北师 九上 数学 第1章《问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形》课件

问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形第一章特殊平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正方形的内嵌正八边形知1－讲知识点正方形的内嵌正八边形11.定义：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。知1－讲2.正方形和正八边形的基本特征图形边内角对称性轴对称中心对称正方形四条边相等四个内角相等，每个内角都是90°是，有四条对称轴是，对称中心是两条对角线的交点，相邻两个顶点与对称中心所连线段的夹角为90°正八边形八条边相等八个内角相等，每个内角都是135°是，有八条对称轴是，对称中心是两条对角线的交点，相邻两个顶点与对称中心所连线段的夹角为45°知1－讲

知1－讲3.尺规作内嵌多边形的基本步骤(1)画出草图；(2)分析图形的边、角特征；(3)结合图形性质分析特殊边、角的作法；(4)结合基本尺规作图设计作图顺序并作图.知1－讲特别说明设计作图顺序的基本原则是可操作性。知1－练甲、乙两位同学在学习“作内嵌于正方形的正八边形”的活动中，分别画出了如图1甲、乙所示的两种草图进行分析。例1解题秘方：根据正方形和正八边形的性质分析边、角关系，然后进行尺规作图。知1－练(1)①如图1甲，求证：AO=AG；

知1－练②如图1乙，求证：O′E′⊥O′G′。证明：如图1乙，连接O′F′。易知∠E′O′F′=∠F′O′G′=360°÷8=45°，∴∠E′O′G′=90°，即O′E′⊥O′G′。知1－练(2)根据两种草图思路，分别画出正方形的内嵌正八边形。解：如图2甲，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的一半为半径画弧，交正方形的四边于八点，顺次连接这八个点，即可得到正方形的内嵌正八边形。知1－练如图2乙，①过正方形对角线的交点O作任意一条直线，交正方形的两边于点A，B；②过点O作AB的垂线，交正方形的另两边于点C，D；③分别作直线AB，CD相交形成的直角的平分线，并在角平分线上分别截取OE=OF=OG=OH=OA；④顺次连接A，E，C，F，B，G，D，H，A，即可得到正八边形AECFBGDH。知1－练1-1.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD

=6，∠ABC=60°。(1)尺规作图：在图①中作一个菱形，使得点A，B

为所作菱形的两个顶点，另外两个顶点在▱ABCD的边上；(保留作图痕迹，不写作法，注明所作四边形名称)知1－练解：如图①所示，菱形ABEF即为所求。知1－练(2)尺规作图：在图②中作一个菱形，使点B，D为所作菱形的两个顶点，另外两个顶点在▱ABCD的边上。(保留作图痕迹，不写作法，注明所作四边形名称，并说明所作四边形是菱形的理由)知1－练解：如图②所示，菱形BEDF即为所求。∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC.∴∠DFE=∠BEF.连接BD，设BD与EF交于点O，由作图可知，EF垂直平分BD，∴OB=OD，BF=DF，BE=DE.又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE△DOF(AAS).∴BE=DF.∴BE=DE=DF