重庆好教育联盟2026届高三下学期5月联考 数学+答案

重庆市高2026届高三5月金太阳好教育联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知A∩B=B,则集合A,B可以分别为

A.{1,2},{1,2,3}B.{1,2,3},{1,2,4}

C.{1,2,3},{2,3}D.{1,2,3},{4,5,6}

2.若直线5x+2y-1=0与直线6x+my+7=0垂直，则m=

A.—15B.15D.

3.若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为

A.2rBC.4rD

4.若y=f(x),y=f(g(x))分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则g(x)的解析式可以为

A.g(x)=x²—xB.g(x)=x⁴+|x|

C.g(x)=x³+xD.g(x)=x⁴+x³

5.重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名

塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万

松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山

文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底B所

在的水平地面上选取C,D两点，测得CD=8米，∠BDC=D

30°,∠BCD=135°31',在点C处测得塔顶A的仰角为60°,则文峰塔的高度AB约为(参考数

据：取sin14°29′=0.25)

A.26米B.28米C.30米D.32米

6.若向量a=(1,m),b=(x²,e²),x>0,且a//b,则m的最小值为

A.eBC.4√eD

7.若F₁,F₂为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且△PF₁F₂的内切圆的半径小

于,则点P横坐标的取值范围是

A.(一√5,—1)U(1,√5)B.(一√5,一1)U(1,√5]

C.(一√2,-1)U(1,√2)D.(一√5,一√2)U(√2,√5)

8.若(5—2x)⁹=ao+a₁z+a₂x²+…+agx⁹,则Iog₃(la。I+2|a₁I+2²|a₂|+…+2⁹la₉1)=

A.0B.9C.12D.18

〔山城学术圈〕第1页共4页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=√3AD,则

A.BB₁//平面A₁DD₁B.AC⊥平面BDD₁B₁

C.A₁,B₁,C,D四点不共面D.A₁D与底面ABCD所成的角为60°

10.在等差数列{an}中，a₂=13,a₄=27,则下列判断正确的是

A.a₅=34

B.{an}的前n项和

C.满足an<200的n的最大值为29

D.若从{a}的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的概率为

11.过点C(0,a)(a>0)的直线l与抛物线Ω:x²=2py(0<p<a)交于A,B两点，O为坐标原

点，射线AO、射线BO与直线y=-a分别交于点M、点N,则

A.BM//AN

B.点A,B的横坐标之积与直线AB的斜率有关

C.△AOB与△MON的面积相等

D.当直线AB的斜率为2且|MNI>2a时

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复的实部与虚部之差为▲

13.若双曲线mx²+y²=1的焦距是虚轴长的|m|倍，则m=▲

14.若直线y=a与函数f(x)=6—2ᵗ的图象的公共点构成的集合为A,直线y=a与函数

g(x)=xlog₂x的图象的公共点构成的集合为B,且AUB只有2个元素，则a的取值范围

是▲

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数f(x)=2√3sinxcos(—x)—cos2x.

(1)求曲线y=f(x)的对称轴方程；

(2)若关于x的方程f(ax)+1=0(a>0)在[0,π]上恰有2个解，求a的取值范围.

〔山城学术圈〕第2页共4页

16.(15分)

在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成

同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置

的情感词典计算打分.

志愿者组的评分如下表：

15.216.518.81920.220.821.32222.523.2

23.524.125.82626.52727.528.530.131.2

AI组的评分如下表：

7.88.59.21011.411.812.41313.214.2

15.51616.216.517.21818.519.219.520.5

(1)求AI组20个评分的极差与第20百分位数.

(2)设这40个评分的中位数为m.

(i)求m的值，并统计两组(人类组即志愿者组)样本中小于m与不小于m的数据的个

数，完成下面的列联表：

评分小于m评分不小于m合计

人类组

AI组

合计

(ii)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知

是否存在差异.

α0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

17.(15分)

已知函

(1)若f(1)=7,求曲线y=f(x)在点(1,7)处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)>0,求正数a的取值范围.

〔山城学术圈〕第3页共4页

18.(17分)

设某湖泊每年的水质会在I类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化：

若上一年是I类，则下一年仍是I类的概率为0.8,降为Ⅱ类的概率为0.2;

若上一年是Ⅱ类，则下一年变成I类的概率为0.3,保持Ⅱ类的概率为0.5,降为Ⅲ类的概率

为0.2;

若上一年是Ⅲ类，则下一年变成I类的概率为0.1,变成Ⅱ类的概率是0.2,保持Ⅲ类的概率

是0.7.

已知该湖泊第1年的水质为I类，设第n年的水质为I类的概率为an,水质为Ⅱ类的概率

为bn.

