教学材料《电路基础》-6

6.1引言

前面几章，以电阻电路为基础，介绍了电路分析的基本定律、定理和一般分析方法。在电阻电路中，组成电路的各元件的伏安关系均为代数关系，通常把这类元件称为静态元件。描述电路激励一响应关系的数学方程为代数方程，通常把这类电路称为静态电路。静态电路的响应仅由外加激励所引起。当电阻电路从一种工作状态转到另一种工作状态时，电路中的响应也将立即从一种状态转到另一种状态。事实上，许多实际电路并不能只用电阻元件和电源元件来构成模型。电路中的电磁现象不可避免地要包含有电容元件和电感元件。由于这两类元件的伏安关系都涉及对电压或电流的微分或积分，故称这两种元件为动态元件。含有动态元件的电路称为动态电路。在动态电路中激励一响应关系的数学方程式为微分方程。上一页下一页返回6.1引言

本章主要讨论电容元件、电感元件的性质以及电容、电感元件的串并联关系。电感元件上电压·电流的瞬时值关系式为UL=L/dt;电容元件上的电压·电流瞬时值关系式为IC=

dUC/dt，显然均为微分(或积分)形式的动态关系。因此，从电压、电流瞬时值关系式来看，电感元件和电容元件属于动态元件。无论是电感元件还是电容元件，它们的瞬时功率在一个周期内的平均值为零，说明这两种理想电路元件是不耗能的，但它们始终与电源之间进行着能量交换，我们把这种只交换不消耗的能量称为无功功率。由于电感元件和电容元件只向电源吸取无功功率，即它们只进行能量的吞吐而不耗能，因此把它们称作储能元件。上一页下一页返回6.1引言

注意:储能元件上的电压、电流关系为正交关系，换句话说，正交的电压和电流构成无功功率。另外，电感元件的磁场能量和电容元件的电场能量之间在同一电路中可以相互补偿，所谓补偿，就量当电容充电时，电感恰好释放磁场能，电容放电时，电感恰好吸收磁场能，因此两个元件之间的能量可以直接交换而不从电源吸取，即电感和电容元件具有对偶关系。上一页返回6.2知识结构和教学要求1.知识结构(1)电容元件;(2)电感元件;(3)电容元件、电感元件串并联。2.教学要求(1)掌握电容元件的定义，电容元件的VCR以及电容元件的储能;(2)掌握电感元件的定义，电感元件的VCR以及电感元件的储能;(3)掌握电容元件、电感元件串并联的特点。返回6.3教学内容6.3.1电容元件学习目标:掌握电容元件的定义以及电容元件的伏安关系。电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如图6一1所示，两块平行的金属极板就构成一个电容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存储等量的异性电荷形成电场，储存电能。因此，电容元件是一种能聚集电荷，储存电能的二端元件。其电路符号如图6一2所示.1.电容元件的定义下一页返回6.3教学内容

一个二端元件，如果在任意时刻，，它所储存的电荷与它两端的电压u(t)可用u一v平面上的一条曲线描述，则此二端元件称电容元件，简称电容。图6一3为电容元件的“u一v曲线:

图6一3(a)所描述的电容元件为时变电容元件;

图6一3(b)所描述的电容元件为非时变的非线性电容元件;

图6一3(c)所描述的电容元件为非时变的线性电容元件。上一页下一页返回6.3教学内容

如不加特殊说明，本书中的电容元件均指非时变的线性电容元件，即如图6一3(c)所示，根据电容元件的定义，有式中，C是一个与a,u及t无关的一个正常量，是表征电容元件积聚电荷能力的物理量，称为电容量，简称电容。在国际单位制(SI)中，电容的单位为法(拉)，简称法，符号为F。也可以用微法(uF)和皮法(dF)做单位.他们的关系是上一页下一页返回6.3教学内容2.线性非时变电容元件的伏安关系(VAR)由电流的定义式i=dv/dt和电容的定义式可得这就是电容元件微分形式的VAR。若电容端电压u与电流i参考方向不关联，则上式右边应加负号，即得上一页下一页返回6.3教学内容

根据电容元件的VCR式(6一3)可知，任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容两端电压的变化率，而与该时刻电容电压u的数值无关。若电压恒定不变，其电流必为零，这时电容相当于开路;反之，若某一时刻电容电压为零，但电容电压的变化率不为零，此时电容电流也不为零。这和电阻元件不同。由于电容电流不取决于该时刻所加电压的大小，而取决于该时刻电容电压的变化率，所以电容元件称为动态元件。对(6一3)两边积分，可得电容元件积分形式的VCR，为上一页下一页返回6.3教学内容

上式中，将积分变量t换成T，以区分积分上限t。此式表明，电容两端的电压与电流的全过程有关，也就是说，电容元件是记忆元件，有记忆电流的作用。在实际计算中，电路常从某一时刻(如t=0)算起，即从某一初始电压u(0)开始，则上一页下一页返回6.3教学内容u(o)表示从负无穷大到t=o时刻电容所积累的电压值，即初始值。这也从数学上解释了初始值的含义。3.电容元件的储能电容元件的功率为电容元件t时刻的储能为上一页下一页返回6.3教学内容在t=∞时刻，电容储能为零，故上式表明，电容元件的储能，不论电压是正是负，始终是大于或等于零的。例6一1电容元件及其参考方向如图6一4所示。已知u=一60sin100tV，电容储存能量最大值为18j，求电容C的值及t=2π/300最好去日寸的电流解:由电压的最大值为60V，故上一页下一页返回6.3教学内容

