦=−3𝑥1.8−

3+3𝑥=−3𝑥+1.8−23延长𝑁𝑀交𝐴𝐵于点𝐻，过𝐴作𝐴𝐼𝑀𝑁交𝑀𝑁于则𝐴𝐼=1.8−1.6=0.2（米），𝐻𝐼=

=15，𝐴𝐹=𝑁𝐼=所以𝐻𝑁=𝐻𝐼𝐼𝑁=3+0.5−𝑥≥𝑀𝑁=解得𝑥≤9+23，又𝑥≥0，所以0≤𝑥≤9+23；9+2∴𝑦=−3𝑥+1.8−9+2

0≤𝑥 延长𝑁𝑀交𝐴𝐵于点𝑅，过𝑅作𝑅𝑇⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷于𝑇，延长𝐸𝐺交𝐶𝐷于𝑊，过𝑊作𝑊𝑌𝑂𝐺交𝑂𝐺于则𝑊𝑌=𝑂𝐶=0.5=2，∠𝐺𝑊𝐷=∠𝑌𝐺𝑊=60°，𝑅𝑇=𝑀𝑄=2𝑌𝐺2+𝐵𝐷2𝑌𝐺2+所以在Rt△𝑌𝐺𝑊中，𝑌𝐺=

=3<𝑂𝐺，𝐺𝑊

=3在Rt△𝐷𝐸𝑊中，𝐸𝑊=

9 =所以𝐸𝐺=𝐸𝑊−𝐺𝑊=933=73< 在Rt𝐵𝑅𝑇中，𝐵𝑇=

8 =又𝐵𝐷−𝐵𝑇=23−83=23>𝑀𝑁= 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，𝐸𝐺的最小值为701】（2025·青海·中考真题）1.80.30.6米且与地面所形成的夹如图：已知线段𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，𝐴𝐵，𝐶𝐷与直线𝑙分别交于点𝐸，𝐹，𝐴𝐵=𝐶𝐷=1.8m，𝐵𝐸=𝐷𝐹=0.3m，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐹𝐸=65°，𝐸𝐹=0.6m，求𝑂𝐸的长度．（0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【答案】𝑂𝐸≈0.7m，𝑂𝐴=【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过𝑂作𝑂𝐻𝐸𝐹于𝐻𝐸𝐻=𝐹𝐻=0.3m，结合cos65°≈0.42=𝑂𝐸可得答案；最后由𝑂𝐴=𝐴𝐵−𝑂𝐸−𝐵𝐸即可得到答案【详解】解：数学抽象：如图，过𝑂作𝑂𝐻𝐸𝐹于∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐹𝐸=∴𝑂𝐸=∵𝐸𝐹=0.6∴𝐸𝐻=𝐹𝐻=∴cos65°≈0.42=∴𝑂𝐸

≈问题总结：∵𝐴𝐵=𝐶𝐷=1.8m，𝐵𝐸=𝐷𝐹=0.3∴𝑂𝐴=1.8−0.3−0.7=02】（2024·广西南宁·一模）1.61.23934.835（sin37°0.60cos37°0.80tan37°sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）请对本次实践活动进行评价（一条即可【答案】(1)5252.5 【分析】（1）由题意可知△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐷𝐸，从而得出𝐷𝐵=𝐸𝐷 （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出𝐵𝐶=tan37°，𝐵𝐷=tan26.5°，再根据𝐶𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐶=35（3）【详解】（1）由题意可知𝐴𝐵𝐷∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，即𝐴𝐵=

解得𝐴𝐵=∴龙象塔𝐴𝐵52（2）在Rt𝐴𝐵𝐶中，tan𝛼=∴𝐵𝐶=在Rt𝐴𝐵𝐷中，tan𝛽=∴𝐵𝐷=∵𝐶𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐶= =35∴𝐴𝐵𝐴𝐵 =35

2𝐴𝐵−3𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=52.5∴龙象塔𝐴𝐵52.5（3）031211，如果点𝑃把线段𝐴𝐵分成两条线段𝐴𝑃 𝑃𝐵(𝐴𝑃>𝑃𝐵)，且𝐴𝑃=𝐴𝐵，则我们称点𝑃为线段𝐴𝐵中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形2，已知𝐴𝐵𝐶是“类黄金三角形”，且𝐴𝐶<𝐴𝐵<𝐵𝐶．若𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=5，求𝐴𝐵3，已知𝐴𝐵𝐶是“类黄金三角形”，且𝐴𝐶<𝐴𝐵<𝐵𝐶．若∠𝐵𝐴𝐶=90°，小滨同学过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，发现了两个结论：①𝐴𝐵2=𝐵𝐷×4，已知𝐴𝐵𝐶是“类黄金三角形”，且𝐴𝐶<𝐴𝐵<𝐵𝐶．若𝐵𝐶=

