高中数学必修第2册期中测试卷（解析版）

期中测试卷姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：120分钟满分：150分）选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量，，则的最大值为（）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：由向量，，得，当时，，当时，，当且仅当，即时，取等号，综上的最大值为1.故选：D.2．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.【详解】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；对于C选项，由正弦定理可得，故无解；对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.故选：B.3．中，，，过点A作边BC的垂线，垂足为H，若，则（）A．10 B．12 C．－10 D．－12【答案】A【解析】【分析】以H为原点，建立平面直角坐标系，分别求出三点的坐标，从而可得的坐标，再根据数量积的坐标表示即可得解.【详解】解：以H为原点，建立平面直角坐标系，可知，由：，，所以，，又，故，，所以.故选：A.4．已知复数，则在复平面内表示复数的点位于（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法及除法运算可得，即得.【详解】∵复数，∴，∴在复平面内表示复数的点位于虚轴上.故选：B.5．的共轭复数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先用复数除法公式求出，进而求出的共轭复数.【详解】，则的共轭复数为.故选：C6．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，则三棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将三棱锥翻转为，确定顶点A在底面的射影为斜边的中点，利用勾股定理求出，然后由三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：将三棱锥翻转一下，如图所示，因为，所以，所以为直角三角形，由斜线长相等，则射影长相等，可得点A在平面内的射影为直角三角形的外心，所以为直角斜边的中点，且平面，则为三棱锥的高，由勾股定理可得，所以三棱锥的体积．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π B．π C．π D．π【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体的结构，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆柱，挖掉半个圆锥所得，如图，所以几何体的体积为.故选：C.8．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，若E，F分别为与线段BC的中点，圆柱的母线为4，侧面积为，则异面直线EF与AC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如图，取的中点，连接，则可得是异面直线EF与AC所成角，然后在中求解【详解】如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以∥，所以是异面直线EF与AC所成角，因为圆柱的母线为4，侧面积为，所以，所以，所以，因为垂直于底面，在底面内，所以，因为E为的中点，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以,所以,所以异面直线EF与AC所成角的余弦值为，故选：C多选题（本大题共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分）9．已知平面向量，，则下列命题中正确的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】由向量的定义判断A，由模的坐标表示求出模判断B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D．【详解】对于A，由于向量不能比较大小，故A错误；对于B，∵，∴，故B正确；对于C，∵，∴不成立，故C错误；对于D，∵，故D正确．故选：BD．10．关于复数(i为虚数单位)，下列说法正确的是（）A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i【答案】AB【解析】【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D.【详解】由复数,可得，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误，故选：AB.11．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，则（）A．当时， B．四棱锥体积的最大值为C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时 D．四面体的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答.【详解】在直四棱柱中，底面是正方形，，，对于A，当时，点P为线段AC中点，连DP，，如图，，而平面，平面，则，又，平面，则有平面，而平面，于是得，又对角面是矩形，即，所以，A正确；依题意，平面，而点P在AC上，则点P到平面距离的最大值为AB=1，而矩形面积为，所以四棱锥体积的最大值为，B不正确；对于C，当时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面截直四棱柱所得截面为等腰梯形，如图，显然，则，，等腰梯形的高，等腰梯形的面积，由几何体的对称性知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，C不正确；因平面，则点P到平面的距离等于点A到平面的距离，为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：作多面体截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.12．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，由线面平行的性质可判断正确；对B，可能存在，对C，由面面垂直的性质可判断正确；对D，由垂直和平行的性质可判断正确.【详解】对A，由线面平行的性质可知，直线平行于已知平面，则直线平行于过该直线的平面与已知平面的交线，故A正确；对B，当，不满足命题，故B错误；对C，如图所示，，作，因为，，，所以,，又因为，所以，因为，所以，故C正确；对D，因为，，所以，又，则，故D正确.故选：ACD填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形的边长为2，E是的中点，则__________．