(1)求a₂,a₃;

(2)证明bn+1=0.3bn+0.2,并求bn;

(3)证明：存在λ和μ,使是等比数列.

19.(17分)

已知圆心在坐标原点的圆O与直线3x—4y+10=0相切.

(1)求圆O的方程.

(2)设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P,Q分别是

圆O上在第二象限、第一象限的动点，点Q₁是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半

部分沿着y轴翻折，使得点P,Q₁分别到达点P′,Q₁'的位置，记二面角A-OB-P′的大

小为θ,且0<θ<π.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

①若∠AOP=150°(翻折前),且θ=120°,求二面角A-OP′-B的余弦值.

②将线段QQ₁'在平面Oyz上的正投影的中点记为点M.

I.证明：点M的轨迹为椭圆的一部分.

Ⅱ.若,求I中椭圆离心率的取值范围.

〔山城学术圈〕第4页共4页

重庆市高2026届高三5月金太阳好教育联考

数学答案

1.C【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.

因为A∩B=B,所以BCA,则A,B可以分别为{1,2,3},{2,3}.

2.A【解析】本题考查直线方程及直线与直线的位置关系，考查数学运算的核心素养.

因为直线5x+2y-1=0与直线6x+my+7=0垂直，所以5×6+2m=0,

解得m=-15.

3.C【解析】本题考查圆锥与球的体积，考查数学运算的核心素养.

设该圆锥的高为h,则,解得h=4r.

4.B【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.

因为y=f(x),y=f(g(x))分别为定义在R上的奇函数、偶函数，所以g(x)为偶函数，则

g(x)的解析式可以为g(x)=x⁴+|x|.

5.B【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.

在△BCD中，∠CBD=180°—30°—135°31′=14°29′,由正弦定理

米.在△ABC中，∠ACB=60°,所以AB=√3BC=

16√3≈28米.

6.B【解析】本题考查平面向量的平行与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

由a//b,得e²=mx²,因为x>0,所以.设,则,令

f'(x)<0,得0<x<2,令f'(x)>0,得x>2,所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上

单调递增，则,故m的最小值为

7.A【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.

设P(xo,yo)(yo≠0),|F₁F₂|=2√5-4=2,|PF₁|+|PF₂|=2√5,

则△PF₁F²的面积lyol=lyo|,因为△PF₁F₂的周长l=|PF₁|+|PF₂|+

|F₁F₂|=2√5+2,所以△PF₁F₂的内切圆的半径,则

,则

又—√5≤x₀≤√5,且yo≠0,所以点P横坐标的取值范围为(一√5,—1)U(1,√5).

8.D【解析】本题考查二项式定理与对数的运算，考查数学抽象与数学运算的核心素养.

设(5+2x)⁹=b₀+b₁x+b₂x²+…+bgx⁹,令x=2,得b₀+2b₁+2²b₂+…+2⁹b₉=9⁹,

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因为|a;|=b;(i=0,1,2,…,9),所以|a。|+2|a₁|+2²|a₂+…+2⁹|a₉|=9⁹,

则log₃(|a。|+2|a₁|+2²|a₂|+…+2⁹|a₉1)=9log₃9=9×2=18.

9.ABD【解析】本题考查正四棱柱、线线与线面的位置关系，考查数学运算

与逻辑推理的核心素养.

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为BB₁//DD₁,BB₁+平面

A₁DD₁,DD₁C平面A₁DD₁,所以BB₁//平面A₁DD₁,A正确.因为AC

⊥BD,DD₁⊥AC,BD∩DD₁=D,所以AC⊥平面BDD₁B₁,B正确.因

为A₁B₁//AB//CD,所以A₁,B₁,C,D四点共面，C错误.因为AA₁⊥底

面ABCD,所以A₁D与底面ABCD所成的角为∠A₁DA,所以

=√3,则∠A₁DA=60°,D正确.

10.ABD【解析】本题考查等差数列与古典概型，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

设等差数列{an}的公差为d,则a₁+d=13,a₁+3d=27,解得a₁=6,d=7,则an=a₁+(n

—1)d=7n—1,所以a₅=34,{an}的前n项和,A,B均正确.由

an=7n-1<200,得,故满足an<200的n的最大值为28,C错误.当n为奇数时，

an为偶数，当n为偶数时，an为奇数，若从{an}的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的

概率,D正确.

11.AC【解析】本题考查直线与抛物线的综合，考查直观想象、

逻辑推理及数学运算的核心素养.