∠𝐴=90°+【答案】【认识研究对象】𝐴𝐵=【尝试问题解决】𝐴𝐵=【认识研究对象】直接利用“类黄金三角形”【探索研究方法】①通过证明△𝐴𝐵𝐷∼△𝐶𝐵𝐴，利用相似三角形对应边成比例推导𝐴𝐵2=𝐵𝐷×②结合“类黄金三角形”定义与①的结论，证明𝐵𝐷2=𝐷𝐶×𝐵𝐶，从而判定𝐷是𝐵𝐶【尝试问题解决】在𝐵𝐶上取点𝐷，使𝐵𝐷𝐴𝐶，连接𝐴𝐷．根据“类黄金三角形”的定义𝐴𝐵2=𝐴𝐶𝐵𝐶转化为比例式𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐷𝐵，结合公共角∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐶△𝐷𝐵𝐴∼△𝐴𝐵𝐶，由相似得∠𝐵𝐷𝐴= 结合已知∠𝐵𝐴𝐶=90°+1∠𝐶，推导得出𝐴𝐶=𝐷𝐶，代入定义式𝐴𝐵2=𝐴𝐶×𝐵𝐶求出𝐴𝐵【认识研究对象】解：𝐴𝐵𝐶是类黄金三角形，且𝐴𝐶<𝐴𝐵<∴根据定义，最长边𝐵𝐶与最短边𝐴𝐶的乘积等于第三边𝐴𝐵的平方，即𝐵𝐶𝐴𝐶=∵𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=∴𝐴𝐵2=5×3=∴𝐴𝐵=【探索研究方法】①证明：∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷𝐵𝐶于∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=90°，又∵∠𝐵=∠𝐵，∴△𝐴𝐵𝐷∼△∴𝐴𝐵=

∴𝐴𝐵2=𝐵𝐷×②证明：𝐴𝐵𝐶是类黄金三角形，且𝐴𝐶<𝐴𝐵<∴𝐵𝐶×𝐴𝐶=由①知𝐴𝐵2=𝐵𝐷×∴𝐵𝐶×𝐴𝐶=𝐵𝐷×∵𝐵𝐶≠∴𝐴𝐶=∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=∴△𝐴𝐷𝐶∼△∴𝐴𝐶= ∴𝐴𝐶2=𝐷𝐶𝐵𝐶，又∵𝐴𝐶=𝐵𝐷，∴𝐵𝐷2=𝐷𝐶×【尝试问题解决】解：如图，在𝐵𝐶上取点𝐷，使𝐵𝐷=𝐴𝐶，连接∵𝐴𝐵2=𝐴𝐶×∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=

∵∠𝐷𝐵𝐴=∴△𝐷𝐵𝐴∼△∴∠𝐵𝐷𝐴=∵∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°

∴90°

1∠𝐶=∠𝐶+∴∠𝐷𝐴𝐶=90°−∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐶=90°

∴∠𝐴𝐷𝐶=180°−90°+∴𝐴𝐶=∴𝐵𝐶=∴𝐴𝐶=∴𝐴𝐵2=𝐴𝐶×𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=

=（1）将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷展平后沿过点𝐶的直线𝐶𝐸折叠，使点𝐵的对应点𝐵′落在𝑀𝑁上，折痕为𝐸𝐶，连接𝐷𝐵′，2．①点𝐵′在以点𝐸为圆心 的长为半径的圆上②𝐵′𝑀= ③△𝐷𝐵′𝐶为 （2）当𝐴𝐵=3𝐴𝐸时，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿过点𝐸的直线𝑙（不过点𝐵）折叠后，点𝐵的对应点𝐵′落在正方形①△𝐴𝐵𝐵′面积的最大值 ②连接𝐴𝐵′，点𝑃为𝐴𝐸的中点，点𝑄在𝐴𝐵′上，连接𝑃𝑄,∠𝐴𝑄𝑃=∠𝐴𝐵′𝐸，则𝐵′𝐶+2𝑃𝑄的最小值为【答案】