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算，将转化为，进而求得答案.【详解】依题意，，因为菱形的边长为2．所以．故答案为：-3.14．已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．【答案】【解析】【分析】设向量，的单位方向向量，用所设的单位向量作为基底，表示出已知条件，进而表示出，继而求得答案.【详解】设与方向相同的单位向量是，且，设与方向相同的单位向量是，且，又.注意到.，，∵c-∴设y(1)与(2)联立得：(7)(3)与(4)联立得：(8)将(8)代入(5)中得：，∴μ1-μ2=λ对应，故,故答案为：15．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.【答案】【解析】【分析】分别设，，可得，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.【详解】因为，设，，所以由题意可知或，当时，，，当时，，，综上所述：，故答案为：.16．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）17．已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且.(1)求角；(2)若，且，求面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用及正弦定理得到，直接求出角C；（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求得，直接利用三角形的面积公式即可求解.(1)因为向量，，且.所以，，由正弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∵，∴.(2)，∴，又，，得，由正弦定理：得.由所以.18．已知在中，角所对的边分别为，且，.(1)求角的大小；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用诱导公式和两角和的正弦公式可得，从而可求.（2）利用正弦定理可得，利用两角差的正弦化简后可得.(1)因为，所以，所以，而为三角形内角，所以，所以，∵是三角形内角，∴.(2)∵，∴由正弦定理可得，可得，所以，即.19．已知复数，复数的实部等于的虚部，的虚部等于的实部，求复数.【答案】【解析】【分析】由复数，写出实部，虚部，即可得复数.【详解】由复数，实部为，虚部为，设复数，所以所以.20．（1）已知，，，.问以上4个复数对应的点是否在同一个圆上？（2）设.（i）求，；（ii）求.【答案】（1）四点不共圆；（2）（i），；（ii）.【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，求得四个复数对应的点的坐标，结合圆的方程，即可求解；（2）（i）根据复数的运算，准确运算，即可求解；（ii）根据的周期性，即可求解.【详解】（1）由题意，复数，，，，根据复数的几何意义，可得复数对应的分别为，设经过三点的圆的方程为，可得，解得，所以圆的方程为，即，其中点不适合圆的方程，即点不在圆上，所以四点不共圆.（2）由，可得，，则，又由，可得，且是以为周期的循环，所以.21．在直棱柱中，,其中，，点在上，且，延长至使得.(1)求证：；(2)求到平面距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）在直角梯形中，求得，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得；（2）由（1）得平面，得到点E到直线BD距离为，求得，设点到平面距离为，结合，即可求解.(1)证明：在直角梯形中，有，所以，所以，可得，所以，又因为平面，且平面，所以，又由，所以平面，因为平面，所以(2)由（1）得平面，且，所以点E到直线BD距离为，且，所以在中，因为，可得，，由（1）知，故，设点到平面距离为，则，解得，所以点到平面距离为.22．如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理得到平面再由面面垂直的判定定理可得答案；（2）利用等体积转换可得答案.(1)三棱柱中，平面，则，底面为正三角形，且是的中点，则，，则平面，平面，平面平面.(2)，底面为边长为2的正三角形，是的中点，，,，解得，即，在侧棱上是存在一点，且，使得三棱锥的体积是.综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为()A.14 B.12 C.12.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限3.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12.若|BC|=1,则|A.2-1 B.3-1C.2+1 D.3+15.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如表:环数012345678910击中的次数00124461012138则估计他击中的环数不小于8的概率为()A.0.46 B.0.55C.0.57 D.0.636.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是()A.13 B.12 C.237.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是()A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14C.5+14 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB 10.下列说法中,正确的是()A.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率mnC.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<111.下列说法正确的是()A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6B.已知一组数据2,3,5,x,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若x1,x2,…,x10的标准差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的标准差是612.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点,则()A.直线B1C∥平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为1D.异面直线B1C与BD所成的角为90°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=.

14.有下列数据:1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.

