宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(一)（含答案）

宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(一)(考试时间：120分钟，满分：120分)一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)1．如图，若数轴上点A表示的数是＋2，则点B表示的数为(A)A．－2B．0C．2D．42．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2的度数是(B)A．60°B．50°C．40°D．30°3．下列计算中正确的是(D)A．a2·a3＝a6B．(－a3b)2＝－a6b2C．a6÷a3＝a2D．(a2)3＝a64．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是(B)A．主视图B．左视图C．主视图和俯视图D．俯视图5．《孙子算经》中有一道题，原文：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何．”意思：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4.5，,2x＋1＝y))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4.5，,\f(1,2)x＋1＝y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝4.5，,2x－1＝y))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4.5，,\f(1,2)x－1＝y))6．下列判断中正确的是(B)A．角是轴对称图形，对称轴是角平分线B．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，但在同一路灯下，无法判断谁的影子长C．若a是有理数，b是无理数，则a＋b是有理数D．对角线相互垂直的四边形是菱形7．如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝eq\f(9,x)(x>0)相交于点D，且eq\f(OD,OB)＝eq\f(3,5)，则矩形OABC的面积为(B)A．50B．25C．15D.eq\f(25,2)8．综合实践课上，某学校航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10m，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°(参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145)，则古树AB的高度约为(A)A．11.5mB．12.5mC．8.9mD．9.6m二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)9.eq\r(5)－2的相反数是2－eq\r(5).10．已知关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y＝mx＋n))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝6，))则关于x的一次函数y＝kx＋b，y＝mx＋n的交点坐标为(2，6)．11．某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是eq\f(4,9).12．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1≤3，,2x<6))的解集是x<3.13．已知点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，则点O到边AB的距离为3.14．某一游戏规则如下：将2，4，5，6，13，－6，－9，－11分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的4个数字之和都相等，部分已填入，则图中c＋d－(a＋b)的值为－11.15．足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平如图所示，则∠AOB的度数为132°.16．某同学发现家里的锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50cm，高度为30cm，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为80πcm.三、解答题(本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分)17．计算：(eq\f(1,2))－1－2cos30°＋|3－eq\r(12)|.解：原式＝2－2×eq\f(\r(3),2)＋2eq\r(3)－3＝eq\r(3)－1.18．先化简，再求值：eq\f(x＋2,x2－2x)÷(eq\f(8x,x－2)＋x－2)，其中x＝eq\r(2)－1.解：原式＝eq\f(x＋2,x（x－2）)÷eq\f(8x＋x2－4x＋4,x－2)＝eq\f(x＋2,x)·eq\f(1,（x＋2）2)＝eq\f(1,x（x＋2）).当x＝eq\r(2)－1时，原式＝eq\f(1,（\r(2)－1）（\r(2)－1＋2）)＝1.19．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，用直尺和圆规进行如下操作：①分别以B，D为圆心，以大于eq\f(1,2)BD的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，PQ交AD于点E，连接BE；②以B为圆心，BE的长为半径画弧，交PQ于点C，连接CD.根据操作解答下列问题：(1)BE与AD的数量关系是BE＝eq\f(1,2)AD；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．解：(2)由作图可知，BE＝ED＝CD＝BC＝1，∴四边形BEDC是菱形，∴BC∥AD，BE∥CD，∴∠ACB＝∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝1，AD＝2，∵AB＝AE＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∵CA平分∠BAD，∴AC⊥BE，∵BE∥CD，∴AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(3).20．若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321.(1)在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是396；(2)已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”；(3)喜欢动脑筋的小芳在计算642－246与753－357的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396.请证明小芳的猜想是否正确．解：(2)设这个“等差数”的十位数字为x，则百位数字为x－3，个位数字为x＋3，由题意，得x＋(x－3)＋(x＋3)＝15，解得x＝5，∴x－3＝2，x＋3＝8，∴这个“等差数”为258.