6−33；③等边 【分析】（1）①②③利用勾股定理，求得𝐵′𝐷=𝐵𝐶=𝐶𝐷（2）①由题意知点𝐵′E2𝐴𝐵𝐵′的面积要最大，只要以𝐴𝐵为底的高最长即可，此时当𝐵′𝐸⊥𝐴𝐵△𝐴𝐵𝐵′的面积最大；②E、𝐵′、C三点共线时，𝐵′𝐶+𝐸𝐵′取得最小值，即𝐵′𝐶+2𝑃𝑄取得最小值，且最小值为𝐸𝐶的长，利用【详解】解：（1）①点𝐵′E为圆心，𝐵𝐸②根据折叠的性质知：𝐵𝐸=𝐵′𝐸，𝐵𝐶=𝐵′𝐶=3，𝑀𝐴=𝑀𝐵=𝑁𝐶=𝑁𝐷=∠𝐵=∠𝐸𝐵′𝐶=𝐵′𝑀=𝑀𝑁−𝐵′33332−3=3−𝐵′𝑁2+𝐵′𝑁2+

=𝐵𝐶=𝐵′𝐶2−𝑁𝐶2𝐵′𝐶2−𝑁𝐶2+故答案为：①𝐵𝐸，②3−33，③（2）①∵𝐴𝐵=3=∴𝐴𝐸=1,𝐵𝐸=故点𝐵′E2∴△𝐴𝐵𝐵′的面积要最大，只要以𝐴𝐵∴当𝐵′𝐸⊥𝐴𝐵△𝐴𝐵𝐵′△𝐴𝐵𝐵′②∵∠𝐴𝑄𝑃=∴𝑃𝑄∥∴𝐴𝑃=𝐴𝑄

=2𝐴𝐵

𝐵=2×3×2= ∵P为𝐴𝐸∴Q为𝐴𝐵′∴𝑃𝑄△𝐴𝐸𝐵′ ∴𝑃𝑄

𝐸𝐵，即𝐸𝐵=∴𝐵′𝐶+2𝑃𝑄=𝐵′𝐶+E、𝐵′、C三点共线时，𝐵′𝐶+𝐸𝐵′取得最小值，即𝐵′𝐶+2𝑃𝑄取得最小值，且最小值为𝐸𝐶𝐵𝐶2+𝐵𝐶2+

=32+∴𝐵′𝐶+2𝑃𝑄的最小值为13．故答案为：①3；32+适中，其中（2）①当𝐵′𝐸⊥𝐴𝐵时，△ABB'的面积最大；②E、𝐵′、C三点共线时，𝐵′𝐶+2𝑃𝑄取得最小1，在等边𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=4

，E，F分别是𝐴𝐵和𝐴𝐶上的动点，且总有𝐵𝐸=𝐴𝐹𝐶𝐷=下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定𝐷𝐸𝐷𝐹∵在等边𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=43，𝐶𝐷=

∴点𝐷为𝐵𝐶边上的中点，∠𝐵=∴𝐴𝐷⊥过点𝐴作𝐴𝐺𝐴𝐷，使𝐴𝐺=𝐵𝐷，连接∴𝐴𝐺∥∴∠𝐺𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵．又∵𝐴𝐹=𝐵𝐸，∴△𝐴𝐺𝐹≌△∴𝐺𝐹=连接𝐷𝐺，𝐷𝐹，当𝐷,𝐹,𝐺三点共线时，𝐺𝐹𝐷𝐹的最小值等于线段𝐷𝐺的长．∴𝐷𝐺=【问题解决】①1请你补全缺失的证明四边形𝐴𝐷𝐶𝐺②结合上述探究过程可知𝐷𝐸+𝐷𝐹的最小值 2，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷12，O为对角线的交点，M，N分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷𝐵𝑀=𝐷𝑁，连接𝑂𝑀，𝐶𝑁，求𝑂𝑀𝐶𝑁3，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=22，𝐸是𝐴𝐷的中点，F，G分别是𝐵𝐶和𝐷𝐶𝐵𝐹=2𝐷𝐺，则𝐸𝐹+2𝐴𝐺的最小值 【答案】(1)①②求出𝐷𝐺=𝐴𝐶=43（2）过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐵𝐷，使𝐷𝐺=𝑂𝐵，连接𝐺𝑁，𝐺𝐶，先得出𝑂𝑀+𝐶𝑁=𝐺𝑁+𝐶𝑁，则当点𝐶,𝑁,𝐺三点共线（3）延长𝐴𝐵到点𝐻，使𝐵𝐻2𝐴𝐷，连接𝐸𝐻，𝐹𝐻𝐴𝐷𝐺𝐻𝐵𝐹，可得𝐸𝐹2𝐴𝐺=𝐸𝐹𝐻𝐹，则当点𝐸,𝐹,𝐻三点共线时，𝐸𝐹+𝐻𝐹的最小值等于线段𝐸𝐻的长，即𝐸𝐹+2𝐴𝐺的最小值等于线段𝐸𝐻的长，再【详解】（1）解：①∵𝐴𝐺=𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐺∵𝐴𝐺⊥∴∠𝐺𝐴𝐷=∴𝐷𝐺=𝐴𝐶=4∴𝐺𝐹𝐷𝐹的最小值为43，又∵𝐺𝐹=𝐷𝐸，∴𝐷𝐸𝐷𝐹的最小值为4（2）解：如图，过点𝐷作𝐷𝐺𝐵𝐷，使𝐷𝐺=𝑂𝐵，连接∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=12，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝑂𝐵𝑀=∠𝐴𝐷𝐵=45°，𝑂𝐵

