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无穷级数

一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、级数的概念1.级数的定义:一般项(常数项)无穷级数级数的部分和部分和数列2.级数的收敛与发散:余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第次分叉：周长为面积为于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．解

收敛

发散

发散

发散

综上解三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明

类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散事实上，对级数任意加括号若记则加括号后级数成为记的部分和为的部分和记为则由数列和子数列的关系知存在，必定存在存在未必存在四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.讨论2项2项4项8项

项由性质4推论,调和级数发散.由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分以1为底的的矩形面积把每一项看成是以为高就是图中

n

个矩形的面积之和即故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法思考题思考题解答能．由柯西审敛原理即

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