设l:y=kx+a,代入x²=2py,得x²—2pkx-2pa=0,则

△=4p²k²+8pa>0恒成立，设A(x₁,y1),B(x2,y2),则x1

+x₂=2pk,x1x₂=-2pa,则点A,B的横坐标之积与直线

AB的斜率无关，B错误.因为,所以直线AO的方程

为,令y=-a,得,则M(x2,—a),同理得N(x₁,—a),则

BM//AN,A正确.,C正确.|MN|=|x₁一x2|=

√(x₁+x₂)²—4x1x2=√4p²k²+8pa=2√p²k²+2pa,当直线AB的斜率为2时，由

MN|>2a,得2√4p²+2pa>2a,整理得a²—2pa-4p²<0,则(a—p)²<5p²,又0<p<

a,所以0<a-p<√5p,则,因为√5+1>3.2,所以未必成立，

D错误.

12.2【解析】本题考查复数的运算与实部、虚部，考查数学运算的核心素养.

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i,所的实部与虚部之差

【解析】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查逻辑推理与数学运算的核心

素养.

由mx²+y²=1,得,则a²=1,则,依题

,则,所以1-m=m²,解得,又m<0,所以m=

【解析】本题考查函数与导数的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学

运算的核心素养.

f(x)在R上单调递减，值域为(一∞,6).g(x)的定义域为(0,十∞),

,令g'(x)>0,得,令

g'(x)<0,得,则g(x)的单调递增区间是,单调

递减区间；),g(x)。,f(2)=g(2)=2,作出f(x)与g(x)的大

致图象，如图所示，由图可知，a的取值范围是

15.【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核

心素养.

解：(1,……3分

令

得(k∈Z),……………………6分

则曲线y=f(x)的对称轴方程为(k∈Z).…………………7分

(2)由f(ax)+1=0,得,即.……9分

若x∈[0,π],a>0,则,…………………10分

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因为,……………………11分

,…………………12分

解,即a的取值范围……………13分

16.【解析】本题考查统计与独立性检验，考查数学运算与数据分析的核心素养.

解：(1)AI组20个评分的最小值为7.8,最大值为20.5,………………1分

故AI组20个评分的极差为20.5—7.8=12.7.………2分

因为20×20%=4,所以所求第20百分位数为……5分

(2)(i)若将这40个评分按照从小到大的顺序排列，则第20个数据为18.8,第21个数据

为19,……………………7分

所以

补充完整的列联表如下：

评分小于m评分不小于m合计

人类组31720

AI组17320

合计202040

………………10分

(ii)零假设为H₀:AI的情感量化结果与人类的主观感知不存在差异11分

根据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据推断H。不成立，即认为AI的情感量化

结果与人类的主观感知存在差异.………15分

17.【解析】本题考查导数的几何意义与导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

解：(1)由f(1)=1+3a=7,得a=2,…………………1分

则,……………2分

则f'(1)=—6,………………3分

故曲线y=f(x)在点(1,7)处的切线方程为y—7=—6(x—1),即y=—6x+13.…4分

(2)f(x)的定义域为(0,十∞)……………5分

当a=-3时，f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.…………………6分

当a≥0时，令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0<x<3,则f(x)在(3,十∞)上单调递

增，在(0,3)上单调递减.……………………7分

当—3<a<0时，令f'(x)>0,得0<x<-a或x>3,令f'(x)<0,得—a<x<3,……

……………8分

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则f(x)在(0,—a),(3,十∞)上单调递增，在(—a,3)上单调递减.……9分

当a<-3时，令f'(x)>0,得0<x<3或x>-a,令f'(x)<0,得3<x<-a,…10分

则f(x)在(0,3),(—a,十∞)上单调递增，在(3,—a)上单调递减.……11分

(3)由(2)知，当a>0时，f(x)在(0,3)上单调递减，在(3,十∞)上单调递增，

则

若f(x)>0,则a(1+1n3)+3—31n3>0,………………14分

解得,故正数a的取值范围为.………15分

18.【解析】本题考查数列与全概率公式的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

(1)解：a₁=1,a₂=0.8,………………1分

a₃=0.8a₂+0.3(1—a₂)=0.8×0.8+0.3×0.2=0.7.…………………3分

(2)证明：第n年的水质为Ⅲ类的概率为1—an—bn,……4分

则bn+1=0.2an+0.5b+0.2(1—a—b),……………5分

整理得bn+1=0.3bn+0.2,…………………6分

则,…………………7分

又,所以是以为首项为公比的等比数列，……8分

故,即…………………9分

(3)证明：依题意得an+1=0.8an+0.3b+0.1(1—an—bn),即an+1=0.1+0.7an+0.2bn,

…………………………10分

由(2)得…………11分

…………………12分

则对比系数可得……………14分

解得…………………15分

因为,所以是为首项，为公比的等比数列.

故存在λ和μ,使得是等比数列.………………17分

19.【解析】本题考查解析几何与立体几何的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心

素养.

解：(1)因为圆O的半径