𝐵𝐶2+∴𝐵𝐷 =122，∠𝐺𝐷𝑁=90°−∠𝐴𝐷𝐵𝐵𝐶2+∴𝐷𝐺=𝑂𝐵=62,∠𝐺𝐷𝑁=∠𝑂𝐵𝑀=45°，在△𝐺𝑁𝐷△𝑂𝑀𝐵中，𝐺𝐷=∠𝐺𝐷𝑁=∠𝑂𝐵𝑀=45°𝐷𝑁=∴△𝐺𝑁𝐷≌△∴𝐺𝑁=∴𝑂𝑀+𝐶𝑁=𝐺𝑁+∴当点𝐶,𝑁,𝐺三点共线时，𝐺𝑁𝐶𝑁的最小值等于线段𝐺𝐶的长，即𝑂𝑀𝐶𝑁的最小值等于线段𝐺𝐶的长，如图，过点𝐺作𝐺𝐻⊥𝐶𝐷，交𝐶𝐷的延长线于点𝐻，∵∠𝐴𝐷𝐶=90°,∠𝐺𝐷𝑁=∴∠𝐺𝐷𝐻=180°−∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐺𝐷𝑁=∴∠𝐷𝐺𝐻=90°−∠𝐺𝐷𝐻=∴∠𝐷𝐺𝐻=∴𝐷𝐻=𝐷𝐻2+在Rt△𝐷𝐺𝐻中，𝐷𝐺 =2𝐷𝐻=2𝐺𝐻=6𝐷𝐻2+∴𝐷𝐻=𝐺𝐻=∴𝐶𝐻=𝐶𝐷+𝐷𝐻=𝐶𝐻2+∴在Rt△𝐶𝐻𝐺中，𝐺𝐶 =𝐶𝐻2+∴𝑂𝑀𝐶𝑁的最小值为6（3）解：如图，延长𝐴𝐵到点𝐻，使𝐵𝐻=2𝐴𝐷，连接∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=22，𝐸是𝐴𝐷∴𝐵𝐻=42，𝐴𝐸

1𝐴𝐷=2，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷=∴∠𝐻𝐵𝐹=∵𝐵𝐻=2𝐴𝐷，𝐵𝐹=∴𝐴𝐷=𝐷𝐺= 在𝐴𝐷𝐺𝐻𝐵𝐹𝐴𝐷=𝐷𝐺= ∠𝐷=∠𝐻𝐵𝐹=∴△𝐴𝐷𝐺∽△∴𝐴𝐺=𝐴𝐷= ∴𝐻𝐹=∴𝐸𝐹+2𝐴𝐺=𝐸𝐹+∴当点𝐸,𝐹,𝐻三点共线时，𝐸𝐹𝐻𝐹的最小值等于线段𝐸𝐻的长，即𝐸𝐹2𝐴𝐺的最小值等于线段𝐸𝐻∵𝐴𝐵=2，𝐵𝐻=4∴𝐴𝐻=𝐴𝐵+𝐵𝐻=5𝐴𝐸2+∴在Rt△𝐴𝐸𝐻中，𝐸𝐻 =𝐴𝐸2+∴𝐸𝐹2𝐴𝐺的最小值为2（限时训练：50分钟反射光线与𝐴𝐵的夹角相等，照射点𝐸处的法线𝐸𝑁∥𝐷𝑂（法线与反射面垂直，即𝐸𝑁𝐵𝐶），若∠𝐴𝑂𝐷=20°，则两平面镜的夹角∠𝐴𝐵𝐶的度数为（） 【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得∠𝐷𝑂𝐸140°，再根据平行的性质可得∠𝑂𝐸𝑁=180°−∠𝐷𝑂𝐸=40°，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键．𝐴𝑂𝐷=∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐴𝑂𝐷=∴∠𝐷𝑂𝐸=∵∴∠𝑂𝐸𝑁=180°−∠𝐷𝑂𝐸=∵𝐸𝑁⊥∴∠𝐵𝐸𝑂=90°−∠𝑂𝐸𝑁=∴∠𝐴𝐵𝐶=180°−∠𝐵𝑂𝐸−∠𝐵𝐸𝑂=110°．𝑎𝑏2𝑎2+𝑏2−𝑐2一个结论：三边分别为a、b、c的△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆𝑎𝑏2𝑎2+𝑏2−𝑐2 ．下列结论中正确的是（=2𝑎𝑏sin𝐶=2𝑎𝑐sin𝐵=A．cos𝐶=C．cos𝐶=

