(2025年)函数应用题(含答案解析)

(2025年)函数应用题(含答案解析)2025年，某新能源科技公司专注于固态锂电池的研发与生产。市场调研显示，当月产量为x千组时（x≥0），该电池的市场售价p（万元/千组）与月产量x满足线性关系：当x=10时，p=38；当x=50时，p=30。已知该公司每月固定成本为500万元（包括厂房折旧、管理费用等），可变成本C_v（万元）与月产量x的关系为C_v=0.1x²+5x，其中0.1x²项源于原材料采购的规模效应递减，5x项为直接人工成本。（1）求月利润L（万元）关于月产量x（千组）的函数关系式，并确定月产量为多少时，月利润最大，最大利润是多少？（2）为提升竞争力，公司计划投入240万元进行技术升级，升级后可变成本将优化为C_v'=0.06x²+3x（万元），同时由于产品能量密度提升，市场对该电池的需求增强，售价函数调整为p'=40-0.15x（万元/千组）（x≥0）。假设技术升级当月即可完成并生效，试计算升级后的月利润函数，并判断该技术升级是否具有经济可行性（即升级后的月最大利润是否超过原最大利润与升级成本之和）。（3）若市场监管部门为避免产能过剩，规定该公司月产量不得超过80千组，在（2）的技术升级背景下，求此时月利润的最大值及对应的月产量。（1）首先确定售价p与产量x的线性关系式。已知两点（10,38）和（50,30），设p=kx+b，代入得：38=10k+b30=50k+b解得：40k=-8→k=-0.2，代入第一式得b=38+2=40，因此售价函数为p=-0.2x+40（万元/千组）。月收入R=产量×售价=x·p=x·(-0.2x+40)=-0.2x²+40x（万元）。月总成本C=固定成本+可变成本=500+0.1x²+5x（万元）。月利润L=收入-成本=(-0.2x²+40x)-(500+0.1x²+5x)=-0.3x²+35x-500（万元），定义域x≥0。L(x)是开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。顶点横坐标x=-b/(2a)=-35/(2×(-0.3))=35/0.6≈58.333（千组）。将x≈58.333代入L(x)计算最大利润：L(35/0.6)=-0.3×(35/0.6)²+35×(35/0.6)-500先计算(35/0.6)²=(175/3)²=30625/9≈3402.778则-0.3×3402.778≈-1020.83335×(175/3)=6125/3≈2041.667因此L≈-1020.833+2041.667-500≈520.834（万元）所以，月利润函数为L(x)=-0.3x²+35x-500（x≥0），当产量约为58.33千组时，月利润最大，约为520.83万元。（2）技术升级后，新的售价函数为p'=40-0.15x（万元/千组），新的可变成本为C_v'=0.06x²+3x（万元），固定成本增加240万元，因此总成本C'=500+240+0.06x²+3x=740+0.06x²+3x（万元）。新的月收入R'=x·p'=x·(40-0.15x)=-0.15x²+40x（万元）。升级后的月利润L'(x)=R'-C'=(-0.15x²+40x)-(740+0.06x²+3x)=-0.21x²+37x-740（万元），定义域x≥0。L'(x)同样是开口向下的二次函数，最大值出现在顶点x=-b/(2a)=-37/(2×(-0.21))=37/0.42≈88.095（千组）。计算最大利润：L'(37/0.42)=-0.21×(37/0.42)²+37×(37/0.42)-740先计算37/0.42≈88.095，平方≈7761.790.21×7761.79≈-1629.9837×88.095≈3259.515因此L'≈-1629.98+3259.515-740≈889.535（万元）原最大利润约为520.83万元，升级成本为240万元，原利润+升级成本=520.83+240=760.83万元。升级后的最大利润889.54万元>760.83万元，因此该技术升级具有经济可行性。（3）在技术升级背景下，月产量限制为x≤80千组。L'(x)的顶点在x≈88.095千组，超过80千组，因此在x≤80的范围内，L'(x)的最大值出现在端点x=80处。计算L'(80)=-0.21×(80)²+37×80-740=-0.21×6400+2960-740=-1344+2960-740=876（万元）验证x=80时的利润是否为最大值：由于二次函数开