16.如图是某个闭合电路的一部分,每个元件的可靠性是23,则从A到B这部分电路畅通的概率为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z满足z+4为纯虚数,且z2-i为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数18.(12分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{AB,AD}表示19.(12分)为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1~1.5小时,C.0.5~1小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:(1)本次一共调查了多少名学生?(2)在图①中将B对应的部分补充完整.(3)若该校有3000名学生,估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.21.(12分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=22,BA=BC=2,O是线段AC的中点,M是线段BC的中点.(1)求证:PO⊥平面ABC;(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥A-DBE的体积;(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案综合测评1.A∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A2.B由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.3.B如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=1∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.4.D∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,∴cos∠APB=PA·PB|PA||由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+故选D.5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为12+13+860=0.55,因此估计相应概率为0.556.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有6种,故所求概率为P=697.D对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故A错误;对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件,因为“取出龙井”时,事件“取出不发酵茶”也发生了,故B错误;对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故C错误;对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件,故D正确.8.C设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依题意有ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a2)

2,因此有h'2-a22=12ah'⇒4ℎ'a29.CD因为AB+AC=3AP,所以PB−PA+PC−PA-3AP=0,即PA+PB+PC=0,故10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确;对于B,概率是频率的稳定值,B错误;对于C,由概率与频率的关系,C正确;对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,D错误.11.BD∵10×60%=6,∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,即6+72=6.5,故A选项错误∵数据2,3,5,x,8的平均数为5,∴2+3+5+x+8=5×5,即x=7,∴数据2,3,5,7,8的方差是(2-5)2+(3用分层随机抽样时,每层的个体被抽到的概率相同,故C选项错误;∵x1,x2,…,x10的标准差为2,方差为4,∴3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×4=36,即标准差为6,故D选项正确.12.AB选项A,如图,连接A1D,A1B,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得A1B1与CD平行且相等,所以四边形A1B1CD为平行四边形,有B1C∥A1D,又B1C⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以直线B1C∥平面A1BD,故选项A正确;选项B,如图,连接BC1,AD1,因为四边形BB1C1C为正方形,所以B1C⊥BC1,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,所以AB⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,所以AB⊥B1C,又AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,故选项B正确;选项C,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,所以B1C1⊥平面CC1D1D,且B1C1=1,又S△CC1E=12×1×1=12,所以三棱锥B1-CC1E的体积即三棱锥C1-B1CE的体积为16,故选项C错误选项D,如图,连接A1D,A1B,BD,由选项A的解析可知,A1D∥B1C,所以异面直线B1C与BD所成的角为∠A1DB或其补角,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,易得△A1DB为等边三角形,所以∠A1DB=60°,故选项D错误.故选AB.13.5∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i,则|z+3i|=|1+2i|=1214.27因为70%×30=21,所以这组数据的第70百分位数是27+272=2715.45由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度.则|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82∴实际速度的大小为45km/h.16.7081因为每个元件的可靠性是23,所以从A到B这部分电路不畅通的概率为13×13×1-13×13+217.解设z=x+yi(x,y∈R),则z+4=(x+4)+yi.∵z+4为纯虚数,∴x+4=0且y≠0,即x=-4,y≠0.又z2-i=∴2y-4=0,即y=2.∴z=-4+2i.∵m为实数,且(z+mi)2=[-4+(m+2)i]2=(12-4m-m2)-8(m+2)i,由题意知12-4m-m2∴实数m的取值范围为(-2,2).18.解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以BC=(x-3,y-6),AD=(-2,-1).又BC=AD,解得x所以点C的坐标为(1,5),AC=(-3,4),所以|AC|=(-3)2(2)已知点M(-1,4),所以AM=(-5,3),AB=(-1,5),AD=(-2,-1).设AM=λAB+μAD,即-解得λ故AM=AB+219.解(1)从题图中知,选A的共60人,占总人数的百分比为30%,所以总人数为60÷30%=200,即本次一共调查了200名学