10.2事件的相互独立性（教案）

第十章概率10.2事件的相互独立性一、教学目标1.理解两个事件相互独立的概念；2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算；3.通过对实例的分析，会进行简单的应用；4.通过对事件的相互独立性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.独立事件同时发生的概率．2.有关独立事件发生的概率计算三、教学过程：（1）创设情景抛掷一枚质地均匀的硬币两次。问：在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？新知探究问题1:第一次出现正面向上发生与否会影响第二次出现正面向上发生的概率吗？学生回答，老师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与，与B，与也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).（4）数学运用例1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【答案】C【解析】根据题意，事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件，故选：．变式训练1:一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【答案】C【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．变式训练2:（多选）下列各对事件中,为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M与N相互独立，故A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D正确.故选：ABD.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.02（4）0.98【解析】设“甲中靶”,“乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立由已知可得,.（1）“两人都中靶”,由事件独立性的定义得（2）“恰好有一人中靶”,且与互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得（3）事件“两人都脱靶”,所以（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为变式训练:为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，.“乙赢得比赛”，.因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，则；.于是“两人中至少有一人赢得比赛”.例3:小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为.（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为.变式训练:甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立，由己知可得，，则，；（Ⅰ）“两人都投中”，则；（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，则；（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，所以.四、小结：相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与，与B，与也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).A级必备知识基础练1.[探究点二]如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49 B.29 C.232.[探究点三]社区开展“军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和2A.35 B.215 C.13153.[探究点二]甲、乙两人练习射击,甲击中目标的概率为0.9,乙击中目标的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中的概率是()A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.94.[探究点一·2023重庆开州月考]不透明的袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球.从中不放回地依次随机摸出2个球,事件A=“两个球颜色相同”,事件B=“两个球颜色不同”,事件C=“第二次摸到红球”,事件D=“两个球都是红球”,下列说法错误的是()A.P(A∪B)=1 B.B与C相互独立C.D⊆C D.P(B)=P(A)+P(D)5.[探究点三]台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.

6.[探究点三]有一道数学难题,在半小时内,甲能独立解决的概率是12,乙能独立解决的概率是13,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未能解决的概率为,问题得到解决的概率为7.[探究点三]甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为25,(1)求三人都被选中的概率;(2)求只有两人被选中的概率.B级关键能力提升练8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(A.1320 B.15 C.149.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(A.29 B.118 C.1310.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(A.2个球都是红球的概率为1B.2个球中恰有1个红球的概率为1C.至少有1个红球的概率为2D.2个球不都是红球的概率为111.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为15,C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为1D.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为p+q-2pq12.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是12,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是(A.5564 B.1C.18 D.13.事件A,B,C相互独立,若P(AB)=16,P(BC)=18,P(ABC)=18,则P(B)=,P(AB)14.田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》,话说齐王、田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用PAiBj(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95,PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,PA15.甲、乙2人进行定点投篮游戏,在1次投篮中投进的概率分别为0.7,0.6,且各次投篮是否投进相互独立,各人投篮是否投进相互独立,每人各投篮1次为“一轮游戏”.(1)在一轮游戏中,求2人共投进1球的概率;(2)在两轮游戏中,求2人共投进1球的概率.C级学科素养创新练16.如图所示,用A,B,C,D四种不同的元件分别连接成两个系统M,N.当元件A,B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时,系统M正常工作;当元件A,B都正常工作或元件B,D都正常工作或元件C正常工作时,系统N正常工作.已知A,B,C,D四种元件正常工作的概率分别为0.5,0.9,0.7,0.8,且各元件是否正常工作是彼此独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理.参考答案1.A左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为22.C由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-35×1-23=215,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-215=1315.3.B设甲击中为事件A,乙击中为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.7=0.63.故选B.4.D根据题意,依次分析选项:对于A,事件A与B为对立事件,则P(A∪B)=1,A正确;对于B,P(B)=23,P(C)=12,P(BC)=13,有P(B)P(C)=P(BC对于C,事件C=“第二次摸到红球”,包括事件“第一次摸到白球,第二次摸到红球”和事件“两个球都是红球”,C正确;对于D,因为P(B)=23,P(A)+P(D)=1-P(B)+P(D)=1-23+16=12,所以P(B)≠P(A)+P(D5.0.902设甲、乙、丙三颗卫星预报准确依次为事件A,B,C,不准确为事件A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,ABC,∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.6.1323甲、乙两人都未能解决的概率为1-12×1-13=问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-137.解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=25,P(B)=34,P(C)=(1)∵A,B,C是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=3208.D这两项都不合格的概率是1-则至少有一项合格的概率是1-359.D由题意知,P(A)P(B)=19,P(A)P(B)=P(A)P(B)设P(A)=x,P(B)=y,则(∴x2-2x+1=19,∴x-1=-13,或x-1=13∴x=23,即事件A发生的概率P(A)等于210.BC对于A,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球都是红球的概率为13×1对于B,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球中恰有1个红球的概率为13×1-12+1-13×12=12对于C,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以至少有1个红球的概率为13×1-12+1-13×12+13对于D,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,所以2个球不都是红球的概率为1-13×1故选BC.11.ACD对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-132×13=427,故A正确.对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能单独破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1-25=35,故B错误.对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=612=12.A设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=12,P(T)=P(R)=1-12×12=34,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P(G)P(13.1213∵P(ABC)=P(AB)P(C)=16P(∴P(C)=34,即P(C)=1又P(BC)=P(B)P(C)=18∴P(B)=12,P(B)=1又P(AB)=16,则P(A)=1∴P(AB)=P(A)P(B)=1-14.60.819由题意可知,所有的比赛方案为(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A