4.2.1 等差数列的概念（1）A基础练（解析版）

4.2.1等差数列的概念（1）-A基础练一、选择题1．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】等差数列{an}中，，则即3=9+6d,解得d=-12．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（）A．90 B．96 C．98 D．100【答案】D【详解】由题意，解得．故选：D．3．等差数列的第项是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题,等差数列,,,，，故选A4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺【答案】D【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：，即，解之得：，所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D.5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】ABC【详解】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.6．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项【答案】ABD【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD二、填空题7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.【答案】【详解】∵数列是等差数列设公差为，若，，解得．8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的数是__________.【答案】【详解】由题意可得，第行的第一个数是，第行的数构成以为首项，为公差的等差数列，其中第项为.所以题表中的第行第列的数是.9．在数列中，，，则的值为__________.【答案】52【详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以．10．在等差数列中，，（、），则的值为__________.【答案】0【详解】由题,,三、解答题11．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，由，，即，解得，所以，数列的通项公式为.（2）由（1）可得.（3）令，解得，所以，是数列中的第项.12．数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？【详解】（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.A级必备知识基础练1.[探究点三](多选题)下列数列中,是等差数列的有()A.4,5,6,7,8,… B.3,0,-3,0,-6,…C.0,0,0,0,… D.1102.[探究点一]在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=()A.25 B.28 C.31 D.343.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a1=13,a4+a5=163,ak=33,则k=(A.50 B.49 C.48 D.474.[探究点二]在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.34 B.-34 C.-67 D5.[探究点一]在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2(n∈N*),则A.100 B.101 C.102 D.1036.[探究点一]已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=.

7.[探究点二]已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=.

B级关键能力提升练8.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是()A.a6 B.a8 C.a10 D.a129.首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是()A.(83,3) B.[83,3] C.(83,3] D.10.在数列{an}中,a4=49,an+1=an+2,则aA.121 B.144 C.169 D.19611.(多选题)数列{an}满足an+1=an2an+1,aA.数列{1anB.数列{an}有最小项C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.数列{an}为递减数列12.[2023贵州毕节月考]已知数列an-2nn是公差为1的等差数列,且a2=10,则a13.一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是.

14.已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).(1)求a2,a3;(2)证明数列{ann+1}是等差数列,并求数列{aC级学科素养创新练15.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.1.ACD选项A是以4为首项,1为公差的等差数列;选项B中后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以110为首项,1102.B设公差为d,因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28.3.A设等差数列{an}的公差为d,∵a1=13,a4+a5=163,∴2a1+7d=163,解得d=23,则an=13+(n-1)×23=2n-134.B设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-32,因此新等差数列的公差为-35.A易知an≠0,由an+1=2anan+2(n∈N*),两边取倒数可得1an+1=1an+12,即1an+1−∴an=2n+1.令2101=2n+1,解得n=100故选A.6.-4设等差数列{an}的公差为d,由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,∴a3=a1+2d=-10+6=-4.7.6∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=lgmlg2,b=lgmlg3.∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,∴∴lgm=12(lg2+lg3)=12lg6=lg6.则m=8.A设等差数列{an}的公差为d.∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.9.C由题意可知an=-24+(n-1)d,n∈N*,由a9=-24+8d≤010.C由an+1=an+2得an+1−an=2,因此数列{因为a4=49,所以a4=a1+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a11.AD因为an+1=an2an+1所以1an+1=2an+1an=2+1an,即1an1an=1+2(n-1)=2n-1,则an=12n-1,所以an+1-an=12n+1−12n-1=-24n212.n(n+1)+2n因为数列an-2nn是公差为1的等差数列,且a2=10,所以a2-222=3,所以an-2nn=3+(n-2)13.45设直角三角形的三边长为a,b,c,不妨设a<b<c,根据题意可得2b=a+c,且a2+b2=c2,∴a2+(a+c)24=c2,即5a2+2ac-3c2又b=a+c∴cosA=b214.(1)解因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),所以将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.(2)证明将(n+2)an=(n+1)·an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),可得(n化简得an+1n+2−ann+1=2.又a11+1=1,所以数列ann+1是以1为首项,2为公差的等差数列.所以ann+1=1+2(n-1)=2n-15.解(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=