2.2 基本不等式试题

.2基本不等式1．已知，，且，则（）A． B． C． D．2．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知，，则，之间的大小关系是（）A． B． C． D．4．已知，，则的最小值为（）A． B． C． D．5．已知，，，则的最小值是（）A． B． C． D．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．件 B．件 C．件D．件7．已知，则函数的最大值为___________．8．设点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是________．9．设，，且不等式恒成立，则实数的最小值为___________．10．函数（，）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________．11．求的最小值．

12．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域．现计划在正方形上建一花坛，造价为元/，在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元/，再在四个空角上铺草坪，造价为元/．⑴设总造价为元，的边长为，试建立关于的函数关系式；⑵计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？

答案与解析1．C解析：由，得，排除选项A，B．由，得．2．B解析：由题意，知，即，故．因为，，所以，当且仅当时，等号成立．3．A解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立．又因为，所以，所以．4．C解析：，因为，，所以，当且仅当时，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立．综上所述，时，取等号．5．C解析：因为，所以，又因为，，所以6．B解析：设每件产品的平均费用为元，由题意，得．当且仅当，即时，等号成立．故选B．7．解析：因为，所以，所以．所以当且仅当，即时，等号成立．故当时，取最大值，即．8．解析：要求的最大值，即求的最大值，应先求的最大值．显然当时，的最大值为，故的最大值为．9．解析：由，，，得．又因为（时，取等号），所以．因此要使恒成立，应有，即实数的最小值为．10．解析：因为恒过点，所以．因为在直线上，所以，即．又因为，所以，．又因为，当，时，等号成立，所以的最小值为．11．解：因为，所以，所以，．所以，即．所以．所以，当且仅当，即时，等号成立．所以．12．解：⑴设，则，．．⑵，当且仅当，即时，，即计划至少要投入万元才能建造2.2基本不等式A级必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x-2y≥2A.x≥2y B.x>2yC.x≤2y D.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x的值为()A.54 B.12 C.13 3.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为()A.14 B.12 C.1 D4.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1yA.1 B.2 C.-1 D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为(A.2 B.-12 C.-2 D.6.[探究点三·2024江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是(A.2 B.3 C.4 D.57.[探究点一·2024湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是()A.因为a,b为正实数,所以ba+ab≥B.因为a>3,所以4a+a>24aC.因为a<0,所以4a+a≥24aD.因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2(-xy8.[探究点二](多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>29.[探究点三]已知t>0,则t2-3t10.[探究点二]已知a,b,c为正数,求证:b+c-11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题:已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2a·1a=2,b+2b≥2b·2b=22.那么y≥小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2ab,而3+ba+2a(1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误?(2)请说明你判断的理由.B级关键能力提升练12.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=(A.-3 B.2 C.3 D.813.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是()A.∀x∈R,且x≠0,x+1x≥B.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,则xD.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为914.若a>0,b>0,则在①1a+1b≤4a+b,②b2a+A.0个 B.1个 C.2个 D.3个15.[2024安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是()A.ab≤1 B.a+bC.a3+b3≤2 D.a2+b2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是()A.ab2<1a+1C.ab≤a+b2217.已知a>b>c,则(a-b)(18.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,C级学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,则1a2b答案：1.B基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y2.B由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x3.A因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥24ab=4ab,可得ab≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为144.A因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x>0,1y>0,1x+1y≥21x·1y=21xy=2×12=1,当且仅当5.C因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2(-x)·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立6.D由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b2)

2=5,当且仅当a=b=127.ABD对于A,a,b为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b时,ba=ab成立,满足基本不等式的条件,A正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a≥24a·a=4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a使a=4a成立,所以4a+a>4,B正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C错误;对于D,x,y∈R,xy<0,则-xy>0,-yx>0,且(-xy)·(-y8.AD对于A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab,A正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2ab=2,B错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<2ab=2,C错误;对于D,因为ab>0,所以ab>0,ba>0,所以ba+ab≥2ba·ab9.-1∵t>0,∴t2-3t+1t=t+1t-3≥2t·1t-10.证明左边=ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1=ba+ab+ca+ac+cb+bc-3.∵a,b,c为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2a·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2b·2b=22,当等号成立时b=2,那么y取得最小值1+22时,a+b=1+2小华的解法中,ba+2ab≥22,等号成立的条件为b2=2a2,即b=2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,12.Cx-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2(x+1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+113.BCD对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为x2+y22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2xy,当且仅当x=y=9时,14.B因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当a=b时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a3+b3≥a2b+ab2,两边同除ab,可得b2a+a2b≥a+b成立,所以②正确;对于③,由2a2+2b2=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2ab=15.AD因为正实数a,b满足a+b=2,对于A选项,ab≤(a+b2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A正确;对于B选项,因为(a+b)2=a+b+2ab≤2(a+b)=4,则a+b≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B错误;对于C选项,当a=32,b=12时,a3+b3=(32)3+(12)3=72>2,C错误;对于D选项,a2+b2=a2+16.BCD当a>0,b>0时,因为21a+1b≤ab,所以2ab≤1a+1b,17.(