北师 九上 数学 第1章《1.3矩形的性质与判定》课件

3矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2矩形的性质直角三角形斜边上中线的性质矩形的判定知1－讲知识点矩形的性质1矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有以下特殊的性质：知1－讲图形性质数学表达式角定理：矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD

是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°对角线定理：矩形的对角线相等∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD特别解读矩形的其他性质：1.矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形。2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。知1－讲知1－练【母题教材P12例1】如图1-3-1，在矩形ABCD

中，对角线AC，BD

相交于点O，∠

BOC=120°，AB=6.求：例1解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.知1－练(1)对角线的长；

知1－练(2)BC

的长；

知1－练(3)矩形ABCD

的面积.

知1－练

C知1－练[一题多解]如图1-3-2，已知四边形ABCD

为矩形，AE∥BD，且交CB的延长线于点E.求证：AE=AC.解题秘方：紧扣矩形的性质和平行四边形的判定和性质进行证明．例2知1－练证明：(方法一)∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD，AD∥BC.又∵AE∥BD，∴四边形AEBD

是平行四边形.∴AE=BD.∴AE=AC．知1－练

知1－练2-1.如图，在矩形ABCD

中，AC

与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF.知1－练知2－讲知识点直角三角形斜边上中线的性质2定理图示数学表达式直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

知2－讲知2－讲特别提醒1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.2.此性质是解决线段倍分问题的重要依据，其逆命题是直角三角形的一种判定方法.知2－练如图1-3-4，BD，CE是△

ABC的两条高，M，N分别是BC，DE

的中点.求证：MN⊥DE.例3思路导引：

知2－练知2－练3-1.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，点D

为BC

上一点且AD⊥AB，点E

是BD

的中点，连接AE.知2－练(1)求证：∠AEC=∠C；知2－练(2)求证：BD=2AC；证明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C，∴AE＝AC.∴BD＝2AC.知2－练(3)若AE=8.5，AD=8，求△

ABE的周长.知3－讲知识点矩形的判定3知3－讲判定方法图示数学表达式角定义法有一个角是直角的平行四边形是矩形在ABCD

中，∵∠B=90°，∴ABCD是矩形定理有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD

是矩形知3－讲判定方法图示数学表达式对角线定理对角线相等的平行四边形是矩形在ABCD

中，∵AC=BD，∴ABCD是矩形知3－讲注意判断矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法。知3－讲

知3－练如图1-3-5，点O

是线段AB

上的一点，OA=OC，OD

平分∠AOC，且OD

交AC

于点D，OF

平分∠COB，CF⊥OF

于点F.求证：四边形CDOF是矩形.例4知3－练解题秘方：紧扣等腰三角形的三线合一、邻补角互补的性质找到四边形的角的关系，进而判定四边形的形状.证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.∵∠AOC＋∠BOC=180°，∴2∠COD＋2∠COF=180°.∴∠COD＋∠COF=90°.∴∠DOF=90°.∵OA=OC，OD

平分∠

AOC，∴

OD⊥AC，∴∠CDO=90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°.∴四边形CDOF

是矩形.知3－练此处依据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行判定.知3－练4-1.[中考·兰州]如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC。知3－练(1)求证：四边形ADCE是矩形；证明：∵AB＝AC,D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°。∵CE∥AD，∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°。∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°。∴四边形ADCE是矩形。知3－练(2)若BC=4，CE=3，求EF的长。知3－练如图1-3-6，在四边形ABCD

中，AD∥BC，E，F

两点在边BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形AEFD

是平行四边形.例5知3－练(1)AD

与BC

有何数量关系？请说明理由；解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED

和四边形AFCD

都是平行四边形.∴AD=BE，AD=FC.∵四边形AEFD

是平行四边形，∴AD=EF.∴AD=BE=EF=FC.∴BC=3AD.解题秘方：紧扣平行四边形的判定和性质找线段间的数量关系；知3－练(2)当AB=DC

时，求证：

AEFD是矩形.证明：∵四边形ABED

和四边形AFCD

都是平行四边形，∴

DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.∴▱AEFD是矩形.解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手进行证明.知3－练5-1.如图，将平行四边形ABCD

的边DC

延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC

于点F，∠AFC=2∠D，连接AC，BE.求证：四边形ABEC是矩形．知3－练证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D.∵CE＝DC，∴AB＝EC.∴四边形ABEC是平行四边形．∴FA＝FE，FB＝FC.∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