此时电流的实际方向与参考方向相同而电压的实际方向与参考方向相反，电容器此时在释放能量。上一页下一页返回6.3教学内容

学习目标:掌握电感元件的定义以及电感元件的伏安关系。电感是用来表征电路中磁场能储存这一物理性质的理想元件。当电路中有电感器(线圈)存在时，电流通过线圈会产生比较集中的磁场，因而必须考虑磁场能储存的影响。1.电感元件的定义一个二端元件如果在任一时刻，，它所产生的磁通ψ(t)与流过它的电流i(t)可用ψ-i必一i平面上的一条曲线来描述，则此二端元件称为电感元件。在图6-5中，设线圈的匝数为N，电流i通过线圈而产生的磁通为嘶，两者的乘积(ψL=NΦL)称为线圈的磁链，它与电流的比值L=}Y,.li(t)即为电感器(线圈)的电感。上一页下一页返回6.3教学内容

式中，ψL和ΦL的单位为韦〔伯」(Wb);i的单位为安[培」(A);L的单位为亨〔利」(H)，1H=1Wb/A。通常还用毫亨(mH)和微亨(uH)作为其单位，它们与亨的换算关系为2.非时变线性电感元件的伏安关系(van)如图6一6所示的关联参考方向下，电感的磁链与电流呈线性关系上一页下一页返回6.3教学内容其伏安关系为由上式可知，电感元件的伏安关系为微分关系，元件两端的电压与该时刻电流的变化率成正比。显然，电流的变化率越高，则1l越大，而在直流电路中，UL=0，电感相当于短路。如果已知电压，则可求出对应的电流上一页下一页返回6.3教学内容上式表明，电感元件也是记忆元件，有记忆电压的功能。与电容的分析方法相同，从t=t0，时刻算起的电流为电感元件的功率关系为上一页下一页返回6.3教学内容例6一2电感电流i=100e-0.02t``mA,L=0.5H，求其电压表达式、t=0时的电感电压和t=0时的磁场能量(u,i参考方向一致)。解:当u,i参考方向一致时上一页下一页返回6.3教学内容需要指出的是，以上计算只考虑电感线圈具有参数L，单实际电感线圈通常由金属导线绕制而成，还具有一定的电阻，因而一般用RL串联组合作为其模型。当电流流过线圈时，不可避免地会产生电能转换成热能的过程。电流过大，产生的热量过大，可能烧坏线圈，因此，工程上的线圈都标出其额定电流，该电流是电感线圈长期工作时允许通过的最大电流。上一页下一页返回6.3教学内容6.3.3电容元件和电感元件的串、并联学习目标:掌握电容和电感元件串并联的等效。1.电容串联C1,C2,…、Cn个电容串联，可以等效为一个电容C，如图6一7所示，等效电容的倒数等于各个串联电容的倒数之和，即2.电容并联上一页下一页返回6.3教学内容

鱿·C1C1…、Cn个电容并联，可以等效为一个电容C，如图6一8所示，等效电容C等于各个并联电容之和，即3.电感串联L1,L2、…LN或n个电感串联，可以等效为一个电感L，如图6一9所示。等效电感L等于各个串联电感之和，即上一页下一页返回6.3教学内容4.电感并联、L1,L2,…、Ln或n个电感并联，可以等效为一个电感L，如图6一10所示。等效电感的倒数等于各个并联电感的倒数之和，即上一页返回小结1.电容元件的定义一个二端元件，如果在任意时刻，，它所储存的电荷与它两端的电压u(t)可用u一v平面上的一条曲线描述，则此二端元件称电容元件，简称电容。2.线性非时变电容元件的伏安关系(VAR)由电流的定义式i=dv/dt和电容的定义式下一页返回小结可得这就是电容元件微分形式的VAR。若电容端电压u与电流i参考方向不关联，则上式右边应加负号，即得3.电容元件的储能电容元件的功率为上一页下一页返回小结电容元件t时刻的储能为上一页下一页返回小结在t=∞时刻，电容储能为零，故上式表明，电容元件的储能，不论电压是正是负，始终是大于或等于零的。

4.电感元件的定义一个二端元件如果在任一时刻t，它所产生的磁通ψ(t)与流过它的电流i(t)可用必一L平面上的一条曲线来描述，则此二端元件称电感元件。5.非时变线性电感元件元件的伏安关系(vas)

如图6一5所示的关联参考方向下，电感的磁链与电流呈线性关系上一页下一页返回小结其伏安关系为6.电感元件的储能为7.电容元件和电感元件的串、并联上一页下一页返回小结(i)电容串联(2)电容并联(3)电感串联(4)电感并联上一页返回习题6一1某一元件的电压、电流(关联参考方向)分别为下述三种情况时，它可能是什么元件了(1)u=10cos(10t+45。)V，i=2sin(10t+135。)A;(2)u=10sin(10t+45。)V，i=2sin(10t+135。)A;(3)u=一10costV,i=--sintA.下一页返回习题1)将两只电容器并联使用，等效电容是多大?最大工作电压是多少?2)将两只电容器串联使用，等效电容是多大?最大工作电压是多少?6一3流过电感元件中的电流为IL=10√2sin(314t+30)A，无功功率QL500