(3)正确．证明：设“等差数”的十位数字为m，则百位数字为m＋2，个位数字为m－2.依题意可得[100(m＋2)＋10m＋(m－2)]－[100(m－2)＋10m＋(m＋2)]＝100m＋200＋10m＋m－2－100m＋200－10m－m－2＝396.∴小芳的猜想正确．21．某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．(1)小明购买这两种模型恰用钱95元，则“灵巧”和“迅捷”模型各购买了多少个？(2)该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的eq\f(1,3)，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)设购进“灵巧”模型x个，“迅捷”模型y个，由题意得25x＋20y＝95，∵x，y均为正整数，∴解得x＝3，y＝1.答：小明购买“灵巧”模型3个，“迅捷”模型1个．(2)由题意，得w＝(35－25)a＋(27－20)(120－a)＝3a＋840.又∵a≤eq\f(1,3)(120－a)，∴a≤30.∵w＝3a＋840，k＝3＞0.∴当a＝30时，wmax＝3×30＋840＝930(元)．答：购进“灵巧”模型30个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为930元．22．如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹，描出必要的格点)．(1)在图①中作出△ABC的外心D；(2)图②中D是AB的中点，作出BC边上的点F(不与点B重合)，使得BD＝DF.①②解：(1)如图①，点D即为所求．(2)如图②，点F即为所求．23.【研究课题】膳食中维生素含量调查研究【课题背景】维生素是人体代谢中必不可少的有机化合物．主要来源于新鲜蔬菜水果、全谷类、肉类和鱼类等食物．均衡饮食是摄取各类维生素的最佳方式．某小组研究某些蔬菜中维生素C的含量．【数据调查与收集】该小组选取西兰花和苦瓜样品50份(每份均以100g可食部分计)，分别研究其中维生素C的含量，整理数据并绘制了如图所示两种蔬菜样本维生素C含量的频数分布直方图(每组含最小值，不包含最大值)．请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)补全频数分布直方图；这批西兰花样品中维生素C含量的中位数出现在48～52组，苦瓜样品中维生素C含量的中位数出现在52～56组；(2)将每组数据取中间值，即40～44组取42，44～48组取46，……，可按如下方法求出这批西兰花样品中维生素C每100g的平均含量：(42×2＋46×13＋……＋66×1＋70×1)÷50＝51.28(mg/100g)．请按照这一方法求这批苦瓜样品中维生素C每100g的平均含量，结合两个统计量对两种蔬菜维生素C含量情况作出比较．西兰花中维生素C含量频数分布直方图苦瓜中维生素C含量频数分布直方图解：(1)补全图形如图所示．(2)根据题意可得eq\f(1,50)×(42×3＋46×4＋50×9＋54×15＋58×11＋62×3＋66×4＋70×1)＝54.56(mg/100g)，∴这批苦瓜样品中维生素C每100g的平均含量大于这批西兰花样品中维生素C每100g的平均含量．24.如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：AB＝AC；(2)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝eq\f(2,3)，E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，求EG·ED的值．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.(2)解：连接OE，由条件可知∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF，∴BD＝DF＝4，在Rt△ABD中，cosB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(2,3)，∴AB＝6，∴AO＝OE＝3，∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∴AE2＝OA2＋OE2＝18，∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(EG,EA)，∴EG·ED＝AE2＝18.25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，－4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图②，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若eq\f(DF,HG)＝2eq\r(5)，求点F的坐标．①②解：(1)抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2＋x－4.(2)抛物线沿x轴翻折后的部分函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x2－x＋4，当k＞0，直线y＝kx＋6经过点A(－4，0)时，－4k＋6＝0，解得k＝eq\f(3,2)，此时函数与直线有三个交点；当kx＋6＝－eq\f(1,2)x2－x＋4有两个相同的实数根时，Δ＝(k＋1)2－4＝0，解得k＝1或k＝－3(舍)；当0＜k＜1时，直线y＝kx＋6与新图象只有2个公共点，不符合题意；当1<k<eq\f(3,2)时，直线y＝kx＋6与新图象有4个公共点，不符合题意；当k>eq\f(3,2)时，直线y＝kx＋6与新图象有2个公共点，不符合题意；∴当k＝1或eq\f(3,2)时，直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点；当k＜0，kx＋6＝－eq\f(1,2)x2－x＋4有一个解时，Δ＝(k＋1)2－4＝0，解得k＝1(舍)或k＝－3，∵直线y＝－3x＋6经过点B(2，0)，∴当k＜0时，直线y＝kx＋6与新图象只有2个公共点，不符合题意．综上所述，当直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，k＝1或eq\f(3,2).(3)易求lBC：y＝2x－4，设D(0，t)，则H(2＋eq\f(1,2)t，t)，∵EF∥AB，∴∠FHG＝∠OBC，∵FG⊥CH，∴tan∠FHG＝tan∠OBC＝2，∴FG＝2HG，∴HG＝eq\f(\r(5),5)FH，∵eq\f(DF,HG)＝2eq\r(5)，∴DF＝2FH，∴DF＝eq\f(2,3)DH，∵DH＝2＋eq\f(1,2)t，∴DF＝eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，∴F(eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，t)，当eq\f(1,2)x2＋x－4＝t时，x＝eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)是方程的一个根，∴t2－4t－32＝0，解得t＝－4(舍)或t＝8，∴F(4，8)．26.如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，连接BE，F是BE的中点，连接AF.(