8.5.3平面与平面平行（第1课时）（教案）

第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行（第1课时）一、教学目标1.直观感知平面与平面平行,能初步理解平面与平面平行的判定定理；2.能运用平面与平面平行的判定定理进行简单应用；3.通过对平面与平面平行判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.空间平面与平面平行的判定定理的探索过程；2.平面与平面平行的判定定理的应用.三、教学过程：（1）创设情景用两本书模拟平面，填写下表：新知探究问题1:如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？学生回答（不一定平行），教师点拨问题2:如果一个平面内任意一直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？学生回答（平行），教师点拨问题3:大家思考一下，满足什么条件使得两个平面平行学生回答，教师点拨(提出本节课所学内容平面与平面平行的判定定理)新知建构平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：若且，则图形表示：注意：线面平行→面面平行练习：（多选）下列选项正确的是()A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.【答案】CD【解析】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线.对于选项A,一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在,故A错误;对于选项B,一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，故B错误;对于选项C,一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义,故C正确;对于选项D,一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理,故D正确;故CD．（4）数学运用例1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面C1DB∥平面AB1D1．证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四边形，∴D1A∥C1B，又D1A平面C1BD,CB平面C1DB.由直线与平面平行的判定,可知D1A∥平面C1DB，同理

D1B1∥平面C1DB,又D1A∩D1B1=D1,所以，平面C1DB//平面AB1D1。变式训练1:如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,证明平面DEF∥平面ABC【解析】在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF=E,DE⊂平面DEF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.例2.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.【答案】答案见解析【解析】因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.变式训练:如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．求证：平面平面BEF；【答案】答案见解析【解析】如图，，F分别为，的中点，，平面，平面，平面，又F，G分别为，AB的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面平面BEF；例3:如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：平面平面.【答案】答案见解析【解析】证明：如图，连接，分别是的中点，.又平面平面，所以直线平面.连接分别是的中点，.又∵平面平面平面.又平面平面，∴平面平面.变式训练:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?【答案】答案见解析【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴QB∥平面PAO.连接DB，∵P、O分别为DD1，DB的中点，∴PO为△DBD1的中位线，∴D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.四、小结：平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：若且，则图形表示：A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α2.[探究点一]若一个平面α内的两条直线a,b分别平行于另一个平面β内的两条直线c,d,则平面α与β的位置关系是()A.一定平行 B.一定相交C.平行或相交 D.以上判断都不对3.[探究点二]如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是底面A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面AA1C1C,则动点M的轨迹是()A.平面 B.直线C.线段,但只含1个端点 D.圆4.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1(第4题图)5.(多选题)[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个说法正确的是()(第5题图)A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D16.[探究点一]一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点,点P1,P2,P3,P4折起后重合为点P,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.

7.[探究点二]如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'8.[探究点一]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)GH∥平面ABC;(2)平面EFA1∥平面BCHG.9.[探究点一]已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.10.[探究点三]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?B级关键能力提升练11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为 ()A.22 B.23 C.26 D.412.(多选题)正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,下列结论正确的有()A.BM∥平面ADEB.CN∥平面AFBC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF13.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则 ()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF14.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=,ED与AF相交于点H,则GH=.

15.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.C级学科素养创新练16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE?参考答案1.CD对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.所以选项A的内容是α∥β的必要条件而不是充分条件;对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.所以选项B的内容是α∥β的必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的充分条件;对于选项D,由于a∥β,把直线a平移到平面β中,设为直线a'.由于直线a与b异面,所以a'与b相交.则在平面β中存在两条相交直线平行于α,则α∥β.所以选项D的内容是α∥β的充分条件.2.C平面α内的两条直线a,b分别平行于平面β内的两条直线c,d,若直线a,b相交且这两条直线平行于平面β,则可得这两个平面平行;若直线a,b平行,则平面α与β可能相交也可能平行.故选C.3.C∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E(图略),则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).4.D易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误.易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误.因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误.因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.AC∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1.∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故选项A正确.∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故选项B错误.∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,∴FG∥平面BC1D1,故选项C正确.∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故选项D错误.故选AC.6.①②③④把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.7.425由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',S8.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1.又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.因为GH⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.所以A1E∥BG.因为EF∥BC,EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1E∥BG,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为EF,A1E⊂平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.9.证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.10.解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.11.C由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=5,所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=23,EF=22,所以截面面积为26.12.ABCD展开图可以折成如图①所示的正方体.①②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面ADE.同理可证CN∥平面AFB,∴A,B正确.③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,∴C,D正确.13.A如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM,且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故选A.14.132∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,且AB=CD.又E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=FD.又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,∴△AEH≌△FDH,∴EH=DH.∵平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平