B．cos𝐶=D．cos𝐶=【答案】𝑎𝑏2𝑎2+𝑏2−𝑐2【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=

，𝑆△𝐴𝐵𝐶=∴1

=即

(1−sincos2𝐶 cos𝐶

𝑎2+𝑏2−𝑐2【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉sin2𝐶+cos2𝐶=1正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，连接𝐵𝐷交𝐶𝐻P．若𝐵𝑃=𝐵𝐶，则tan∠𝐶𝐵𝐺的值是（）AA． ． ．

D．2设𝐶𝐺𝐷𝐻𝑏𝐵𝐺𝐶𝐻𝑎𝐻𝐺𝐶𝐻−𝐶𝐺𝑎−𝑏𝑃𝐺𝐶𝐺𝑏𝐻𝑃𝑎−2𝑏， 证明△𝐷𝐻𝑃∽△𝐵𝐺𝑃，得到𝐵𝐺=𝑃𝐺，进而求出𝑎,𝑏【详解】解：由题意，得：𝐶𝐺=𝐷𝐻,𝐵𝐺=𝐶𝐻,𝐵𝐺𝐶𝐻,𝐷𝐸∴设𝐶𝐺=𝐷𝐻=𝑏，𝐵𝐺=𝐶𝐻=𝑎，则：𝐻𝐺=𝐶𝐻−𝐶𝐺=∵𝐵𝑃=𝐵𝐶，𝐵𝐺⊥∴𝑃𝐺=𝐶𝐺=∴𝐻𝑃=𝐶𝐻−𝑃𝐺−𝐶𝐺=∵𝐷𝐸∥∴△𝐷𝐻𝑃∽△∴𝐷𝐻=𝐻𝑃，即：𝑏=

解得𝑎=

+1𝑏或𝑎=

𝑏（不合题意，舍去2+1在Rt△𝐵𝐺𝐶中，tan∠𝐶𝐵𝐺=𝐶𝐺 2+1

=的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释(𝑎+𝑏)𝑛展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，(𝑎+𝑏)3的展开式中第二项的系数为3，那么(𝑎+𝑏)5的展开式中第三项 【答案】【分析】本题主要考查了整式的规律、根据图形中的规律得到(𝑎𝑏)𝑛的第三项系数为1+2+3+(𝑛−2)+(𝑛−1)成为解题的关键．先根据图形中的规律得到(𝑎+𝑏)𝑛的第三项系数为1+2+3+⋯+(𝑛−2)+(𝑛−1)，然后令𝑛=5【详解】解：找规律发现(𝑎𝑏)3的第三项系数为3=1+2；(𝑎+𝑏)4的第三项系数为6=1+2+3；(𝑎𝑏)𝑛的第三项系数为1+2+3+(𝑛−2)+(𝑛−1)；当𝑛=5时，有1+……+(5−3)+(5−2)+(5−1)=10．所以(𝑎𝑏)510．5．当三角形中一个内角𝛽是另一个内角𝛼的2时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角𝛼称为“ 【分析】分54°αβαβ三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列②54°β，则2𝛼=𝛽=∴𝛼=③54°αβ，则𝛼+𝛽+54°=180°，∴𝛼+2𝛼+54°=解得𝛼=6．（23-24七年级上·浙江衢州·月考）aa为奇数，则𝑓(𝑎)=5𝑎−1a数，则𝑓(𝑎)=2

𝑓(3)=5×3−1=14，𝑓(10)=10=5．若

=

=

=

= ，𝑎1+𝑎2+𝑎3+…𝑎2023= 【答案 可以分别求出𝑎1=8，𝑎2=4，𝑎3=2，𝑎4=1，𝑎5=4，…，进而可以得出数列𝑎𝑛4、2、13个数为周期循环，再根据2023−1=674×3即可求解．【详解】解：∵𝑎1=∴𝑎